二次根式概念和性质

二次根式总结一、引言二次根式是数学中的一个重要概念，也是初等代数中一个基础的内容。

它在解方程、求根、化简表达式等问题中起着重要作用。

本文将对二次根式进行全面、深入的总结，包括重要观点、关键发现和进一步思考。

二、基本概念1. 二次根式的定义二次根式是指形如√a的表达式，其中a为非负实数。

当a为正实数时，√a有两个实数解；当a为零时，√0=0；当a为负实数时，√a没有实数解。

2. 二次根式的性质•非负实数的平方根仍为非负实数；•平方根具有唯一性，即对于任意非负实数a，√a唯一确定。

3. 二次根式的运算•加减法：对于两个二次根式√a和√b，如果它们的被开方数相同，则可以直接相加或相减；如果被开方数不同，则需要化简后再运算。

•乘法：对于两个二次根式√a和√b，它们的乘积可以化简为√ab。

•除法：对于两个二次根式√a和√b，它们的商可以化简为√a√b =√ab，其中b不能为零。

三、重要观点1. 二次根式的化简化简二次根式是解题中常见的操作。

可以利用平方根的性质，将二次根式化简为最简形式。

√8=√4⋅√2=2√2。

2. 二次根式的应用二次根式在解方程、求根、化简表达式等问题中经常出现。

在解关于x的方程时，可能会遇到形如x2=5的方程，需要求得x=±√5。

3. 二次根式与无理数二次根式通常是无理数。

无理数是指不能表示为两个整数的比值的实数。

π和e都是无理数。

而对于正实数a来说，如果其平方不是有理数，则其平方根一定是无理数。

四、关键发现1. 二次根式的图像二次根式的图像是一个开口向上或向下的抛物线。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

图像关于x轴对称。

2. 二次根式的大小比较对于两个非负实数a和b，如果a<b，则√a<√b。

但当a<0时，√a没有实数解。

3. 二次根式的近似值可以使用计算器或牛顿迭代法等方法求得二次根式的近似值。

可以利用牛顿迭代法逼近√2的值。

二次根式总结一、引言二次根式是数学中一个重要的概念，涉及到对平方根的运算和性质。

掌握好二次根式的基本知识对于理解和解决数学问题至关重要。

本文将对二次根式进行总结，从定义、性质到应用方面进行探讨。

二、定义与基本性质二次根式可以表示为√a（其中a≥0），这里√a称为二次根，a称为被开方数。

在二次根式中，一些基本性质需要予以关注。

首先，二次根式满足乘法分配律。

对于任意的非负实数a和b，有√(ab)=√a × √b。

这个性质与平方根的性质一致，可以利用它对二次根式进行简化。

其次，二次根式可以进行合并化简。

如果a和b都是非负实数，则√a + √b可以合并成一个根式。

例如，√2 + √3 = √(2+3) = √5。

这一点在化简二次根式的过程中常常应用到。

另外，二次根式的乘法也有一定的规律。

对于任意非负实数a 和b，有(√a × √b) = √(ab)。

同样地，在乘法的过程中可以利用这一性质对二次根式进行化简。

三、进一步探讨与应用1. 二次根式的化简化简二次根式是使用二次根式的基本性质，将复杂的根式表示简化为更简洁的形式。

例如，√8可以化简为2√2，√5 × √3可以化简为√15。

化简二次根式有助于简化运算和解决数学问题。

在化简二次根式时，可以利用约束性质，并通过提取公因数的方式进行。

例如，对于√8，可以提取公因数2，即√(2 × 4) = 2√2。

2. 二次根式的加减运算二次根式的加减运算可以通过化简和合并根式进行。

对于√a + √b，如果a和b无法合并，则不能再继续进行简化。

例如，对于√2 + √3，不能再进行进一步的运算。

但是可以计算其近似值，如√2 ≈ 1.414，√3 ≈ 1.732，因此√2 + √3 ≈ 1.414 + 1.732 ≈ 3.146。

3. 二次根式的乘除运算二次根式的乘除运算可以利用乘法分配律和二次根式的乘法规律进行。

利用这两个性质，可以轻松地计算复杂的二次根式。

二次根式的概念及性质对于大多数人来说，学习数学常常会遇到许多难题，其中包括二次根式。

在本文中，我们将会详细探讨二次根式的概念及性质，以便更深刻地理解这一数学概念。

一. 二次根式概念二次根式，也就是平方根式，是指表达式中含有平方根的式子。

例如，我们可以将$\sqrt{2}$看做二次根式。

二次根式是一种特殊的无理数，也就是说它不能写成分数形式。

二次根式具有以下一些重要特征：1. 二次根式中的数值通常是无理数，因此不能表示为分数形式。

对于非完全平方数，无法化约，只能用$\sqrt{a}$表示。

2. 满足乘方的指数法则:$\sqrt{i} \times \sqrt{j} = \sqrt{ij}$。

3. 满足加减的公式:$\sqrt{i} \pm \sqrt{j}$是不能合并的。

二. 二次根式性质在接下来的内容中，将讨论二次根式的乘法、开方以及化简。

乘法我们来看一下下面这个式子:$(a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2})$。

这是二次根式的乘法公式，可以化简为$ac+2bd+(ad+bc)\sqrt{2}$。

简易的乘法公式可概述为:$$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$$同理，$$(a-b)\times \sqrt{c} = a\sqrt{c}-b\sqrt{c}$$开方当对一个平方根求值时,我们要找到它的平方是多少。

找到它的平方根就是简单的数学操作。

举个例子，如果是$\sqrt{9}$，平方是9，所以它的平方根就是3.而如果是$\sqrt{a^2 + b^2}$，则无法化简。

直接求这个平方根是十分困难的，所以我们往往采取近似求解或其他算法将其化简为另一个更容易求解的式子，在此不做详细讲解。

化简化简二次根式是化简至最简二次根式的过程。

例如，$\sqrt{8}$可以被化简为$2\sqrt{2}$。

我们可以通过合理运用乘法公式，将含有多个平方根的式子简化为最简的形式。

16.1二次根式的概念及性质（培优）一 知识要点1．二次根式：一般地，式子)0a (,a ≥叫做二次根式.注意：（1）若0a ≥这个条件不成立，则 a 不是二次根式；（2）a 是一个重要的非负数，即；a ≥0.2．重要公式：（1）)0a (a )a (2≥=,（2）⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2 ； 3．积的算术平方根：)0b ,0a (b a ab ≥≥⋅=积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；4．二次根式的乘法法则： )0b ,0a (ab b a ≥≥=⋅.5．二次根式比较大小的方法：（1）利用近似值比大小；（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；（3）分别平方，然后比大小.6．商的算术平方根：)0b ,0a (ba b a >≥=， 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.二 知识的拓广延伸1、 挖掘二次根式中的隐含条件一般地，我们把形如 a a ()≥0的式子叫做二次根式，其中0a ≥≥。

根据二次根式的定义，我们知道：被开方数a 的取值范围是 0a ≥ ，由此我们判断下列式子有意义的条件：1(1;2(4)++-+ 2、(0)a a =≥，在此我们可将其拓展为：a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()() （1）、根据二次根式的这个性质进行化简：①数轴上表示数a的点在原点的左边，化简2a =②化简求值：1a a=15③已知，132m -<<，化简2m______=；⑤若为a,b,c ________=;___________=. （2）、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围。

①若1m =,求m 的取值范围。

4x =-，则x 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．③若a =的值；④3,2xy 已知求的值。

三．二次根式a 的双重非负性质：①被开方数a 是非负数，即0≥a ②二次根式a 是非负数，即0≥a例1. 要使1213-+-x x 有意义，则x 应满足（ ）． A ．21≤x ≤3 B ．x ≤3且x ≠21 C ．21＜x ＜3 D ．21＜x ≤3 例2（1）化简x x -+-11 ＝_______．(2)x ＋y )2，则x －y 的值为( )(A)－1． (B)1． (C)2． (D)3．例3(1)若a 、b 为实数，且满足│a －2│+2b -=0，则b －a 的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．以上都不是(2)已知y x ,是实数，且2)1(-+y x 与42+-y x 互为相反数，求实数x y 的倒数。

专题01 二次根式的有关概念和性质知识网络重难突破知识点一 二次根式的有关概念 二次根式概念：一般地，我们把形如（a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

【注意】 1.二次根式，被开方数a 可以是一个具体的数，也可以是代数式。

2.二次根式是一个非负数。

3.二次根式与算术平方根有着内在联系，（a ≥0）就表示a 的算术平方根。

二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

【典型例题】1．（2018·黔西县期中）下面式子是二次根式的是（ A ） A 21a +B 333C 1-D ．12a 2．（2019·朝阳市期中）下列各式中不是二次根式的是（B ） A 21x +B 4-C 0D 2()a b -3．（2018·48n n 是（ B ） A ．6B ．3C ．48D ．24．（2018·26的值在（ D ） A ．2和3之间B ．3和4之间C ．4和5之间D ．5和6之间5．（2019·虹桥区期末）在平面直角坐标系中，点M （a ，b ）的坐标满足（a ﹣3）22b -0，则点M 在（ A ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．（2019·孝感市期中）已知三角形的三边长为a 、b 、c ，如果2(5)12130a b c -+--=，则△ABC 是（ C ）A ．以a 为斜边的直角三角形 B ．以b 为斜边的直角三角形C ．以c 为斜边的直角三角形D ．不是直角三角形7．（2019·滨州市期中）下列式子：①13；②3-；③﹣21x +；④327；⑤2(2)-，是二次根式的有（B ）A ．①③ B ．①③⑤C ．①②③D ．①②③⑤8．（2019·汕头市期末）若211a aa a--=，则a 的取值范围是（ D ） A ．0a >B ．1a ≥C ．01a ≤≤D ．01a <≤9．（2019·抚顺市期末）若二次根式51x -有意义，则x 的取值范围是( B ) A ．x ＞15B ．x≥15C ．x≤15D ．x≤510．（2018·德州市期末）使代数式34x x --有意义的自变量x 的取值范围是（C ） A ．x≥3B ．x ＞3且x≠4C ．x≥3且x≠4D ．x ＞311．（2017·东胜市期末）方程有两个实数根，则的取值范围（B ）A ．B ．且C ．D ．且12．（2018·泉州市期中）若a ab+有意义，那么直角坐标系中点A(a,b)在（ A ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限知识点二 二次根式的性质 二次根式的性质：1．含有两种相同的运算，两者都需要进行平方和开方。

第一讲——二次根式的概念及其性质知识导航与知识总结本节主要涉及以前学过的知识有：算术平方根，不等式，去绝对值等知识点一：二次根式的概念 形如a )0(≥a 的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以)0(≥a 是a 为二次根式的前提条件，如6﹑ 2x ﹑)01-≥x x （等是二次根式，而5﹣，2-2x ﹣等都不是二次根式。

知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当)0(≥a 时，a 有意义，所以只要使被开方数 。

二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当 时，a 没有意义 知识点三：二次根式a )0(≥a 的非负性a )0(≥a 表示a 的算术平方根，也就是说，a )0(≥a 是一个非负数，即0≥a )0(≥a —— 双重非负性注：这个性质和 、 类似 知识点四：二次根式（a ）2的性质（1）（a ）2=a )0(≥a （逆用平方根得来）文字语言叙述为： （2）⎩⎨⎧≥)0(-)0(2＜＝＝a a a a a a 文字语言叙述为： 。

注：化简2a 时，先将它化成a ，再根据绝对值的意义来进行化简 知识点五：2)(a 与2a 的异同点1、不同点：（1）意义不同。

2)(a 表示一个正数a 的算术平方根的平方，而2a 表示一个实数a 的平方的算术平方根；（2）a 的取值范围不同。

2)(a 在中)0(≥a ，而2a 中a 可以是正实数，0，负实数。

（3）运算结果不同。

)0()(2≥a a a ＝ ，而⎩⎨⎧≥)0(-)0(2＜＝＝a a a a a a 2、相同点：当被开方数都是非负数，即0≥a 时，22)(a a ＝；0＜a 时，2)(a 无意义，而a a -2＝.基础闯关例1：下列各式（1）51（2）5（3）22+x （4）a -1（5）122+-a a其中是二次根式的是_________（填序号）．例2：要使x x --31有意义，则x 的取值范围是 。

二次根式知识点总结王亚平1. 二次根式的概念 二次根式的定义： 形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数)0≥a a a a 时，才有意义．a2. 二次根式的性质1. 非负性：是一个非负数．)0(≥a a 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2.)0((2≥=a a a 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：)0()(2≥=a a a 3. ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．3. 最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式； 分母中不含根号．2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式4. 二次根式计算——分母有理化1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。

有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用来确定，如：与，与，与a a a =⋅a a b a +b a +b a -等分别互为有理化因式。

b a -②两项二次根式：利用平方差公式来确定。

如与，与，b a +b a -b a +b a -与分别互为有理化因式。

y b x a +y b x a -3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；5. 二次根式计算——二次根式的乘除1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

)0,0≥≥⋅=b a b a ab 2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

第七讲二次根式的意义与性质二次根式是数学中重要的概念之一，它在代数学、几何学和物理学等领域中都有着广泛的应用，了解二次根式的意义与性质能够帮助我们更好地理解和运用它。

首先，我们需要明确二次根式的概念。

在代数学中，二次根式是指形如√a的表达式，其中a是一个实数。

这里的√符号称为根号，表示正的平方根。

二次根式通常用于求解一些方程或方程组，以及在几何问题中计算线段的长度、计算图形的面积等。

二次根式具有以下几个重要的性质：1.二次根式可以是正数、负数或零。

当a大于零时，√a是一个正数；当a小于零时，√a是一个虚数；当a等于零时，√a等于零。

2. 如果a和b都是非负实数，那么√(ab)等于(√a)(√b)。

这个性质称为二次根式的乘法性质。

例如，√4×√9=2×3=63.如果a和b都是非负实数，那么√(a/b)等于(√a)/(√b)。

这个性质称为二次根式的除法性质。

例如，√9/√4=3/24.如果a和b都是非负实数，且a大于b，那么√a大于√b。

这个性质表示，二次根式随着被开方数的增大而增大。

例如，√4=2，√9=3，显然2小于35.如果a和b都是非负实数，那么√(a+b)不等于√a+√b。

这个性质表示，二次根式的加法没有简化的形式。

例如，√2+√3不能简化为一个更简单的表达式。

6.二次根式可以进行化简。

对于非完全平方数，可以将其分解为一个完全平方数和一个非完全平方数的乘积。

例如，√10=√(2×5)=√2×√5了解了二次根式的意义与性质，我们可以应用它们来解决一些实际问题。

1.计算线段的长度：假设有一条线段AB，其坐标分别为A(x1,y1)和B(x2,y2)，则线段AB的长度可以用二次根式来表示，即√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。

这个公式可以推广到三维空间中的点和线段的计算。

2. 计算图形的面积：例如，正方形的面积可以用边长的平方来表示，即√a²=a；矩形的面积可以用长和宽的乘积来表示，即√(ab)。