河南省原阳县实验高中2014-2015学年高二第三次月考数学(理)试题(重点班) Word版含答案

河南高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下面是关于复数的四个命题，其中真命题为（）:,的共轭复数为的虚部为A．B．C．D．2.已知命题：，命题，若命题是真命题，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．3.若上是减函数，则的取值范围是（）A．B．C．D．4.在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是（）A．B．C．D．5.椭圆与直线交于两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为（）A．B．C．D．6.抛物线与直线交于两点，其中点的坐标是，设抛物线的焦点为，则等于（）A．B．C．D．7.若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是() A．[1，＋∞)B．[1，)C．[1,2)D．[，2)8.已知是函数图象上的点，则点到直线的最小距离为（）A．B．C．D．9.已知点为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为（）A．6B．C．D．10.点在双曲线上，、是双曲线的两个焦点，，且的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）A．2B．3C．4D．511.已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A．1B．C．2D．312.设函数是定义在R上的函数，其中的导函数为，满足对于恒成立，则（）A．B．C．D．二、填空题1.计算： .2.已知函数在区间内既有极大值，又有极小值,则实数的取值范围是 .3.从抛物线上一点引其准线的垂线，垂足为，设抛物线的焦点为，且，则的面积为 .4.已知正三棱锥的外接球的半径为,且满足,则正三棱锥的体积为 .三、解答题1.已知函数.（I）求曲线在点处的切线方程；（II）当时，求函数的单调区间.2.已知梯形中，∥，，，、分别是、上的点，∥，，是的中点．沿将梯形翻折，使平面⊥平面（如图）.（I）当时，求证：；（II）若以、、、为顶点的三棱锥的体积记为，求的最大值；（III）当取得最大值时，求二面角的余弦值．3.已知焦点在轴上的双曲线的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知的一个焦点与A关于直线对称．（1）求双曲线的方程；（2）设直线与双曲线的左支交于，两点，另一直线经过及的中点，求直线在轴上的截距的取值范围．4.在四棱锥中,⊥平面，，,,,是的中点. (Ⅰ)证明:⊥平面；(Ⅱ)若直线与平面所成的角和与平面所成的角相等,求四棱锥的体积.5.如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左右焦点分别为,线段的中点分别为,且△是面积为4的直角三角形.(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程；(Ⅱ)过做直线交椭圆于P,Q两点,使,求直线的方程.6.已知函数图像上点处的切线方程与直线平行（其中），（I）求函数的解析式；（II）求函数上的最小值；（III）对一切恒成立，求实数的取值范围.河南高二高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.下面是关于复数的四个命题，其中真命题为（）:,的共轭复数为的虚部为A．B．C．D．【答案】B【解析】,因为z的虚部为1,所以真命题有2.已知命题：，命题，若命题是真命题，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】p真：;所以真：,q真：.因为命题是真命题，,所以,所以3.若上是减函数，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意知在上恒成立，即在上恒成立,所以,因为,所以4.在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】取BC的中点M，连接DM，AM，则，所以就是与平面所成角,5.椭圆与直线交于两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设,AB的中点，代入椭圆方程作差整理后得6.抛物线与直线交于两点，其中点的坐标是，设抛物线的焦点为，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由抛物线和直线过点A，可知,所以抛物线方程为,直线方程为所以F（1，0），抛物线的准线方程为,设,则由消y得所以.7.若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是()A．[1，＋∞)B．[1，)C．[1,2)D．[，2)【答案】B【解析】由题意知在(k-1,k+1)内有实数根，因为的根为,所以8.已知是函数图象上的点，则点到直线的最小距离为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，当过点P的切线与直线平行时点P到此直线的距离最短，因而所以点,由点到直线的距离公式可知.9.已知点为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为（）A．6B．C．D．【答案】C【解析】因为|AF|=4，所以,由于抛物线的对称性，不妨令A(-2,4),则O关于准线x=2的对称点坐标为M(4,0),由题意知,当A、P、M三点共线时，取得最小值，最小值为|AM|=.10.点在双曲线上，、是双曲线的两个焦点，，且的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）A．2B．3C．4D．5【解析】设不妨设m<n,则成等差数列，所以,所以n=4c-2a,m=4c-4a,所以,所以,所以e=1(舍),因为△F 1PF 2的三条边长成等差数列，不妨设|PF 2|，|PF 1|，|F1F 2|成等差数列，分别设为m-d ，m ，m+d ，则由双曲线定义和勾股定理可知：m-（m-d ）=2a ，m+d=2c ，（m-d ）2+m 2=（m+d ）2，解得m=4d=8a ，，故离心率11.已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ） A ．1B ．C ．2D ．3【答案】C【解析】设底面边长为a,高为h,则,由,所以当h=2时，该棱锥的体积最大12.设函数是定义在R 上的函数，其中的导函数为，满足对于恒成立，则（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C 【解析】函数的导数为,故函数是定义在R 上的减函数，∴F （2）＜F （0），即,,同理可得f （2012）＜e 2012f （0）．故选C ．二、填空题1.计算： .【答案】 【解析】,令 ，所以,因为,所以应填2.已知函数在区间内既有极大值，又有极小值,则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意知在R 上有两个不同实数根，因而3.从抛物线上一点引其准线的垂线，垂足为，设抛物线的焦点为，且，则的面积【答案】10【解析】由抛物线的定义可知|PF|+|PM|=5,并且点P到准线的距离4.已知正三棱锥的外接球的半径为,且满足,则正三棱锥的体积为 .【答案】【解析】因为,所以点O为正三角形ABC的中心，所以此棱锥的高为1,设底面边长为a,则三、解答题1.已知函数.（I）求曲线在点处的切线方程；（II）当时，求函数的单调区间.【答案】（I）所以切线方程为（II）当时，当时，【解析】(I)先求即点A处切线的斜率，然后写出点斜式方程，再化成一般式即可.（II）当a<0时，由，可得，所以，然后再通过比较x1与x2的大小，讨论求出f(x)的单调区间2.已知梯形中，∥，，，、分别是、上的点，∥，，是的中点．沿将梯形翻折，使平面⊥平面（如图）.（I）当时，求证：；（II）若以、、、为顶点的三棱锥的体积记为，求的最大值；（III）当取得最大值时，求二面角的余弦值．【答案】（1）略（2）时有最大值为．（3）所求二面角D-BF-C的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为－．【解析】(1)作DH⊥EF于H，连BH，GH，由平面平面知：DH⊥平面EBCF，而EG平面EBCF，故EG⊥DH．然后再证明,从而可证得.(2) ∵AD∥面BFC，可把转化为从而可得,因而最值可求.(3)宜采用向量法求解，要先求出二面角二个面的法向量，然后利用法向量的夹角与二面角相等或互补求二面角的大小.3.已知焦点在轴上的双曲线的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知的一个焦点与A关于直线对称．（1）求双曲线的方程；（2）设直线与双曲线的左支交于，两点，另一直线经过及的中点，求直线在轴上的截距的取值范围．【答案】（1）双曲线C的方程为:.（2）【解析】(1)设双曲线C的渐近线方程为,根据渐近线与圆相切，可得,求出k值，得到渐近线方程，可得a,b的一个等式关系，然后再利用焦点坐标可得c的值，得到另一个a,b的关系式，从而求出a,b的值.双曲线C的方程确定.(2) 由得．∵直线与双曲线左支交于两点，应满足，解得,然后求出AB中点的坐标，从而得到直线l的方程为：．令x=0可得b关于m的函数，从函数的角度研究b的取值范围4.在四棱锥中,⊥平面，，,,,是的中点. (Ⅰ)证明:⊥平面；(Ⅱ)若直线与平面所成的角和与平面所成的角相等,求四棱锥的体积.【答案】(Ⅰ)略(Ⅱ)四棱锥的体积为【解析】(I)显然，再证明即可.（2）先找出这两个线面角是解决本题的关键.过点B作由(Ⅰ)CD⊥平面PAE知,BG⊥平面PAE.于是为直线PB与平面PAE所成的角, 由知,为直线与平面所成的角.从而可得余下问题容易解决5.如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左右焦点分别为,线段的中点分别为,且△是面积为4的直角三角形.(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程；(Ⅱ)过做直线交椭圆于P,Q两点,使,求直线的方程.【答案】（I）所求椭圆的标准方程为:(2)满足条件的直线有两条,其方程分别为:和【解析】(I)设所求椭圆的标准方程为，因是直角三角形,又,故为直角,因此,得.又因为,消去b可得a,c的一个等式关系，从而可求出离心率，再利用,求出b，进而可得到a的值，椭圆方程确定.(II) 由(1)知,由题意知直线的倾斜角不为0,故可设直线的方程为:,代入椭圆方程得,因为,所以=0然后借助韦达定理代入上式可得关于m的方程求出m值，得到直线l的方程6.已知函数图像上点处的切线方程与直线平行（其中），（I）求函数的解析式；（II）求函数上的最小值；（III）对一切恒成立，求实数的取值范围.【答案】（I）（II）（III）实数的取值范围为【解析】(I)由点处的切线方程与直线平行可得,再根据,所以a=1,从而可得f(x)=xlnx.(II)求导，利用导数研究其单调区间，然后再根据n的值进行充分讨论求出其最小值.（III）由题意知对一切恒成立，又即然后再构造函数利用导数求其最大值即可。

俯视图2014~2015学年下学期实验高中第三次月考 数学（理科）试题 2015年5月注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第22-24题为选考题，其他题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

2．本试卷满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．1．已知集合{|02}A x R x =∈<≤，集合{|(1)(2)0}B x R x x =∈-+>，则B A C R )(= A ．∅ B ．(2,)+∞ C ．(2,0)- D ．(2,0]- 2．若复数ibi++21是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b = A.2- B. 12- C.12D. 23．下列说法中正确的是A ．命题“若0>>b a ，则ba 11<”的逆命题是真命题B ．命题:p x R ∀∈，20x>,则0:p x R ⌝∃∈，020x < C ．“11>>b a ，”是“1>ab ”成立的充分条件D ．“b a >”是“22b a >”成立的充分不必要条件4.已知某几何体的三视图如图所示，三个视图都为直角三角形，其中正视图是以2为直角边的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为 A ．π16 B ．π9 C ．π8D ．π45．如图所示的程序框图输出的结果是14S =，则判断框内应填的条件是A ．7?i ≥ B ．15?i > C ． 15?i ≥ D ．31?i > 6．已知函数()sin()f x x ωϕ=+的单调增区间为[,12k ππ-5]12k ππ+（k Z ∈），则函数()f x 在区间[0,]2π的取值范围是A ．[1]B ．1[,2-C ．[D ．1[,1]2-7.已知点M(-6,5)在双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上,双曲线C 的焦距为12,则它的渐近线绝密★启用前y 方程为 A.y =B. y =C.23y x =±D. 32y x =±8.设函数()(2)nf x x a =+,其中20'(0)6cos ,12(0)f n xdx f π==-⎰,则()f x 的展开式中x 4的系数为 A.-240 B.240 C.-60 D.609. 某数学教师一个上午有3个班级课，每班一节。

河南高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设，则是的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件．2.下列四个命题中的真命题为（）A．B．C．D．3.下列是真命题的是（）A．B．C．D．4.设集合那么“”是“”的（）5.对任意实数，，，在下列命题中，真命题是（）A．是的必要条件B．是的必要条件C．是的充分条件D．是的充分条件6.设a，b，c都是实数．已知命题若，则；命题若，则．则下列命题中为真命题的是（）A．B．C．D．7.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为，一个焦点的坐标是（3，0），则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．8.与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是（）9.、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且∠，则Δ的面积为（）A．B．C．D．10.若方程表示焦点在轴上的双曲线，则满足的条件是（）A．且B．且C．且D．且11.双曲线的渐近线方程是（）12.双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m=（）A．1B．2C．3D．4二、填空题1.命题“任意，都有”的否定是_____ ________．2.命题P：“内接于圆的四边形对角互补”，则P的否命题是，非P是。

3.设椭圆的右焦点为，离心率为，则此椭圆的方程为_____________．4.P为双曲线上的点，、为其两个焦点，且△的面积为，则∠=三、解答题1.（本小题满分12分）已知命题，命题，若是真命题，是假命题，求实数的取值范围。

2.（本小题满分10分）写出“若，则”的逆命题、否命题、逆否命题，并判其真假.3.（12分）在中，已知，，．(Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．4.（12分）求一条渐近线方程是，一个焦点是的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．．5.（12分）已知椭圆，过左焦点F倾斜角为的1直线交椭圆于两点。

求：弦AB的长。

2014-2015学年河南省新乡市原阳高中高二（上）第三次月考数学试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.若不等式ax2+8ax+21＜0的解集是{x|1＜x＜7}，那么a的值是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】解：∵不等式ax2+8ax+21＜0的解集是{x|1＜x＜7}，∴方程ax2+8ax+21=0的实数根是x=1，或x=7，有根与系数的关系得，=1×7；解得a=3．故选：C．根据一元二次不等式与所对应的方程之间的关系，结合根与系数的关系，求出a的值．本题考查了一元二次不等式与所对应的方程之间的关系，也考查了根与系数的关系的应用问题，是基础题．2.在△ABC中，已知a=4，b=6，B=60°，则sin A的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：∵a=4，b=6，B=60°，∴由正弦定理=得：sin A===．故选A由B的度数求出sin B的值，再由a与b的值，利用正弦定理即可求出sin A的值．本题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．3.已知x，y为正实数，且x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是（）A.RB.（0，4]C.（-∞，0]∪[4，+∞）D.[4，+∞）【答案】D【解析】解：由等差数列的性质知a1+a2=x+y，由等比数列的性质知b1b2=xy，∴===2+≥2+=4．当且仅当x=y时取等号．故选：D．先利用条件得到a1+a2=x+y和b1b2=xy，再对所求都转化为用x，y表示后，在用基本不等式可得结论．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查归化与转化思想，是中档题．4.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：抛物线可化为x2=my，当m＞0时，抛物线开口向上，且2p=m故准线方程为y==-；当m＜0时，抛物线开口向下，且2p=-m故准线方程为y==-．综上可得原抛物线的准线方程为：y=-故选A抛物线可化为x2=my，针对m的正负分类讨论分别可得准线方程，综合可得．本题考查抛物线的简单性质，涉及抛物线的准线方程和分类讨论的思想，属中档题．5.“双曲线的方程为-=1”是“双曲线的渐近线方程为y=±x”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：“双曲线的方程为-=1”⇒“双曲线的渐近线方程为y=±x”，反之不成立：例如：“双曲线的方程为”⇒“双曲线的渐近线方程为y=±x”．∴“双曲线的方程为-=1”是“双曲线的渐近线方程为y=±x”充分不必要条件．故选：A．利用双曲线的标准方程与渐近线的关系即可得出．本题考查了双曲线的性质、充要条件的判定，属于基础题．6.已知双曲线的方程为（a＞0，b＞0），双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：双曲线的一个焦点为（c，0），一条渐近线方程为，即bx-ay=0，所以焦点到渐近线的方程为，整理得，所以有，，即，离心率，故选B．确定双曲线的焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，及双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为，建立方程，即可求得双曲线的离心率．本题考查双曲线的几何性质，考查点到直线距离公式，属于中档题．7.抛物线y2=-12x的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】解：∵抛物线方程为y2=-12x，∴抛物线的焦点为F（-3，0），准线为x=3．又∵双曲线中，a=3且b=，∴双曲线的渐近线方程为y=，即．∵直线x=3与直线相交于点M（3，），N（3，-），∴三条直线围成的三角形为△MON，以MN为底边、O到MN的距离为高，可得其面积为S=×|MN|×3=×[-（-）]×3=3．故选：A根据抛物线的方程算出其准线方程为x=3，由双曲线的方程算出渐近线方程为，从而得到它们的交点M、N的坐标，再利用三角形的面积公式算出△OMN 的面积，可得答案．本题给出抛物线的准线与双曲线的两条渐近线围成的三角形，求三角形的面积．着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．8.已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2-=1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则（）A.a2= B.a2=3 C.b2= D.b2=2【答案】C【解析】解：由题意，C2的焦点为（±，0），一条渐近线方程为y=2x，根据对称性易知AB为圆的直径且AB=2a∴C1的半焦距c=，于是得a2-b2=5①设C1与y=2x在第一象限的交点的坐标为（x，2x），代入C1的方程得：②，由对称性知直线y=2x被C1截得的弦长=2x，由题得：2x=，所以③由②③得a2=11b2④由①④得a2=5.5，b2=0.5故选C先由双曲线方程确定一条渐近线方程为y=2x，根据对称性易知AB为圆的直径且AB=2a，利用椭圆与双曲线有公共的焦点，得方程a2-b2=5；设C1与y=2x在第一象限的交点的坐标为（x，2x），代入C1的方程得：；对称性知直线y=2x被C1截得的弦长=2x，根据C1恰好将线段AB三等分得：2x=，从而可解出a2，b2的值，故可得结论．本题以椭圆，双曲线为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题思路清晰，但计算有点烦琐，需要小心谨慎．9.已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为（）A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【答案】C【解析】解：设椭圆G的方程为+=1（a＞b＞0），∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，∴根据椭圆的定义得2a=12，可得a=6．又∵椭圆的离心率为，∴e==，即=，解之得b2=9，由此可得椭圆G的方程为=1．故选：C设椭圆G的方程为+=1（a＞b＞0），根据椭圆的定义得2a=12，算出a=6．再由离心率的公式建立关于a、b的等式，化简为关于b的方程解出b2=9，即可得出椭圆G的方程．本题给出椭圆G满足的条件，求椭圆G的标准方程．着重考查了椭圆的定义与标准方程、简单几何性质等知识，属于基础题．10.设F1、F2分别为双曲线＞，＞的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A.3x±4y=0B.3x±5y=0C.4x±3y=0D.5x±4y=0【答案】C【解析】解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|=2=4b根据双曲定义可知4b-2c=2a，整理得c=2b-a，代入c2=a2+b2整理得3b2-4ab=0，求得=∴双曲线渐近线方程为y=±x，即4x±3y=0故选C利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C，本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题11.如图，过双曲线的左焦点F引圆x2+y2=16的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|-|MT|=（）A.1B.C.D.2【答案】A【解析】解：设F'是双曲线的右焦点，连接PF'．∵M、O分别为FP、FF'的中点，∴|MO|=|PF'|．|FT|==5，由双曲线定义得，|PF|-|PF'|=8，故|MO|-|MT|=|PF'|-|MF|+|FT|=（|PF'|-|PF|）+|FT|=-4+5=1．故选A．根据三角形的中位线性质，双曲线的定义，及圆的切线性质，即可得到结论．本题考查圆与双曲线的综合，解题的关键是正确运用双曲线的定义，三角形的中位线性质．12.已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则的值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】解：如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：；∴|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1-a2，设|F1F2|=2c，∠，则：在△PF1F2中由余弦定理得，；∴化简得：，该式可变成：；∴．故选D．先设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长a2，焦距2c．因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找a1，a2，c之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，并且，∠，在△F1PF2中根据余弦定理可得到：，所以．考查椭圆及双曲线的交点，及椭圆与双曲线的定义，以及它们离心率的定义，余弦定理．二、填空题(本大题共10小题，共90.0分)13.已知3是9m与3n的等比中项，且m，n均为正数，则+的最小值为______ ．【答案】【解析】解：∵3是9m与3n的等比中项，∴9m•3n=（3）2，即32m+n=33，即2m+n=3，∴+=（+）（2m+n）=（3+）≥，当且仅当n=m时取等号∴+的最小值为．故答案为：．先根据等比中项的定义求出m与n的等量关系即2m+n=3，再利用“1”的代换，展开后利用基本不等式可求最小值．本题主要考查了等比数列的性质，以及利用基本不等式求解最值，解题的关键是要对所求的式子进行配凑成符合基本不等式的条件即是进行了1的代换，属于中档题．14.已知O为坐标原点，点M的坐标为（1，-1），点N（x，y）的坐标x，y满足，则•＜0的概率为______ ．【答案】【解析】解：N（x，y）的坐标x，y满足不等式组，表示的可行域如图：由于A（0，1），B（1，1），C（3，0），则可行域的面积为：S△ABC=由向量的数量积的几何意义可知，z=•=（1，-1）•（x，y）=x-y，则•＜0即x-y＜0，如图中阴影部分所示，由于D（，），则阴影部分的面积为S△ABD=则•＜0的概率P为．故答案为：．先根据约束条件画出可行域得到其面积，再利用向量的数量积表示出z=•，得到z＜0时的区域，进而得到•＜0的区域面积，即可求得概率．本题主要考查了简单线性规划的应用、向量的数量积以及几何概型等知识，属于中档题．15.与双曲线-=1有共同渐近线，且过点（2，2）的双曲线方程是______ ．【答案】【解析】解：设与双曲线-=1有共同的渐近线的双曲线的方程为-=λ，∵该双曲线经过点（2，2），∴=λ．∴λ=-∴所求的双曲线方程为：，故答案为：依题意，设双曲线的方程为-=λ，将点（2，2）的坐标代入可求λ．本题考查双曲线的简单性质，设出所求双曲线的方程为-=λ是关键，属于中档题．16.在下列命题中：（1）x＞3且y＞6是x+y＞9的充要条件；（2）命题“若x∈A∪B，则x∈A”的逆命题与逆否命题；（3）命题“若x＜-3，则|x-1|＞3”的否命题与逆否命题；（4）∀x∈R，∃y∈R，使x+y=0．是真命题的序号为：______ ．【答案】（4）【解析】解：（1）x＞3且y＞6是x+y＞9的充分但不必要条件，因此不正确；（2）命题“若x∈A∪B，则x∈A”的逆命题为“若x∈A，则x∈A∪B”正确，逆否命题为“若x∉A，则x∉A∪B”，不正确；（3）命题“若x＜-3，则|x-1|＞3”的否命题为“若x≥-3，则|x-1|≤3”不正确，其逆否命题为“若|x-1|≤3，则x≥-3”，正确；（4）∀x∈R，∃y∈R，使x+y=0，正确．综上可知：只有（4）正确．故答案为：（4）．（1）x＞3且y＞6⇒x+y＞9，反之不成立；（2）原命题的逆命题为“若x∈A，则x∈A∪B”，逆否命题为“若x∉A，则x∉A∪B”，判断出即可；（3）命题“若x＜-3，则|x-1|＞3”的否命题为“若x≥-3，则|x-1|≤3”，其逆否命题为“若|x-1|≤3，则x≥-3”，再判断出即可；（4）利用互为相反数的意义即可判断出．本题考查了简易逻辑的有关知识，属于基础题．17.已知a＞0，设命题p：函数y=a x在R上单调递增；命题q：不等式ax2-ax+1＞0对∀x∈R恒成立，若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．【答案】解：若p真，则a＞1；若q真，则△=a2-4a＜0，解得0＜a＜4；∵p且q为假，p或q为真，∴命题p，q一真一假；∴当p真q假时，，∴a≥4；当p假q真时，，∴0＜a≤1；综上，a的取值范围是（0，1]∪[4，+∞）．【解析】通过指数函数的单调性，一元二次不等式的解为R时判别式△的取值求出命题p，q下a的取值范围，而根据p且q为假，p或q为真知道p真q假，或p假q真，分别求出这两种情况下a的取值范围再求并集即可．考查指数函数的单调性，一元二次不等式的解的情况和判别式△取值的关系，以及p且q，p或q的真假和p，q真假的关系．18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=，cos A=，b=．（1）求sin C的值；（2）求△ABC的面积．【答案】解：（1）∵A、B、C为△ABC的内角，且B=，cos A=，∴C=-A，sin A=，∴sin C=sin（-A）=cos A+sin A=；（2）由（1）知sin A=，sin C=，又∵B=，b=，∴在△ABC中，由正弦定理，得a==，∴S△ABC=absin C=×××=．【解析】（1）由B的度数，用A表示出C，由cos A的值求出sin A的值，将表示出的C代入sin C 中，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把cos A与sin A的值代入计算即可求出值；（2）由sin A，sin B，以及b的值，利用正弦定理求出a的值，再利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．此题考查了正弦定理，三角形面积公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．19.已知数列{a n}前项n和s n=n2+4n（n∈N*），数列{b n}为等比数列，首项b1=2，公比为q（q＞0），且满足b2，b3+4q，b4成等差数列．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n=，记数列{c n}的前n项和为T n，求T n．【答案】解（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=5．当n≥2时，a n=S n-S n-1=2n+3验证n=1时也成立．∴数的通项公式为：a n=2n+3，∵b2，b3+4q，b4成等差数列，b1=2．所以2（b3+4q）=b2+b4，即q2-2q-3=0，因为q＞0，∴q=3．∴∴数的通项公式为：b=2•3n-1．（Ⅱ）∵∴T n=c1+c2+…+c n=1•31+2•32+…+n•3n①②①-②得：【解析】（1）利用已知条件和等量关系求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步求出数列的通项公式，利用乘公比错位相减法求数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，利用乘公比错位相减法求数列的和．属于基础题型．20.已知动点P到点F（2，0）的距离与到直线l：x=的距离之比为2．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）直线l的方程为x+y-2=0，l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长．【答案】解：（1）设点P的坐标为（x，y），则由题意得，…（2分）化简得，即为点P的轨迹C的方程．…（6分）（2）将y=-x+2代入中，并化简得：2x2+4x-7=0，…（8分）A，B两点的坐标分别为：（x1，y1），（x2，y2），由韦达定理可得x1+x2=-2，，所以|AB|=．…（12分）【解析】（1）设出P的坐标，利用已知条件得到方程化简求解即可求点P的轨迹C的方程；（2）直线l的方程为x+y-2=0，l与曲线C联立方程组，利用韦达定理以及弦长公式，即可求线段AB的长．本题考查轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的位置关系的应用，考查计算能力以及转化思想的应用．21.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M，且被M点平分的弦所在直线的方程．（3）“设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．【答案】解：（1）因为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，所以，又由短轴一个端点到右焦点的距离为，则a=．所以c=，b2=a2-c2=3-2=1，所以b2=a2-c2=1所以椭圆C的标准方程是；（2）解：设这条弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），斜率为k，则，两式相减再变形得，即，又弦中点为M，，故k=-，故这条弦所在的直线方程y-=-（x-），整理得2x+6y-4=0；（3）解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．①当AB⊥x轴时，∵坐标原点O到直线l的距离为，∴可取A（，y1），代入椭圆得，解得．∴|AB|=．②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，由坐标原点O到直线l的距离为可得，即．把y=kx+m代入椭圆方程，消去y得到（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0，∴，．∴===．当k≠0时，，当且仅当时取等号，此时|AB|=2．当k=0时，|AB|=．综上可知：|AB|max=2．△OAB的面积最大值为=．【解析】（1）设椭圆C的方程，利用短轴一个端点到右焦点的距离为，离心率为，可求椭圆C的标准方程；（2）设这条弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），斜率为k，由点差法即可得到，再由弦中点为M，，求出k，由此能求出这条弦所在的直线方程；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）．分①当AB⊥x轴时与AB与x轴不垂直时求出|AB|．②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，由坐标原点O到直线l的距离为，可得到．同时与椭圆方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式即可得出|AB|．本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，弦的中点问题，三角形面积的计算，基本不等式的运用，属于中档题．22.如图，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，|AB|=，|CD|=2-，AC⊥BD，M为CD的中点．（1）求点M的轨迹方程；（2）过M作AB的垂线，垂足为N，若存在正常数λ0，使，且P点到A、B的距离和为定值，求点P的轨迹E的方程；（3）过，的直线与轨迹E交于P、Q两点，求△OPQ面积的最大值．【答案】解：（1）设点M的坐标为M（x，y）（x≠0），则，，，．又，，，．由AC⊥BD，有，即（x，y-1）•（x，y+1）=0，∴x2+y2=1（x≠0）；（2）设P（x，y），则M（（1+λ0）x，y），代入M的轨迹方程有．即，∴P的轨迹为椭圆（除去长轴的两个端点）．要P到A、B的距离之和为定值，则以A、B为焦点，故．∴λ0=2．从而所求P的轨迹方程为9x2+y2=1（x≠0）；（3）由题意知l的斜率存在，设方程为．联立9x2+y2=1，有．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，．∴．令t=k2+9，则，且t≥9．∴，∵t≥9，∴＜．∴当，即t=9，也即k=0时，△OPQ面积取最大值，最大值为．【解析】（1）由题意设出M的坐标，得到C，D的坐标，由列式得到M的轨迹方程；（2）设出P的坐标，得到M的坐标，把M的坐标代入（1）中的轨迹方程即可求得P 的轨迹；（3）设出直线l的方程，和椭圆方程联立，利用根与系数的关系求得P，Q两点横坐标差的绝对值，代入三角形的面积后换元，然后利用配方法求得最值．本题考查了利用向量法求曲线的轨迹方程，考查了椭圆的定义，训练了直线与圆锥曲线间的关系，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常用直线与圆锥曲线联立，利用根与系数的关系解题，考查了学生的计算能力，是压轴题．。