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第二十天：万有引力理论的成就万有引力定律的内容的考点：1、预言彗星的回归，发现未知天体；2、根据已知量计算出天体的质量；3、计算中心天体的质量和密度；4、已知近地表运行周期求密度；5、已知地月/卫系统常识可以求出的物理量；6、不同纬度的重力加速度；7、其他星球表面的重力加速度；8、在地球上空距离地心r=R+h 处的重力加速度；9、天体自转对自身结构及表面g 的影响；10、不计自转，万有引力与地球表面的重力加速度。
知识点1：万有引力理论的成就一、“称量”地球的质量解决思路：若不考虑地球自转的影响，地球表面的物体的重力等于地球对物体的引力。
解决方法：mg ＝Gmm 地R 2。
得到的结论：m 地＝gR 2G，只要知道g 、R 、G 的值，就可计算出地球的质量。
知道某星球表面的重力加速度和星球半径，可计算出该星球的质量。
二、计算天体的质量解决思路：质量为m 的行星绕阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力。
解决方法：Gmm 太r 2＝m 4π2T 2r 。
得到的结论：m 太＝4π2r 3GT 2，只要知道引力常量G ，行星绕太阳运动的周期T 和轨道半径r 就可以计算出太阳的质量。
已知引力常量G ，卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算出行星的质量。
运用万有引力定律，不仅可以计算太阳的质量，还可以计算其他天体的质量。
以地球质量，月球的已知量为例，介绍几种计算天体质量的方法。
已知量求解方法质量的求解公式月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r 根据万有引力等于向心力，得222GM mm rr T月地月2324rMGT地月球绕地球做匀速圆周运动的半径r和月球运行的线速度v 地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，得22M m vG mr r月地月2/M rv G地月球运行的线速度v和运行周期T 地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，得2M mG m vr T月地月和22/M mG m v rr月地月两式消去r，解得：3/(2)M v T G地地球的半径R和地球表面的重力加速度g 物体的重力近似等于地球对物体的引力，得2M mmg GR地2R gMG地三、天体密度的计算类型分析方法已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
高中天体物理公式总结那么物理公式中关于天体运动公式有哪些呢?下面给大家带来高中天体物理公式，希望对你有帮助。
高中天体物理公式1.开普勒第三定律：T2/R3=K(=4π2/GM){R:轨道半径，T:周期，K:常量(与行星质量无关，取决于中心天体的质量)｝2.万有引力定律：F=Gm1m2/r2 (G=6.67×10-11Nm2/kg2，方向在它们的连线上)3.天体上的重力和重力加速度：GMm/R2=mg;g=GM/R2 {R:天体半径(m)，M：天体质量(kg)｝4.卫星绕行速度、角速度、周期：V=(GM/r)1/2;ω=(GM/r3)1/2;T=2π(r3/GM)1/2{M：中心天体质量｝5.第一(二、三)宇宙速度V1=(g地r地)1/2=(GM/r 地)1/2=7.9km/s;V2=11.2km/s;V3=16.7km/s6.地球同步卫星GMm/(r地+h)2=m4π2(r地+h)/T2{h≈36000km，h:距地球表面的高度，r地:地球的半径｝强调:(1)天体运动所需的向心力由万有引力提供,F向=F万; (2)应用万有引力定律可估算天体的质量密度等;(3)地球同步卫星只能运行于赤道上空，运行周期和地球自转周期相同;(4)卫星轨道半径变小时,势能变小、动能变大、速度变大、周期变小;(5)地球卫星的最大环绕速度和最小发射速度均为7.9km/s。
高中物理易错知识点1.受力分析，往往漏“力百出对物体受力分析，是物理学中最重要、最基本的知识，分析方法有“整体法与“隔离法两种。
对物体的受力分析可以说贯穿着整个高中物理始终，如力学中的重力、弹力(推、拉、提、压)与摩擦力(静摩擦力与滑动摩擦力)，电场中的电场力(库仑力)、磁场中的洛伦兹力(安培力)等。
在受力分析中，最难的是受力方向的判别，最容易错的是受力分析往往漏掉某一个力。
在受力分析过程中，特别是在“力、电、磁综合问题中，第一步就是受力分析，虽然解题思路正确，但考生往往就是因为分析漏掉一个力(甚至重力)，就少了一个力做功，从而得出的答案与正确结果大相径庭，痛失整题分数。
计算天体的质量和密度知识梳理“天上”法“地上”法原理万有引力提供向心力：22m GMmv r r ==2m r ω=224m r T π=n ma万有引力等于重力：2GMmmg R=质量M=2324GT r π=2v r G =23rG ω=2n a r G2gR M G=需要已知量 G 、r 、T(或ω、v)G 、g 、R密度3233M r V GT R πρ==特例，当r=R 时：23GT πρ=34g GR ρπ=注意：计算天体质量需“一个中心、两个基本点”： “一个中心”即只能计算出中心天体的质量;“两个基本点” 即要计算中心天体的质量，除引力常量G 外，还要已知两个独立的物理量。
例题分析【例1】下列哪一组数据不能估算出地球的质量。
引力常量G 已知( )A.月球绕地球运行的周期与月地之间的距离B.地球表面的重力加速度与地球的半径C.绕地球运行卫星的周期与线速度D.地球表面卫星的周期与地球的密度【例2】已知引力常量G ．月球中心到地球中心的距离R 和月球绕地球运行的周期T 。
仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有（ ） A ．月球的质量 B ．地球的密度C ．地球的半径D ．月球绕地球运行速度的大小【例3】（2006北京）一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行,认为行星是密度均匀的球体,要确定该行星的密度,只需要测量( )A.飞船的轨道半径B.飞船的运行速度C.飞船的运行周期D.行星的质量【例4】（2005广东）已知万有引力常量G ，地球半径R ，月球和地球之间的距离r ，同步卫星距地面的高度h ，月球绕地球的运转周期T 1，地球的自转周期T 2，地球表面的重力加速度g 。
某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M 的方法： 同步卫星绕地球作圆周运动，由得⑴请判断上面的结果是否正确，并说明理由。
如不正确，请给出正确的解法和结果。
⑵请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。
同步练习1.已知下面的哪组数据可以计算出地球的质量？引力常量G 已知（ ）A ．月球绕地球运动的周期和月球的半径B ．地球同步卫星离地面的高度C ．地球绕太阳运动的周期和地球到太阳中心的距离D ．人造卫星在地面附近的运动速度和周期2.下列哪一组数据能够估算出地球的密度。
-1-一、力学1、胡克定律：f = k x (x 为伸长量或压缩量，k 为劲度系数，只与弹簧的长度、粗细和材料有关)2、重力： G = mg (g 随高度、纬度、地质结构而变化，g 极>g 赤，g 低纬>g 高纬)3、求F 1、F 2的合力的公式：θcos 2212221F F F F F ++=合两个分力垂直时：2221F F F +=合注意：(1) 力的合成和分解都均遵从平行四边行定则。
分解时喜欢正交分解。
(2) 两个力的合力范围：⎥ F 1－F 2 ⎥ ≤ F ≤ F 1 +F 2(3) 合力大小可以大于分力、也可以小于分力、也可以等于分力。
4、物体平衡条件： F 合=0 或 F x 合=0 F y 合=0推论：三个共点力作用于物体而平衡，任意一个力与剩余二个力的合力一定等值反向。
解三个共点力平衡的方法： 合成法,分解法，正交分解法，三角形法，相似三角形法 5、摩擦力的公式：(1 ) 滑动摩擦力： f = μN （动的时候用，或时最大的静摩擦力）说明：①N 为接触面间的弹力（压力），可以大于G ；也可以等于G ；也可以小于G 。
②μ为动摩擦因数，只与接触面材料和粗糙程度有关，与接触面积大小、接触面相对运动快慢以及正压力N 无关。
(2 ) 静摩擦力： 由物体的平衡条件或牛顿第二定律求解，与正压力无关。
大小范围： 0≤ f 静≤ f m (f m 为最大静摩擦力)说明：①摩擦力可以与运动方向相同，也可以与运动方向相反。
②摩擦力可以作正功，也可以作负功，还可以不作功。
③摩擦力的方向与物体间相对运动的方向或相对运动趋势的方向相反。
④静止的物体可以受滑动摩擦力的作用，运动的物体可以受静摩擦力的作用。
6、 万有引力： 1）公式：F=G221r m m （适用条件：只适用于质点间的相互作用） G 为万有引力恒量：G = 6.67×10-11 N ·m 2 / kg 22）在天文上的应用：（M ：天体质量；R ：天体半径；g ：天体表面重力加速度；r 表示卫星或行星的轨道半径，h 表示离地面或天体表面的高度）a 、万有引力=向心力 F 万=F 向即 '422222mg ma r Tm r m r v m r Mm G =====πω 由此可得： ①天体的质量： ，注意是被围绕天体（处于圆心处）的质量。
专题26 中心天体质量密度的计算问题专题导航目录常考点中心天体质量和密度常用的估算方法 (1)考点拓展练习 (4)常考点中心天体质量和密度常用的估算方法【典例1】宇宙中两颗靠得比较近的星球，只受到彼此之间的万有引力作用绕两球心连线上某点绕转，称之为双星系统。
设某双星系统中A、B两星球绕其连线上的某固定点O做匀速圆周运动。
若A、B的质量分别为M、m，则（）A．星球A与星球B的轨道半径之比为M：mB．星球A与星球B的线速度大小之比为m：MC．星球A与星球B的周期大小之比为m：MD．若两星球间距离减小，则星球A做匀速圆周运动的周期变大【典例2】天问一号于2021年2月10日实施火星捕获，将于2021年5月择机实施降轨软着陆火星表面。
设天问一号距火星表面高度约为火星半径的n倍，其环绕周期为T，引力常量为G，则火星的密度为（）A．B．C．D．【技巧点拨】1.中心天体质量和密度常用的估算方法质使用方法已知量利用公式表达式备注2.求天体质量和密度，警惕三个常见误区（1）不考虑自转问题时，有GMmR 2＝mg ，其中g 为星球表面的重力加速度，若考虑自转问题，则在两极上才有：GMm R 2＝mg ，而赤道上则有：GMm R 2－mg ＝m 4π2T2R 。
（2）利用G Mm r 2＝m 4π2T 2r 计算天体质量时，只能计算中心天体的质量，不能计算绕行天体的质量。
（3）注意区分轨道半径r 和中心天体的半径R ，计算中心天体密度时应用ρ＝M43πR 3而不是ρ＝M43πr 3，但在表面附近绕行的卫星，可近似认为R ＝r 。
【变式演练1】（多选）如图所示，美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道。
若“卡西尼”号探测器在半径为R 的土星上空离土星表面高h 的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n 周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是（）A．M＝B．M＝C．ρ＝D．ρ＝【变式演练2】2020年7月23日，中国首个火星探测器“天问一号”在海南文昌卫星发射中心发射升空。
第23讲 应用万有引力定律估算天体质量和密度1．（2021·全国）卡文迪许用扭秤实验测定了引力常量，以实验验证了万有引力定律的正确性。
应用引力常量还可以计算出地球的质量，卡文迪许也因此被称为“能称出地球质量的人”。
已知引力常量G ＝6.67×10﹣11N •m 2/kg 2，地面上的重力加速度g ＝9.8m/s 2，地球半径R ＝6.4×106m ，则地球质量约为（ ） A ．6×1018kg B ．6×1020 kgC ．6×1022 kgD ．6×1024 kg【解答】解：根据公式GMm R 2=mg 可得M =gR 2G =9.8×(6.4×106)26.67×10−11kg ＝6×1024kg ，故ABC 错误，D 正确。
故选：D 。
2．（2021·乙卷）科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。
科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1000AU （太阳到地球的距离为1AU ）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。
这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。
若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M ，可以推测出该黑洞质量约为（ ）A ．4×104MB ．4×106MC ．4×108MD ．4×1010M【解答】解：设地球的质量为m ，地球到太阳的距离为r ＝1AU ，地球的公转周期为T ＝1年；由万有引力提供向心力可得：GMm r 2=mr4π2T 2，解得：M =4π2r 3GT 2； 对于S2受到黑洞的作用，椭圆轨迹半长轴R ＝1000AU ， 根据图中数据结合图象可以得到S2运动的半周期T′2=（2002﹣1994）年＝8年，则周期为T ′＝16年，根据开普勒第三定律结合万有引力公式可以得出：M 黑=4π2R 3GT′2，其中R 为S 2的轨迹半长轴， 因此有：M 黑=R 3T 2r 3T′2M ，代入数据解得：M黑≈4×106M ，故B 正确，ACD 错误。
第7讲 万有引力与航天模块一：天体运动的一般规律1． 分析天体运动的主要思路(1)一个模型无论是自然天体(行星，月球等)，还是人造航天器(人造卫星，空间站等)，只要研究对象的轨迹是圆形，就可将其简化为质点的匀速圆周运动． (2)两条规律①中心天体表面附近重力近似等于万有引力，即2GMmmg R=，则2gR GM =(g 表示中心天体表面附近的重力加速度．②绕中心天体的行星或卫星的运动近似看作匀速圆周运动，所受的万有引力等于其向心力，即：22222π=====Mm v G ma m mr mv m r r r T ωω⎛⎫ ⎪⎝⎭向 2．人造卫星(1)人造卫星的分类在地球上水平抛出的物体，当它的速度足够大时，物体就永远不会落到地面上，它将围绕地球旋转，变为一颗人造地球卫星，简称人造卫星． ①人造卫星按运行轨道可分为低轨道卫星、中轨道卫星、高轨道卫星，以及地球同步轨道卫星、极地轨道卫星等．②人造卫星按用途可分为科学卫星、技术试验卫星和应用卫星． (2)人造卫星的运动规律卫星运行的轨道一般为椭圆形，中学阶段我们只考虑卫星的轨道为圆形的情况，这样卫星受到的万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力．设卫星的轨道半径为r ，线速度大小为v ，角速度大小为ω，周期为T ，向心加速度为a ．知识点碎片难度天体运动的一般规律★★★☆☆ 宇宙速度 ★★★☆☆ 同步卫星与近地卫星 ★★★☆☆ 计算中心天体的质量和密度★★★☆☆线速度22Mm v Gm r r= GM v r =或1v r ∝ 轨道半径越大，环绕天体的线速度、角速度和向心加速度越小，周期越大角速度22MmG m r rω= 3GMr ω=或31r ω∝ 环绕周期 2224Mm Gm r r Tπ= 234rT GMπ=或3T r ∝ 向心加速度 2MmGma r =向 2GM a r =向或.21a r∝向. 轨道平面规律环绕天体的运行轨道中心必定是中心天体的球心例1.★★★★★如图所示，若两颗人造卫星a 和b 均绕地球做匀速圆周运动，a 、b 到地心O 的距离分别为r 1、r 2，线速度大小分别为v 1、v 2，则12v v 等于( ) A ．21r rB ．12r rC ．21r rD ．221()r r练1-1.★★★★★两颗人造地球卫星，它们质量的比m 1★m 2=1★2，它们运行的线速度的比是v 1★v 2=1★2，那么( )A ．它们运行的周期比为1★1B ．它们运行的轨道半径之比为4★1C ．它们所受向心力的比为1★2D ．它们运动的向心加速度的比为1★8练1-2.★★★★★a 、b 、c 、d 是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星．其中a 、c 的轨道相交于P ，b 、d 在同一个圆轨道上，b 、c 轨道在同一平面上．某时刻四颗卫星的运行方向及位置如图示．下列说法中正确的是( )A ．a 、c 的加速度大小相等，且大于b 的加速度B ．b 、c 的角速度大小相等，且小于a 的角速度C ．a 、c 的线速度大小相等，且小于d 的线速度D ．a 、c 存在在P 点相撞危险模块二：宇宙速度1．宇宙速度及其意义(1)第一宇宙速度人造卫星的环绕速度随着卫星轨道半径r 的增大而减小，当轨道半径取最小值R 时，人造卫星的最大环绕速度即为第一宇宙速度．第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度． ①第一宇宙速度的两种求解方法方法一：由于地球对卫星的万有引力是卫星环绕运动的向心力，即22Mm v G m R R =，则有GMv R =．式中R 取地球半径6400R =km ，地球质量34610M =⨯kg ，则有第一宇宙速度17.9v =km/s ．方法二：由于地球对卫星的万有引力约等于卫星所在处的重力，这个重力就是卫星环绕地球运动的向心力．所以2v m mg R=，则v gR ．式中R 取地球半径6400R =km ，g 为地球重力加速度9.8g =m/s 2，则有第一宇宙速度17.9v =km/s ．由第一宇宙速度的两种表达式可以看出，第一宇宙速度的值由中心星体决定，可以说任何一颗恒星都有自己的第一宇宙速度，都应以GMv R=或v gR 表示，式中G 为万有引力常量，M 为中心星体的质量，g 为中心星体表面的重力加速度，R 为中心星体的半径． ②第一宇宙速度的意义第一宇宙速度是物体围绕地球做匀速圆周运动所需要的最小发射速度，又称最小发射速度、最大环绕速度、近地环绕速度，其值为：317.910v =⨯m/s ．第一宇宙速度是人造卫星的最小地面发射速度．一个质量为m 的卫星在地面被发射入轨，设发射速度为v 0．若01v v =，则22Mm v G m R R=，即卫星入轨后恰好环绕地球做匀速圆周运动．若v 0 > v 1，则202Mm v G m R R<，即卫星所受万有引力不足以提供足够的向心力，卫星入轨后将先做离心运动，其轨迹可能是椭圆，抛物线或双曲线．若v 0 < v 1，则202Mm v G m R R>，即卫星所受万有引力大于卫星所需向心力．卫星将做靠近圆心的运动而落回地面．可见要在地面上将卫星送入轨道，需要017.9v v ≥=km/s ，即人造卫星的最小地面发射速度为17.9v =km/s ．(2)第二宇宙速度当卫星的发射速度等于或大于11.2 km/s 的时候，物体就可以挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造行星，或飞到其它行星上去，我们把v2=11.2 km/s叫做第二宇宙速度，也称为脱离速度．第二宇宙速度是挣脱地球引力束缚的最小发射速度．如果卫星的发射速度大于7.9 km/s而小于11.2 km/s，卫星将做椭圆运动．(3)第三宇宙速度当卫星的发射速度等于或大于16.7 km/s时，物体就可以摆脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间中去，我们把v3=16.7 km/s叫做第三宇宙速度，也称为逃逸速度．第三宇宙速度是挣脱太阳系而飞向太阳系以外的宇宙空间所需要的最小发射速度．2．卫星发射速度对运动状态的影响当发射速度v与宇宙速度分别有如下关系时，被发射物体的运动情况将有所不同．(1)当v＜v1时，被发射物体最终仍将落回地面；(2)当v1≤v＜v2时，被发射物体将环绕地球运动，成为地球卫星；(3)当v2≤v＜v3时，被发射物体将脱离地球束缚，成为环绕太阳运动的“人造行星”；(4)当v≥v3时，被发射物体将从太阳系中逃逸．例2.★★★★★关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是( )A．第一宇宙速度的大小为7.9 km/sB．若火箭发射卫星的速度大于第一宇宙速度，卫星将脱离地球的吸引C．人造地球卫星的环绕速度都大于第一宇宙速度D．第一宇宙速度跟地球的半径无关练2-1.★★★★★某探测卫星的轨道是圆形的，且贴近星球表面．已知月球的质量约为地球质量的181，月球的半径约为地球半径的14，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s，则该探月卫星绕月运行的速率约为( )A．0.4 km/s B．1.8 km/s C．11 km/s D．36 km/s练2-2.★★★★★2013年12月15日4时35分，嫦娥三号着陆器与巡视器(“玉兔号”月球车)成功分离，登陆月球后玉兔号月球车将开展3个月巡视勘察．一同学设计实验来测定月球的第一宇宙速度：设想通过月球车上的装置在距离月球表面h高处平抛一个物体，抛出的初速度为v，测量出水平射程L，已知月球的半径为R，月球的第一宇宙速度为( )A0v hRL B02vhRLC02v hRLD022vhRL模块三：近地卫星和同步卫星1．近地卫星近地卫星的轨道半径近似等于地球的R ，其运行的速度1=7.9km/s v ，是所有卫星的最大绕行速度，运行周期T =85 min ，是所有卫星的最小周期；向心加速度9.8==a g m/s 2，是所有卫星的最大加速度． 2．同步卫星相对地面静止，跟地球自转同步的卫星叫做地球同步卫星，也称为静止轨道卫星． ★周期一定：T =24h★角速度一定：其绕地运行的角速度等于地球自转的角速度． ★轨道一定a ．所有同步卫星的轨道必在赤道平面内b ．所有同步卫星的轨道半径都相同，即在同一轨道运动，据2224πMm G m r r T =，得24324.24104πGMT r ==⨯ km ，卫星离地面高度 5.6h r R R =-≈=43.5910⨯ km ，确定的高度为43.5910⨯ km★环绕线速度一定：在轨道半径一定的条件下，同步卫星的环绕速率也一定，且为：2 3.08GM R g v R R h===+ km/s 且环绕方向为地球自转方向★向心加速度大小一定：在轨道半径一定的条件下，同步卫星的向心加速度a ⊥的大小一定，由牛顿第二定律和万有引力定律得：()()222GMR ha R h R h ⊥==++，其向心加速度大小都约为0.23m/s 23．同步卫星、近地卫星和赤道上物体的比较如图所示，用A 代表同步卫星，B 代表近地卫星，C 代表赤道上的物体.同步卫星A 和近地卫星B 都是卫星，绕地球运行的向心力由地球对它们的万有引力提供，所以卫星的运动规律都适用；赤道上的物体C 随地球自转的向心力由万有引力的一个分力提供，所以卫星的运动规律对赤道上的物体不适用比较内容 赤道表面的物体 近地卫星同步卫星向心力来源 万有引力的分力万有引力向心力方向指向地心线速度11v r ω=2GMv R=()33GMv R h R hω=+=+ 132v v v <<(2v 为第一宇宙速度)角速度 1=ωω自 23=GMR ω ()33==GMR h ωω+自例3.★★★☆☆北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统(CNSS)，建成后的北斗卫星导航系统包括5颗同步卫星和30颗一般轨道卫星．对于其中的5颗同步卫星，下列说法中正确的是( )A ．它们运行的线速度一定不小于7.9 km/sB ．地球对它们的吸引力一定相同C ．一定位于赤道上空同一轨道上D ．它们运行的加速度一定相同 练3-1.★★★★★关于环绕地球运动的卫星，下列说法正确的是( )A ．分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期B ．沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率C ．在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同D ．沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合练3-2.★★★★★研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比( ) A ．角速度变大B ．线速度变大C ．向心加速度变大D ．距地面的高度变大例4.★★★☆☆均匀分布在地球赤道平面上空的三颗同步通信卫星能够实现除地球南北极等少数地区外的“全球通信”．已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，地球自转周期为T ，则三颗卫星中任意两颗卫星间的距离为( ) A ．3RB ．23RC ．232243πgR TD ．223234πgR T练4-1.★★★★★(多选)假设月亮和同步卫星都绕地心做匀速圆周运动，下列说法正确的是( ) A ．同步卫星的线速度大于月亮的线速度 B ．同步卫星的角速度大于月亮的角速度 C ．同步卫星的向心加速度大于月亮的向心加速度 D ．同步卫星的轨道半径大于月亮的轨道半径练4-2.★★★★★地球的同步卫星距地面高H 约为地球半径R 的6倍，同步卫星正下方有一静止在地面上的物体A ，则同步卫星与物体A 的向心加速度之比是多少？若给物体A 以适当的绕行速度，使A 成为近地卫星，则同步卫星与近地卫星的向心加速度之比是多少？模块四：计算中心天体的质量和密度1．中心天体的质量求解(1)利用重力加速度g 求解若已知地球的半径R 和地球表面的重力加速度g ，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，则有：2mMmg GR =，可以求得地球质量2gR M G =．(2)利用圆周运动求解若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T ，半径为R ，根据万有引力提供向心力，即：222πMm G mR R T ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可求得地球质量2324πR M GT =．若已知月球绕地球匀速圆周运动的半径R 和月球运动的线速度v ，由于地球对月球的万有引力提供月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律得22Mm v Gm R R =，解得地球的质量为2Rv M G=． 若已知月球运行的线速度v 和运行周期T ，由于地球对月球的万有引力提供月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律得222πMm G mR R T ⎛⎫= ⎪⎝⎭，22Mm v G m R R =，将以上两式消去R ，解得32πTv M G =．2．中心天体的密度求解通过观察绕天体做匀速圆周运动的卫星的周期T 、半径r ，由万有引力等于向心力，即21222π=m m G m r r T ⎛⎫ ⎪⎝⎭，得天体质量2324πr M GT =(1)若已知天体的半径R ，则天体的密度3233πr GT R ρ=(2)若天体的卫星环绕天体表面运动，其轨迹半径r 等于天体的半径R ，其周期为T ，则天体的密度23πGT ρ=． 例5.★★★☆☆利用万有引力定律可以测量中心天体的质量，通常有两种方法，例如：测地球质量． (1)测地球的质量的第一种方法英国物理学家卡文迪许，在实验室里巧妙地利用扭秤装置，比较精确地测量出了引力常量的数值，他把自己的实验说成是“称量地球的质量”．已知地球表面重力加速度为g ，地球半径为R ，引力常量为G ．若忽略地球自转影响，求地球的质量． (2)测地球的质量的第二种方法月球在地球引力作用下做匀速圆周运动，月球绕地球的运行周期为T ，地球与月球两球心的距离为r ，已知引力常量为G ．求地球质量．练5-1.★★★★★利用引力常量G 和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是( ) A ．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)B ．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期C ．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离D ．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离练5-2.★★★★★为研究太阳系内行星的运动，需要知道太阳的质量，已知地球半径为R ，地球质量为m ，太阳中心与地球中心间距为r ，地球表面的重力加速度为g ，地球绕太阳公转的周期为T ．则太阳的质量为( )A ．23224πr T R gB ．23224πmr T R gC ．22234πT R g mrD ．22234πR mg T r 练5-3.★★★★★ 过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的120，该中心恒星与太阳的质量比约为( ) A ．110 B ．1C ．5D ．10练5-4.★★★★★(多选)为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国发射了一颗火星探测器——“萤火一号”．假设探测器在离火星表面高度分别为h 1和h 2的圆轨道上运动时，周期分别为T 1和T 2．火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G ．仅利用以上数据，可以计算出( )A ．火星的质量B ．“萤火一号”的质量C ．火星对“萤火一号”的引力D ．火星表面的重力加速度练5-5.★★★★★假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为0g ，在赤道的大小为g ，地球自转的周期为T ，引力常量为G ．地球的密度为( )A ．0203πg g GT g (-)B ．()0203πg GT g g -3πGT D．023πgGT gC．2第7讲作业万有引力与航天 1． 有两颗人造地球卫星A 、B ，它们的轨道半径的关系是r A =2r B ，则它们做匀速圆周运动的线速度之比A B v v 等于( ) A ．12 B ．21 C 2 D 22． 我国自主研发的“北斗”卫星导航系统中含有同步卫星，关于同步卫星下列说法中正确 的是( )A ．同步卫星处于平衡状态B ．同步卫星的线速度是不变的C ．同步卫星的高度是一定的D ．线速度应大于第一宇宙速度3． 海王星的质量是地球的17倍，它的半径是地球的4倍，则绕海王星表面做圆周运动的宇宙飞船，其运行速度是地球上第一宇宙速度的( )A ．17倍B ．4倍C ．174倍D 17倍4． 己知地球半径为R ，静置于赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a ；地球同步卫星作匀速圆周运动的轨道半径为r ，向心加速度大小为a 0，引力常量为G ，以下结论正确的是( )A ．地球质量M =20a r GB ．地球质量2aR M G= C ．向心加速度之比220a r a R= D ．向心加速度之比0a r a R=5． 2016年1月11日，中国正式批复首次火星探测任务并立项，将在2020年左右发射一颗火星探测卫星．已知引力常量为G ，火星半径为R ，在距火星表面为R 处的重力加速度为g 0．求：(1)火星的质量；(2)火星的第一宇宙速度．。
计算天体的质量【本讲教育信息】一、教学内容计算天体的质量及发现未知天体二. 具体过程：知识点1 计算天体的质量卫星在天文研究中的地位（1）运动模型：行星绕太阳的运动近似为匀速圆周运动，太阳对行星的万有引力提供向心力．行星的轨道半径为r ，运行周期为T.（2）基本方程：T /2,mr r /GMm 22π=ωω=（3）太阳质量：).GT /(r 4M 232π=（4）方法推广：通过观测天体卫星的运动而测量该天体质量，是测量天体质量的重要方法之一．例1 若已知某行星的一颗卫星绕其运转的轨道半径为R ，周期为T ，万有引力常量为G ，则可求得（ ）A 、该卫星的质量B 、行星的质量C 、该卫星的平均密度D 、行星的平均密度解析：由R T 4m R Mm G 222π==，得232GT R 4M π=，其中M 表示行星的质量． 答案：B误区点拨：卫星运动的向心力由行星对它的万有引力提供，卫星运动的轨道半径和周期可以用天文的方法观测到. 用此种方法可以计算中心天体的质量，不能计算卫星的质量.知识点2 发现未知天体万有引力定律地位的确立（1）发现过程：①由最外侧天体轨道的“古怪”现象提出猜想；②根据轨道的“古怪”情况和万有引力定律计算“新”天体的可能轨道；③根据计算出的轨道预测可能出现的时刻和位置；④进行实地观察验证．（2）海王星与冥王星发现的重要意义并不仅仅在于发现了新天体，更重要的是确立了万有引力定律的地位．三、重点分析 1、万有引力定律应用图表项目 内容 说明或提示研究天体运动的应用公式 r )n 2(m r T4m r v m r m r Mm G 222222π=π==ω= 研究天体运动时，太阳系中的八大行星及其卫星的运动都可以看做匀速圆周运动，它们做匀速圆周运动的向心力就是它们受到的万有引力 测天体质量M 或天体密度①天体质量232GT r 4M π= ②天体密度把卫星的运动看成匀速圆周运动．通过测出天体的卫星的环绕周期、轨道半径，则可推算出天体的质量及天体的密度．特别是卫星在天体ρ 3233232R GT r 33/R 4GT /r 4V M π=ππ==ρ若卫星在天体表面运行，则r=R ，而有：2GT3π=ρ 表面环绕时，只要测出其环绕周期，就可以测出天体的密度 研究天体表面物体重力的应用公式 2RMm G mg = 例如对月球表面物体的“重力”：mg 月=月月2R m M G ，这里忽略了地球对月球表面物体的万有引力．其余天体上的物体的重力照此类推． ①已知r 月轨=60R 地，可求出： 23s /m 107.2g -⨯=月轨 ②已知,8.3/1R /R ,81/1M /M ==地月地月可求出：2s /m 74.1g =月 可见，地球在月球轨道处产生的重力加速度远小于月球对其表面物体产生的重力加速度．所以在月球上，地球对物体的万有引力可以忽略，而只考虑月球对物体万有引力的作用2、卫星做匀速圆周运动的各物理量随轨道半径的变化而变化的规律主体方程的等号左边是万有引力的计算式，主体方程的等号右边是向心力的计算式．（1）向心力和向心加速度：向心力是由万有引力充当的，有F=GMm/r 2．再据F=ma ，必然有：a=GM/r 2．所以有：随着卫星轨道半径的增加，做匀速圆周运动的卫星的向心力和向心加速度皆减小．（2）线速度v ：依据主体方程有：GMm/r 2=mv 2/r ，所以.r /GM v =所以有：随着轨道半径的增加，做匀速圆周运动的卫星的线速度减小．即v ∝r /1.（3）角速度ω：依据主体方程有：GMm/r 2=mr ω2，所以3r /GM =ω.所以有：随着轨道半径的增加，做匀速圆周运动的卫星的角速度减小．即ω∝.r /13（4）周期T ：依据主体方程有：222T /mr 4r /GMm π=，所以.GM /r 2T 3π=所以有：随着轨道半径的增加，做匀速圆周运动的卫星的周期增大．即T ∝.r 3由以上分析可知：在进行本类题目的计算和判断时，应特别注意：主体方程的等号左边一定要写成GMm/r 2，等号右边一定注意讨论哪个物理量，讨论哪个物理量就要用哪个物理量所表达的向心力公式，例如讨论线速度就写成mv 2/r ．另外也可以看出，卫星的线速度v 、角速度ω、周期T 、加速度a 等皆与卫星的质量无关，只由r 和M 决定．四、重点小结1、解决天体运动问题的两条思路（1）万有引力提供向心力r v m rMm G 22= （2）重力等于其所受万有引力2RMm G mg =（m 在M 的表面上） （1）万有引力提供天体运动的向心力以及重力等于万有引力是我们研究天体运动的两大依据 （2）式中的r 是轨道半径，R 是天体半径 2、关于天体的估算（1）行星质量的估算：如果行星的质量为M ，行星的半径为R ，近地卫星的质量为m ，因万有引力充当向心力，由向心力公式得：①已知近地卫星的线速度v 时，有.G Rv M ,GT R 4M ,T 4mR R GMm 2232222=π=π=则 ②已知近地卫星的角速度ω时，有.G R M ,mR R GMm 2322ω=ω=则 ③已知近地卫星的周期T 时，有.GT R 4M ,T 4mR R GMm 232222π=π=则 ④已知近地卫星的线速度v 、角速度ω时，依据①中的结论GRv M 2=和.Gv M ,R v 3ω=ω=有 由以上分析可知：如果我们知道近地卫星的轨道半径R ，线速度v ，角速度ω（或半径R 、周期T 、线速度v ，或半径R ，频率f ，线速度v ）中的任意两个物理量就可以对行星的质量进行估算了．（2）行星密度的估算：题设与（1）中的相同，如果再设行星的密度为ρ．据V M ρ=，必有3R 4M 3ρπ=，则： ①已知近地卫星的线速度v 时，有22223GR4v 3,R mv R 3Gm R 4π=ρ=ρπ则. ②已知近地卫星的角速度ω时，有.G 43,mR R3Gm R 42223πω=ρω=ρπ则 ③已知近地卫星的周期T 时，有：.GT3,,T 4mR R 3Gm R 422223π=ρπ=ρπ则 以上分析可知：如果知道行星近地卫星的周期或角速度就能对此行星的密度进行估算；知道行星的近地卫星的轨道半径和线速度也能对此行星的密度进行估算．【典型例题】例1 两个行星质量分别为m 1和m 2，绕太阳运行的轨道半径分别是r 1和r 2，求：（1）它们与太阳间的万有引力之比．（2）它们的公转周期之比．解析：（1）设太阳质量为M ，由万有引力定律得两行星与太阳间的万有引力之比为21222122221121r m r m r Mm G r Mm G F F == （2）将两行星绕太阳的运动看做匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，则有.r T 2m r Mm G 22⎪⎭⎫ ⎝⎛π= 所以，行星绕太阳运动的周期为GM r 2T 3π=，则两行星的公转周期之比为.r r T T 323121= 答案：（1）212221r m r m （2）3231r r 点拨：解决天体问题，应理解万有引力定律公式中各量的物理意义。
例2 试用万有引力定律证明：（1）对某行星的所有卫星来说，R 3/T 2是一个常量．R 为轨道半径，T 为卫星的周期．（2）若行星的密度为ρ，靠近行星表面的卫星的周期为T ，则2T ρ是一个常量．证明：根据牛顿第二定律和万有引力定律得（1）223222n 4GM T R ,R T 4m R Mm G F π=π==解得，与卫星无关． （2）3R 4M ,R T4m R Mm G F 3222n ρπ=π==，联立解得.G 3T 2π=ρ 可见与行星、卫星均无关，是一个常量．方法点拨：（1）卫星做圆周运动所需要的向心力由行星对它的万有引力来提供，向心加速度用周期和半径来表示．（2）注意近地卫星的轨道半径近似等于行星半径，结合球体的体积公式和密度的定义式即可解决问题．点拨：（1）在本章中，求天体质量有两种方法：一种是根据重力加速度求天体的质量，即G gR M ,RM G g 22==，另一种方法是根据天体的运动，即天体做圆周运动的向心力由万有引力提供，列方程2322222GTr 4M ,T 4mr mr r Mm G π=π=ω=得，用第二种方法只能求圆心处天体的质量.（2）在这类估算问题中，地面处的重力加速度、公转周期等物理量常作为常识，而不再给出，再就是忽略星球的自转带来的影响.例3 据美联社2002年10月7日报道，天文学家在太阳系的八大行星之外，又发现了一颗比地球小得多的新行星，而且还测得它绕太阳公转的周期约为288年．若把它和地球绕太阳公转的轨道都看做圆，问它与太阳间距离约是地球与太阳间距离的多少倍？（最后结果可用根式表示）解析：新行星和地球绕太阳做圆周运动，万有引力提供向心力．设太阳质量为M ，地球质量为m 0，地球绕太阳运行的公转周期为T 0，与太阳的距离为R 0，由万有引力提供向心力得2000200T 2R m R Mm G ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π= ① 对新行星（m '、T '、R '），同理可得22T 2R m R M m G ⎪⎭⎫ ⎝⎛'π''='' ② 由①②两式得3200T T R R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=' 由于1T ,288T 0=='年年，则得)288(44R R 320或=' 答案：44或32288 点拨：本题为典型的万有引力与圆周运动相结合的综合题，关键是由牛顿第二定律列出关系式。
借题发挥3：宇宙中两个相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不致因万有引力的作用吸引到一起．（1）试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量之反比．（2）设二者的质量分别为m 1和m 2，二者相距L ，试写出它们角速度的表达式．答案：（1）略 （2）321L )m m (G +=ω例4 （物理与科技）一物体在地球表面重16N ，它在以5m/s 2的加速度加速上升的火箭中的视重为9N ，则此火箭离地球表面的距离为地球半径的（g 取10m/s 2）（ ）A 、2倍B 、3倍C 、4倍D 、一半思维分析：万有引力定律在发射火箭和人造地球卫星中，也可通过计算来研究一些问题．本题是利用火箭中物体的视重来计算火箭升空的高度，注意牛顿第二定律的应用．解析：设此时火箭上升高度为h ，火箭上物体的视重大小等于物体受到的支持力F N ，物体受到的重力为g m '，g '是h 高处的重力加速度．由牛顿第二定律得：ma g m F N ='-① 其中m=G/g ，代入①式得：N 1N 510169a g G F g m N =⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=-=' 在距地面为h 处，物体的重力为1N ，物体的重力等于万有引力． 在地球表面2R Mm G mg 地= ② 在距地面h 高处2)h R (Mm G g m +='地 ③ ②式与③式相除可得：22R )h R (g m mg 地地+=', 所以：R 地+h= 地地地R 4R 116R g m mg =⋅=⋅' 所以h=3R 地，故选B 、答案：B五、知识拓展黑洞黑洞概念的提出已经有200多年了．1783年，英国人约翰·米歇尔（Job Michel ）第一个提出存在质量足够大并足够紧密的恒星——它的引力是如此强大，以致连光线都不能逃逸．几年后，法国科学家皮埃尔—西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace ）也在他的《世界系统》一书中提出了和米歇尔类似的观点，但非常有趣的是，此书的第三版和以后的版本中再也不提此事了，或许他觉得这个想法过于荒诞了．在一个多世纪以后，德国的天文学家卡尔·施瓦西（Karl Schwarzs-child ）于1916年求解出了爱因斯坦广义相对论方程的第一个严格解．这个解预示可能存在一类巨大天体，这就是60年代后人们所称的“黑洞”．第一次“看到”黑洞是在1971年，那时通过1970年12月12日美国发射的小型天文卫星“自由号”（Uhuru ），发现了一个来自天鹅座区域的很强的X 射线脉冲源，它被命名为天鹅座X —l ，这是第一个被具体确认的黑洞．从那以后，黑洞变成了天体物理学的热门课题．今天，我们对黑洞的形成过程已有了很多的了解，简单地说，黑洞是质量巨大的恒星在超新星爆发后坍缩（即自身极强烈的收缩）而成的．我们可以把黑洞想象成一个巨大的“磨碎机”，它把吸进的物质磨碎．它的中心被称为“磨碎点”，也就是所谓的“奇点”．在此“奇点”，科学定律和我们预测未来的能力都失效了．黑洞的边界被称为“视界”，这是一个有去无回的界面，只要跨过这一界面就落入了黑洞的内部．不过假设有人不幸掉进去的话，他首先看到的是被黑洞捕获的光线，而且这些光线呈螺旋状进入引力旋涡．一颗恒星在经历了平稳的青年、中年时期后，就将进入老年，最终走向死亡．这颗质量至少比太阳大10倍的恒星，在老年期会发生膨胀，变成一颗红巨星，而后发生爆炸——超新星爆发．其外层物质抛向太空，中心核则在引力的作用下发生猛烈而突然的坍缩，形成黑洞．【模拟试题】（答题时间：30分钟）1、一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要（ ）A 、测定飞船的运行周期B 、测定飞船的环绕半径C 、测定行星的体积D 、测定飞船的运动速度2、设行星绕恒星的运动轨道是圆，则其运行周期T 的平方与其运动轨道半径R 的三次方之比为常量，即k TR 23，那么k 的大小（ ） A 、只与行星质量有关B 、只与恒星质量有关C 、与行星及恒星的质量都有关D 、与恒星质量及行星的速度都有关3、宇宙飞船进入一个围绕太阳的近乎圆形的轨道运动，如果轨道半径是地球轨道半径的9倍，那么宇宙飞船绕太阳运行的周期是（ ）A 、3年B 、9年C 、27年D 、81年4、太阳由于辐射，质量在不断减少．地球由于接受太阳辐射和吸收宇宙中的尘埃，其质量在不断增加．假定地球增加的质量等于太阳减少的质量，且地球的轨道半径不变，则（ ）A 、太阳对地球的引力增大B 、太阳对地球的引力变小C 、地球运行的周期变长D 、地球运行的周期变短5、有两个行星A 、B ，在这两个行星表面附近各有一颗卫星，如果这两颗卫星运动的周期相等，则下列说法正确的是（ ）A 、A 、B 两行星表面的重力加速度之比等于它们的半径之比B 、两卫星的线速度一定相等C 、行星A 、B 的质量和半径一定相等D 、行星A 、B 的密度一定相等6、我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星．某双星由质量不等的星体S 1和S 2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C 做匀速圆周运动．由天文观察测得其运动周期为T ，S 1到C 点的距离为r 1，S 1和S 2的距离为r ，已知引力常量为G .由此可求出S 2的质量为（ ）A 、2122GT )r r (r 4-π B 、2312GT r 4π C 、232GT r 4π D 、2122GT r r 4π 7、已知某行星半径为R ，表面的重力加速度为g 0，它的表面附近一颗卫星环绕它做匀速圆周运动，（认为其轨道半径为R ）则它的环绕速度及运行周期分别为0g R 2T R g v π==及，试推导这两个结论． 8、某次实验中测得从地面射向月球的激光束，经放置在月球上的反射器反射后返回地面接收站，往返共需时间t=2.56s ，由天文观察可知，月球绕地球一周的平均时间T=27.3d ，试估算地球的质量．9、宇航员站在一星球表面上的某高处沿水平方向抛出一个小球，经过时间t 后小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L ．若抛出时的初速度增大为原来的2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L 3．已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常量G ，求该星球的质量M ．10、土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动．其中有两个岩石颗粒A 和B 与土星中心距离分别为r A =8.0×104km 和r B =1.2×105km 忽略所有岩石颗粒间的相互作用．（结果可用根式表示）（1）求岩石颗粒A 和B 的线速度之比．（2）求岩石颗粒A 和B 的周期之比．（3）土星探测器上有一物体，在地球上重为l0N ，推算出它在距土星中心3.2×105km 处受到土星的引力为0.38N 。
