第一讲：提高班二次根式性质

又 ∵ a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0,
∴ a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。
∴ a= -2 , b= 3 ,c= 4。
∴ 2 a -b + c = 2 × (精-选2 p)pt-课3件+ 4 = -3 。
17
二次根式的双重非负性解析
经常作为隐含条件，是解题的关键
例 已知 x 1 y 3 0，求x＋y的值
1.表示a的算术平方根
2. a可以是数,也可以是式.
3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
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6
例1 : 判断，下列各式中那些是二次根式？
a 10, 00..0044,, a a2 , 2 ,
5,
aa , , 3 8 .
成一个数的平方的形式。如 4= 4 2 。
试一试（4）把下列各数写成平方的形式：
2
3=
3 2，
5 2
5 2
0.04
2
0.04
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24
( a)2a (a0) 面积a a
2
(
2 )2 7
7
a
( 2 1 )2 2 1
3
3
( 5)2 5
(
2 )2 -
3
2 3
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25
( 2 x ) 2 ( 3 y ) 2 2 x 3 y 2 x 3 y
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41
练习．在实数范围内分解因式
（1） 3x2 15
（2） 2a24b2
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42

1 •下列式子一定是二次根式的是( C )
知1－练
2 •(中考·武汉)若代数式 C
•则x的取值范围是( )
在实数范围内有意义，
•A．x≥－2 B．x>－2 C．x≥2 D．x≤2
知识点 2 二次根式的性质
知2－导
做一做
（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？
4 9 ____, 4 9 _____; 4 _____, 4 _____;
•
的根指数为2，所以
是二次根式．
• (7)是．理由：因为|x|≥0，且 根式．
的根指数为2，所以
是二次
总结
知1－讲
二次根式是在初始的外在情势上定义的，不能从化 简结果上判断，如 是二次根式. 像 （a≥0）这样的式子只能称为含有二次根式 的式子，不能称为二次根式.
知1－讲
• 例2 当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意 义？
知识点 1 二次根式的定义
知1－讲
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式． 其中a为整式或分式，a叫做被开方式． 特点：①都是形如 a 的式子，
②a都是非负数.
例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．
知1－讲
导引： 判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根
式定义的条件，紧扣定义进行辨认．
知3－练
1 (中考·淮安)下列式子为最简二次根式的是( A )
2 在下列根式中，不是最简二次根式的是( D )
1. 当a≥0时， 2. 当a≥0时， •3.
完成教材P43,习题T1-T4
谢谢！
知2－讲
知识点
商的算术平方根再探索 (1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法

第1讲 二次根式⎧⎪⎨⎪⎩二次根式的概念与性质二次根式二次根式的化简与计算二次根式的应用知识点1 二次根式的概念与性质1. 二次根式：一般地，我们把形如√a （a ≥0）的式子叫做二次根式.2. 二次根式的性质： ①（√a ）2=a （a ≥0）； ②√a²=|a |=a a a a 0⎧⎨-⎩（≥0）（＜）；③√ab =√a ·√b （a ≥0，b ≥0）； ④√ab =√a√b （a ≥0，b ＞0）.总结：①由定义可知，二次根式有意义的条件是：被开方数大于等于0；②二次根式具有双重非负性（即被开方数大于等于0，二次根式的值大于等于0）. 3. 代数式：用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.代数式有意义的条件：①所有分母不为0；②所有二次根式有意义.【典例】1.若a ，b ，c 满足的关系：√2a −5b +5+c +√3a −3b −c =√5−a +b +√a −b −5． 求： a ，b ，c 的值.2.已知非零实数a ，b 满足+|b ﹣3|++4=a ，求a b ﹣1的值．【方法总结】重要结论：①已知a，b为定值，若x，y为实数，且y=√x−a+√a−x+b，则x=a，y=b；②若a，b均为非负数，且a+b=0，则a=0，b=0.（拓展：若几个非负数的和为0，则这几个数都为0）【随堂练习】1．（2019秋•武昌区校级月考）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＜2B．x≥2C．x=2D．x＜﹣22．（2017秋•遂平县期末）式子有意义的x的取值范围是（）A．x≥B．x≠﹣1C．x≤且x≠﹣1D．x＜且x≠﹣1知识点2 二次根式的化简与计算1. 最简二次根式最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开的尽方的因数或因式.分母有理化的2种常见方式：①√a =√a√a·√a=√aa；②√a+b =1·（√a−b）（√a+b）（√a−b）=√a−ba−b²（√a−b=1·（√a+b）（√a−b）（√a+b）=√a+ba−b²）.2. 二次根式的运算法则乘法法则：√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）除法法则：√a√b =√ab（a≥0，b＞0）加减法法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. 【典例】1.小明在解决问题：已知a=2+√3，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：∵a =2+√3=√3(2+√3)(2−√3)=2−√3，∴a −2=−√3，∴（a ﹣2）2=3，a 2﹣4a+4=3， ∴a 2﹣4a=﹣1，∴2a 2﹣8a+1=2（a 2﹣4a ）+1.将a 2﹣4a=﹣1代入2（a 2﹣4a ）+1，原式=2×（﹣1）+1=﹣1． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）化简√3+1√5+√3√7+√5⋯√121+√119．（2）若a =√2−1．求3a 2﹣6a+1的值．【方法总结】重要方法：化简二次根式时，一般把根号下的带分数或绝对值大于1的小数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；将被开方数中能开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面． 重要结论：①若n 为正整数，√n+1+√n=√n +1﹣√n ；②若n 为正整数，a 为定值，√n+a+√n =1a（√n +a ﹣√n ）.2.（1）计算：（√24−√12）﹣（√18+√6）+2√12×√34÷5√2；（2）先化简，再求值：（√b b−√ab ﹣√aa+√ab ）÷√a √a+√b，其中a=17﹣12√2，b=3+2√2.【方法总结】重要方法：根号下面出现根号时，要考虑是否能用完全平方公式去掉最外层的根号，如下题.化简：√3+2√2.∵3+2√2=2+1+2√2=(√2)2+2×√2×1+12=(√2+1)2，∴√3+2√2=√(√2+1)2=√2+1.【随堂练习】1．（2019春•巫山县期中）下列根式中是最简二次根式的是（）A．B．C．D．2．（2019春•沂水县期中）下列运算中正确的是（）A．2•3=6B．===C．===3D．÷×=1=÷=13．（2019春•丰润区期末）下列计算中，正确的是（）A．B．（4）2=8C．=3D．2=2知识点3 二次根式的应用二次根式的应用主要有三类题型：①比较两个含有二次根式数的大小；②几何中的应用；③实际生活中的应用.【典例】1.课堂上老师讲解了比较√11﹣√10和√15﹣√14的方法，观察发现11﹣10=15﹣14=1，于是比较这两个数的倒数：√11−√10=√11+√10(√11−√10)(√11+√10)=√11+√10；√15−√14=√15+√14(√15−√14)(√15+√14)=√15+√14．为√15+√14＞√11+√10，所以√15−√14√11−√10，则有√15−√14＜√11−√10．请你设计一种方法比较√8+√3与√6+√5的大小．【方法总结】比较两个含有二次根式的数的大小的常用方法：①平方法；②差值法；③比值法；④倒数法.2.阅读：若一个三角形的三边长分别为a 、b 、c ，设p =12(a +b +c)，则这个三角形的面积为s =√p(p −a)(p −b)(p −c)．（1）应用：如图1，在△ABC 中，AB=6，AC=5，BC=4，求△ABC 面积．（2）引申：如图2，在（1）的条件下，AD 、BE 分别为△ABC 的角平分线，它们的交点为I ，求：I 到AB 的距离．3.如图，是张老师买的经济适用房平面结构示意图，图中标明了有关尺寸（墙体厚度忽略不计，单位：m），房主计划把卧室以外的地面都铺上地砖，（1）求出该经济适用房的面积．（用含x，y的代数式表示）．（2）当x=√3，y=2√3，求该经济适用房的所铺地砖面积．【方法总结】拓展：①已知三角形的三边长分别为a、b、c，其面积S=√p(p−a)(p−b)(p−c)，其中.（海伦公式）p=a+b+c2②已知三角形的面积和三边长，可以求出角平分线的交点（到三边的距离相等）到一边的距离（三角形内切圆的半径）.【随堂练习】1．（2017秋•碑林区校级期末）若a≥1，直角三角形三边分别为2a，a+3，a+，则该三角形的面积为（）A．B．4C．2D．82．（2019春•武清区期中）如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）cm2．A．16﹣8B．﹣12+8C．8﹣4D．4﹣2综合运用1．（2019春•天津期末）如果有意义，那么（）A．a≥B．a≤C．a≥﹣D．a2．（2019春•东莞市期末）若式子有意义，则x的取值范围是（）A．x B．x C．x D．x3．（2019春•双鸭山期末）下列运算错误的是（）A．=B．C．D．==34．（2019•濮阳一模）下列各式计算正确的是（）A．2ab+3ab=5ab B．（﹣a2b3）2=a4b5C．×=D．（a+1）2=a2+15．（2019春•韩城市期末）已知某三角形的面积等于长、宽分别为、的矩形的面积，若该三角形的一条边长为，求这条边上的高．6．（2019春•遵义期中）如果一个长方形的长为cm，宽为cm，求长方形的面积？。

二次根式知识点归纳二次根式是数学中的一个重要概念，也是我们在中学阶段学习的数学知识之一、学好二次根式的知识，不仅可以提高我们的数学实力，还能够帮助我们更好地理解和应用数学。

下面是对二次根式的知识点进行归纳总结。

一、二次根式的定义与性质1.二次根式的定义：如果一个数x的平方等于一个有理数a，那么称x是a的二次根，记作√a=x。

其中，a是被开方数，x是二次根。

2.二次根式的性质：二次根式具有以下基本性质：-非负性：对于所有的a≥0，√a≥0。

-唯一性：对于任意一个正数a，二次根√a是唯一确定的。

-传递性：对于任意的a≥0和b≥0，如果√a=√b，那么a=b。

-加减性：对于任意的a≥0和b≥0，有√a±√b=√(a±b)。

-乘除性：对于任意的a≥0和b≥0，有√(a×b)=√a×√b，√(a/b)=√a/√b（其中，b不为零）。

二、二次根式的化简1.因式分解法：将二次根式的被开方数进行因式分解，然后利用乘除性质化简。

2.合并同类项法：将二次根式中相同的根号项合并，然后根据加减性质化简。

三、二次根式的比较大小1.当被开方数相同时，二次根式相等，即√a=√b，当且仅当a=b。

2.当被开方数不同时，可以通过平方的方式来比较大小。

即对于a≥b≥0，有√a≥√b。

四、二次根式的运算1.加减运算：对于任意的a≥0和b≥0，可以进行二次根式的加减运算。

-加法：√a+√b=√(a+b)。

-减法：√a-√b=√(a-b)（需要满足a≥b）。

2.乘法运算：对于任意的a≥0和b≥0，可以进行二次根式的乘法运算。

-乘法：√a×√b=√(a×b)。

3.除法运算：对于任意的a≥0和b>0，可以进行二次根式的除法运算。

-除法：√a/√b=√(a/b)（需要满足b≠0）。

五、二次根式的应用二次根式在实际问题中的应用非常广泛1.几何问题：二次根式可以用来表示长度、面积、体积等物理量，例如计算一个正方形的对角线长度、一个圆的半径等等。