河南省郑州市河南实验中学2021-2022学年高考考前提分数学仿真卷含解析

郑州四中2021-2022学年下期高二年级期末模拟考试理科数学命题人 审题人一､单选题（共60分）1.已知复数i z =，则复数1iz-的模是（ ）A.2 D.32.已知函数()f x 满足()()()221202x f x f e f x x -=-+'，则()f x 的单调递减区间为（ ） A.(),0∞- B.()1,∞+ C.(),1∞- D.()0,∞+3.已知随机变量ξ的分布列如下表，()D ξ表示ξ的方差，则()32D ξ+=（ ）A.2 B.2 C.2 D.1324.5位大学生在若假期间主动参加,,A B C 三个社区的志愿者服务，且每个社区至少有1人参加，则不同的安排方法共有（ ）A.30种B.90种C.120种D.150种5.已知实数,x y 满足2x y +=，则下列结论的证明更适合用反证法的是（ ） A.证明1xy ≤ B.证明,x y 中至少有一个不大于1 C.证明222x y +≥ D.证明,x y 可能都是奇数6.某制衣品牌为使成衣尺寸更精准，选择了10名志愿者，对其身高（单位：cm ）和臂展（单位：cm ）进行了测量，这10名志愿者身高和臂展的折线图如图所示.已知这10名志愿者身高的平均值为176cm ，根据这10名志愿者的数据求得臂展u 关于身高v 的线性回归方程为ˆˆ1.234uv =-，则下列结论不正确的是（ ）A.这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差B.这10名志愿者的身高和臂展呈正相关关系C.这10名志愿者臂展的平均值为176.2cmD.根据回归方程可估计身高为160cm 的人的臂展为158cm 7.下列有关线性回归分析的六个命题：①在回归直线方程20.5ˆyx =-中，当解释变量x 增加1个单位时，预报变量ˆy 平均减少0.5个单位 ①回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 ①当相关性系数0r >时，两个变量正相关①如果两个变量的相关性越强，则相关性系数r 就越接近于1①残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高 ①甲､乙两个模型的相关指数2R 分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好 其中真命题的个数为（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.已知曲线2ln 3y x x x =-的一条切线在y 轴上的截距为2，则这条切线的方程为（ ） A.420x y --= B.520x y --= C.420x y +-= D.520x y +-=9.柯西分布（Cauchydistribution ）是一个数学期望不存在的连续型概率分布.记随机变量X 服从柯西分布为()0,X C x γ~，其中当01,0x γ==时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为()()211f x x π=+.已知()(211,0,,(1312X C P X P X ~≤=<≤=，则()1P X ≤-=（ ）A.16B.23C.14D.1210.已知实数12em dx x =-⎰，则521m x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中含21x 的项的系数为（ ） A.130 B.110 C.110- D.130-11.在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1所示，图中共有2个正三角形），然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形（图中共有11个正三角形），这个过程称之为迭代，如果在边长为27的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后选代得到如图3所示的图形（图中共有7个正三角形），则图3中最小的正三角形面积为（ ）12.已知0,0a b >>，且1(1)(3)b a a b ++=+，则（ ） A.1a b >+ B.1a b <+ C.1a b <- D.1a b >-二､填空题（共20分）13.类比推理在数学发现中有重要的作用，开普勒说过：我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密.运用类比推理，人们可以从已经掌握的事物特征，推测被研究的事物特征.比如：根据圆的简单几何性质，运用类比推理，可以得到椭圆的简单几何性质等.已知圆222:C x y r +=有性质：过圆C 上一点()00,M x y 的圆的切线方程是200x x y y r +=.类比上述结论，过椭圆22:1124x y E +=的点()3,1P -的切线方程为__________.14.现用5种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有种__________.15.已知函数()32ln 1,042,0x x f x xx x x +⎧>⎪=⎨⎪--<⎩，若方程()f x ax =有四个不等的实数根，则实数a 的取值范围是__________.16.某武装部在预备役民兵的集训中，开设了移动射击科目，移动射击科目规则如下：每人每次移动射击训练只有3发子弹，每次连续向快速移动的目标射击，每射击一次消耗一发子弹，若目标被击中，则停止射击，若目标未被击中，则继续射击，3发子弹都没打中，移动目标消失.通过统计分析该武装部的预备役民兵李好以往的训练成绩发现，李好第一枪命中目标的概率为0.8，若第一枪没有命中，第二枪命中目标的概率为0.4，若第二枪也没有命中，第三枪命中目标的概率为0.2.则目标被击中的条件下，李好第二枪命中目标的概率是__________.三､解答题（共70分）17.已知122i,34i z a z =+=-（其中i 为虚数单位）（1）若12z z 为纯虚数，求实数a 的值；（2）若2023122iz z -<+（其中2z 是复数2z 的共轭复数），求实数a 的取值范围.18.给出下列条件：①若展开式前三项的二项式系数的和等于16；①若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为4：1.从中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（注：若选择多个条件，按第一个解答计分）已知()*nx n N ⎛∈ ⎝⎭，__________. （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中所有的有理项.19.已知函数()()24ln 1,f x ax x a =-+为常数.（1）若()f x 在1x =处有极值，求a 的值并判断1x =是极大值点还是极小值点； （2）若()f x 在[]2,3上是增函数，求实数a 的取值范围. 20.已知数列{}n a 的前n 项和112n n na S a =+-，且0,n a n N +>∈. （1）求123,,a a a ；（2）猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明.21.随着原材料供应价格的上涨，某型防护口罩售价逐月上升.1至5月，其售价（元/只）如下表所示：（1）请根据参考公式和数据计算相关系数（精确到0.01）说明该组数据中y 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）某人计划在六月购进一批防护口罩，经咨询届时将有两种促销方案：方案一：线下促销优惠.采用到店手工“摸球促销”的方式.其规则为：袋子里有颜色为红､黄､蓝的三个完全相同的小球，有放回的摸三次.若三次摸的是相同颜色的享受七折优惠，三次摸的仅有两次相同颜色的享受八折优惠，其余的均九折优惠.方案二：线上促销优惠.与店铺网页上的机器人进行“石头､剪刀､布”视频比赛.客户和机器人每次同时､随机､独立地选择“石头､剪刀､布”中的一种进行比对，约定：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头.手势相同视为平局，不分胜负.客户和机器人需比赛三次，若客户连胜三次则享受七折优惠，三次都不胜享受九折优惠，其余八折优惠.请用（1）中方程对六月售价进行预估，用X 表示据预估数据促销后的售价，求两种方案下X 的分布列和数学期望，并根据计算结果进行判断，选择哪种方案更实惠.参考公式：()()()()nnii ii xx y y xx y y r ----==∑∑，ˆˆˆybx a =+，其中()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-. 6.5≈， 2.08y =，()()516.4i i i x x y y =--=∑，()5214.208i i y y =-=∑.22.已知函数()cos f x x x =⋅.（1）当()0,x π∈时，求证：()sin f x x <； （2）求证：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，方程()210f x -=有且仅有2个实数根. 参考答案：1.B 【解析】先求出z ，进而根据复数的除法运算法则进行化简，最后求出模即可. 【详解】由题可得i z =，则)()i 1i 1i 2z+=-，所以1i z ==-故选：B. 2.A 【解析】 【分析】对()f x 求导得到关于()2f '､()0f 的方程求出它们的值，代入原解析式，根据0f x 求单调减区间.【详解】由题设()()()22e 0x f x f f x -''=-+，则()()()2202f f f ''=-+，可得()02f =，而()()2022e f f -'==，则()2e 22f '=，所以()212e 22xf x x x =-+，即()2e 2x f x x '=-+，则()00f '=且fx 递增，当0x <时0f x，即()f x 递减，故()f x 递减区间为（-∞，0）.故选：A 3.C 【解析】 【分析】根据分布列的性质求出a ，根据公式求出()D ξ，再根据方差的性质可求出结果. 【详解】根据分布列的性质得11214a a +-+=，得14a =，所以111()2101424E ξ=⨯+⨯+⨯=，所以222111()(21)(11)(01)424D ξ=-⨯+-⨯+-⨯12=，所以9(32)9()2D D ξξ+==. 故选：C 4.D 【解析】 【分析】每个社区至少有1人参加，所以这5位大学生共分为三组，共有1，2，2和1，1，3两种情况，分别求每种情况的安排方法可得答案.因为每个社区至少有1人参加，所以这5位大学生共分为三组，共有1，2，2和1，1，3两种情况.若是1，2，2，则共有1223542322C C C A 90A ⨯=（种）； 若是1，1，3，则共有1133543322C C C A 60A ⨯=（种）， 所以共有6090150+=（种）不同的方法. 故选：D. 5.B 【解析】 【分析】根据反证法的特点：假设结论的对立面，最终导出矛盾，从而肯定结论成立，观察四个选项可作出判断. 【详解】实数,x y 满足2x y +=，观察四个选项，更适合用反证法的是B ， 原因是：假设1x >且1y >，则2x y +>，与已知矛盾，故原结论成立， 其它选项均不适合. 故选：B 6.C 【解析】 【分析】利用平均值､极差､线性回归方程的特征进行逐项判断. 【详解】 解：对于选项A ：因为这10名志愿者臂展的最大值大于身高的最大值，而臂展的最小值小于身高的最小值，所以这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差，故A 正确.对于选项B ：因为1.20>，所以这10名志愿者的身高和臂展呈正相关关系，故B 正确. 对于选项C ：因为这10名志愿者身高的平均值为176cm ，所以这10名志愿者臂展的平均值为1.217634177.2cm ⨯-=，故C 错误.对于选项D ：若一个人的身高为160cm ，则由回归方程ˆˆ1.234uv =-，可得这个人的臂展的估计值为158cm ，故D 正确. 故选：C 7.B 【解析】 【分析】对于①，根据回归直线方程的特点即可判断；对于①，根据回归直线的几何意义即可判断；对于①，根据相关指数大于0，可得两变量正相关即可可判断；对于①，根据相关系数r 与变量的相关性的关系即可可判断；对于①，根据残差图的特点即可判断；对于①，根据模型的2R 与效果的关系即可判断. 【详解】对于①，根据回归系数的含义，可得回归直线方程ˆ20.5y x =-中，当解释变量x 增加1个单位时，预报变量ˆy平均减少0.5个单位，故①正确； 对于①，回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线，不正确.回归直线也可能不过任何一个点；故①不正确；对于①，当相关性系数0r >时，两个变量正相关，故①正确；对于①，如果两个变量的相关性越强，则相关性系数r 的绝对值就越接近于1；故①不正确； 对于①，残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越低，故①不正确； 对于①，甲､乙两个模型的2R 分别约为0.88和0.80则模型甲的拟合效果更好，故①不正确， 则正确的个数为2. 故选：B. 8.D 【解析】 【分析】设出切点坐标()20000,ln 3x x x x -，根据导数的几何意义写出切线方程，将点()0,2代入求出0x 的值，进而得切线方程. 【详解】函数2ln 3y x x x =-的定义域为()0,∞+，设切点坐标为()20000,ln 3x x x x -，因为ln 61y x x '=-+，则切线斜率为00ln 61x x -+，所以切线方程为()()2000000ln 3ln 61y x x x x x x x -+=-+-，将点()0,2代入切线方程并整理得200320x x --=，解得01x =，或023x =-（舍去），所以这条切线的方程为()351y x +=--，即520x y +-=. 故选：D. 9.C 【解析】 【分析】根据柯西分布的对称性进行求解即可. 【详解】 因为21()()π(1)f x f x x -==+，所以该函数是偶函数，图象关于纵轴对称，由P （|X |=23，可得1(03P X <<=，因为P （1X <≤=112，所以111(01)3124P X <<=-=，因此1(10)4P X -<<=，所以111(1)244P X ≤-=-=， 故选：C 10.C 【解析】 【分析】由微积分基本定理求解m ，将5221x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭看作5个因式22(1)x x +-相乘，要得到21x ，分析每个因式所取项的情况. 【详解】1ee122ln |2(ln e ln1)2m dx x x=-=-=--=-⎰， 则5221x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭表示5个因式22(1)x x +-相乘，所以其展开式中含21x 的项为1个因式中取22x ，4个因式取1-，或者2个因式中取x ，2个因式取22x ，1个因式取1-所得到的项， 则5221x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中含21x 的项的系数为()()412225532C 12C C 1110-+-=-. 故选：C. 11.C 【解析】 【分析】先用余弦定理得到边长之间的关系，进而可求出最小正三角形的边长，然后利用面积公式即得. 【详解】设最大正三角形的边长为1a ，则127a =，其内部迭代出的正三角形的边长分别为237,,,a a a ⋅⋅⋅，由余弦定理得2222111112222cos 333333a a a a a a π⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 同理得22226237,,33a a a a =⋅⋅⋅=，①62271113a a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，①最小的正三角形的面积77711sin 1232S a a π=⨯⨯⨯=⨯=.故选：C. 12.B 【解析】 【分析】根据题意，两边取对数整理得()()()ln 1ln 3ln 211a b b a b b +++=>++，进而构造函数()()()ln 10x f x x x+=>，利用单调性来比较自变量a 与1b +的大小. 【详解】 解：因为()()113b aa b ++=+，0a >，0b >，所以()()()ln 1ln 3ln 211a b b a b b +++=>++. 设()()()ln 10x f x x x +=>，则()()2ln 11xx x f x x -++'=.设()()()ln 101x g x x x x =-+>+，则()()()22110111x g x x x x -'=-=<+++， 所以()g x 在()0,∞+上单调递减.当0x →时，()0g x →， 所以()0g x <，即()0f x '<，故()f x 在()0,∞+上单调递减. 因为()()1f a f b >+，所以1a b <+. 故选：B. 13.40x y --= 【解析】 【分析】通过类比可得类似结论：过椭圆2222:1x y E a b+=上一点00(,)P x y 的椭圆的切线方程为00221x x y y a b +=，然后可得.【详解】通过类比可得类似结论：过椭圆2222:1x y E a b+=上一点00(,)P x y 的椭圆的切线方程为00221x x y y a b +=.所以，，过椭圆22:1124x y E +=上的点()3,1P -的切线方程为31124x y -+=，即40x y --=. 将4y x =-代入221124x y+=得：2690x x -+=，解得3x = 所以直线40x y --=和椭圆22:1124x y E +=有唯一交点()3,1P -，即直线与椭圆相切. 故答案为：40x y --= 14.420按照A B C D E →→→→的顺序进行涂色， 其中B 与D 的颜色可以相同也可以不相同，所以不同的涂色方法共有()5431322607420⨯⨯⨯⨯+⨯=⨯=种.故答案为：42015.()0,1【解析】【分析】将原问题转化为函数()g x 的图象与直线y a =有4个交点，分0x >和0x <两类情况讨论，利用导数判断函数()g x 的单调性求得最值，由此作出函数()y g x =的图象，利用数形结合即可求出实数a 的取值范围.【详解】方程()f x ax =有四个不等的实数根，等价于()222ln 1,024,0x x x y g x x x x +⎧>⎪⎪==⎨⎪--<⎪⎩的图象与直线y a =有4个交点.当0x >时，()22ln 1x g x x+=，则()34ln x g x x -'=，令()0g x '<，可得1x >，则函数()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故函数()g x 在()0,∞+上的最大值为()11g =.当0x <时，()224g x x x =--，则()()3222122x g x x x x +'=+=，令()0g x '<，可得1x <-，则函数()g x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,0-上单调递增，故函数()g x 在(),0∞-上的最小值为()11g -=-.作出函数()g x 的图象，如图所示，要使函数()g x 图象与直线y a =有4个交点，则01a <<，故实数a 的取值范围是()0,1.故答案为：()0,1. 16.10113【解析】【分析】根据全概率公式结合条件概率公式计算即可【详解】记事件A ：“李好第一枪击中目标”，事件B ：“李好第二枪击中目标”，事件C ：“李好第三枪击中目标”，事件D ：“目标被击中”，则()()()()()P D P A B C P A P B P C =++=++0.80.20.40.20.60.20.904=+⨯+⨯⨯=，()0.20.40.08P B =⨯=，()()()()()0.08100.904113P BD P B P B D P D P D ====. 故答案为：1011317.（1）83a =（2）24a <<【解析】【分析】（1）根据题意123846i 2525z a a z -+=+，再根据纯虚数性质求解；（2）根据题意得122i z z -<-，即.（1） 由12i z a =+，234z i =-，得()()122i 34i 2i3846i 34i 252525a z a a a z +++-+===+-， 因为12z z 为纯虚数，所以38025a -=，且46025a +≠，所以83a =（2）()()()122i 34i 32i z z a a -=+-+=--， 因为2023122i z z -<+，所以122i z z -<-<即()2345a -+<，解得24a <<.18.（1）4352T x =和74254T x =（2）51T x =，4352T x =，35516T x =【解析】【分析】（1）无论选①还是选①，根据题设条件可求5n =，从而可求二项式系数最大的项.（2）利用二项展开式的通项公式可求展开式中所有的有理项.（1）二项展开式的通项公式为：211C C,0,1,2,,2rr r r r n n n r r n T x x r n --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭.若选①，则由题得012C C C 16n n n ++=，①()11162n n n -++=，即2300n n +-=，解得5n =或6n =-（舍去），①5n =.若选①，则由题得()221111C 22141C 22n n n n n n nn n n----⎛⎫- ⎪⎝⎭==-=⎛⎫ ⎪⎝⎭，①5n =，展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为22443515C 22T x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，，7732345215C 24T x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭.（2）由（1）可得二项展开式的通项公式为：5521551C C ,0,1,2,,52r r r r r r r T x x r --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭. 当52r Z -∈即0,2,4r =时得展开式中的有理项， 所以展开式中所有的有理项为：51T x =，5423522215C 22T x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭=，5342545415C 216T x x -⎛⎫= ⎪=⎝⎭. 19.（1）1a =，极小值点（2）1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）先求定义域，再求导，根据极值点列出方程，求出1a =，从而求出单调区间，判断出1x =是()f x 的极小值点；（2）问题转化为2max2a x x ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭，求出2211,63x x ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦，从而求出实数a 的取值范围. （1）①()f x 定义域为(1,)-+∞，()421f x ax x'=-+； 若()f x 在1x =处有极值，则()1220f a '=-=，①1a =，此时()()24ln 1f x x x =-+，()()()2214 211x x f x x x x+-'=-=++. ①1x >-，①20x +>，10x +>，当11x -<<时，()0f x '<，()f x 为减函数.当1x >时，()0f x '>，()f x 为增函数.①1x =是()f x 的极小值点.（2）由条件知()0f x '≥在[]2,3x ∈上恒成立，即4201ax x -≥+， ①22a x x ≥+在[]2,3x ∈上恒成立，只需2max2a x x ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭， ①2211[6,12]24x x x ⎛⎫+=+-∈ ⎪⎝⎭，①2211,63x x ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦，即13a ≥，即a 的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.20.（1）11a，2a3a （2）n a .【解析】【分析】（1）赋值法进行求解；（2）猜想n a（1）令1n =得：111112a a a =+-，因为0n a >，n ∈+N ，解得：11a ，令2n =得：2122112a a a a +=+-，即2221112a a a +=+-解得：2a ，令3n =得：31233112a a a a a ++=+-，3331112a a a =+-，解得：3a（2）猜想{}n a的通项公式为n a当1n =时，11a ，成立，假设n k =时，k a =则12315321211k k S a a a k k =+++=-+-++--=则当1n k =+时，111112k k k a S a +++=+-，即111112k k k k a S a a ++++=+-1111112k k k a a a++++=+-，解得：1k a +综上：n a n *∈N 都成立.21.（1）相关系数0.98；ˆ0.640.16yx =+ （2）6月预计售价为4元/只；方案一分布列见解析；期望为14645；方案二分布列见解析；期望为446135；应选择方案一【解析】【分析】（1）依据题中所给数据，计算出x y 、的值，带入参考公式计算即可. （2）根据（1）中线性回归方程，求得X 可取的值，依次计算概率，列出分布列，求解数学期望，利用数学期望比较两种方案.（1）相关系数()()56.40.986.5i ix x y y r --==≈≈∑， 由于0.98接近1，说明y 与x 之间有较强的线性相关关系.()()()51521 6.4ˆ0.6410i ii i i x x y y b x x ==--===-∑∑，ˆ 2.08 1.920.16a =-=， 所以ˆ0.640.16yx =+. （2）由（1）可知，ˆ0.640.16yx =+，当6x =时，ˆ4y =，即6月预计售价为4元/只. X 可取的值为2.8，3.2，3.6.若选优惠方案一，1331( 2.8)39C P X ===； 1111321332( 3.2)33C C C C P X ===； 3332( 3.6)A P X ===； 此时122438146() 2.8 3.2 3.693913545E X =⨯+⨯+⨯==. 若选优惠方案二，客户每次和机器人比赛时，胜出的概率为132133C =，则不胜的概率为23.33311( 2.8)327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；211221331212242( 3.2)3333993P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 30328( 3.6)327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；此时128446() 2.8 3.2 3.627327135E X =⨯+⨯+⨯=.438446135135<，说明为使花费的期望值最小，应选择方案一.22.【解析】（1）令()()sin cos sin g x f x x x x x =-=⋅-，()g x 的定义域为(0)π，，()cos sin cos sin g x x x x x x x =--=-⋅'⋅， 当0()x π∈，时，()0g x '<恒成立，①()g x 在(0)π，上单调递减， ①当0()x π∈，时，()(0)0g x g <=恒成立，故当0()x π∈，时，()sin f x x <；（2）设()2()12cos 1h x f x x x =-=⋅-，()h x 的定义域为(0)2π，，()2(cos sin )h x x x x =-⋅'，设()cos sin x x x x ω=-⋅，()x ω的定义域为(0)2π，，()2sin cos x x x x ω=--⋅'，当(0)2x π∈，时，()0x ω'<恒成立，①()x ω在(0)2π，上单调递减，又(0)10ω=>，()022ππω=-<，①存在唯一的0(0)2x π∈，使据0()0x ω=，当00x x <<时()0x ω>，则()2()0h x x ω'=>，①()h x 在0(0)x ，上单调递增， 当02x x π<<时()0x ω<，则()2()0h x x ω'=<，①()h x 在0()2x π，上单调递减，①()h x 在0x x =处取得极大值也是最大值，又(0)10h =-<，()104h π>，()102h π=-<，①()h x 在(0)4π，与()42ππ，上各有一个零点，即当(0)2x π∈，时，方程2()10f x -=有且仅有2个实数根.。

DABC20m32mOE FDABCG HEFD ABCEFDABC河南省实验中学2021-2022学年九年级上期第一次月考数学试卷(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(3分×10=30分)1.下列方程是一元二次方程的是( ) A . x (x +3) =0 B . x 2-4y =0 C . x 2-3x=5 D . ax 2+bx +c =0 (a 、b 、c 为常数) 2.关于x 的一元二次方程(a -2)x 2+x +a 2-4=0的一个根是0，则a 的值是( ) A .0 B .2 C . -2 D .2或-2 3.输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如下表：x 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 输出-13.75-8.04-2.313.449.21分析表格中的数据，估计方程(x +8)2-826=0的一个正数解x 的大致范围为( ) A . 20.5<x <20.6 B . 20.6<x <20.7 C .20.7<x <20.8 D .20.8<x < <20.94.关于x 的方程(x -1)(x +2) =p 2 (p 为常数)的根的情况，下列结论中正确的是( ) A .两个正根 B .两个负根 C .一个正根，一个负根 D .无实数根5.有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x 个人可列方程为( )A .1+2x =81B .1+x 2=81C . 1+x +x 2=81D . 1+x +x (1+x ) =81 6.如图，四边形ABCD 是平行四边形，下列说法能 判定四边形ABCD 是菱形的是( ).A . AC ⊥BDB . BA ⊥AC C . AB =CD D . ∠BAD =∠ABC7.如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路 (图中阴影部分)，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540 平方米，设道路的宽x 米，则可列方程为( ) A . 32×20-32x -20x =540 B . (32-x )(20-x )+x 2=540 C . 32x +20x =540 D . (32-x )(20-x )=5408.如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，AB =6，BC =8，过点O 作OE ⊥AC ，交AD 于点E ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，则OE +EF 的值为( ) A . 485 B . 325 C . 245 D . 1259.如图，点E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 边AB 、BC 、CD 、DA 的中点． 则下列说法：①若AC =BD ，则四边形EFGH 为矩形；②若AC ⊥BD ，则四边形EFGH 为菱形；③若四边形EFGH 是平行四边形，则AC 与BD 互相平分； 其中正确的个数是( )A . 0B . 1C . 2D . 310.如图，菱形ABCD 中，∠D =60°，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且BE =CF ． 若EF =4，则△AEF 的面积为( )D12O EDAB CGHEFDABCO EDABC EF DABCA .BC D二、填空题(3分×5=15分)11. 已知m 是关于x 的方程x 2−2x −3=0的一个根，则2m 2−4m = .12.若关于x 的一元二次方程kx 2−x −34=0有实数根，则实数k13.如图，已知菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别为4，6，AE ⊥BC 则AE 的长是 .14.如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 是BC 上一点， 且AB =BE ，∠1=15°，则∠2= ．15.如图，在菱形ABCD 中，∠A =60°，G 为AD 中点，点E 在BC 延长线上，F 、H 分别为CE 、GE 中点，∠EHF =∠DGE ，CF AB = ．三、解答题(共8大题，共75分)16.(每题3分，共12分)选择适当的方法解方程. ⑴x 2−3x +1=0 ⑵2(x −3)2=x 2−9 ⑶x 2−4x −5=0 ⑷x 2+8x −9=017.(8分)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ．过点C 作BD 的平行线，过点D 作AC 的平行线，两直线相交于点E ． (1)求证：四边形OCED 是矩形；(2)若CE =1，DE =2，则菱形ABCD 的面积是 ．18.(8分)如图，D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点，连接DE 、EF 、AE ． (1)求证：四边形ADEF 为平行四边形；(2)加上条件 后，能使得四边形ADEF 为菱形，请从①∠BAC =90°；②AE 平分∠BAC ；③∠AEC =90°这三个条件中选择1个条件填空(写序号)，并加以证明．G EFDABC)19. (7分)如图，平行四边形ABCD 中，AB =3cm ，BC =5cm ，∠B =60°，G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连接CE ，DF ． (1)求证：四边形CEDF 是平行四边形；(2)①当AE = cm 时，四边形CEDF 是矩形； ②当AE = cm 时，四边形CEDF 是菱形． (直接写出答案，不需要说明理由)20.(9分)某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y (桶)与每桶降价x (元)(0＜x ＜20)之间满足一次函数关系，其图象如图所示：(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？21.(10分)某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．(1)求该商品每次降价的百分率；(2)若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于199元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？22.(10分)已知：关于x 的方程kx 2-(4k -3)x +3k -3=0 (1)求证：无论k 取何值，方程都有实根； (2)若x =-1是该方程的一个根，求k 的值；(3)若方程的两个实根均为正整数，求k 的值(k 为整数)．图①图③图②图④CBADEPCBADEPC BA DE PPED A BC23.(11分)在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，点P 是射线BD 上一动点，以AP 为边向右侧作等边△APE ，点E 的位置随着点P 的位置变化而变化．(1)如图①，当点E 在菱形ABCD 内部或边上时，连接CE ，BP 与CE 的数量关系是 ，CE 与AD 的位置关系是 ；(2)当点E 在菱形ABCD 外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图②，图③中的一种情况予以证明或说理)；(3)如图④，当点P 在线段BD 的延长线上时，连接BE ，若ABBEADPE 的面积．O EDABC G EFD ABC河南省实验中学2021-2022学年九年级上期第一次月考数学试卷答案参考一、选择题1.A2.C3.C4.C5.D6.A7.D8.C9.A 10.D 二、填空题11.6 12. k ≥−13且k ≠013. 14.30° 15.4三、解答题16.⑵3,9 ⑶5，−1 ⑷1，−917.(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ， ∴∠COD =90°． ∵CE ∥OD ，DE ∥OC ， ∴四边形OCED 是平行四边形，又∠COD =90°， ∴平行四边形OCED 是矩形；(2)由(1)知，平行四边形OCED 是矩形，则CE =OD =1，DE =OC =2． ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC =2OC =4，BD =2OD =2，∴菱形ABCD 的面积为：12AC •BD =12×4×2=4． 故答案是：4．18.解：(1)证明：已知D 、E 、F 为AB 、BC 、AC 的中点，∴DE 为△ABC 的中位线，根据三角形中位线定理，∴DE ∥AC ，且DE =12AC =AF ． 即DE ∥AF ，DE =AF ，∴四边形ADEF 为平行四边形． (2)证明：选②AE 平分∠BAC ， ∵AE 平分∠BAC ，∴∠DAE =∠FAE ，又∵ADEF 为平行四边形，∴EF ∥DA ，∴∠DAE =∠AEF ， ∴∠FAE =∠AEF ，∴AF =EF ，∴平行四边形ADEF 为菱形．选③AB =AC ， ∵EF ∥AB 且EF =12AB ，DE ∥AC 且DE =12AC ， 又∵AB =AC ，∴EF =DE ，∴平行四边形ADEF 为菱形． 19.(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CF ∥ED ，∴∠FCG =∠EDG ， ∵G 是CD 的中点，∴CG =DG ，在△FCG 和△EDG 中，FCG EDGCG DG CGF DGE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△FCG ≌△EDG (ASA )∴FG=EG，∵CG=DG，∴四边形CEDF是平行四边形；(2)①解：当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形，理由是：过A作AM⊥BC于M，∵∠B=60°，AB=3，∴BM=1.5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，∵AE=3.5，∴DE=1.5=BM，在△MBA和△EDC中，BM DEB CDAAB CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MBA≌△EDC(SAS)，∴∠CED=∠AMB=90°，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是矩形，故答案为：3.5；②当AE=2时，四边形CEDF是菱形，理由是：∵AD=5，AE=2，∴DE=3，∵CD=3，∠CDE=60°，∴△CDE是等边三角形，∴CE=DE，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是菱形，故答案为：2．20.解：(1)设y与销售单价x之间的函数关系式为：y=kx+b，将点(1，110)、(3，130)代入一次函数表达式得：110130=3k bk b=+⎧⎨+⎩，解得：10100kb=⎧⎨=⎩，故函数的表达式为：y=10x+100；(2)由题意得：(10x+100)×(55-x-35)=1760，整理，得x2-10x-24=0．解得x1=12，x2=-2(舍去)．所以55-x=43．答：这种消毒液每桶实际售价43元．21.解：(1)设该商品每次降价的百分率为x，60(1-x)2=48.6，解得x1=0.1，x2=1.9(舍去)，答：该商品每次降价的百分率是10%；(2)设第一次降价售出a件，则第二次降价售出(20-a)件，由题意可得，[60(1-10%)-40]a+(48.6-40)×(20-a)≥199，解得a≥5，∵a为整数，∴a的最小值是5，答：第一次降价至少售出5件后，方可进行第二次降价．22.(1)证明：当k≠0时，∵方程kx2-(4k-3)x+3k-3=0，∴Δ=(4k-3)2-4k(3k-3)=4k2-12k+9=(2k-3)2，∴Δ=(2k-3)2≥0，当k=0时，3x-3=0，解得x=1．∴无论k取何值，方程都有实根；(2)把x=-1代入方程得k+4k-3+3k-3=0，解得k=34．故k的值34；(3)解：kx2-(4k-3)x+3k-3=0，∴a=k，b=-(4k-3)，c=3k-3，∵运用公式法解方程可知道此方程的根为x，图①PH E DABC 图③CB ADEP图④CBADEP∴此方程的两个根分别为x 1=1，x 2=3- 3k， ∵方程的两个实根均为正整数， ∴k =-3，k =-1，k =3．23.解：(1)如图1，连接AC ，延长CE 交AD 于点H ， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC ， ∵∠ABC =60°，∴△ABC 是等边三角形， ∴AB =AC ，∠BAC =60°；∵△APE 是等边三角形，∴AP =AE ，∠PAE =60°，∴∠BAP =∠CAE =60°-∠PAC ，∴△BAP ≌△CAE (SAS )，∴BP =CE ； ∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ABP =12∠ABC =30°，∴∠ABP =∠ACE =30°， ∵∠ACB =60°，∴∠BCE =60°+30°=90°，∵AD ∥BC ，∴∠CHD =∠BCH =90°，∴CE ⊥AD ； 故答案为：BP =CE ，CE ⊥AD ；(2)(1)中的结论：BP =CE ，CE ⊥AD 仍然成立，理由如下： 如图③，连接AC ，设CE 与AD 交于H ，∵菱形ABCD ，∠ABC =60°，∴△ABC 和△ACD 都是等边三角形， ∴AB =AC ，∠BAD =120°，∠BAP =120°+∠DAP ， ∵△APE 是等边三角形，∴AP =AE ，∠PAE =60°，∴∠CAE =60°+60°+∠DAP =120°+∠DAP ，∴∠BAP =∠CAE ， ∴△ABP ≌△ACE (SAS )，∴BP =CE ，∠ACE =∠ABD =30°， ∴∠DCE =30°，∵∠ADC =60°，∴∠DCE +∠ADC =90°，∴∠CHD =90°，∴CE ⊥AD ； ∴(1)中的结论：BP =CE ，CE ⊥AD 仍然成立；(3)如图④，连接AC 交BD 于点O ，连接CE ，作EF ⊥AP 于F ， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD BD 平分∠ABC ，∵∠ABC =60°，AB ＝ABO =30°，∴AO =12AB，OB=3，∴BD =6，由(2)知CE ⊥AD ， ∵AD ∥BC ，∴CE ⊥BC ，∵BEBC =ABCE ＝8，由(2)知BP =CE =8，∴DP =2，∴OP =5，∴AP ＝∵△APE 是等边三角形，∴EF∵S 四边形ADPE =S △ADP +S △APE ，∴S 四边形ADPE =12DP •AO +12AP •EF =12×+12×； ∴四边形ADPE 的面积是8。

河南省2022~2022学年度中考全真模拟卷（二）化学（考试时间50分钟，满分50分）注意事项：1．本试卷共四个大题，25个小题，满分50分，考试时间50分钟。

2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案写在答题卡上。

相对原子质量：Ca-40 H-1 O-16 Zn-65 Cu-56 N-14 Cl-35.5 C-12 Al-27 一、单选题（共14小题，每小题1分，共14分）1．（2022·新乡一模）今年世界各地爆发了“新冠肺炎”，中国人民在中国共产党的坚强领导下，取得了抗击疫情的重大胜利。

下列防疫措施中利用了化学变化的是（）A．外出配戴N95口罩B．用84消毒液消毒C．用水银温度计测体温D．经常开窗通风2．（2022·信阳模拟）金属材料在生产、生活中有着广泛的应用。

下列生活用品所使用的主要材料，属于金属材料的是A．汽车轮胎B．塑料油桶C．玻璃啤酒瓶D．不锈钢餐具3．（2022·三门峡二模）下列物质的俗名与化学式对应关系正确的是A．纯碱：NaOH B．干冰：O2C．消石灰：Ca（OH）2D．小苏打：Na2CO3 4．（2019·郑州八中三模）硝酸铵（NH4NO3）是一种溶于水吸热的铵盐，其铵根离子中氮元素的化合价是（）A．﹣3 B．+3 C．+4 D．+5 5．（2021·舞阳模拟）下列有关实验现象描述正确的是A．碳在氧气中燃烧，发出白光，放出热量，生成黑色固体B ．镁条在氧气中燃烧，发出白光放出热量，生成白色氧化镁C ．磷在氧气中燃烧放出热量，生成白色烟雾D ．铁丝在氧气中燃烧，剧烈燃烧，火星四射，生成黑色固体6．（2022·河南一模）反应物和生成物中的每一个物质的类别一定互不相同的是 A ．分解反应 B ．化合反应 C ．中和反应 D ．置换反应 7．（2022·驻马店二模）下列实验基本操作正确的是（ ）A.测定溶液pHB.铁丝在氧气中燃烧C.稀释浓硫酸D.倾倒液体 8．（2022·新乡模拟）水是一种重要的自然资源。

2021-2022学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（文科）试题数：26，总分：1501.（单选题，5分）复数z满足（√3 +i）z=|1- √3 i|，其中i为虚数单位，则z在复平面内所对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.（单选题，5分）下面几种推理过程中属于类比推理的是（）A.两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180°B.科学家对比了火星和地球之间的某些相似特征，已知地球上有生命存在，所以猜测火星上也可能有生命存在C.由6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7，14=7+7，…，得出结论：一个偶数（大于4）可以写成两个质数的和D.在数列{a n}中，a1=1，a n= 12（a n-1+ 1a n−1）（n≥2），由此归纳出{a n}的通项公式3.（单选题，5分）如图所示的是一个结构图，在框① ② ③ 中应分别填入（）A.虚数，整数，分数B.复数，虚数，整数C.虚数，复数，纯虚数D.复数，虚数，纯虚数4.（单选题，5分）已知x，y，z∈R，且a=x2+2y，b=y2+2z，c=z2+2x，则a，b，c三个数（）A.都小于-1B.至少有一个不小于-1C.都大于-1D.至少有一个不大于-15.（单选题，5分）在同一平面直角坐标系中，由曲线x 2+y 2=1得到曲线4x 2+y 2=16，则对应的伸缩变换为（ ） A. {x′=12xy′=4yB. {x′=2xy′=14y C. {x′=2x y′=4y D. {x′=12x y′=14y6.（单选题，0分）已知x ，y ，z∈R +，且x+y+z=30，则lgx+lgy+lgz 的最大值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.47.（单选题，5分）下列四个命题：① 在回归模型中，预报变量y 的值不能由解释变量x 唯一确定；② 若变量x ，y 满足关系y=-2x+1，且变量y 与z 正相关，则x 与z 也正相关； ③ 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高； ④ 样本点可能全部不在回归直线 y ̂ = b ̂ x+ a ̂ 上． 其中真命题的个数为（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.（单选题，5分）已知i-1是关于x 的方程2x 2+px+q=0的一个根，其中p ，q∈R ，则p+q=（ ） A.6 B.8 C.10D.129.（单选题，5分）用模型y=me nx+2（m ＞0）拟合一组数据时，设z=lny ，将其变换后得到回归方程为 ẑ =3x+2，则n-m=（ ） A.-1 B.1 C.-2 D.210.（单选题，5分）我们知道；在平面内，点（x 0，y 0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=|Ax 0+By 0+C|√A 2+B 2，通过类比的方法，则在空间中，点（1，2，4）到平面2x+2y+z+2=0的距离为（ ） A.4 B.5 C.6 D.711.（单选题，5分）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图1所示的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”，该数表的规律是每行首尾数字均为1，从第三行开始，其余的数字是它“上方”左右两个数字之和．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图2所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n 行各数字的和为S n ，如S 1=1，S 2=2，S 4=4，⋯，则S 32等于（ ）A.16B.32C.64D.12812.（单选题，5分）已知曲线 {x =cosαy =−1+√3sinα ，（α为参数）上任一点P （x 0，y 0），使得不等式a≤x 0+y 0成立，则实数a 的取值范围是（ ） A.（-∞，-3]B.[-3，+∞）C.[1，+∞）D.（-∞，1]13.（单选题，0分）若不等式|x-1|+| 4x+1|≤a有解，则实数a的取值范围是（）A.a≥4B.a＜4C.a≥2D.a＜214.（单选题，5分）计算器是如何计算sinx，cosx，πx，lnx，√x等函数值的？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如sinx=x- x 33!+x55!−x77!+…，cosx=1- x22!+x44!−x66!+…，其中n!=1×2×3×…×n，英国数学家泰勒（B．Taylor，1685-1731）发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的sinx和cosx的值也就越精确．运用上述思想，可得到sin（π2 +1）的近似值为（）A.0.50B.0.52C.0.54D.0.5615.（填空题，5分）复数1−i20221+i的共轭复数为 ___ ．16.（填空题，5分）用最小二乘法得到一组数据（x i，y i）（其中i=1、2、3、4、5）的线性回归方程为ŷ = b̂ x+3，若∑5i=1 x i=25、∑5i=1 y i=65，则当x=10时，y的预报值为 ___ ．17.（填空题，5分）将正奇数数列1，3，5，7，9，…依次按两项，三项分组．得到分组序列如下：（1，3），（5，7，9），（11，13），（15，17，19），…．称（1，3）为第1组，（5，7，9）为第2组，以此类推，则原数列中的2021位于分组序列中第 ___ 组．18.（填空题，5分）已知a，b，c∈（0，1），且4+lna=a+2ln2，e+lnb=1+b，2+lnc=c+ln2，则a，b，c的大小关系是 ___ ．19.（问答题，10分）已知复数z=a+i（a＞0，a∈R），且z+ 2z∈R，其中i为虚数单位．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）已知复平面上的四个点A，B，C，D构成平行四边形ABCD，复数z+z2，z+1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求点D对应的复数．20.（问答题，12分）某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个智慧课堂项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试，经过一个阶段的试用，为了解智慧课堂对学生学习的促进情况该公司随机抽取了200名学生，对他们“任意角和弧度制”知识点掌握情况进行调查，样本调查结果如表：（Ⅰ）从两校高一学生中随机抽取1人，估计该学生对“任意角和弧度制”知识点基本掌握的概率；（Ⅱ）完成下面2×2列联表，并分析是否有99%的把握认为基本掌握“任意角和弧度制”知识点与使用智慧课堂有关？21.（问答题，12分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 {x =2+2cosθy =2sinθ （θ为参数），曲线C 2的方程为x+y-6=0，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C 1，C 2的极坐标方程；（Ⅱ）若射线α= π4 分别交C 1，C 2于A ，B 两点（点A 异于极点），求|AB|．22.（问答题，0分）已知函数f （x ）=|x+1|-m ，m∈R ，且f （x ）≤0的解集为[-2，0]． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设a ，b ，c 为正数，且a+2b+3c=m ，求a 2+b 2+c 2的最小值．23.（问答题，12分）用分析法证明：对于任意a 、b∈[-2，2]，都有|ab+4|≥2|a+b|．24.（问答题，12分）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ2（1+3sin 2θ）=4．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x+2y-4=0． （Ⅰ）若点M 为曲线C 1上的动点，求点M 到直线l 的距离的最小值；（Ⅱ）倾斜角为 π3 的曲线C 2过点P （-1，0），交曲线C 1于A ，B 两点，求 1|PA| + 1|PB| ．25.（问答题，0分）已知函数f （x ）=|x+a|+|x+1|． （Ⅰ）当a=-1时，求f （x ）＜3x 的解集；（Ⅱ）g （x ）=x 2-2x+2+a 2，若对∃x 1∈R ，∀x 2∈[0，+∞）使得f （x 1）≤g （x 2）成立，求实数a 的取值范围．26.（问答题，12分）目前，新冠病毒引起的疫情仍在全球肆虐在党中央的正确领导下，全国人民团结一心，使我国疫情得到了有效的控制．其中，各大药物企业积极投身到新药的研发中．汕头某药企为评估一款新药的药效和安全性，组织一批志愿者进行临床用药实验，结果显示临床疗效评价指标A 的数量y 与连续用药天数x 具有相关关系．刚开始用药时，指标A 的数量y 变化明显，随着天数增加，y 的变化趋缓．根据志愿者的临床试验情况，得到了一组数据（x i ，y i ），i=1，2，3，4，5，…，10，x i 表示连续用药i 天，y i 表示相应的临床疗效评价指标A 的数值．该药企为了进一步研究药物的临床效果，建立了y 关于x 的两个回归模型： 模型 ① ：由最小二乘公式可求得y 与x 的线性回归方程： y ̂=2.50x −2.50 ；模型 ② ：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：y=blnx+a 的附近，令t=lnx ，则有 ∑t i 10i=1=22.00 ， ∑y i 10i=1=230 ， ∑t i 10i=1y i =569.00 ， ∑t i 210i=1=50.92 ．（1）根据所给的统计量，求模型 ② 中y 关于x 的回归方程；（2）根据下列表格中的数据，说明哪个模型的预测值精度更高、更可靠．（3）根据（2）中精确度更高的模型，预测用药一个月后，疗效评价指标相对于用药半个月的变化情况（一个月以30天计，结果保留两位小数）．附：样本（t i i i i=1i ∑(t i −t)2ni=1 y t 相关指数 R 2=1−i2n i=1∑(y −y )2n ，参考数据：ln2≈0.6931．2021-2022学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析试题数：26，总分：1501.（单选题，5分）复数z满足（√3 +i）z=|1- √3 i|，其中i为虚数单位，则z在复平面内所对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【正确答案】：D【解析】：结合复数模公式，先求出z，再结合复数的几何意义，即可求解．【解答】：解：∵（√3 +i）z=|1- √3 i|= √12+(−√3)2=2，∴ z=√3−i)(√3+i)(√3−i)=√32−12i，∴z在复平面内所对应的点（√32，−12）在第四象限．故选：D．【点评】：本题主要考查复数模公式，以及复数的几何意义，属于基础题．2.（单选题，5分）下面几种推理过程中属于类比推理的是（）A.两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180°B.科学家对比了火星和地球之间的某些相似特征，已知地球上有生命存在，所以猜测火星上也可能有生命存在C.由6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7，14=7+7，…，得出结论：一个偶数（大于4）可以写成两个质数的和D.在数列{a n}中，a1=1，a n= 12（a n-1+ 1a n−1）（n≥2），由此归纳出{a n}的通项公式【正确答案】：B【解析】：根据演绎推理、类比推理、归纳推理的定义即可求解．【解答】：解：A选项是演绎推理，B选项是类比推理，C选项是归纳推理，D选项是归纳推理，故选：B．【点评】：本题考查演绎推理、类比推理、归纳推理的定义，属基础题．3.（单选题，5分）如图所示的是一个结构图，在框① ② ③ 中应分别填入（）A.虚数，整数，分数B.复数，虚数，整数C.虚数，复数，纯虚数D.复数，虚数，纯虚数【正确答案】：D【解析】：根据复数包含实数和虚数，虚数包含纯虚数和非纯虚数，即可求解．【解答】：解：复数包含实数和虚数，虚数包含纯虚数和非纯虚数，故① 为复数，② 为虚数，③ 为纯虚数．故选：D．【点评】：本题主要考查结构图的应用，属于基础题．4.（单选题，5分）已知x，y，z∈R，且a=x2+2y，b=y2+2z，c=z2+2x，则a，b，c三个数（）A.都小于-1B.至少有一个不小于-1C.都大于-1D.至少有一个不大于-1 【正确答案】：B【解析】：求出a+b+c 的范围，再结合选项判断即可．【解答】：解：a+b+c=x 2+y 2+z 2+2x+2y+2z =（x+1）2+（y+1）2+（z+1）2-3≥-3， ∴a ，b ，c 三个数中至少有一个不小于-1． 故选：B ．【点评】：本题考查不等式的性质，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于基础题． 5.（单选题，5分）在同一平面直角坐标系中，由曲线x 2+y 2=1得到曲线4x 2+y 2=16，则对应的伸缩变换为（ ） A. {x′=12xy′=4yB. {x′=2xy′=14yC. {x′=2x y′=4yD. {x′=12x y′=14y【正确答案】：C【解析】：直接利用关系式的变换的应用求出结果．【解答】：解：设伸缩变换为 {x′=λxy′=μy （λ＞0，μ＞0），由曲线x 2+y 2=1得到曲线4x 2+y 2=16，即有 {4λ2=16μ2=16，故λ=2，μ=4． 故选：C ．【点评】：本题考查了圆变换为椭圆的伸缩变换，考查了变形能力与计算能力，属于中档题． 6.（单选题，0分）已知x ，y ，z∈R +，且x+y+z=30，则lgx+lgy+lgz 的最大值为（ ） A.1 B.2 C.3D.4【正确答案】：C【解析】：由已知结合基本不等式及对数的运算性质即可求解．【解答】：解：因为x，y，z∈R+，且x+y+z=30，所以xyz ≤(x+y+z3)3=1000，当且仅当x=y=z=10时取等号，则lgx+lgy+lgz=lg（xyz）≤lg1000=3．故选：C．【点评】：本题主要考查了基本不等式及对数的运算性质在求解最值中的应用，属于基础题．7.（单选题，5分）下列四个命题：① 在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定；② 若变量x，y满足关系y=-2x+1，且变量y与z正相关，则x与z也正相关；③ 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；④ 样本点可能全部不在回归直线ŷ = b̂ x+ â上．其中真命题的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个【正确答案】：C【解析】：根据已知条件，结合线性回归方程的性质，以及残差的定义，即可依次求解．【解答】：解：对于① ，在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x确定，还受随机误差的影响，故① 正确，对于② ，变量x，y满足关系y=-2x+1，则y与x负相关，由变量y与z正相关，则x与z负相关，故② 错误，对于③ ，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合效果较好，模型拟合的精度越高，故③ 正确，对于④ ，样本中心恒在回归直线方程上，样本点可能全部不在回归直线ŷ = b̂ x+ â上，故④ 正确．故选：C．【点评】：本题主要考查线性回归方程的性质，以及残差的定义，属于基础题．8.（单选题，5分）已知i-1是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，其中p，q∈R，则p+q=（）A.6B.8C.10D.12【正确答案】：B【解析】：结合实系数方程虚根成对独立，结合韦达定理，求解即可．【解答】：解：i-1是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，所以-i-1也是方程的根，可得- p2 =i-1-i-1=-2，所以p=4，q=（i-1）（-i-1）=2，可得q=4，2所以．p+q=8．故选：B．【点评】：本题考查实系数方程虚根成对独立的应用，是基础题．9.（单选题，5分）用模型y=me nx+2（m＞0）拟合一组数据时，设z=lny，将其变换后得到回归方程为ẑ=3x+2，则n-m=（）A.-1B.1C.-2D.2【正确答案】：D【解析】：对y=me nx+2两边取对数，再结合回归方程为ẑ=3x+2，即可求解【解答】：解：∵y=me nx+2，∴lny=nx+2+lnm，∵z=lny，ẑ=3x+2，∴n=3，2+lnm=2，解得m=1，∴n-m=3-1=2．故选：D．【点评】：本题主要考查线性回归方程的应用，属于基础题．10.（单选题，5分）我们知道；在平面内，点（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为，通过类比的方法，则在空间中，点（1，2，4）到平面2x+2y+z+2=0的距d= |Ax0+By0+C|√A2+B2离为（）A.4B.5C.6D.7【正确答案】：A【解析】：类比平面内点到直线的距离求解．【解答】：解：点（1，2，4）到平面2x+2y+z+2=0的距离为：=4，d=|2×1+2×2+4+2|√22+22+12故选：A．【点评】：本题考查了点到直线的距离计算，属于基础题．11.（单选题，5分）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图1所示的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”，该数表的规律是每行首尾数字均为1，从第三行开始，其余的数字是它“上方”左右两个数字之和．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图2所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n行各数字的和为S n，如S1=1，S2=2，S4=4，⋯，则S32等于（）A.16B.32C.64D.128【正确答案】：B【解析】：由图分析得第2n-1-1行且n∈N *所有项均为奇数，判断S 32对应第31行是还存在n∈N *，使2n-1-1=31，由此能求出S 32．【解答】：解：由杨辉三角几何排列分析得： 第2n-1-1行且n∈N *所有项均为奇数，S 32对应第31行，令2n-1-1=31，可得n=6∈N *， 所有第31行数字均为奇数，∴S 32=32． 故选：B ．【点评】：本题考查简单的归纳推理、杨辉三角几何排列等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.（单选题，5分）已知曲线 {x =cosαy =−1+√3sinα ，（α为参数）上任一点P （x 0，y 0），使得不等式a≤x 0+y 0成立，则实数a 的取值范围是（ ） A.（-∞，-3] B.[-3，+∞） C.[1，+∞） D.（-∞，1] 【正确答案】：A【解析】：设 {x 0=cosαy 0=−1+√3sinα ，利用三角恒等变换及正弦型函数的性质求x 0+y 0范围，根据恒成立求参数范围．【解答】：解：由题设，令 {x 0=cosαy 0=−1+√3sinα，则 x 0+y 0=cosα+√3sinα−1=2sin (α+π6)−1 ，所以x 0+y 0∈[-3，1]，又a≤x 0+y 0对任一点p （x 0，y 0）都成立，故a≤-3． 故选：A ．【点评】：本题考查了三角恒等变换及正弦型函数的性质，属于中档题．13.（单选题，0分）若不等式|x-1|+| 4x+1|≤a有解，则实数a的取值范围是（）A.a≥4B.a＜4C.a≥2D.a＜2【正确答案】：A【解析】：令f（x）=|x-1|+| 4x+1|，问题转化为a≥f（x）能成立，通过讨论x的范围，求出f（x）的最小值，即可得到a的范围．【解答】：解：不等式|x-1|+| 4x +1|≤a有解，即a≥|x-1|+| 4x+1|能成立，令f（x）=|x-1|+| 4x+1|，则a≥f（x）能成立，显然，x≠0，下面求f（x）的最小值．当x＜-4时，f（x）=1-x+ 4x +1=2-x+ 4x单调递减，此时，f（x）＞5．当-4≤x＜0，f（x）=1-x- 4x -1=-x- 4x≥2 √(−x)•(−4x) =4，当且仅当x=-2时，取等号，此时，f（x）最小值为4．当0＜x＜1时，f（x）=1-x+ 4x +1=2-x+ 4x单调递减，f（x）＞5．当x≥1时，f（x）=x-1+ 4x +1=x+ 4x≥2 √x•4x=4，当且仅x=2时，取等号，f（x）最小值为4．综上可得，f（x）最小值为4，∴a≥4，故选：A．【点评】：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查转化思想，分类讨论思想，是一道中档题．14.（单选题，5分）计算器是如何计算sinx，cosx，πx，lnx，√x等函数值的？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如sinx=x- x 33!+x55!−x77!+…，cosx=1- x22!+x44!−x66!+…，其中n!=1×2×3×…×n，英国数学家泰勒（B．Taylor，1685-1731）发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的sinx和cosx的值也就越精确．运用上述思想，可得到sin（π2 +1）的近似值为（）A.0.50B.0.52C.0.54D.0.56【正确答案】：C【解析】：根据新定义，取x=1代入公式sin（π2 +1）= cosx=1−x22!+x44!−x66!+⋅⋅⋅中，直接计算取近似值即可．【解答】：解：由题意可得，sin（π2 +1）= cos1=1−122!+144!−166!+⋯=1−12+124−1720+⋯=1-0.5+0.041-0.001+…≈0.54，故选：C．【点评】：本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可．15.（填空题，5分）复数1−i20221+i的共轭复数为 ___ ．【正确答案】：[1]1+i【解析】：根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．【解答】：解：∵i2022=（i4）505•i2=-1，∴ 1−i20221+i = 21+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，∴复数1−i20221+i的共轭复数为1+i．故答案为：1+i．【点评】：本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．16.（填空题，5分）用最小二乘法得到一组数据（x i，y i）（其中i=1、2、3、4、5）的线性回归方程为ŷ = b̂ x+3，若∑5i=1 x i=25、∑5i=1 y i=65，则当x=10时，y的预报值为 ___ ．【正确答案】：[1]23【解析】：根据已知条件，求出x，y的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可求解线性回归方程，再将x=10代入，即可求解．【解答】：解：x=15∑x i5i=1=15×25=5，y=15∑y i5i=1=15×65=13，∵线性回归方程为ŷ = b̂ x+3，∴13= 5b̂+3，解得b̂=2，∴线性回归方程为y=2x+3，∵当x=10时，y=2×10+3=23．故答案为：23．【点评】：本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题．17.（填空题，5分）将正奇数数列1，3，5，7，9，…依次按两项，三项分组．得到分组序列如下：（1，3），（5，7，9），（11，13），（15，17，19），…．称（1，3）为第1组，（5，7，9）为第2组，以此类推，则原数列中的2021位于分组序列中第 ___ 组．【正确答案】：[1]405【解析】：将2个括号作为一组，则每组中有5个数，先找出2019所在的位置，然后确定2021所在的位置．【解答】：解：由题意可知，将2个括号作为一组，则每组中有5个数，由于2019是第1010个奇数，在第1010÷5=202组中，是第2个括号内最后一个数，又每组2个括号，所以，2019是第202×2=404个括号内的数，而2021是第1011个奇数，所以在第405个括号内，即第405组．故答案为：405．【点评】：本题考查归纳推理，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．18.（填空题，5分）已知a，b，c∈（0，1），且4+lna=a+2ln2，e+lnb=1+b，2+lnc=c+ln2，则a，b，c的大小关系是 ___ ．【正确答案】：[1]c＞b＞a【解析】：在同一坐标系中，作出函数y=lna，y=x+2ln2-4，y=1+x-e，y=x+ln2-2的图象求解．【解答】：解：a，b，c∈（0，1），且4+lna=a+2ln2，e+lnb=1+b，2+lnc=c+ln2，在同一坐标系中作出y=lna，y=x+2lnx-4，y=1+x-e，y=x+ln2-2的图象，如图，由图象知a，b，c的大小关系是c＞b＞a．故答案为：c＞b＞a．【点评】：本题考查三个数的大小的判断，考查函数的图象与性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.（问答题，10分）已知复数z=a+i（a＞0，a∈R），且z+ 2z∈R，其中i为虚数单位．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）已知复平面上的四个点A，B，C，D构成平行四边形ABCD，复数z+z2，z+1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求点D对应的复数．【正确答案】：【解析】：（I）根据已知条件，结合复数的四则运算，以及实数的定义，即可求解．（II）根据已知条件，结合复数的四则运算，以及平行四边形的性质，即可求解【解答】：解：（I）∵z=a+i，∴ z+2z =a+i+2a+i= a+i+2(a−i)(a+i)(a−i)= a+2aa2+1+(1−2a2+1)i∈R，∴ 1−2a2+1=0，解得a=±1，∵a＞0，∴a=1，∴z=1+i．（2）∵z 2=（1+i ）2=2i ，z+z 2=1+3i ，z+1=2+i ， ∴A （1，3），B （2，1），C （0，2）， 设D （x ，y ）， ∵ABCD 为平行四边形， ∴ AD⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 设D （x ，y ），则 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1，y −3) ， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2，1) ， ∴ {x −1=−2y −3=1 ，解得x=-1，y=4，即D （-1，4）， 故点D 对应的复数为-1+4i ．【点评】：本题主要考查复数的运算法则，以及平行四边形的性质，属于中档题．20.（问答题，12分）某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个智慧课堂项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试，经过一个阶段的试用，为了解智慧课堂对学生学习的促进情况该公司随机抽取了200名学生，对他们“任意角和弧度制”知识点掌握情况进行调查，样本调查结果如表：（Ⅰ）从两校高一学生中随机抽取1人，估计该学生对“任意角和弧度制”知识点基本掌握的概率；（Ⅱ）完成下面2×2列联表，并分析是否有99%的把握认为基本掌握“任意角和弧度制”知识点与使用智慧课堂有关？【正确答案】：【解析】：（I ）根据已知条件，结合古典概型的概率公式，即可求解． （II ）结合独立性检验公式，即可求解．【解答】：解：（I ）在两所学校被调查的200名学生中，对“任意角和弧度制”知识点基本掌握的学生有140人，所以估计从两校高一学生中随机抽取1人，该学生对“任意角和弧度制”知识点基本掌握的概率为 140200=0.7 ． （II ）2×2列联表如下：∵ K 2=100×100×140×60≈ 9.524＞6.635，∴有99%的把握认为基本掌握“任意角和弧度制“知识点与使用智慧课堂有关．【点评】：本题主要考查独立性检验公式，考查计算能力，属于基础题．21.（问答题，12分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 {x =2+2cosθy =2sinθ （θ为参数），曲线C 2的方程为x+y-6=0，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C 1，C 2的极坐标方程；（Ⅱ）若射线α= π4分别交C 1，C 2于A ，B 两点（点A 异于极点），求|AB|．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据参数方程，直角坐标方程及极坐标方程的转化关系，直接求解即可； （Ⅱ）利用参数的几何意义直接求解即可．【解答】：解：（Ⅰ）曲线C 1的直角坐标方程为（x-2）2+y 2=4，……………………………（2分） 曲线C 1的极坐标方程为：ρ=4cosθ，……………………………（4分）曲线C 2的极坐标方程为：ρsinθ+ρcosθ=6，即 ρsin (θ+π4)=3√2 ；………（6分） （Ⅱ）由题意可知， |OA |=ρA =2√2，|OB |=3√2 ，……………………………（9分）∴ |AB|=|OB|−|OA|=ρB−ρA=√2．……………………………（12分）【点评】：本题考查参数方程，直角坐标方程及极坐标方程的互化，以及参数的几何意义，考查运算求解能力，属于中档题．22.（问答题，0分）已知函数f（x）=|x+1|-m，m∈R，且f（x）≤0的解集为[-2，0]．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设a，b，c为正数，且a+2b+3c=m，求a2+b2+c2的最小值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求解不等式f（x）≤0，结合f（x）≤0的解集为[-2，0]，可得关于m的方程组，则m值可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a+2b+3c=1，再由柯西不等式求a2+b2+c2的最小值．【解答】：解：（Ⅰ）由f（x）=|x+1|-m≤0，得|x+1|≤m，∴ {m＞0−m−1≤x≤m−1，∵f（x）≤0的解集为[-2，0]，∴ {−m−1=−2m−1=0，解得m=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a+2b+3c=1，由柯西不等式得（a2+b2+c2）（12+22+32）≥（a+2b+3c）2，∴ a2+b2+c2≥1212+22+32=114．当且仅当a=114，b= 214=17，c= 314时等号成立，∴a2+b2+c2的最小值为114．【点评】：本题考查函数的最值及其几何意义，考查柯西不等式的应用，是中档题．23.（问答题，12分）用分析法证明：对于任意a、b∈[-2，2]，都有|ab+4|≥2|a+b|．【正确答案】：【解析】：要证|ab+4|≥2|a+b|，即证（ab+4）2≥4（a+b ）2，再结合作差法和不等式的基本性质，即可求证．【解答】：证明：要证|ab+4|≥2|a+b|，即证（ab+4）2≥4（a+b ）2， ∵a ，b∈[-2，2]，∴0≤a+2≤4，-4≤a -2≤0，0≤b+2≤4，-4≤b -2≤0， ∵（ab+4）2-4（a+b ）2=（a 2b 2+8ab+16）-4（a 2+2ab+b 2） =a 2b 2+16-4a 2-4b 2=（a 2-4）（b 2-4）=（a-2）（a+2）（b-2）（b+2）≥0， 故|ab+4|≥2|a+b|，即得证【点评】：本题主要考查不等式的证明，掌握分析法和综合法是解本题的关键，属于中档题． 24.（问答题，12分）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ2（1+3sin 2θ）=4．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x+2y-4=0． （Ⅰ）若点M 为曲线C 1上的动点，求点M 到直线l 的距离的最小值；（Ⅱ）倾斜角为 π3 的曲线C 2过点P （-1，0），交曲线C 1于A ，B 两点，求 1|PA| + 1|PB| ．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求出C 1的参数方程，设出点M 的坐标，利用点到直线的距离公式以及三角函数的性质求解即可；（Ⅱ）利用参数的几何意义直接求解即可．【解答】：解：（Ⅰ）由 {x =ρcosθy =ρsinθ 得，曲线C 1的普通方程为x 2+4y 2=4，………………………（2分）可知曲线C 1的参数方程为 {x =2cosαy =sinα ，（α为参数）……………………………（3分）设点M 的坐标为（2cosα，sinα），…………………………（4分）所以点M 到直线l 的距离为 d =√5=|2√2sin(α+π4)−4|√5，……………………………（5分）当 sin (α+π4)=1 时， d min =√2√5=4√5−2√105， ∴点M 到直线l 的距离的最小值为 4√5−2√105；……………………………（6分）（Ⅱ）曲线C 2的参数方程为 {x =−1+12t y =√32t （t 为参数），……………………………（7分）代入曲线C 1得：13t 2-4t-12=0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则 t 1+t 2=413，t 1t 2=−1213，t 1，t 2异号，……………………………（9分）∴ 1|PA|+1|PB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1|+|t 2||t 1t 2|=|t 1−t 2||t 1t 2| = √(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=2√103．………………（12分）【点评】：本题考查参数方程，普通方程以及极坐标方程的互化，考查点到直线的距离以及参数的几何意义，考查运算求解能力，属于中档题． 25.（问答题，0分）已知函数f （x ）=|x+a|+|x+1|． （Ⅰ）当a=-1时，求f （x ）＜3x 的解集；（Ⅱ）g （x ）=x 2-2x+2+a 2，若对∃x 1∈R ，∀x 2∈[0，+∞）使得f （x 1）≤g （x 2）成立，求实数a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）代入a 的值，将函数f （x ）化为分段函数的形式，然后再分类讨论解不等式即可；（Ⅱ）依题意，f （x ）min ≤g （x ）min ，求出函数f （x ）和g （x ）在定义域上的最小值，解不等式即可．【解答】：解：（Ⅰ）当a=-1时， f (x )={−2x ，x ＜−12，−1≤x ≤12x ，x ＞1，当x ＜-1时，-2x ＜3x ，解得x∈∅，……………………………（3分） 当-1≤x≤1时，2＜3x ，解得 23＜x ≤1，……………………………（4分） 当x ＞1时，2x ＜3x ，解得x ＞1，……………………………（5分）综上，原不等式的解集为 {x|x ＞23} ；．……………………………（5分） （Ⅱ）因为x∈R 时，f （x ）=|x+a|+|x+1|≥|x+a -x-1|=|a-1|，当且仅当（x+a ）（x+1）≤0时等号成立，即f （x ）min =|a-1|，……………………………（7分） 因为g （x ）=x 2-2x+2+a 2，所以 g (x )min =g (1)=a 2+1 ，……………………………（8分） 因为对∃x 1∈R ，∀x 2∈[0，+∞）使得f （x 1）≤g （x 2）成立，等价于f （x ）min ≤g （x ）min ，所以|a-1|≤a 2+1，……………………………（10分） 因为a 2+1＞0，所以-a 2-1≤a -1≤a 2+1，解得a≤-1或a≥0，所以实数a 的取值范围为（-∞，-1]∪[0，+∞）．……………………………（12分）【点评】：本题考查绝对值不等式的解法及其性质，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．26.（问答题，12分）目前，新冠病毒引起的疫情仍在全球肆虐在党中央的正确领导下，全国人民团结一心，使我国疫情得到了有效的控制．其中，各大药物企业积极投身到新药的研发中．汕头某药企为评估一款新药的药效和安全性，组织一批志愿者进行临床用药实验，结果显示临床疗效评价指标A 的数量y 与连续用药天数x 具有相关关系．刚开始用药时，指标A 的数量y 变化明显，随着天数增加，y 的变化趋缓．根据志愿者的临床试验情况，得到了一组数据（x i ，y i ），i=1，2，3，4，5，…，10，x i 表示连续用药i 天，y i 表示相应的临床疗效评价指标A 的数值．该药企为了进一步研究药物的临床效果，建立了y 关于x 的两个回归模型： 模型 ① ：由最小二乘公式可求得y 与x 的线性回归方程： y ̂=2.50x −2.50 ；模型 ② ：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：y=blnx+a 的附近，令t=lnx ，则有 ∑t i 10i=1=22.00 ， ∑y i 10i=1=230 ， ∑t i 10i=1y i =569.00 ， ∑t i 210i=1=50.92 ．（1）根据所给的统计量，求模型 ② 中y 关于x 的回归方程；（2）根据下列表格中的数据，说明哪个模型的预测值精度更高、更可靠．（3）根据（2）中精确度更高的模型，预测用药一个月后，疗效评价指标相对于用药半个月的变化情况（一个月以30天计，结果保留两位小数）． 附：样本（t i i i i=1i ∑(t i −t)2ni=1 y t 相关指数 R 2=1−i 2n i=1∑(y −y )2n ，参考数据：ln2≈0.6931．【正确答案】：【解析】：（1）根据已知条件，结合最小二乘法公式，即可求解． （2）通过比较二者的相关系数，即可求解．（3）分别求出连续用药30天后，连续用药15天后的y 值，再对二者作差，即可求解．【解答】：解：（1）由题意可知 ∑t i 10i=1=22.00 ， ∑y i 10i=1=230 ，可得 t =2.20 ， y =23 ， b ̂=∑(t i −t)ni=1(y i −y )∑(t i −t)2n i=1 = ∑t i ni=1y i −10t•y ∑t i 2n i=1−10t2 = 569−10×2.2×2350.92−10×2.2×2.2=25 ， 则 a ̂=y −b̂t =23−25×2.20=−32 ， 所以模型 ② 中y 关于x 的回归方程 y ̂=25lnx −32 ． （2）由表格中的数据，可得102.28＞36.19，即102.28∑(y i −y )10i=1236.19∑(y −y )210所以模型 ① 的R 2小于模型 ② ，说明回归模型 ② 刻画的拟合效果更好， （3）根据模型 ② ，当连续用药30天后， y ̂30=25ln30−32 ， 连续用药15天后， y ̂15=25ln15−32 ， ∵ y ̂30−y ̂15=25ln2=17.3275≈17.33 ，∴用药一个月后，疗效评价指标相对于用药半个月提高17.33．【点评】：本题主要考查线性回归方程的求解，考查转化能力，属于中档题．。

2021-2022学年河南省实验中学高一（下）期中数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）复数（3+i）m-（2+i）对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是（）A.m＜ $\frac{2}{3}$B.m＜1C. $\frac{2}{3}$ ＜m＜1D.m＞12.（单选题，5分）已知向量 $\overrightarrow{a}=(2，0)$ ， $\overrightarrow{b}=(1，1)$ ，若向量 $\overrightarrow{a}$ 与向量 $\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}$ 垂直，则实数λ=（）A. $\frac{1}{2}$B.1C.2D.33.（单选题，5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $A=45°，a=\sqrt{2}，b=\sqrt{3}$ ，则B等于（）A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°4.（单选题，5分）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（）A. $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$B. $2+\sqrt{2}$C. $1+\sqrt{2}$D. $1+\frac{\sqrt{2}}{2}$5.（单选题，5分）已知两条不同的直线m，n和平面α，下列结论正确的是（）① m || n，n⊥α，则m⊥α；② m || α，n || α，则m || n；③ m⊥α，n⊥α，则m || n；④ m与平面α所成角的大小等于n与平面α所成角的大小，则m || n．A. ① ③B. ① ②C. ② ③D. ① ④6.（单选题，5分）已知i，j为互相垂直的单位向量， $\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}$ ， $\overrightarrow{b}=3\overrightarrow{i}+(λ-4)\overrightarrow{j}$ ，且 $\overrightarrow{a}$ 与$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ 的夹角为钝角，则λ的取值范围为（）A.（3，+∞）B.（3，4）∪（4，+∞）C.（-∞，3）D.（-∞，-2）∪（-2，3）7.（单选题，5分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC+bcosA=b，则△ABC是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形8.（单选题，5分）已知ABCD-A1B1C1D1为正方体，E为BC的中点，则异面直线CB1与DE 所成角的余弦值为（）A. $\frac{\sqrt{6}}{3}$B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$C. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$D. $\frac{\sqrt{10}}{10}$9.（单选题，5分）锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且$\sqrt{3}$ （acosB+bcosA）=2csinB，a=2．则边长b的取值范围是（）A. $({0，\sqrt{3}})$B. $({0，2\sqrt{3}})$C.（ $\sqrt{3}$ ，2 $\sqrt{3}$ ）D. $({\sqrt{3}，+∞})$10.（单选题，5分）如图所示，点C在以O为圆心2为半径的圆弧AB上运动，且∠AOB=120°，则 $\overrightarrow{CB}\bullet \overrightarrow{CA}$ 的最小值为（）A.-4B.-2C.0D.211.（单选题，5分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，M，N分别为A1D1，B1C1的中点，E，F分别为棱AB，CD上的动点，则三棱锥M-NEF的体积（）A.存在最大值，最大值为 $\frac{8}{3}$B.存在最小值，最小值为 $\frac{2}{3}$C.为定值 $\frac{4}{3}$D.不确定，与E，F的位置有关12.（单选题，5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若ac=4，a•cosC+3c•cosA=0，则△ABC面积的最大值为（）A.1B. $\sqrt{3}$C.2D.413.（填空题，5分）若O为△ABC的重心（重心为三条中线交点），且$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+λ\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$ ，则λ=___ ．14.（填空题，5分）已知圆锥底面半径为1，母线长为3，某质点从圆锥底面圆周上一点A出发，绕圆锥侧面一周，再次回到A点，则该质点经过的最短路程为 ___ ．15.（填空题，5分）设复数z1，z2满足|z1|=|z2|=2，z1+z2= $\sqrt{3}$ +i，则|z1-z2|=___ ．16.（填空题，5分）体积为 $\sqrt{3}$ 的三棱锥P-ABC的顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABC，PA=2，∠ABC=120°，则球O的体积最小值为___ ．17.（问答题，10分）已知复数 ${z}_{1}=(a+i)^{2}$ ，z2=4-3i，其中a是实数．（1）若z1=iz2，求实数a的值；（2）若 $\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$ 是纯虚数，求a的值．18.（问答题，12分）已知 $\overrightarrow{a}=({\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}})$ ，$|{\overrightarrow{b}}|=1$ ，且 $\overrightarrow{a}$ ， $\overrightarrow{b}$ 的夹角为$\frac{π}{3}$．（1）求 $|{2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}|$ ；（2）若 $({\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}})\parallel({k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}})$ ，求实数k的值．19.（问答题，12分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD || BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（Ⅰ）证明：MN || 平面PAB；（Ⅱ）求四面体N-BCM的体积．20.（问答题，12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2C=sin2A+cos2B+sinAsinC．（1）求角B的大小；（2）若 $b=2\sqrt{3}$ ，角B的角平分线交AC于D，且BD=1，求△ABC的面积．21.（问答题，12分）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=2$\sqrt{3}$ ，AB=BC= $\sqrt{2}$ ，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（Ⅰ）求证：PA⊥BD；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC；（Ⅲ）当PA || 平面BDE时，求直线EB与平面ABC所成的角．22.（问答题，12分）如图，设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知c=1且2csinAcosB=asinA-bsinB+ $\frac{1}{4}$ bsinC，cos∠BAD= $\frac{\sqrt{21}}{7}$ ．（1）求b边的长度；（2）求△ABC的面积；（3）设点E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于G，且△AEF的面积为△ABC 面积的一半，求 $\overrightarrow{AG}\bullet \overrightarrow{EF}$ 的最小值．2021-2022学年河南省实验中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）复数（3+i）m-（2+i）对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是（）A.m＜ $\frac{2}{3}$B.m＜1C. $\frac{2}{3}$ ＜m＜1D.m＞1【正确答案】：A【解析】：先把复数化为标准的代数形式，求出此复数对应点的坐标，利用第三象限内的点的坐标特点求出实数m的取值范围．【解答】：解：（3+i）m-（2+i）=（3m-2）+（m-1）i，∵点在第三象限内，∴3 m-2＜0，且m-1＜0，∴m＜ $\frac{2}{3}$ ，故选：A．【点评】：本题考查两个复数代数形式的运算，复数与复平面内对应点间的关系，以及第三象限内的点的坐标特点．2.（单选题，5分）已知向量 $\overrightarrow{a}=(2，0)$ ， $\overrightarrow{b}=(1，1)$ ，若向量 $\overrightarrow{a}$ 与向量 $\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}$ 垂直，则实数λ=（）A. $\frac{1}{2}$B.1C.2D.3【正确答案】：C【解析】：由向量坐标运算法则求出 $\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}$ ，再由向量$\overrightarrow{a}$ 与向量 $\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}$ 垂直，利用向量垂直的性质列出方程，能求出实数λ．【解答】：解：∵向量 $\overrightarrow{a}=(2，0)$ ， $\overrightarrow{b}=(1，1)$ ，∴ $\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}$ =（2-λ，-λ），∵向量 $\overrightarrow{a}$ 与向量 $\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}$ 垂直，∴ $\overrightarrow{a}\bullet (\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b})$ =2（2-λ）=0，解得实数λ=2．故选：C．【点评】：本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.（单选题，5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $A=45°，a=\sqrt{2}，b=\sqrt{3}$ ，则B等于（）A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°【正确答案】：D【解析】：由已知利用正弦定理可求sinB的值，结合B的范围，由特殊角的三角函数值即可得解．【解答】：解：∵ $A=45°，a=\sqrt{2}，b=\sqrt{3}$ ，∴由正弦定理可得：sinB= $\frac{bsinA}{a}$ =$\frac{\sqrt{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，∵B∈（0°，180°），∴B=60°，或120°．故选：D．【点评】：本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4.（单选题，5分）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（）A. $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$B. $2+\sqrt{2}$C. $1+\sqrt{2}$D. $1+\frac{\sqrt{2}}{2}$【正确答案】：B【解析】：水平放置的图形为直角梯形，求出上底，高，下底，利用梯形面积公式求解即可．【解答】：解：水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2，下底为1+ $\sqrt{2}$ ，S= $\frac{1}{2}$ （1+ $\sqrt{2}$ +1）×2=2+ $\sqrt{2}$ ．故选：B．【点评】：本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，属基础知识的考查．5.（单选题，5分）已知两条不同的直线m，n和平面α，下列结论正确的是（）① m || n，n⊥α，则m⊥α；② m || α，n || α，则m || n；③ m⊥α，n⊥α，则m || n；④ m与平面α所成角的大小等于n与平面α所成角的大小，则m || n．A. ① ③B. ① ②C. ② ③D. ① ④【正确答案】：A【解析】：在① 中，由线面垂直的判定定理得m⊥α；在② 中，m与n相交、平行或异面；在③ 中，由线面垂直的判定定理得m || n；在④ 中，m与n相交、平行或异面．【解答】：解：由两条不同的直线m，n和平面α，知：在① 中，m || n，n⊥α，则由线面垂直的判定定理得m⊥α，故① 正确；在② 中，m || α，n || α，则m与n相交、平行或异面，故② 错误；在③ 中，m⊥α，n⊥α，则由线面垂直的判定定理得m || n，故③ 正确；在④ 中，m与平面α所成角的大小等于n与平面α所成角的大小，则m与n相交、平行或异面，故④ 错误．故选：A．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．6.（单选题，5分）已知i，j为互相垂直的单位向量， $\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}$ ， $\overrightarrow{b}=3\overrightarrow{i}+(λ-4)\overrightarrow{j}$ ，且 $\overrightarrow{a}$ 与$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ 的夹角为钝角，则λ的取值范围为（）A.（3，+∞）B.（3，4）∪（4，+∞）C.（-∞，3）D.（-∞，-2）∪（-2，3）【正确答案】：D【解析】：根据条件可得出， $\overrightarrow{a}=(-1，2)$ ，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(2，λ-2)$ ，然后根据 $\overrightarrow{a}$ 与$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ 的夹角为钝角即可得出关于λ不等式组，解出λ的范围即可．【解答】：解：根据条件得， $\overrightarrow{a}=(-1，2)，\overrightarrow{b}=(3，λ-4)$ ，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(2，λ-2)$ ，∵ $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ 的夹角为钝角，∴ $\overrightarrow{a}\bullet (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})＜0$ ，且$\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ 不共线，∴ $\left\{\begin{array}{l}{-2+2(λ-2)＜0}\\{-(λ-2)-4≠0}\end{array}\right.$ ，解得λ＜3且λ≠-2，∴λ的取值范围为：（-∞，-2）∪（-2，3）．故选：D．【点评】：本题考查了向量坐标的定义，向量坐标的加法和数量积的运算，共线向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．7.（单选题，5分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC+bcosA=b，则△ABC是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【正确答案】：D【解析】：由已知结合正弦定理及和差角，诱导公式进行化简即可求解．【解答】：解：由acosC+bcosA=b及正弦定理得，sinAcosC+sinBcosA=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+sinCcosA，所以sinBcosA=sinCcosA，所以sinB=sinC或cosA=0，所以B=C或A=90°，故△ABC是等腰三角形或直角三角形．故选：D．【点评】：本题主要考查了正弦定理，和差角公式及诱导公式在三角形判断中的应用，属于基础题．8.（单选题，5分）已知ABCD-A1B1C1D1为正方体，E为BC的中点，则异面直线CB1与DE 所成角的余弦值为（）A. $\frac{\sqrt{6}}{3}$B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$C. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$D. $\frac{\sqrt{10}}{10}$【正确答案】：D【解析】：选取BB1的中点F，得EF || CB1，∠DEF或其补角为异面直CB1与DE所成的角，再求出△DEF的三边长，利用余弦定理求角的余弦值得答案．【解答】：解：取BB1的中点F，连接DF，FE，BD，∵E为BC的中点，∴EF || CB1，∴∠DEF或其补角为异面直CB1与DE所成的角，由正方体ABCD-A1B1C1D1可知△ABD，△BDF，△BFE，△DCE均为直角三角形，设正方体的棱长为2，由勾股定理易求得DF=3，FE= $\sqrt{2}$ ，DE= $\sqrt{5}$ ，在△DEF中，由余弦定理有cos∠DEF= $\frac{(\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{2})^{2}-{3}^{2}}{2×\sqrt{5}×\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{10}}{10}$ ，所以异面直线CB1与DE所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ ．故选：D．【点评】：本题考查学生异面直线所成角的求法，属基础题．9.（单选题，5分）锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且 $\sqrt{3}$ （acosB+bcosA）=2csinB，a=2．则边长b的取值范围是（）A. $({0，\sqrt{3}})$B. $({0，2\sqrt{3}})$C.（ $\sqrt{3}$ ，2 $\sqrt{3}$ ）D. $({\sqrt{3}，+∞})$【正确答案】：C【解析】：由已知结合正弦定理化简原式可求sinB，进而可求B= $\frac{π}{3}$，根据正弦定理结合A的范围，即可求出【解答】：解：∵ $\sqrt{3}$ （acosB+bcosA）=2csinB，∴ $\sqrt{3}$ （sinAcosB+sinBcosA）=2sinCsinB，∴ $\sqrt{3}$ sin（A+B）=2sinCsinB，∴ $\sqrt{3}$ sinC=2sinCsinB，∴sinB= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，∴B= $\frac{π}{3}$或B= $\frac{2π}{3}$∵△ABC为锐角三角形，∴B= $\frac{π}{3}$，∴ $\frac{π}{6}$＜A＜ $\frac{π}{2}$，即 $\frac{1}{2}$ ＜sinA＜1由正弦定理可得 $\frac{b}{sinB}$ = $\frac{a}{sinA}$ ，则b= $\frac{asinB}{sinA}$ =$\frac{\sqrt{3}}{sinA}$ ，此时 $\sqrt{3}$ ＜b＜2 $\sqrt{3}$综上所述b的取值范围为（ $\sqrt{3}$ ，2 $\sqrt{3}$ ），故选：C．【点评】：本题主要考查了正弦定理，三角函数的图象和性质，属于中档试题10.（单选题，5分）如图所示，点C在以O为圆心2为半径的圆弧AB上运动，且∠AOB=120°，则 $\overrightarrow{CB}\bullet \overrightarrow{CA}$ 的最小值为（）A.-4B.-2C.0D.2【正确答案】：B【解析】：先将所求问题中的向量转化成起点为O点的向量，再利用向量线性运算、向量数量积定义构建函数模型，通过函数思想求解．【解答】：解：如图连接AB，过O作OP垂直AB于点P，则P为AB中点，又OA=OB=2，∠AOB= $\frac{2π}{3}$，∴∠OBP= $\frac{π}{6}$，∴OP=|OB|•sin∠OBP= $2×\frac{1}{2}$ =1，设 $＜\overrightarrow{OP}，\overrightarrow{OC}＞$ =θ，则θ∈[0， $\frac{π}{3}$ ]，∴ $\overrightarrow{CB}\bullet \overrightarrow{CA}=(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC})\bullet (\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC})$ =$\overrightarrow{OA}\bullet \overrightarrow{OB}-(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\bullet\overrightarrow{OC}+{\overrightarrow{OC}}^{2}$=2×2×cos $\frac{2π}{3}$ - $2\overrightarrow{OP}\bullet \overrightarrow{OC}$ +4=2-2×1×2×cosθ=2-4cosθ，θ∈[0， $\frac{π}{3}$ ]，∴当θ=0时，cosθ=1， $\overrightarrow{CB}\bullet \overrightarrow{CA}$ 取得最小值：2-4=-2，∴ $\overrightarrow{CB}\bullet \overrightarrow{CA}$ 的最小值为-2．故选：B．【点评】：本题考查化归转化思想，向量线性运算、向量数量积定义，函数思想，属中档题．11.（单选题，5分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，M，N分别为A1D1，B1C1的中点，E，F分别为棱AB，CD上的动点，则三棱锥M-NEF的体积（）A.存在最大值，最大值为 $\frac{8}{3}$B.存在最小值，最小值为 $\frac{2}{3}$C.为定值 $\frac{4}{3}$D.不确定，与E，F的位置有关【正确答案】：C【解析】：利用等体积法，转化求解三棱锥的体积即可．【解答】：解：由题意可知，三棱锥M-NEF的体积就是F-MNE的体积，连接NB，作CH⊥BN 于H，所以BN为E到MN的距离： $\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$ = $\sqrt{5}$ ，CH为F到平面MNE的距离，△BB1N∽△BCH，可得 $\frac{CH}{2}=\frac{2}{\sqrt{5}}$ ，所以CH= $\frac{4}{\sqrt{5}}$ ，所以V M-NEF=V F-MNE= $\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{5}×$ $\frac{4}{\sqrt{5}}$ =$\frac{4}{3}$ ．故选：C．【点评】：本题考查空间几何体的体积的求法，等体积法的应用，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．12.（单选题，5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若ac=4，a•cosC+3c•cosA=0，则△ABC面积的最大值为（）A.1B. $\sqrt{3}$C.2D.4【正确答案】：A【解析】：△ABC中，a•cosC+3c•cosA=0，利用余弦定理可得：2b2=a2-c2．结合ac=4，a，b 都用c表示，利用余弦定理及其基本不等式的性质可得cosB的最小值，可得sinB的最大值，即可得出三角形面积的最大值．【解答】：解：△ABC中，a•cosC+3c•cosA=0，∴a• $\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$ +3c• $\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$ =0，化为：2b2=a2-c2．∵ac=4，∴a= $\frac{4}{c}$ ，∴b2= $\frac{\frac{16}{{c}^{2}}-{c}^{2}}{2}$ =$\frac{8}{{c}^{2}}-\frac{{c}^{2}}{2}$ ．∴cosB= $\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$ = $\frac{\frac{16}{{c}^{2}}+{c}^{2}-(\frac{8}{{c}^{2}}-\frac{{c}^{2}}{2})}{8}$ =$\frac{\frac{8}{{c}^{2}}+\frac{3{c}^{2}}{2}}{8}$ ≥$\frac{2\sqrt{\frac{8}{{c}^{2}}×\frac{3{c}^{2}}{2}}}{8}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，当且仅当c2= $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ ，b2= $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ ，a2=4 $\sqrt{3}$ 时取等号．∴B∈ $(0，\frac{π}{6}]$．∴sinB $≤\frac{1}{2}$ ．则△ABC面积的最大值= $\frac{1}{2}$ acsinB≤ $\frac{1}{2}×4×\frac{1}{2}$ =1．故选：A．【点评】：本题考查了余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13.（填空题，5分）若O为△ABC的重心（重心为三条中线交点），且$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+λ\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$ ，则λ=___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：由平面向量基本定理求解即可．【解答】：解：由O为△ABC的重心（重心为三条中线交点），则$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$ ，又$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+λ\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$ ，则λ=1，故答案为：1．【点评】：本题考查了平面向量基本定理，属基础题．14.（填空题，5分）已知圆锥底面半径为1，母线长为3，某质点从圆锥底面圆周上一点A出发，绕圆锥侧面一周，再次回到A点，则该质点经过的最短路程为 ___ ．【正确答案】：[1] $3\sqrt{3}$【解析】：计算出圆锥侧面展开图对应的扇形的圆心角，利用几何关系求得最短路径．【解答】：解：圆锥的侧面展开图是扇形，从A点出发绕侧面一周，再回到 A 点的最短的路线即展开得到的扇形的弧所对弦，转化为求弦长的问题如图所示：设展开的扇形的圆心角为α，∵圆锥底面半径 r=1cm，母线长是 OA=3cm，∴根据弧长公式得到2π×1=α×3，∴ $α=\frac{2π}{3}$，即扇形的圆心角是 $\frac{2π}{3}$，∴∠AOH=60°，∴动点P自A出发在侧面上绕一周到 A 点的最短路程为弧所对的弦长：AA′=2AH=2×OAsin∠AOH= $2×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $3\sqrt{3}$ ．故答案为： $3\sqrt{3}$ ．【点评】：本题主要考查圆锥的侧面展开图应用问题，考查了直观想象和数学运算的核心素养，把立体几何问题转化为平面问题是解决这类问题的关键，属于中档题．15.（填空题，5分）设复数z1，z2满足|z1|=|z2|=2，z1+z2= $\sqrt{3}$ +i，则|z1-z2|=___ ．【正确答案】：[1]2 $\sqrt{3}$【解析】：利用复数模的计算公式和复数的运算性质，求解即可．【解答】：解：复数z1，z2满足|z1|=|z2|=2，z1+z2= $\sqrt{3}$ +i，所以|z1+z2|=2，∴ $|{z}_{1}+{z}_{2}{|}^{2}=({z}_{1}+{z}_{2})\bullet \overline{{z}_{1}+{z}_{2}}$ =4，∴8+ ${z}_{1}\overline{{z}_{2}}+\overline{{z}_{1}}{z}_{2}=4$ ．得${z}_{1}\overline{{z}_{2}}+\overline{{z}_{1}}{z}_{2}=-4$ ．∴|z1-z2|2=8-（ ${z}_{1}\overline{{z}_{2}}+\overline{{z}_{1}}{z}_{2}$ ）=12．又|z1-z2|＞0，故|z1-z2|=2 $\sqrt{3}$ ．故答案为：2 $\sqrt{3}$ ．【点评】：熟练掌握复数的运算法则和纯虚数的定义、复数模的计算公式是解题的关键．16.（填空题，5分）体积为 $\sqrt{3}$ 的三棱锥P-ABC的顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABC，PA=2，∠ABC=120°，则球O的体积最小值为___ ．【正确答案】：[1] $\frac{28\sqrt{7}π}{3}$【解析】：根据棱锥体积得出AB和BC的关系，设AB=x，利用余弦定理计算AC，得出△ABC所在圆的半径，进而求出球O的半径，利用基本不等式得出球的半径的最小值即可计算出球的最小体积．【解答】：解：设AB=x，BC=y，则V P-ABC= $\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×x×y×sin120°×2$ = $\sqrt{3}$ ，∴xy=6，即y= $\frac{6}{x}$ ，由余弦定理可得AC= $\sqrt{{x}^{2}+\frac{36}{{x}^{2}}-2x\bullet \frac{6}{x}\bulletcos120°}$ = $\sqrt{{x}^{2}+\frac{36}{{x}^{2}}+6}$ ，设△ABC所在截面圆半径O′C=r，则2r= $\frac{AC}{sin∠ABC}$ =$\frac{2\sqrt{{x}^{2}+\frac{36}{{x}^{2}}+6}}{\sqrt{3}}$ ，∴r= $\frac{\sqrt{{x}^{2}+\frac{36}{{x}^{2}}+6}}{\sqrt{3}}$ ，∵PA⊥平面ABC，PA=2，∴球心O到平面ABC的距离为OO′= $\frac{1}{2}PA$ =1，故球O的半径R= $\sqrt{{r}^{2}+1}$ = $\sqrt{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{12}{{x}^{2}}+3}$ ≥ $\sqrt{2\sqrt{\frac{{x}^{2}}{3}\bullet \frac{12}{{x}^{2}}}+3}$ = $\sqrt{7}$ ，∴球O的体积V= $\frac{4π{R}^{3}}{3}$≥ $\frac{28\sqrt{7}π}{3}$．故答案为： $\frac{28\sqr t{7}π}{3}$．【点评】：本题考查了棱锥与外接球的位置关系，球的体积计算，属于中档题．17.（问答题，10分）已知复数 ${z}_{1}=(a+i)^{2}$ ，z2=4-3i，其中a是实数．（1）若z1=iz2，求实数a的值；（2）若 $\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$ 是纯虚数，求a的值．【正确答案】：【解析】：（1）根据已知条件，结合复数相等的条件，以及复数的运算法则，即可求解．（2）根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数的运算法则，即可求解．【解答】：解：（1）∵复数 ${z}_{1}=(a+i)^{2}$ ，z2=4-3i，z1=iz2，∴（a+i）2=a2-1+2ai=3+4i，即 $\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-1=3}\\{2a=4}\end{array}\right.$ ，解得a=2．（2） $\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$ = $\frac{(a+i)^{2}}{4-3i}$ = $\frac{({a}^{2}+2ai-1)(4+3i)}{(4+3i)(4-3i)}$ = $\frac{(4{a}^{2}-6a-4)+(3{a}^{2}+8a-3)i}{25}$ ，∵ $\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$ 是纯虚数，∴ $\left\{\begin{array}{l}{4{a}^{2}-6a-4=0}\\{3{a}^{2}+8a-3≠0}\end{array}\right.$ ，解得a=2或a= $-\frac{1}{2}$ ．【点评】：本题主要考查复数的运算法则，以及纯虚数的定义，属于基础题．18.（问答题，12分）已知 $\overrightarrow{a}=({\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}})$ ，$|{\overrightarrow{b}}|=1$ ，且 $\overrightarrow{a}$ ， $\overrightarrow{b}$ 的夹角为$\frac{π}{3}$．（1）求 $|{2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}|$ ；（2）若 $({\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}})\parallel({k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}})$ ，求实数k的值．【正确答案】：【解析】：（1）可求出 $|\overrightarrow{a}|=1$ ，进而求出 $\overrightarrow{a}\bullet\overrightarrow{b}=\frac{1}{2}$ ，然后根据$|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{(2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b })^{2}}$ 进行数量积的运算即可求出答案；（2）根据 $(\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b})\parallel(k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$ 及共线向量基本定理可得出：存在λ，使得$\overrightarrow{a}+k\over rightarrow{b}=λk\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b}$ ，然后可得出 $\left\{\begin{array}{l}{kλ=1}\\{λ=k}\end{array}\right.$ ，从而解出k的值即可．【解答】：解：（1）∵ $|{\overrightarrow{a}}|=1$ ， $|\overrightarrow{b}|=1$ ， $＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{π}{3}$，∴ $\overrightarrow{a}⋅\overrightarrow{b}=\frac{1}{2}$ ，∴$|{2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}|=\sqrt{{({2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}})}^2}=\sqrt{{{\overrightarrow{4a}}^2}+4\overrightarrow{a}⋅\overrightarrow{b}+{{\o verrightarrow{b}}^2}}=\sqrt{7}$ ；（2）方法一：$({\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}})//({k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}) $ ，则存在非零实数λ，使$\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}=λ({k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}})=λk\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b}$ ，由共面定理得 $\left\{\begin{array}{l}kλ=1\\ λ=k\end{array}\right.$ ，则k=±1．方法二：由已知 $\overrightarrow{b}=(1，0)$ 或 $\overrightarrow{b}=({-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}})$ ，当 $\overrightarrow{b}=({1，0})$ ，$\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}=({\frac{1}{2}+k，\frac{\sqrt{3}}{2}})$ ，$k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=({\frac{k}{2}+1，\frac{\sqrt{3}k}{2}})$ ，∴ $({\frac{1}{2}+k})⋅\frac{\sqrt{3}k}{2}-({\frac{k}{2}+1})⋅\frac{\sqrt{3}}{2}=0$ ，则k=±1，同理 $\overrightarrow{b}=({-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}})$ 时，k=±1，综上，k=±1．【点评】：本题考查了向量数量积的运算及计算公式，根据向量的坐标求向量的长度的方法，共线和平面向量基本定理，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．19.（问答题，12分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD || BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（Ⅰ）证明：MN || 平面PAB；（Ⅱ）求四面体N-BCM的体积．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，得NE是△PBC的中位线，推导出四边形ABEM是平行四边形，由此能证明MN || 平面PAB．（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，NF是△PAC的中位线，推导出NF⊥面ABCD，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，则四边形AGCM是平行四边形，由此能求出四面体N-BCM的体积．【解答】：证明：（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线∴NE || PB，又∵AD || BC，∴BE || AD，∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，∴BE= $\frac{1}{2}$ BC=AM=2，∴四边形ABEM是平行四边形，∴EM || AB，∴平面NEM || 平面PAB，∵MN⊂平面NEM，∴MN || 平面PAB．解：（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，∵NF是△PAC的中位线，∴NF || PA，NF= $\frac{1}{2}PA$ =2，又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，如图，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，∵AM $\underset{=}{\parallel }$ CG，∴四边形AGCM是平行四边形，∴A C=MG=3，又∵ME=3，EC=CG=2，∴△MEG的高h= $\sqrt{5}$ ，∴S△BCM= $\frac{1}{2}×BC×h$ = $\frac{1}{2}×4×\sqrt{5}$ =2 $\sqrt{5}$ ，∴四面体N-BCM的体积V N-BCM= $\frac{1}{3}×{S}_{△ BCM}×NF$ =$\frac{1}{3}×2\sqrt{5}×2$ = $\frac{4\sqrt{5}}{3}$ ．【点评】：本题考查线面平行的证明，考查四面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20.（问答题，12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2C=sin2A+cos2B+sinAsinC．（1）求角B的大小；（2）若 $b=2\sqrt{3}$ ，角B的角平分线交AC于D，且BD=1，求△ABC的面积．【正确答案】：【解析】：（1）由已知结合同角平方关系及正弦定理转化为a，b，c的关系，然后结合余弦定理可求cosB，进而可求B；（2）由题意得，S△ABC=S△ABD+S△BCD，然后结合三角形面积公式可得a，c的关系式，再由余弦定理可求ac，再利用三角形面积公式可求．【解答】：解：（1）因为cos2C=sin2A+cos2B+sinAsinC．所以1-sin2C=sin2A+1-sin2B+sinAsinC，即sin2B=sin2A+sin2C+sinAsinC，由正弦定理得，b2=a2+c2+ac，由余弦定理得，cosB= $\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$ =- $\frac{1}{2}$ ，由B为三角形内角得，B=120°；（2）由题意得，S△ABC=S△ABD+S△BCD，且$∠\;\\;ABD=∠\\;\\;CBD$ ABD= $∠\;\\;ABD$ CBD= $\frac{1}{2}∠$ B=60°，BD=1，所以 $\frac{1}{2}$ acsinB= $\frac{1}{2}$ c•BD•sin60°+ $\frac{1}{2}a$ •BD•sin60°，所以 $\frac{\sqrt{3}}{4}\;ac$ = $\frac{\sqrt{3}}{4}$ （a+c），即ac=a+c，因为b=2 $\sqrt{3}$ ，由余弦定理得，b2=12=a2+c2-2accos120°=a2+c2+ac，因为（a+c）2=a2+c2+2ac=12+ac=（ac）2，所以ac=4或ac=-3（舍），故△ABC的面积S= $\frac{1}{2}acsinB$ = $\frac{\sqrt{3}}{4}×4$ = $\sqrt{3}$ ．【点评】：本题主要考查了同角平方关系，正弦定理，余弦定理及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．21.（问答题，12分）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=2 $\sqrt{3}$ ，AB=BC= $\sqrt{2}$ ，D为线段AC的中点，E 为线段PC上一点．（Ⅰ）求证：PA⊥BD；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC；（Ⅲ）当PA || 平面BDE时，求直线EB与平面ABC所成的角．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由线面垂直的判定和性质，可得证明；（Ⅱ）首先推得BD⊥平面PAC，由面面垂直的判定定理，可得证明；（Ⅲ）由线面平行的性质定理推得PA || DE，可得DE= $\sqrt{3}$ ，由线面角的定义可得∠EBD为直线EB与平面ABC所成角，计算可得所求值．【解答】：解：（Ⅰ）证明：因为PA⊥AB，PA⊥BC，而AB∩BC=B，可得PA⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC，所以PA⊥BD；（Ⅱ）证明：由BD⊥PA，又△ABC为等腰直角三角形，可得BD⊥AC，而PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC，而BD⊂平面PBD，可得平面BDE⊥平面PAC；（Ⅲ）由PA || 平面BDE，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面DEB=DE，所以PA || DE，则DE= $\frac{1}{2}$ PA= $\sqrt{3}$ ，由于PA⊥平面ABC，可得DE⊥平面ABC，所以∠EBD为直线EB与平面ABC所成角．因为BD= $\frac{1}{2}$ AC=1，所以tan∠EBD= $\frac{ED}{BD}$ = $\sqrt{3}$ ，所以∠EBD=60°．即直线EB与平面ABC所成角为60°．【点评】：本题考查空间中线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判定和性质，以及线面角的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．22.（问答题，12分）如图，设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知c=1且2csinAcosB=asinA-bsinB+ $\frac{1}{4}$ bsinC，cos∠BAD= $\frac{\sqrt{21}}{7}$ ．（1）求b边的长度；（2）求△ABC的面积；（3）设点E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于G，且△AEF的面积为△ABC面积的一半，求 $\overrightarrow{AG}\bullet \overrightarrow{EF}$ 的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）根据正弦定理，余弦定理求出b，c的关系，求出b的值即可；（2）根据向量的运算性质以及余弦定理求出三角形的面积即可；（3）求出xy=2，再根据向量的运算性质求出 $\overrightarrow{AG}\bullet\overrightarrow{EF}$ 的解析式，求出其最小值即可．【解答】：解：（1）由条件 $2csinAcosB=asinA-bsinB+\frac{1}{4}bsinC$ ，可得： $2cacosB={a^2}-{b^2}+\frac{1}{4}bc$ ，化简可得：4c=b，而c=1，所以：b=4．（2）因为D为中点，所以$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ ，设$〈\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}〉=θ$，则$|\overrightarrow{AD}|=\frac{\sqrt{17+8cosθ}}{2}$，又$\overrightarrow{AB}⋅\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}⋅\frac{1}{2}(\overrightarro w{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1+4cosθ}{2}$，所以$\frac{\sqrt{21}}{7}=cos∠BAD=\frac{\overrightarrow{AB}⋅\overrightarrow{AD}}{|\overright arrow{AB}|⋅|\overrightarrow{AD}|}=\frac{1+4cosθ}{\sqrt{17+8cosθ}}$，化简可得：28cos2θ+8cosθ-11=0，解得：$cosθ=\frac{1}{2}$ 或$cosθ=-\frac{11}{14}$ ，又1+4cosθ＞0，所以$cosθ=\frac{1}{2}$ ，故△ABC的面积为 $\sqrt{3}$ ．（3）设 $|\overrightarrow{AE}|=x，|\overrightarrow{AF}|=y$ ，因为△AEF的面积为△ABC面积的一半，所以xy=2，设 $\overrightarrow{AG}=λ\overrightarrow{AD}$ ，则$\overrightarrow{AG}=λ\overrightarrow{AD}=\frac{λ}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{λ}{2}\ overrightarrow{AC}$ ，又E，G，F共线，所以设 $\overrightarrow{AG}=μ\overrightarrow{AE}+(1-μ)\overrightarrow{AF}$ ，则 $\overrightar row{AG}=μ\overrightarrow{AE}+(1-μ)\overrightarrow{AF}=xμ\overrightarrow{AB}+\frac{y(1-μ)}{4}\overrightarrow{AC}$ ，所以： $\left\{{\left.\begin{array}{l}{xμ=\frac{λ}{2}}\\{\frac{y(1-μ)}{4}=\frac{λ}{2}}\end{array}\right.}\right.$ ，解得：$μ=\frac{y}{4x+y}$ ，所以：$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{4x+y}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{4x+y}\overrightarrow{ AC}$ ，又 $\overrightarrow{EF}=\frac{y}{4}\overrightarrow{AC}-x\overrightarrow{AB}$ ，所以：$\overrightarrow{AG}⋅\overrightarrow{EF}=({\frac{2}{4x+y}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{4x+y}\overrightarrow{AC}})⋅({\frac{y}{4}\overrightarrow{AC}-x\overrightarrow{AB}})$= $\frac{2}{4x+y}[{\frac{y}{4}{{\overrightarrow{AC}}^2}-x{{\overrightarrow{AB}}^2}+({\frac{y}{4}-x})\overrightarrow{AC}⋅\overrightarrow{AB}}]=\frac{9y-6x}{4x+y}$ ，又xy=2，所以化简可得： $\overrightarrow{AG}⋅\overrightarrow{EF}=\frac{9y-6x}{4x+y}=\frac{18-6{x^2}}{4{x^2}+2}$ ，又y≤4，所以$1≥x≥\frac{1}{2}$ ，所以 $\overrightarrow{AG}⋅\overrightarrow{EF}≥2$，当x=1时等号成立．【点评】：本题考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查向量的运算性质以及求函数最值问题，是难题．。

2021-2022学年河南省实验中学九年级数学上册第一次月考试题一．选择题（共38小题）1．若菱形的两条对角线长分别是6和8，则它的周长为（）A．20B．24C．40D．482．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（）A．逐渐增加B．逐渐减小C．保持不变且与EF的长度相等D．保持不变且与AB的长度相等3．如图，菱形ABCD的周长为52，对角线AC的长为24，DE⊥AB，垂足为E，则DE的长为（）A．B．C．D．4．菱形的两个邻角之比为1：2，如果较短的对角线的长是3cm，则它的周长为（）A．8cm B．9cm C．12cm D．15cm5．菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的面积是（）A．10B．20C．24D．486．如图，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，DH⊥AB于点H，则DH的长为（）A．3B．C．D．7．如图，在菱形ABCD中，AC＝AB，则∠ABC＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°8．已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形较长的对角线长是（）A．B．C．3D．69．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若AC＝14，则OB的长为（）A．7B．6C．5D．210．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，CD＝3，若AE垂直平分OB于点E，则BC的长是（）A．4B．3C．6D．511．如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC 的中点，若四边形EGFH为矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（）A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝DC D．AB⊥DC12．在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．连接AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形13．如图，在矩形ABCD中，M是BC上的动点，E，F分别是AM，MC的中点，则EF的长随着M点的运动（）A．变短B．变长C．不变D．先变短再变长14．如图，在△ABC中，DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是矩形D．如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F，则PE+PF的值为（）A．10B．4.8C．6D．516．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为（）A．18B．20C．22D．2417．如图，矩形ABCD的对角线的交点为O，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F，则图中阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的（）A．B．C．D．18．一个矩形的两条对角线的夹角有一个角为60°，且这个角所对的边长为10cm，则矩形的对角线长是（）A．cm B．cm C．20cm D．30cm19．如图，ABCD、AEFC都是矩形，而且点B在EF上，这两个矩形的面积分别是S1，S2，则S1，S2的关系是（）A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．3S1＝2S2 20．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AC＝10，D为边AC上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则EF的最小值为（）A．2.4B．3C．4.8D．521．矩形ABCD中，横向阴影部分是长方形，另一部分是平行四边形，依照图中标注的数据，图中空白部分的面积为（）A．bc﹣ab+ac+c2B．ab﹣bc﹣ac+c2C．a2+ab+bc﹣ac D．b2﹣bc+a2﹣ab22．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（）①平行四边形；②菱形；③等腰梯形；④对角线互相垂直的四边形．A．①③B．②③C．③④D．②④23．在矩形ABCD中，∠AOB＝120°，AD＝3，则AC为（）A．1.5B．3C．6D．924．如图，菱形ABCD对角线AC，BD交于点O，∠ACB＝15°，过点C作CE⊥AD交AD 的延长线于点E．若菱形ABCD的面积为4，则菱形的边长为（）A．2B．2C．4D．425．如图，已知正方形ABCD的面积为25，菱形PQCB的面积20，则阴影部分的面积为（）A．11B．6.5C．7D．7.526．如图，四边形ABCD和DEFG均为正方形，点E在对角线AC上，点F在边BC上，连接CG和EG．若知道正方形ABCD和DEFG的面积，则一定能求出（）A．四边形ABFE的周长B．四边形ECGD的周长C．四边形AEGD的周长D．四边形ACGD的周长27．如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN ＝（）A．B．C．6D．28．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD交于点O．添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的是（）A．添加“AB∥CD”，则四边形ABCD是菱形B．添加“∠BAD＝90°，则四边形ABCD是矩形C．添加“OA＝OC”，则四边形ABCD是菱形D．添加“∠ABC＝∠BCD＝90°”，则四边形ABCD是正方形29．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC 交EF于G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°，③AC垂直平分EF，④，其中正确结论有（）个．A．1B．2C．3D．430．如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD、正方形BEFG的边长分别为6、8，H为线段DF的中点，则BH的长为（）A．6B．8C．6或8D．531．如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，如果顶点M、N的坐标分别为（﹣14，9）、（﹣5，9），则顶点A的坐标为（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，3）C．（﹣2，2）D．（﹣3，3）32．下列关于▱ABCD的叙述，正确的是（）A．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形B．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形C．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形D．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形33．如图，在正方形ABCD中，BD＝2，∠DCE是正方形ABCD的外角，P是∠DCE的角平分线CF上任意一点，则△PBD的面积等于（）A．1B．C．2D．无法确定34．如图，点E是正方形ABCD外一点，连接AE、BE和DE，过点A作AE垂线交DE于点P．若AE＝AP＝2，PB＝6．下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为2；④S正方形ABCD＝32+4．则正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．435．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，则下列结论中错误的是（）A．当AB＝BC时，它是菱形B．当∠ABC＝90°时，它是正方形C．当AC＝BD时，它是矩形D．当AC⊥BD时，它是菱形36．如图1，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE ﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s．设P、Q出发ts时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系如图2所示（其中曲线OM为抛物线的一部分，其余各部分均为线段），当点P在ED上运动时，连接QD，若QD平分∠PQC，则t的值为（）A．14﹣2B．13﹣2C．12﹣2D．11﹣237．如图所示，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接EF，在移动的过程中，EF的最小值为（）A．1B．C．D．38．如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（）A．B．2C．D．2二．填空题（共10小题）39．如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积为．40．菱形ABCD的面积是cm2，其中一条对角线的长是cm，则菱形ABCD的较小的内角为，菱形ABCD的边长为．41．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加一个条件判定▱ABCD是菱形，所添条件为（写出一个即可）42．如图．在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点P为射线AB上一个动点．过点P 作PE⊥AB交射线AD于点E．将△AEP沿直线PE折叠，点A的对应点为F，连接FD、FC，若△FDC为直角三角形时，AP的长为．43．如图，菱形ABCD的边长为a，∠A＝60°，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF＝a．则EF的最小值是．44．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间t秒，则t的值为时，四边形QPCP′为菱形．45．如图，菱形ABCD在平面直角坐标系中，若点D的坐标为（1，），则点C的坐标为．46．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60°的菱形，剪口与折痕所成的角a的度数应为．47．如果菱形的两条对角线之比为1：3，周长为20，那么菱形的面积等于．48．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点（不与A、B重合），作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值是．三．解答题（共12小题）49．已知：如图，点F在△ABC的边AC上，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF，AB＝AF．求证：四边形ABEF是菱形．50．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到F，使EF ＝BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE为菱形；（2）若CE＝8，∠CFE＝60°，求四边形BCFE的面积．51．如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点E，点F为四边形ABCD外一点，DA平分∠BDF，∠ADF＝∠BAD，且AF⊥AC．（1）求证：四边形ABDF是菱形；（2）若AB＝5，求AC的长．52．如图，在Rt△ABC中，DC是斜边AB上的中线，EF过点C且平行于AB．若∠BCF＝35°，求∠ACD的度数．53．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AN为△ABC的外角∠CAM 的平分线，CE∥AD，交AN于点E．求证：四边形ADCE是矩形．54．如图所示，AD∥BC，∠BAD＝90°，以B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连接BE，过C作CF⊥BE于点F．（1）线段BF与图中哪条线段相等？写出来并加以证明：（2）若AB＝12，BC＝13，P从E沿ED方向运动，Q从C出发向B运动，两点同时出发且速度均为每秒1个单位．①当t＝秒时，四边形EPCQ是矩形；②当t＝秒时，四边形EPCQ是菱形．55．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为时，四边形AMDN是菱形．56．已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点；过点A作AF∥BC，交BE的延长线于F，连接CF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）填空：①当AB＝AC时，四边形ADCF是形；②当∠BAC＝90°时，四边形ADCF是形．57．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE 的延长线相交于点F，连接BF．（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；（2）将下列命题填写完整，并使命题成立（图中不再添加其它的点和线）：①当△ABC满足条件AB＝AC时，四边形AFBD是形；②当△ABC满足条件时，四边形AFBD是正方形．58．如图，在Rt△ABC中，AC＝4cm，∠ACB＝90°，动点F在BC的垂直平分线DG上从D点出发，以1cm/s的速度向左匀速移动，DG交BC于D，交AB于E，连接CE，设运动时间为t（s）．（1）当t＝6s时，求证：△ACE≌△EF A．（2）填空：①当t＝s时，四边形ACDF为矩形；②在（1）的条件下，当∠B＝时，四边形ACEF是菱形．59．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE．（1）求证：CE＝AD；（2）填空：①当D是AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？答：；②若D是AB的中点，则当∠A的度数为时，四边形BECD是正方形．60．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x 的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？。

河南省实验中学2022-2023学年上期第一次月考高一数学试题时间:120分钟 满分:150分 命题人:贠慧萍 审题人:闫文芳 宋超一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{}220A x x x =-≤，{}1,0,3B =-，则()R A B ⋂=（ ） A ．∅ B ．{}0,1 C ．{}1,3- D ．{}1,0,3-2．已知函数()282f x x x =+-，则函数()()3y f x f x =+-的定义域是（ ）A ．[-5，4]B ．[-2，7]C ．[-2，1]D ．[1，4]3．不等式3x －12－x≥1的解集是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 34≤x ≤2 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 34≤x <2 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >2或x ≤34 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥34 4．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥2x ＋1”的否定形式是( )A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <2x ＋1B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <2x ＋1C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <2x ＋1D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <2x ＋15．已知12a b ≤-≤，24a b ≤+≤，则32a b -的取值范围是（ ）A ．3,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．5,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．7,72⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，16AB =，点P 是斜边AB 上任意一点，过点P 作PQ AB ⊥，垂足为P ，交边AC （或边CB ）于点Q ，设AP x =，APQ 的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数221111x x f x x--⎛⎫= ⎪++⎝⎭，则()f x 的解析式为（ ） A ．()()2211x f x x x =≠-+ B ．()()2211x f x x x =-≠-+ C ．()()211x f x x x =≠-+ D ．()()211x f x x x =-≠-+ 8.已知x >0，y >0，且2x ＋1＋1y ＝2，若x ＋2y >m 2－3m －1恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≤－1或m ≥4B ．m ≤－4或m ≥1C ．－1<m <4D ．－4<m <1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．有以下判断，其中是正确判断的有（ ）A ．()x f x x = 与 ()1010x g x x ≥⎧=⎨-<⎩，， 表示同一函数； B ．函数 ()22122f x x x =+++的最小值为 2 C ．函数 ()y f x =的图象与直线 1x =的交点最多有 1 个D ．若 ()1f x x x =--，则 112f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．下面命题正确的是（ ） A ．“3x >”是“5x >”的必要不充分条件B ．“0ac <”是“一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负根”的充要条件C ．“1x ≠”是“2430x x -+≠”的必要不充分条件D ．设,x y R ∈，则“4x y +≥”是“2x ≥且2y ≥”的充分不必要条件11．函数()1,Q 0,Qx D x x ∈⎧=⎨∉⎩被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是（ ） A ．函数()D x 的值域为[]0,1B ．若()01D x =，则()011D x +=C ．若()()120D x D x -=，则12x x -∈Q D ．x ∃∈R ，(1D x =12．已知集合{}20,0x x ax b a ++=>有且仅有两个子集，则下面正确的是（ ） A ．224a b -≤B ．214a b+≥ C ．若不等式20x ax b +-<的解集为()12,x x ，则120x x >D ．若不等式2x ax b c 的解集为()12,x x ，且124x x -=，则4c =三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知21,0()2,0x x f x x x ⎧+≥=⎨-<⎩,求()1f f -=⎡⎤⎣⎦________. 14．已知正实数a 、b 满足131a b+=，则()()12a b ++的最小值是___________. 15．对于[]1,1a ∈-，()2210x a x a +-+->恒成立的x 取值________.16．若函数2()2f x x x =+，()2(0)g x ax a =+>，对于1x ∀∈[]1,2-，[]21,2x ∃∈-，使12()()g x f x =，则a 的取值范围是_____________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知A ＝{x |－1<x ≤3}，B ＝{x |m ≤x <1＋3m }．(1)当m ＝1时，求A ∪B ；(2)若B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围．18．（12分）（1）已知a ＜b ＜c ，且a +b +c =0，证明：a a a c b c--＜．（2(3)a ≥19. （12分）已知二次函数22y ax bx a =+-+.（1）若关于x 的不等式220ax bx a +-+>的解集是{}|13x x -<<.求实数,a b 的值；（2）若2,0b a =>，解关于x 的不等式220ax bx a +-+>.20．（12分）(1) 求函数()3f x x 在区间[]2,4上的值域.(2)已知二次函数2()1()f x x mx m m R =-+-∈.函数在区间[]1,1-上的最小值记为()g m ，求()g m 的值域；21．（12分）今年，我国某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且210100+1000,040()100007018450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部．手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（1）求2021年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）； （2）2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？22.（12分）已知11()2()82,0,11f x f x x x x x+=+-≠≠-， （1）求()f x 的解析式；（2）已知2()g x mx mx =-，2()()22g x x f x m -+＜-在(1,3)上有解，求m 的取值范围。