第23讲 应用万有引力定律估算天体质量和密度(解析版)

重难点05 天体运动与人造航天器【知识梳理】考点一 天体质量和密度的计算1．解决天体（卫星）运动问题的基本思路（1）天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即ma r mv r T m r m rMm G ====2222)2(πω（2）在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即2R MmG mg =（g 表示天体表面的重力加速度）．（2）利用此关系可求行星表面重力加速度、轨道处重力加速度： 在行星表面重力加速度：2R Mm Gmg =，所以2R MG g = 在离地面高为h 的轨道处重力加速度：2)(h R Mm G g m +='，得2)(h R MG g +=' 2．天体质量和密度的计算（1）利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R .由于2R Mm G mg =，故天体质量GgR M 2=天体密度：GRgV M πρ43==（2）通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r .①由万有引力等于向心力，即r T m rMm G 22)2(π=，得出中心天体质量2324GT r M π=；②若已知天体半径R ，则天体的平均密度3233RGT r V M πρ== ③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度23GTV M πρ==.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度． 【重点归纳】 1.黄金代换公式（1）在研究卫星的问题中，若已知中心天体表面的重力加速度g 时，常运用GM ＝gR 2作为桥梁，可以把“地上”和“天上”联系起来．由于这种代换的作用很大，此式通常称为黄金代换公式． 2. 估算天体问题应注意三点（1）天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h ，公转周期为365天等． （2）注意黄金代换式GM ＝gR 2的应用． （3）注意密度公式23GTπρ=的理解和应用． 考点二 卫星运行参量的比较与运算 1．卫星的动力学规律由万有引力提供向心力，ma r mv r T m r m rMm G ====2222)2(πω2．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律r GM v =；3r GM =ω；GMr T 32π=；2r GM a = （1）卫星的a 、v 、ω、T 是相互联系的，如果一个量发生变化，其它量也随之发生变化；这些量与卫星的质量无关，它们由轨道半径和中心天体的质量共同决定．（2）卫星的能量与轨道半径的关系：同一颗卫星，轨道半径越大，动能越小，势能越大，机械能越大．3．极地卫星和近地卫星（1）极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖． （2）近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s. （3）两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心． 【重点归纳】1．利用万有引力定律解决卫星运动的一般思路 （1）一个模型天体（包括卫星）的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型． （2）两组公式卫星运动的向心力来源于万有引力：ma r mv r T m r m rMm G ====2222)2(πω在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即：2R MmGmg = （g 为星体表面处的重2．卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫====减小增大减小减小增大时当半径a T v r r GM a GM r T r GM r GM v ωπω2332 考点三 宇宙速度 卫星变轨问题的分析1．第一宇宙速度v 1＝7.9 km/s ，既是发射卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运行的最大环绕速度．2．第一宇宙速度的两种求法：（1）r mv r Mm G 212=，所以r GMv =1 （2）rmv mg 21=，所以gR v =1.3．第二、第三宇宙速度也都是指发射速度．4.当卫星由于某种原因速度突然改变时（开启或关闭发动机或空气阻力作用），万有引力不再等于向心力，卫星将变轨运行：（1）当卫星的速度突然增加时，r mv rMm G 22<，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由rGMv =可知其运行速度比原轨道时减小．（2）当卫星的速度突然减小时，r mv rMm G 22>，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由rGMv =可知其运行速度比原轨道时增大．卫星的发射和回收就是利用这一原理．1.处理卫星变轨问题的思路和方法（1）要增大卫星的轨道半径，必须加速；（2）当轨道半径增大时，卫星的机械能随之增大．2.卫星变轨问题的判断：（1）卫星的速度变大时，做离心运动，重新稳定时，轨道半径变大．（2）卫星的速度变小时，做近心运动，重新稳定时，轨道半径变小．（3）圆轨道与椭圆轨道相切时，切点处外面的轨道上的速度大，向心加速度相同.3.特别提醒:“三个不同”（1）两种周期——自转周期和公转周期的不同（2）两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度（3）两个半径——天体半径R和卫星轨道半径r的不同【限时检测】（建议用时：30分钟）1．（2019·新课标全国Ⅰ卷）在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。

开普勒定律、万有引力定律、天体的质量密度求解一、开普勒行星运动定律定 律内 容图示或公式开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在 的一个焦点上开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等k Ta 23,k 是一个与行星无关的常量注意：（1）行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理．（2）由开普勒第二定律可得12Δl 1r 1＝12Δl 2r 2，12v 1·Δt ·r 1＝12v 2·Δt ·r 2，解得v 1v 2＝r 2r 1，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小． （3）开普勒第三定律a 3T2＝k 中，k 值二、万有引力定律的理解1．万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F 表现为两个效果：一是重力mg ，二是提供物体随地球自转的向心力F 向．(1)在赤道上：G Mm R 2＝mg 1＋mω2R . (2)在两极上：G MmR 2＝mg 0.(3)在一般位置：万有引力G MmR2等于重力mg 与向心力F 向的矢量和．越靠近南、北两极，g 值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即GMmR 2＝mg .2．星球上空的重力加速度g ′星球上空距离星体中心r ＝R ＋h 处的重力加速度为g ′，mg ′＝GmM （R ＋h ）2，得g ′＝GM（R ＋h ）2.所以g g ′＝（R ＋h ）2R 2.3．万有引力的“两点理解”和“两个推论” (1)两点理解①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力． ①地球上的物体受到的重力只是万有引力的一个分力．(2)两个推论： ①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F 引＝0.①推论2：在匀质球体内部距离球心r 处的质点(m )受到的万有引力等于球体内半径为r 的同心球体(M ′)对其的万有引力，即F ＝G M ′m r2.三、天体质量和密度的计算类型方法已知量 利用公式 表达式 备注质量的 计 算利用运行天体r 、TG m 中m r 2＝m 4π2T 2r m 中＝4π2r 3GT 2只能得到中心天体的质量r 、vG m 中mr 2＝m v 2rm 中＝rv 2Gv 、T G m 中m r 2＝m v 2r ，G m 中mr2＝m 4π2T 2r m 中＝v 3T 2πG利用天体表面重力加速度g 、Rmg ＝Gm 中m R2m 中＝gR 2G—密 度 的 计 算利用运行天体r 、T 、RG m 中m r 2＝m 4π2T 2r m 中＝ρ·43πR 3ρ＝3πr 3GT 2R 3 当r ＝R 时，ρ＝3πGT2 利用近地卫星只需测出其运行周期利用天体表面重力加速度g 、Rmg ＝Gm 中m R 2，m 中＝ρ·43πR 3ρ＝3g4πGR—四、针对练习1、（多选）如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M 、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T 0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P 经过M 、Q 到N 的运动过程中( )A ．从P 到M 所用的时间等于T 04B ．从Q 到N 阶段，机械能逐渐变大C ．从P 到Q 阶段，速率逐渐变小D ．从M 到N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功2、中国首个火星探测器“天问一号”，已于2021年2月10日成功环绕火星运动。

2020-2021学年新教材粤教版物理必修第二册教师用书：第3章第3节万有引力定律的应用含解析第三节万有引力定律的应用学习目标：1。

[科学态度与责任]了解万有引力定律在天文学上的重要应用。

2。

［科学思维］会用万有引力定律计算天体质量，了解“称量地球质量"的基本思路. 3.[科学思维]掌握解决天体运动问题的基本思路。

一、预测未知天体1．海王星的发现英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒威耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。

1846年9月23日柏林天文台的望远镜对准他们笔下计算出来的位置，终于，一颗新的行星——海王星被发现了。

2．英国天文学家哈雷根据万有引力定律预言了哈雷彗星的“按时回归”，确立了万有引力定律的地位,显示了科学理论对实践的巨大指导作用。

二、估算天体的质量方法一:月球绕地球做匀速圆周运动的向心力是由它们之间的万有引力提供。

即错误!＝m月错误!错误!r由此可得地球质量M地＝4π2r3 GT2。

方法二:地球表面的物体受到的重力近似等于地球对物体的万有引力，有m物g＝G错误!,由此可得M地＝错误!。

1．思考判断（正确的打“√”，错误的打“×"）(1）利用万有引力等于向心力，可以求出中心天体的质量，也能求出卫星的质量。

（×)(2)利用地球半径、表面重力加速度和万有引力常量能求出地球的质量。

(√)(3)知道行星的轨道半径及运行周期，可计算出中心天体的质量。

（√）(4)海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性。

(√) 2．下列说法正确的是(）A．海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的B．天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的C．海王星是人们经过长期的太空观测而发现的D．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此人们发现了海王星D[由行星的发现历史可知，天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的；海王星不是通过观测发现，也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的,而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道，从而发现了海王星。

考点精讲一、万有引力定律及其应用1. 内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比。

2. 表达式：F ＝221rm Gm ，G 为引力常量：G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2。

3. 适用条件：（1）公式适用于质点间的相互作用，当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；（2）质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离。

二、天体质量和密度的计算1. 解决天体（卫星）运动问题的基本思路（1）天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即G 2rMm ＝ma n ＝m r v 2＝mω2r ＝m 224T r π； （2）在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G 2RMm＝mg （g 表示天体表面的重力加速度）。

2. 天体质量和密度的计算（1）利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R 。

由于G 2RMm＝mg ，故天体质量M ＝G gR 2，天体密度ρ＝334R MV M π=＝GR g π43。

（2）通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r 。

①由万有引力等于向心力，即G 2r Mm＝m 224Tπr ，得出中心天体质量M ＝2324GT r π； ②若已知天体半径R ，则天体的平均密度ρ＝334R M V M π=＝323R GT r 3π； ③若天体的卫星在天体表面附近做环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝23GTπ。

可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度。

典例精析例题1 英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G ，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人。

若已知万有引力常量G ，地球表面处的重力加速度g ，地球半径R ，地球上一个昼夜的时间T 1（地球自转周期），一年的时间T 2（地球公转周期），地球中心到月球中心的距离L 1，地球中心到太阳中心的距离L 2。

第2、3节太阳与行星间的引力__万有引力定律一、 太阳与行星间的引力二、万有引力定律 1．月—地检验1．推导太阳与行星之间的引力公式时用到的物理规律 有：开普勒行星运动定律、牛顿第二定律和牛顿第 三定律。

2．牛顿认为所有物体之间存在万有引力，太阳与行星 间的引力使得行星绕太阳运动。

3．自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在 它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2 的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比，这就是万有引力定律，其表达式为F ＝G m 1m 2r2。

4．引力常量G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2，是英国物理学家 卡文迪许利用扭秤实验测出的。

5．万有引力定律仅适用于两个质点间万有引力的计算， 对于不能看成质点的物体间仍存在万有引力，但万有 引力公式不能直接使用。

(1)目的：验证月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力是同一种力，从而将太阳与行星间的引力规律推广到宇宙中的一切物体之间。

(2)原理：计算月球绕地球运动的向心加速度a n ，将a n 与物体在地球附近下落的加速度——自由落体加速度g 比较，看是否满足a n ＝1602g 。

(3)结论：数据表明，a n 与1602g 相等，这说明地面物体受地球的引力、月球受地球的引力，以及太阳、行星间的引力，遵从相同的规律。

2．万有引力定律(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比。

(2)公式：F ＝Gm 1m 2r 2。

(3)引力常量：上式中G 叫引力常量，大小为6.67×10－11N·m 2/kg 2，它是由英国科学家卡文迪许在实验室里首先测出的，该实验同时也验证了万有引力定律。

1．自主思考——判一判(1)公式F ＝G Mm r2中G 是比例系数，与太阳行星都没关系。

3．万有引力定律的应用1．预言彗星回归1743年，克雷洛预言哈雷彗星于1759年4月份经过近日点得到了证实，1986年此彗星又一次临近地球，下一次来访将是2062年．2．预言未知星体根据已发现的天体的运行轨道结合万有引力定律推算出未知星体的轨道，如海王星、冥王星就是这样发现的．1．海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性．(√) 2．天王星是人们依据万有引力定律计算的轨道发现的．(×) 3．科学家在观测双星系统时，同样可以用万有引力定律来分析．(√) 如何通过天文观测计算月球绕地球转动时的向心加速度呢？【提示】 通过天文观测我们可以获得月球与地球之间的距离以及月球的公转周期，所以我们可以利用a n ＝4π2T 2r 计算月球绕地球运动时的向心加速度．1846年9月23日晚，德国的伽勒发现了海王星． 探讨：你知道海王星是如何发现的吗？【提示】 根据天王星的“出轨”现象，法国的勒维耶和英国的亚当斯根据万有引力定律经过计算，预言了新行星的存在，伽勒在他们预言的位置发现了这颗新行星——海王星．万有引力定律对天文学的发展起到了非常大的推动作用，根据万有引力定律可以计算天体的轨道、周期、质量和位置等，万有引力定律的发现，给天文学的研究开辟了一条新的道路．1．下列说法正确的是( )A ．海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的B ．天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的C ．海王星是人们经过长期的太空观测而发现的D ．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此人们发现了海王星【解析】 由行星的发现历史可知，天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的；海王星不是通过观测发现，也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的，而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道，从而发现了海王星．由此可知，A 、B 、C 错误，D 正确．【答案】 D2．科学家们推测，太阳系内除八大行星之外还有另一颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”．由以上信息可以确定( )A ．这颗行星的公转周期与地球相等B ．这颗行星的半径等于地球的半径C ．这颗行星的密度等于地球的密度D ．这颗行星上同样存在着生命【解析】 因只知道这颗行星的轨道半径，所以只能判断出其公转周期与地球的公转周期相等．由G Mmr 2＝m v 2r 可知，行星的质量在方程两边可以消去，因此无法知道其密度． 【答案】 A1．地球质量的计算选择地球表面的物体为研究对象，若不考虑地球自转，质量为m 的物体的重力等于地球对物体的万有引力，即mg ＝G Mm R 2，则M ＝gR 2G ，只要知道g 、R 的值，就可计算出地球的质量．2．太阳质量的计算选择某一行星为研究对象，质量为m 的行星绕太阳做匀速圆周运动，行星与太阳间的万有引力充当向心力，即G M s m r 2＝4π2mrT 2，由此可得太阳质量M s ＝4π2r 3GT 2，由此式可知只要测出行星绕太阳运动的公转周期T 和距离r 就可以计算出太阳的质量．1．地球表面的物体，重力就是物体所受的万有引力．(×) 2．绕行星匀速转动的卫星，万有引力提供向心力．(√) 3．利用地球绕太阳转动，可求地球的质量．(×)若已知月球绕地球转动的周期T 和半径r ，由此可以求出地球的质量吗？能否求出月球的质量呢？图3-3-1【提示】 能求出地球的质量．利用G Mm r 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ，求出的质量M ＝4π2r 3GT 2为中心天体的质量．做圆周运动的月球的质量m 在等式中已消掉，所以根据月球的周期T 、公转半径r ，无法计算月球的质量．1969年7月21日，美国宇航员阿姆斯特朗在月球上烙下了人类第一只脚印(如图3-3-2所示)，迈出了人类征服宇宙的一大步．图3-3-2探讨1：宇航员在月球上用弹簧秤测出质量为m 的物体重力为F .怎样利用这个条件估测月球的质量？【提示】 设月球质量为M ，半径为R ，则F ＝G Mm R 2，故M ＝FR 2Gm . 探讨2：宇航员驾驶指令舱绕月球表面飞行一周的时间为T ，怎样利用这个条件估测月球质量？【提示】 设月球质量为M ，半径为R ，由万有引力提供向心力，G MmR 2＝m 4π2T 2R ，M ＝4π2R 3GT 2.1．天体质量的计算若天体的半径为R ，则天体的密度ρ＝M43πR 3将M ＝4π2r 3GT 2代入上式得ρ＝3πr 3GT 2R 3.特别地，当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r 等于天体半径R ，则ρ＝3πGT 2.3．(多选)由下列哪一组物理量可以计算地球的质量( )【导学号：22852067】A ．月球的轨道半径和月球的公转周期B ．月球的半径和月球的自转周期C ．卫星的质量和卫星的周期D ．卫星离地面的高度、卫星的周期和地球的半径【解析】 只要知道天体的一颗卫星或行星的周期和轨道半径，利用公式G Mm r 2＝mr 4π2T 2就可以计算出中心天体的质量，故选项A 、D 正确．【答案】 AD4．若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，设其周期为T ，引力常量为G ，那么该行星的平均密度为( )【导学号：22852068】A.GT 23π B.3πGT 2 C.GT 24πD.4πGT 2【解析】 设飞船的质量为m ，它做圆周运动的半径为行星半径R ，则G MmR 2＝m (2πT )2R ，所以行星的质量为M ＝4π2R 3GT 2，行星的平均密度ρ＝M 43πR 3＝4π2R 3GT 243πR 3＝3πGT 2，B 项正确．【答案】 B5．火星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，火星与太阳间的引力提供火星运动的向心力，已知火星运行的轨道半径为r ，运行周期为T ，引力常量为G ，试写出太阳质量的表达式．【解析】 设太阳质量为M ，火星的质量为m 火星与太阳间的引力提供向心力，则有 GMm r 2＝m v 2r ， v ＝2πr T .两式联立得M ＝4π2r 3GT 2. 【答案】 4π2r3GT 21．计算天体质量的方法不仅适用于地球，也适用于其他任何星体．注意方法的拓展应用．明确计算出的是中心天体的质量．2．要注意R 、r 的区分．R 指中心天体的半径，r 指行星或卫星的轨道半径．以地球为例，若绕近地轨道运行，则有R ＝r .。

万有引力定律应用的典型题型【题型1】天体的质量与密度的估算（1）测天体的质量及密度：（万有引力全部提供向心力）由r T m r Mm G 222⎪⎭⎫ ⎝⎛=π 得2324GT r M π= 又ρπ⋅=334R M 得3233R GT r πρ= 【例1】中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。

现有一中子星，观测到它的自转周期为T =301s 。

问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解。

计算时星体可视为均匀球体。

(引力常数G =6.67⨯1011-m 3/kg.s 2)解析：设想中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时，中子星才不会瓦解。

设中子星的密度为ρ，质量为M ，半径为R ，自转角速度为ω，位于赤道处的小物块质量为m ，则有R m R GMm 22ω= T πω2= ρπ334R M =由以上各式得23GT πρ=，代入数据解得：314/1027.1m kg ⨯=ρ。

点评：在应用万有引力定律解题时，经常需要像本题一样先假设某处存在一个物体再分析求解是应用万有引力定律解题惯用的一种方法。

变式训练：数据能够估算出地球的质量的是（ ） A.月球绕地球运行的周期与月地之间的距离 B.地球表面的重力加速度与地球的半径 C.绕地球运行卫星的周期与线速度 D.地球表面卫星的周期与地球的密度解析：人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动。

月球也是地球的一颗卫星。

设地球的质量为M ，卫星的质量为m ，卫星的运行周期为T ，轨道半径为r根据万有引力定律：r T4m r Mm G 222π=……①得：232G T r 4M π=……②可见A 正确而Tr2v π=……由②③知C 正确 对地球表面的卫星，轨道半径等于地球的半径，r=R ……④ 由于3R 4M3π=ρ……⑤结合②④⑤得：G3T 2π=ρ 可见D 错误 地球表面的物体，其重力近似等于地球对物体的引力由2RMmG mg =得：G g R M 2=可见B 正确【探讨评价】根据牛顿定律，只能求出中心天体的质量，不能解决环绕天体的质量；能够根据已知条件和已知的常量，运用物理规律估算物理量，这也是高考对学生的要求。

专题09 天体质量和密度的估算一、利用黄金代换估算天体质量和密度1．地球表面重力加速度为g ，地球半径为R ，引力常量为G ，下式关于地球密度的估算式正确的是（ ） A ．34gRGρπ=B ．234gR Gρπ=C ．g RGρ=D ．2g GR ρ=【答案】A【解析】地球表面，忽略地球自转，重力等于万有引力有2Mm G mg R =得GgR M 2=地球的密度MVρ=又343V R π=联立可得34g RG ρπ=故A 正确，BCD 错误。

故选A 。

2．卡文迪许用扭秤实验测定了引力常量，以实验验证了万有引力定律的正确性。

应用引力常量还可以计算出地球的质量，卡文迪许也因此被称为“能称出地球质量的人”。

已知引力常量G = 6.67×10-11N·m 2/kg 2，地面上的重力加速度g =9.8m/s 2，地球半径R =6.4×106m ，则地球质量约为（ ） A ．6×1018kg B ．6×1020 kg C ．6×1022 kg D ．6×1024 kg【答案】D【解析】根据公式2GMm mg R =可得224610kg gR M G=≈⨯故ABC 错误D 正确。

故选D 。

3．“科学真是迷人”，天文学家已经测出月球表面的加速度g 、月球的半径R 和月球绕地球运转的周期T 等数据，根据万有引力定律就可以“称量”月球的质量了。

已知引力常数G ，用M 表示月球的质量。

关于月球质量，下列说法正确的是（ ） A ．GgR M 2=B ．2GR M g=C ．2324R M GT π=D ．2324T R M Gπ=【答案】A【解析】AB ．把质量为m 的物体在月球表面上，则物体受到的重力等于月球对它的万有引力，即2Mm mg G R =解得GgR M 2=故A 正确，B 错误；CD ．在利用月球绕地球做圆周运动的周期计算天体质量时，只能计算中心天体的质量，即计算的是地球质量而不是月球的质量，故CD 错误。

第2、3节太阳与行星间的引力__万有引力定律一、 太阳与行星间的引力二、万有引力定律 1．月—地检验(1)目的：验证月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力是同一种力，从而将太阳与行星间的引力规律推广到宇宙中的一切物体之间。

(2)原理：计算月球绕地球运动的向心加速度a n ，将a n 与物体在地球附近下落的加速度——自由落体加速度g 比较，看是否满足a n ＝1602g 。

(3)结论：数据表明，a n 与1602g 相等，这说明地面物体受地球的引力、月球受地球的引力，以及太阳、行星间的引力，遵从相同的规律。

2．万有引力定律(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比。

(2)公式：F ＝Gm 1m 2r 2。

(3)引力常量：上式中G 叫引力常量，大小为6.67×10－11N·m 2/kg 2，它是由英国科学家卡文迪许在实验室里首先测出的，该实验同时也验证了万有引力定律。

1．自主思考——判一判(1)公式F ＝G Mm r2中G 是比例系数，与太阳行星都没关系。

(√)(2)在推导太阳与行星的引力公式时，用到了牛顿第二定律和牛顿第三定律。

(√) (3)由于天体间距离很远，在研究天体间的引力时可以将它们视为质点。

(√) (4)月球绕地球做匀速圆周运动是因为月球受力平衡。

(×) (5)月球做圆周运动的向心力是由地球对它的引力产生的。

(√)(6)地球对月球的引力与地面上的物体所受的地球的引力是两种不同性质的力。

(×) 2．合作探究——议一议(1)由G ＝mg 知，地面上的物体所受重力与地球的质量无关，对吗？提示：不对，重力加速度g 与地球的质量有关。

地面上物体受到的重力近似等于地球对它的万有引力，即mg ＝G Mm R 2，可得g ＝G M R2，其中M 和R 表示地球的质量和半径。

天体表面重力加速度问题与天体质量和密度的估算一、天体表面上的重力加速度问题重力是由于物体受到地球的万有引力而产生的，严格说重力只是万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转做圆周运动的向心力，但由于向心力很小，一般情况下认为重力约等于万有引力，即mg＝GMmR2，这样重力加速度就与行星质量、半径联系在一起，高考也多次在此命题。

计算重力加速度的方法(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝GmMR2，得g＝GMR2(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝GmMR＋h2，得，g′＝GMR＋h2所以gg′＝R＋h2R2(3)其他星球上的物体，可参考地球上的情况做相应分析．【典例1】宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。

若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为()A．0 B.GMR＋h2C.GMmR＋h2D.GMh2【解析】飞船受的万有引力等于在该处所受的重力，即GMmR＋h2＝mg，得g＝GMR＋h2，选项B正确。

【答案】 B【典例2】假设有一火星探测器升空后，先在地球表面附近以线速度v环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道，最后以线速度v′在火星表面附近环绕火星飞行。

若认为地球和火星都是质量分布均匀的球体，已知火星与地球的半径之比为1∶2，密度之比为5∶7。

设火星与地球表面的重力加速度分别为g′和g。

下列结论正确的是()A．g′∶g＝1∶4 B．g′∶g＝7∶10C．v′∶v＝528D．v′∶v＝514【答案】 C【典例3】若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶7。

已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R 。

由此可知，该行星的半径约为( )A.12RB.72R C ．2R D.72R 【答案】 C【解析】 做平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动，即x ＝v 0t ，在竖直方向上做自由落体运动，即h ＝12gt 2，所以x ＝v 02hg ，两种情况下，物体抛出的速度相同，高度相同，所以g 行g 地＝74，根据公式G Mm R 2＝mg 可得g ＝GMR 2，故g 行g 地＝M 行R 行2M 地R 地2＝74，解得R 行＝2R ，故C 正确。

1. 万有引力定律及天体质量和密度的求解一、基础知识回顾1．利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R .由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2G ，天体密度ρ＝M V ＝M 43πR3＝3g 4πGR.2．通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r .(1)由万有引力等于向心力，即G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得出中心天体质量M ＝4π2r3GT 2；(2)若已知天体半径R ，则天体的平均密度ρ＝M V ＝M 43πR3＝3πr3GT 2R 3；(3)若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3πGT2.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度．二、知识网络三、典型例题例题1．理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零．现假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的实心球体，O 为球心，以O 为原点建立坐标轴Ox ，如图所示．在x 轴上各位置的重力加速度用g 表示，则下图中能描述g 随x 的变化关系图正确的是( )解析：选A.令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g ＝GM R2由于地球的质量为M ＝43πR 3·ρ，所以重力加速度的表达式可写成：g ＝4πGR ρ3.根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，固在深度为h ＝R －r 的井底，受到地球的万有引力即为半径等于r 的球体在其表面产生的万有引力，g ′＝4πGR ρ3，当r ＜R 时，g 与r 成正比，当r ＞R 后，g 与r 平方成反比．故选A.例题2．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其角速度大小为ω.假设宇航员登上该行星后，在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体的重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为F 0.已知引力常量为G ，则这颗行星的质量为( )A.F 30Gm ω B.F 30Gm ωC.F 20Gm 2ω3D.F 20Gm 2ω2 解析：选A.设行星、卫星的质量分别为M 、m 卫，行星半径为R ，对卫星有GMm 卫R 2＝m 卫ω2R ，对质量为m 的物体有F 0＝G Mm R 2，解以上两式得M ＝F 30Gm 3ω4，A 正确．例题3．据美国宇航局消息，在距离地球40光年的地方发现了三颗可能适合人类居住的类地行星，假设某天我们可以穿越空间到达某一类地行星，测量以初速度10 m/s 竖直上抛一个小球可到达的最大高度只有1 m ，而其球体半径只有地球的一半，则其平均密度和地球的平均密度之比为(g ＝10 m/s 2)( )A ．5∶2B ．2∶5C ．1∶10D ．10∶1解析：选D.根据h＝v202g 和g＝GMR2可得，M＝R2v202Gh即ρ43πR3＝R2v202Gh，行星平均密度ρ＝3v208πGRh∝1Rh .在地球表面以初速度10 m/s竖直上抛一个小球可到达的最大高度h地＝v202g地＝5 m．据此可得，该类地行星和地球的平均密度之比为10∶1，选项D正确．。

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6.3 万有引力定律※知识点一、月一地检验1．检验目的维持月球绕地球运动的力与地球上苹果下落的力是否为同一性质的力。

2．检验方法由于月球轨道半径约为地球半径的60倍.则月球轨道上物体受到的引力是地球上的2160倍。

根据牛顿第二定律，物体在月球轨道上运动时的加速度（月球公转的向心加速度)应该是它在地球表面附近下落时的加速度（自由落体加速度）的2160倍。

计算对比两个加速度就可以分析验证两个力是否为同一性质的力.3．结论加速度关系也满足“平方反比”规律。

证明两种力为同种性质的力。

※知识点二、万有引力定律1．定律内容自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比,跟它们的距离的二次方成反比。

2．表达式F ＝122m mG r 式中，质量的单位用kg,距离的单位用m,力的单位用N,G 称为引力常量。

3．意义万有引力定律清楚地向人们揭示，复杂运动的后面隐藏着简洁的科学规律;它明确地向人们宣告，天上和地下都遵循着完全相同的科学法则，人类认识自然界有了质的飞跃.★对万有引力定律的理解1．万有引力公式的适用条件(1)F ＝错误!只适用于质点间的相互作用，但当两物体间的距离远大于物体本身的线度时,物体可视为质点，公式也近似成立。