4李氏稳定性12

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4 稳定性分析4．1李氏稳定性分析 （1） 平衡状态设系统 [],xf x t = x —n 维状态向量。

f —n 维函数向量。

若存在状态向量ex ，对所有的t ，使得 []0ef x t ≡成立，则称ex 为系统的平衡状态。

例如 系统1132122x x xx x x =-⎧⎨=+-⎩解：有3个平衡点100e x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，201e x⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，301e x⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2） 稳定性分析1） 李亚普诺夫意义下的稳定 对于任选0ε>，都对应存在0(,)0t δε>的实数，当00(,)e x x t δε-≤时其解满足 00(,,)x t t εΦ≤ 0t t ≤<∞则称平衡状态ex 为李亚普诺夫意义下的稳定，如果δ与t 无关，则称ex 是一致稳定2） 渐近稳定由非0初始状态引起的自由运动是衰减的，当t →∞时， 0(,,)0et x t x Φ-=则ex 平衡点是渐近稳定的。

3） 大范围稳定如果ex 稳定，而且对于所有的0x ，00(,,)0et x t x Φ-→，则称平衡状态是大范围渐近稳定的。

4） 不稳定由初始状态引起的运动无论0ex x δ-≤，δ多么小，至少有一个状态超出任意指定的空间范围，则称平衡点ex 是不稳定的。

4．2李氏第一方法（1） 线性定常系统的稳定判据：xAx Bu =+ y Cx =系统稳定的充要条件是0SI A -=的特征根全位于S 左半面，输出稳定的充要条件是B A SIC S W 1)()(--=的极点全位于S 左半面，当存在零、极点对消情况时两者是不一致的。

1001-=A ，11B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，[]10C =)1()1(=+∙-=-S S A SI 11S =-，21S =状态不全稳定，属于状态不稳系统， 而输出为[]1)1)(1(111100101)()(1+=-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-=-S S S S S S B A SI C S W 是输出稳定系统。

4 稳定性分析4．1李氏稳定性分析 （1） 平衡状态设系统 [],x f x t = x —n 维状态向量。

f —n 维函数向量。

若存在状态向量ex ，对所有的t ，使得 []0ef x t ≡成立，则称ex 为系统的平衡状态。

例如 系统1132122x x x x x x =-⎧⎨=+-⎩解：有3个平衡点 100e x⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，201e x⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，301e x⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2） 稳定性分析1） 李亚普诺夫意义下的稳定 对于任选0ε>，都对应存在0(,)0t δε>的实数，当00(,)e x x t δε-≤时其解满足 00(,,)x t t εΦ≤ 0t t ≤<∞则称平衡状态ex 为李亚普诺夫意义下的稳定，如果δ与t 无关，则称ex 是一致稳定2） 渐近稳定由非0初始状态引起的自由运动是衰减的，当t →∞时， 0(,,)0et x t x Φ-=则ex 平衡点是渐近稳定的。

3） 大范围稳定如果ex 稳定，而且对于所有的0x ，00(,,)0et x t x Φ-→，则称平衡状态是大范围渐近稳定的。

4） 不稳定由初始状态引起的运动无论0ex x δ-≤，δ多么小，至少有一个状态超出任意指定的空间范围，则称平衡点ex 是不稳定的。

4．2李氏第一方法（1） 线性定常系统的稳定判据：x Ax Bu =+ y Cx =系统稳定的充要条件是0SI A -=的特征根全位于S 左半面，输出稳定的充要条件是B A SI C S W 1)()(--=的极点全位于S 左半面，当存在零、极点对消情况时两者是不一致的。

101-=A ，11B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， []10C = 0)1()1(=+∙-=-S S A SI 11S =-，21S =状态不全稳定，属于状态不稳系统， 而输出为[]1)1)(1(111100101)()(1+=-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-=-S S S S S S B A SI C S W 是输出稳定系统。

稳定性当系统承受这种干扰之后，能否稳妥地保持预定的运动轨迹或者工作状态，这就是稳定性。

使问题简化，而不得不忽略某些次要因素。

近似的数学模型能否如实反映实际的运动，在某种意义上说，也是稳定性（鲁棒性）问题。

平衡状态(4-2)受扰运动:平衡状态:(4-5)0 x t t"³？是李雅普诺夫意义下稳定的。

李雅普诺夫稳定性就是要研究微分方程的解在tÎ[t，+¥）上的有界性。

1. 此处d 随着e 、t 0而变化；时有‖x (t ；t 0，x 0)‖＜e "t ≥t 0成立初值变化充分小时，解的变化(t ≥ t 0)可任意小(不是无变化)；(t 0，e )£e 。

edt0x (t 0)d (t 0，e )x 0x (t )李雅普诺夫意义下稳定的几何意义(t 0)‖一致稳定：(4-9)00(,,)0(,,)T t T t m d m d >()S e ()H e 0x x()S d ()S e 0x ()x t T()S d t固定的吸引区，不是＜m ，t >t 0+ T(m ，t 0，x 0)t 0mt 0+ T(m , t 0, x 0)e00lim (,,)0®¥=t x t t x数量吸引区局部幸好，就我们所讨论的线性系统而言，全局和局部是一致的。

可见，即使初始值很大地偏离了平衡状态，系统最终0x1otl nx 非线性系统的解，),<。

故系统是李氏稳定的。

又与t d ddx xdt tttd<，,故其零解一致稳定。

又0t t 0t t()S e 0x ()x t ()S d cx ()e指数渐近稳定稳定渐近稳定一致渐近稳定一致稳定第一方法线性化的间接第二方法直接判断直接法李雅普诺夫第二方法目前仍是研究非线性、时变系统最有效的方法，是许多系统控制律设计李雅普诺夫第二法的主要定理(4-16)李雅普诺夫函数充分条件4-17)),则称系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定。

制备Li4Ti5O12的电化学性能研究锂离子电池是一种高性能、高安全性、低污染的二次电池。

在近年来的研究中，钛酸锂被广泛地应用于锂离子电池的负极材料中，其中最具有潜力的材料之一就是Li4Ti5O12。

Li4Ti5O12作为一种新型的负极材料，具有优异的电化学性能。

目前，制备Li4Ti5O12的研究主要采用三种方法，分别是固态反应法、溶胶-凝胶法和水热法。

本文将对上述三种方法及其制备的Li4Ti5O12的电化学性能进行综合分析和评价。

1. 固态反应法固态反应法是最传统和最常用的制备方法之一。

该方法通过将混合的前驱体进行高温煅烧，形成Li4Ti5O12粉末。

反应方程式为：2Li2CO3 + 5TiO2 → Li4Ti5O12 + 4CO2该方法的优点是制备简单、成本低。

但缺点是需要高温烧结，而且制备的粉末颗粒大小分布不均匀，形态不规则，导致电化学性能差。

2. 溶胶-凝胶法溶胶-凝胶法是一种新型、低温的制备方法。

该方法先将钛酸酯和锂盐溶解在相应的溶剂中，形成溶胶，然后通过干燥和高温煅烧形成Li4Ti5O12粉末。

反应方程式为：5LiOH·H2O + Ti(OC4H9)4 → Li4Ti5O12 + 20H2O + 4C4H9OH该方法制备的Li4Ti5O12粉末颗粒小、形态规则，具有优异的电化学性能。

但缺点是工艺非常复杂，需要长时间固化、干燥和煅烧，成本较高。

3. 水热法水热法是一种比较新型的制备方法。

该方法通过将钛酸酯和锂盐在所需的溶液中反应，然后利用高温高压条件，形成Li4Ti5O12粉末。

反应方程式为：5LiOH·H2O + Ti(OC4H9)4 → Li4Ti5O12 + 20H2O + 4C4H9OH该方法制备的Li4Ti5O12粉末颗粒较大，但电化学性能优异，成本较低。

但其缺点是需要高压条件，以及对反应环境有比较严格的要求。

在对三种方法制备的Li4Ti5O12粉末电化学性能进行综合评价时，可以看出溶胶-凝胶法制备的Li4Ti5O12粉末电化学性能最优，其比容量和循环寿命分别为175 mAh/g和1000次以上。