二次根式的概念及性质练习卷

二次根式的概念和性质练习题1、下列二次根式与不是同类二次根式的是（）A．3 B． C． D．2、下列根式中，与3是同类二次根式的是（）A． B． C． D．3、把化为最简二次根式是（）A． B． C． D．4、已知二次根式中最简二次根式共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5、下列根式，，，，，中，最简二次根式的个数是（）A．2个 B．3个 C．6个 D．5个6、下列各式中的最简二次根式是（）A． B． C． D．7、下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．8、下列二次根式是最简二次根式的是（）A． B． C． D．9、在下列根式、、、中，最简二次根式的个数为（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个10、下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．11、下列二次根式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．12、下列各式中属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．13、下列二次根式是最简二次根式的为（）A． B． C． D．14、下列根式中属最简二次根式的是（）A． B． C． D．15、下列根式中不是最简二次根式的是（）A． B． C． D．16、下列根式中，不是最简二次根式的是（）A． B． C． D．17、下列二次根式是最简二次根式的是（）A． B． C． D．18、下列各式：①，②，③，④中，最简二次根式有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个19、下列二次根式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．20、下列式子中，属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．21、已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为x= ．22、若最简二次根式与可合并为一项，则a= ．23、写出两个与是同类二次根式且被开方数不是3的二次根式．24、若最简二次根式与是同类二次根式，则a= ．25、在下列二次根式①、②、③、④中与是同类二次根式的有．（只填序号）26、若最简根式和是同类根式，则x+y= ．27、如果最简二次根式与是同类二次根式，则x= ．28、已知最简二次根式和的和是一个二次根式，那么b= ，它们的和是．29、在，，，中与是同类二次根式有．30、已知是最简二次根式，它与是同类二次根式，请你求出2012b﹣（2013）a的值．31、是否存在这样的m值，使最简二次根式与同类二次根式？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．32、先阅读下面的解题过程，再回答后面的问题：如果和在二次根式的加减运算中可以合并成一项，求m、n的值．解：因为和可以合并所以即解得问：（1）以上解是否正确？答．（2）若以上解法不正确，请给出正确解法．33、若最简二次根式与是同类二次根式，求m、n的值．34、已知整数m，n满足（2+）2=m﹣n，求（）2及的值．35、是否存在实数m，使最简二次根式与是同类二次根式？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．36、若最简二次根式和是同类二次根式．求x、y的值．37、若最简二次根式与﹣是同类二次根式，求x的值．38、已知二次根式．（1）当x=3时，求的值．（2）若x是正数，是整数，求x的最小值．（3）若和是两个最简二次根式，且被开方数相同，求x的值．39、如果二次根式与能够合并，能否由此确定a=1？若能，请说明理由；不能，请举一个反例说明．40、最简根式与能是同类根式吗？若能，求出x、y的值；若不能，请说明理由．。

、相关定义1、二次根式的概念：式子ja （a 0）叫做二次根式。

（1）最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因式的二次根式叫最简二次根式。

（2）同类二次根式：化为最简二次根式之后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式。

（3）分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化。

（4）有理化因式：把两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根 式，我们就说这两个代数式互为有理化因式（常用的有理化因式有：0a 与ja ；av'b c<d 与 aUb cUd ） 2、二次根式的性质：(1) .后具有双重非负性：a>0, ^>0. (2) (4a)2a(a 0)；3、积的算术平方根的性质:4、商的算术平方根的性质:a a \b b （a 0，b 0）5、最简二次根式定义：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。

6、同类二次根式二次根式二衩根式后（口二°）是非负数（石 二日 g 之o ）二次根式的化曾与云用二次根式的乘除二代根式的加减(3) \a 2aa (a 0) a (a 0)Vab Va <b (a>0,b>0)；一般地，把几个二次根式化简成最简二次根式后，如果被开放数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。

二、二次根式的运算：1、二次根式的乘法：v；a Jb v ab （a>0, b>0）。

2、二次根式的除法：Ya 但（a 0,b 0）b \ b3、二次根式的加减：将各二次根式化为最简二次根式后，合并同类二次根式。

二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成最简二次根式。

4、分母有理化---把分母中的根号化去5、二次根式的混合运算运算顺序与实数混合运算顺序一样，结果要化为最简二次根式。

真题练习:、选择1.下列二次根式是最简二次根式的是（）A. J8B.C.D.2.如果J12与最简二次根式了，5 a是同类二次根式,则a的值是A. a 7B. a 2C. a 1D. a 13.在下列二次根式中，与a a是同类二次根式的是（▲）A.虎aB. ga2 C . x/a3 D . \/a44.下列根式中，与J8属于同类二次根式的是（）A. <?8B. J；C. 724D. JT25、若m —（ 2）,则有（）2A. 2 m 1B. 1 m 0C. 0 m 1D. 1 m 26.若，x 24x 4 2 x ,则实数x 满足的条件是（12.计算21 J2 , n 1 5/2 ,则代数式4m n 23mn 的值为 14.若 a + b= 3^/2, ab=4,则 a 2+b 2的值为 也―在实数内范围有意义，则 x 的取值范围为2x 316 .若(y 3)2 0西，则 x yA. x 2B. C.x<2 D.7.下列运算正确的是（ A. . 2 +「3 = . 52,J2-j2=/2C• ；( 2) ( 3)=、O) x 尸8.下列计算正确的是（ A.U = ± 4 B. 四C.1)2 D. ■. 32 429.化简7（ 5）2的结果是（10. B.C.D. 25卜列二次根式中属于最简二次根式的是 A. 12下列计算正确的C. D.A. J12 <3 <3 B .贬 J3 3、52. 2 5. 212.己知j a3 J2 b 0,则二工aA. 1B. 2C. 、, 3D.4.3 3二、填空 11.计算<81而的结果是13.己知m15.若代数式(11) (3 亚)(3 亚(1近) (12)2 3 - 1517 .要使式子J 1 2x 有意义，则实数x 的取值范围是 .18 .计算：77 2” 77 242.19 .若/4而 是正整数，则n 可取到的最小正整数为 • 20 .若4=5在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是三、计算(3) 422-3 1- + I 33-2 I (4)( ；3(9)而(1) 12 近 3321、(1) 88 - 6^1 +|1 —啦|(2)2、. 5 3 2 2,5 3 ,2(5) + 而(122- 277 )(6) 1 22 2018718⑺ 2+ 3 2 3 2 8 6(8)33- 22 2 -33 x 122 .(10) - 48（13）（2 小-yf5）（木 +木）23 3（17）；~ /~246 2 '-.2 3 -3三、解答题22.已知a J3 22, b J3 近.⑴求a2 b2的值;(2)求b a的值. a b23.像而2而2 1、Ga a 0、7b 1 7b 1 b 1 b 0两个含有二次根式的代数式相ft,积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式.例如，75与而，跖1与61, 2石3石与2后3石等都是互为有理化因式.进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号.请完成下下列问题⑴化简:(2)计算：1—1—2 3 3 、2(3)比较72018 J2017与闻17 72016的大小，并说明理由24.阅读材料：若a, b都是非负实数，则a b 2<ab .当且仅当a = b时，“二”成立.证明：: (、② Jb)2 0 , .-.a 2Vab b 0.-1• a b 2Jab .当且仅当a = b时，"=”成立.2举例应用：已知X>0,求函数y x —的最小值.Xx - 2Mx - 2V2 .当且仅当x 2 ,即x J2时，“二”成X X x 解：y・♦・当x J2时，函数取得最小值，y最小2< 2 .问题解决:3 x(1)已知x>0,求函数y ———的最小值2x 62(2)求代数式m一组二(m> - 1)的最小值.。

8年级二次根式计算题一、二次根式的概念与性质1. 二次根式的定义形如√(a)(a≥0)的式子叫做二次根式。

例如√(4)，√(9)等都是二次根式。

注意：被开方数a必须是非负数，这是二次根式有意义的条件。

2. 二次根式的性质(√(a))^2 = a(a≥0)。

例如(√(5))^2=5。

√(a^2)=| a|=a(a≥0) -a(a<0)。

例如√((-3)^2)=| 3| = 3。

二、二次根式的运算1. 二次根式的乘法法则：√(a)·√(b)=√(ab)(a≥0,b≥0)。

例1：计算√(3)×√(6)。

解析：根据二次根式乘法法则，√(3)×√(6)=√(3×6)=√(18)，然后将√(18)化简为√(9×2) = 3√(2)。

2. 二次根式的除法法则：(√(a))/(√(b))=√(frac{a){b}}(a≥0,b>0)。

例2：计算(√(12))/(√(3))。

解析：根据二次根式除法法则，(√(12))/(√(3))=√(frac{12){3}}=√(4) = 2。

3. 二次根式的加减法先将二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式。

最简二次根式需满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

例3：计算√(8)+√(18)。

解析：先将√(8)化简为√(4×2)=2√(2)，√(18)化简为√(9×2)=3√(2)。

然后进行加法运算：2√(2)+3√(2)=(2 + 3)√(2)=5√(2)。

4. 二次根式的混合运算例4：计算(√(3)+2)(√(3)-2)。

解析：这是一个二次根式的乘法运算，符合(a + b)(a b)=a^2 b^2的形式。

这里a=√(3)，b = 2，所以(√(3)+2)(√(3)-2)=(√(3))^2-2^2=3 4=-1。

例5：计算√(12)-√(3)÷(2+√(3))。

二次根式的概念及性质姓名：一、 二次根式的定义 形如a （a ≥0），这样的式子叫做二次根式.例题：x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1）27+x （2）（2）27--x ；（3）34+x ；（4）.2)1(+-x对应练习：1、下列各式是不是二次根式?(是的打”√”,不是的打” ×”) (1)()0<-a a ; ( )(2)()0<a a ; ( ) (3)()121>+x x ; ( )(4)22x -- ( ) 2、已知-2＜x ＜0,则下列各式中在实数范围内没有意义的是 ( ) A.x -2 B. x +2 C.12-x D.x 21-3、已知-2＜x ＜0,则下列各式中在实数范围内有意义的是( ) A. -2|x | B.2-x C.1-x D.x -14、若322+-+-=x x y ，则x y 的算术平方根是5、如果xy -和y x -都是二次根式(x ≠0,y ≠0),那么x 和y 的符号应为( )A.⎩⎨⎧>>00y xB.⎩⎨⎧<<00y xC.⎩⎨⎧<>00y xD.⎩⎨⎧><00y x中考演练：1.（2009年内蒙古包头）函数y =x 的取值范围是（ ）A ．2x >-B ．2x -≥C ．2x ≠-D ．2x -≤2. (2009年武汉)函数y x 的取值范围是（ ）A ．12x -≥B ．12x ≥C ．12x -≤D ．12x ≤ 3.（2009年河北）在实数范围内，x 有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ≥0B ．x ≤0C ．x ＞0D ．x ＜04．（2009年株洲市）．．．，则x 的取值范围是A ． 2x ≥B ．2x >C ．2x <D ．2x ≤5. 已知x 、y 为实数，且133+-+-=x x y ,求x y y x +的值. 二、二次根式的性质：1. 0≥a （a ≥0）；a 表示的意义： . a 是一个 数.初中阶段所学的几种非负数的表示方法：（1） （2）（3） . 2.()2a =a （a ≥0），由此可以看出任何一个非负数都可以写成 的形式.如3=()23. 3.=2a =⎩⎨⎧ （a 的取值情况）例题1：若等式032=++-b a 成立，则a= ，b=练习：1.已知x 、y 都是实数，且3-+y x 与5+-y x 互为相反数，求22y x -的值.2.若03442=-++-b a a 成立，则ab 的平方根是 .3.已知032=++-+ab b a ，求222b ab a +-的值4.已知()03212=-+-+-z y x ，则xyz 分别是 .5.已知n n m 6912=++-，则mn= .例题2：在实数范围内因式分解：a 4-8a 2+16例题3：计算：()232练习：1.把下列各式写成一个正数的平方的形式（题中所有字母都表示正数）： (1)4= (2)10= (3)5π =________ (4)16x= (3)=a 41 (4)=243b a __2.在实数范围内因式分解：（1）m 2-121 （2）26-3x 2 （3）x 4-9 （4）25y 4-16 （5）x 4-12x 2+363.计算： （1）()223-（2）2221⎪⎭⎫ ⎝⎛a （3）()2xy x （4）()222y x -（5）()()22y x y x --+ 作业： 1.(2009年鄂州)使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x ≥3 C 、 x>4 D 、x ≥3且x ≠42.（2009x 的取值范围是（ ） A ．1x ≠ B ．0x ≠ C ．10x x >-≠且 D ．10x x ≠≥-且3. （2009年宁波市）x 的取值范围是（ ）A ．2x ≠B ．2x >C ．x ≤2D ．2x ≥4. （2009年甘肃庆阳）x 应满足的条件是 ．5.设2-=x a ,2-=x b ,c=(x-2)2,d=x+2,则在a 、b 、c 、d 四个数中，其值一定为非负数的数共有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个6.（2009年新疆）若x y =xy 的值是（ ）A． B． C ．m n + D ．m n -7.（2009年贵州省黔东南州）=-2)3(___________8.（2009山西太原市）计算2的结果等于 ． 9.（09湖南怀化）若()2240a c --=，则=+-c b a ．10.（2009年凉山州）已知一个正数的平方根是32x -和56x +，则这个数是 ． 11.12.在实数范围内分解因式：=-122a ＿＿＿＿；=+-2324x x __________（本题难）。

章节复习知识精讲与综合训练专题01 二次根式的概念及性质知识点01 二次根式的概念1（10a ³）叫做二次根式，读作“根号a ”，其中a 是被开方数．（2）二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．即两个特性（双重非负性）⎩⎨⎧³³00a a 【典例分析】1．下列式子一定是二次根式的是（）ABCD2是整数，则a 能取的最小整数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33a 的取值范围为（ ）A ．1a ³-B ．2a ¹C ．1a ³-且2a ¹D ．1a >-4．若2m =+，则m n -=（ ）A ．425B ．254C ．254-D ．425-5=-a 的取值范围是（ ）A ．20a -££B ．0a £C ．a<0D ．2a ³-知识点02 二次根式的性质1、二次根式的性质（1性质1(0)a a³；性质22；性质3=0a ³，0b ³）；知识精讲性质4（0a ³，0b >）．（2与a的关系：(0)0(0)(0)a a a a a >=-<⎩．【典例分析】6．观察下列式子：====…．请你按照规律写出第n （1n ³）个式子是( )A(n =-B=C(n =+D=7．实数a 、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简b ）A ．2a b -+B ．2b a -C ．a D ．B 8．已知xy ＞0，化简二次根式- ）ABC．D．9．实数a 、b的结果是（ ）A ．- 2a B ．2（a +b ）C ．2b D ．- 2b 10．实数a，b）A ．2b -B ．2a -C ．22ba -D ．0123x =+，则x 取值范围为（ ）A ．2233x -££B ．203x -££C ．203x ££D ．23x £-或23x ³2．当1a <- ）A ．1-B ．1C ．21a +D ．12a--3．已知0xy <）．AB．CD ．4．实数a，b ||a b ++化简的结果为（ ）A ．a B ．2a b +C ．2a b -D ．2a b-+5．在下列各式中，计算正确的是（ ）A9=-B ．3=C ．(22=-D1=-6，3，…，3，；L ；若()14，，()23， ）A ．()64，B ．()53，C ．()52，D ．()65，7．若实数a 、b 、cA ．a c -B ．2a b c --+C ．a c --D ．a c -+8．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）综合训练A B C D9．x ）A ．0B ．1-C ．2-D ．3-10．下列各式中，正确的是（）A 5=±B 142=C =D 210-=-二、填空题11．对于任意两个不相等的数a ，b ，定义一种运算※如下：a b =※，例如23==※62=※____________．12．实数a ，b 化简的值是___________．13)12x <<=___________．14a 的取值范围是_____________________．15．已知等腰三角形ABC 0BC =，则此三角形的周长为___________.16．如果2、5、m _____．17＝_____．18．若22m n x y --与423m n x y +是同类项，则3m n -的平方根是____________．19a =，则a =_____________．20．若3y =，则xy =________．三、解答题21．求代数式a 的值，其中2022a =-．如图，小芳和小亮的解题过程，都是把含有字母式子先开方再进行运算的方法，请认真思考、理解解答过程，回答下列问题．(1)___________的解法是错误的；(2)求代数式a+的值，其中4a=22．已知关于x、y的二元一次方程组325342x y ax y a+=⎧⎨+=-⎩①②的解互为相反数．(1)求a的值；(2)若b为3c23．当2022a=时，求a的值．如图是小亮和小芳的解答过程：(1)__________的解法是错误的；(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：____________________；(3)当3a>|1|a-的值．。

二次根式知识点梳理及经典练习知识点1：二次根式的概念1.二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．题型一：二次根式的判定【例1】下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+，其中是二次根式的是_________（填序号）． [练一练]：1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、)0(≥a a2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______题型二：二次根式有意义【例2】若式子13x -有意义，则x 的取值范围是 ．[练一练]：1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ）A 、x>3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠42、使代数式221x x -+-有意义的x 的取值范围是3、如果代数式mn m 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限题型三：二次根式定义的运用[练一练]：A．－1 B．1 C．2 D．3题型四：二次根式的整数部分与小数知识点2：二次根式的性质常用到．注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．题型一：二次根式的双重非负性【例4】若()2240a c -+-=，则=+-c b a ．[练一练]：1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。

2、已知y x ,为实数，且()02312=-+-y x ，则y x -的值为（ ） A ．3 B ．– 3 C ．1 D ．– 13、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.4、若1a b -+互为相反数，则()2005_____________a b -=。

二次根式的概念及性质练习题班级 姓名一．判断题（对的打“∨”，错的打“×”）（1x 的取值范围是x<0 （ ）（2中字母x 的取值范围是x ≤34（ ） （3）当x=-1（ ）（4）当a=-4（ ）（5）2= —12 （ ）;（6—12（ ） （7）2= —12 （ ）;（8）（2=2×12=1 （ ） 二、填空题：1．b ≥3）s ≥0）这种形如a （0≥a ）的代数式，叫做_______．2．当x______时，有意义．3x 的取值范围是_______ ．4．（7）2； （8+（2=________．（10． 5．当x=-2_______． 6．当a 取______7．当x 取______8．当m=-2________．((()(()(()(2231_____,2______,3_____,4_____,5____,6____.======9、若直角三角形的两直角边分别是2cm 和acm ，则直角三角形的斜边长是_______10、若正方形的面积是（b-3）cm 2,则正方形的边长是_________。

三、选择题：1．下列各式中，哪一个是二次根式 （ ）ABCD2．使代数式2x +有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≠-2; B ．x ≤12且x ≠-2; C ．x<12且x ≠-2; D ．x ≥12且x ≠-2 3．下列各式中一定成立的是（ ） ABC ．（2D=1-13=23四、求下列二次根式中字母的取值范围：五、计算：（1-（12）2; （2）（3）4时x 的值．x-4│—│7-x │． ()()()123(4。

专题01二次根式的概念与性质重难点专练（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________n一、单选题1．（2021·上海）下列方程中，有实数根的是（ ）A ．210x +=B ．210x -=C 1=-D ．101x =-【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件以及分数方程的定义进行判断即可．【详解】根据一元二次方程根的判别式24b ac ∆=- 计算：A ：21040x +=Þ∆=-<，方程无实根，错误；B ：21040x -=Þ∆=>，方程有两个不等实根，正确；C 10=-<,二次根式无意义，方程无解，错误；D ：101x =-，分式方程需满足分母不为0，此方程无解，错误． 故答案选：B 【点睛】本题一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件以及分数方程的定义，掌握相关的定义与计算是解题关键．2．（2020·上海松江区·）下列方程中，有实数根的方程是（ ）A 0=B 10=C 2=D 1=．【答案】C 【分析】k =的形式，再根据二次根式成立的条件逐个进行判断即可．【详解】解：A 、x 2+4=0，B 、10+=，1-，∵算术平方根是非负数，∴此时方程无解，故本选项错误；C 、2=，∴x+1=4，∴x=3，故本选项正确；D 、1=，∴x-3≥0且3-x≥0，解得：x=3，代入得：0+0=1，此时不成立，故本选项错误；故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的意义，能根据二次根式成立的条件进行判断是解此题的关键．3．（2020·上海七年级期末）下列等式正确的是（ ）A 7=-B 3=C ．5=D ．=【答案】B 【分析】根据二次根式的性质求出每个式子的值，再得出选项即可．【详解】解：AB 3=，故本选项符合题意；C 、5=-，故本选项不符合题意；D 、=-，故本选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．4．（2019·上海市建平香梅中学）把根号外的因式移入根号内的结果是（ ）A B ．C D ．【答案】B 【分析】本题需注意的是a 的符号，根据被开方数不为负数可得出0a <，因此需先将a 的负号提出，然后再将a 移入根号内进行计算．【详解】解：0a <Q\==．故选B ．【点评】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．需注意二次根式的双重非负性，0a ³³．5．（2018·上海七年级期末）下列运算一定正确的是( )A a=B =C ．222()a b a b ×=×D ()0na m=³【答案】C 【分析】直接利用二次根式的性质与化简以及积的乘方运算法则分别计算即可得出答案．【详解】A a |，故此选项错误；B 成立，则a ，b 均为非负数，故此选项错误；C ．a 2•b 2=（a •b ）2，正确；D =mn a （a ≥0），故此选项错误．故选C ．【点睛】题的关键．6．（【新东方】初中数学979【2020年】【初二下】）下列各式中，一定是二次根式的个数为（）12a aö<÷ø…A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】A【分析】根据二次根式的定义即可作出判断．【详解】一定是二次根式；当m＜0不是二次根式；对于任意的数x，x2+1＞0一定是二次根式；﹣m2﹣1＜0(0)a…是二次根式；当a＜12时，2a+1可能小于0不一定是二次根式．0)a…，共3个，故选：A．【点睛】主要考查了二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．7．（2020·上海市格致初级中学八年级期中）下列计算正确的是（ ）A2=B1=C2=D+=【答案】D根据二次根式加法以及二次根式的性质逐项排查即可．【详解】解：A 不是同类二次根式，不能相加，故A 选项错误；B +=+B 选项错误；C ＝22＝1，故C 选项错误；D +=，故D 选项正确．故答案为D ．【点睛】本题主要考查了二次根式加法以及二次根式的性质，掌握二次根式的加法运算法则是解答本题的关键．8．（2021·21a =-，那么（ ）A ．12a <B ．12a £C ．12a >D ．12a ³【答案】D 【分析】根据二次根式的非负性，构造不等式求解即可.【详解】是二次根式，≥0，∴21a -≥0，解得 12a ³，故选D.【点睛】本题考查了二次根式的非负性，熟练将二次根式的非负性转化成对应的不等式是解题的关键.9．（2019·上海民办桃李园实验学校八年级月考）当01a <<时，1a-=A ．aB ．a-C ．2a a-D ．2a a-【答案】B 【分析】先确定1a a-是正是负，再根据二次根式的性质进行化简即可．【详解】解：211a a a a--=，当01a <<时，210a -<，而0a >，所以10a a-<．原式＝1111a a a a a a a--=--=-，故答案选择B ．【点睛】本题考查了二次根式的性质和分式的运算，解题关键是判断1a a-的正负，再根据二次根式和绝对值的性质熟练进行化简．10．（2021·上海徐汇区·九年级二模）如果m 是任意实数，那么下列代数式中一定有意义的是（ ）A B C ．11m +D 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义，二次根式中的被开方数是非负数，分式有意义，分母不为零,进行分析即可．【详解】解：A 、当m ＜0无意义，故此选项不符合题意；B 、当m ＜﹣1无意义，故此选项不符合题意；C 、当m ＝﹣1时，11m +无意义，故此选项不符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握二式有意义的基本条件是解题的关键．二、填空题11．（2020·上海市川沙中学南校）函数的定义域____．【答案】0x >．【分析】由根式的被开方数大于等于0，分式的分母不等于0联立不等式组求解x 的取值即可．【详解】根据题意得，00x x ³ìí¹î解得，0x > 故答案为：0x >.【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，函数的定义域，就是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，是基础题．12．（2019·上海浦东新区民办协和双语学校八年级月考）已知a ，b ，c 为三角形三边，++．【答案】a b c ++【分析】根据三角形的三边关系定理、二次根式的性质计算即可．【详解】由三角形的三边关系定理得：,,a b c a c b b c a+>+>+>0,0,0a b c b a c b c a \+->--<+->++a b c a c b b c a =+-++-++-故答案为：a b c++．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理、二次根式的运算，掌握理解三角形的三边关系定理是解题关键．13．（2020·上海浦东新区·x=的根是___________．【答案】x=1【分析】先根据二次根式的性质两边同时平方，得到一个一元二次方程，解出x的值，再根据原方程中x的取值范围进行取舍即可得出结果．【详解】解：x=，∴3-2x≥0且x≥0，解得0≤x≤32．原方程两边同时平方，整理得，x2+2x-3=0，∴(x-1)(x+3)=0，∴x1=1，x2=-3．又0≤x≤32，∴x=1．故答案为：x=1．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质以及解一元二次方程，掌握基本概念和解法是解题的关键．14．（2020·＝_____．【答案】【分析】进行计算即可．【详解】＝，故答案为：【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，关键是掌握二次根式的性质．【答案】4x =【分析】先将原方程两边同时平方可得到关于x 的一元二次方程，解得x ，再结合原方程中二次根式的双重非负性得出x 的取值范围，从而可得出结果．【详解】解：原方程变形为：3x+4=x 2即x 2−3x−4=0，∴(x+1)(x-4)=0，∴x=-1或x=4，又由题意可得3400x x +³ìí³î，解得x≥0，∴x=−1时不满足题意，∴x=4．故答案为：x=4．【点睛】此题考查了解无理方程，涉及的知识点有二次根式的性质，一元二次方程的解法以及不等式组的解法，解题的关键在于掌握基本性质和运算法则．16．（2019·有意义，则x 的取值范围为__________．【答案】2x ³-且1x ¹【分析】直接利用二次根式有意义、分式有意义的条件分析得出答案．【详解】解：有意义，∴x+2≥0且x-1≠0，解得：x≥-2且x≠1．故答案为：2x ³-且1x ¹．本题考查了二次根式有意义以及分式有意义的条件，正确把握相关定义是解题的关键．17．（2020·青浦区实验中学八年级期中）已知函数()f x =，则(2)f =___________．【答案】【分析】把2代入函数化简即可．【详解】()f x =2f =+（）==，故答案为：【点睛】本题考查了函数的代入求值以及利用二次根式的性质化简．注意本题需把结果化为最简二次根式．18．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）若0,a <且(21,a +-则a =_________．【答案】1【分析】(0)(0)a a a a a ³ì==í-<î化简，再解关于a 的方程即可．【详解】∵0a <，a +∴)1a a +-，221-．∵0a <，∴=1a ．故答案为：1-【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．19．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如果(b a =-，则a 、b 应满足________________．【答案】0b ³且b a³【分析】化简为a -的形式，然后根据二次根式有意义的条件和二(0)a a a ==-£即可得出答案．【详解】解：(a b a ==-=-，∴a 、b 应满足0b ³且0b a -³，即0b ³且b a ³．故答案为：0b ³且b a ³．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、根据二次根式的性质化简，属于基本题型，掌握解答的方法是关键．20．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）化简-=__________；(1a -=__________．【答案】(1a -+【分析】根据二次根式的意义，先判断a 的取值范围，再去化简．【详解】-中的0a ＜，a=-=-，根据二次根式的意义，可知(1a-中的1a<，((((111a a a a-=-=-=-故答案是：(1a-+；【点睛】本题考查二次根式的化简，需要注意的是化简的时候一定要考虑a的取值范围，然后利用二次根式的性质去化简．21．（2019·上海市西南模范中学八年级月考）函数y=的自变量x的取值范围是______.【答案】x≥0且x≠1．【分析】根据分母不等于0，二次根式的被开方数为非负数列式计算即可得解．【详解】根据题意得，x≥0且1-x≠0，解得x≥0且x≠1．故答案为x≥0且x≠1．【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数为非负数. 22．（2019·上海浦东新区·1x=-，则x的取值范围是__________．【答案】1x£【分析】等式左边为算术平方根，结果为非负数，即1-x≥0．【详解】解：由于二次根式的结果为非负数可知，1-x≥0，解得x≤1，故答案为：1x£．【点睛】本题利用了二次根式的结果为非负数求x的取值范围．23．（2020·能够合并，则mn= _________．【答案】10【分析】根据两个二次根式可以合并可知被开方数相同，从而得到方程求解即可．【详解】能够合并，∴n=2，255m-=，∴5m=．∴5210mn=´=故答案为：10．【点睛】本题考查了同类二次根式，明确同类二次根式的概念是解题的关键．24．（2021·=_____．【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．【详解】．【点睛】本题主要考查二次根式的化简以及同类二次根式的合并，掌握二次根式的化简以及同类二次根式的合并方法是解题关键．25．（2019·上海市市西初级中学八年级期末）如果2y=+-，那么y x= _______________________．【答案】1 9【分析】根据二次根式的有意义的条件可求出x ，进而可得y 的值，然后把x 、y 的值代入所求式子计算即可．【详解】解：∵x －3≥0，3－x ≥0，∴x =3，∴y =﹣2，∴2139y x -==．故答案为：19．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和负整数指数幂的运算，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．26．（2020·上海八年级期中）已知4b ==__________．【答案】【分析】根据二次根式有意义的条件求出a 的值，再求出b 的值即可．【详解】由题意可得：3030a a -³ìí-³î，解得：a =3，\b =4，\=．故答案为：【点睛】本题主要考查不等式组的求解以及二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件是解题关键．27．（2020·0)y ³=_______．【答案】【分析】先根据二次根式的定义可得0x ³，再根据二次根式的化简方法即可得．【详解】由二次根式的定义得：320x y ³，解得0x ³，=故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的定义和化简，根据二次根式的定义判断出0x ³是解题关键．28．（2020·上海上外浦东附中八年级期中）当0x >= _________________．【答案】94【分析】先根据二次根式的定义和除法的性质可得0y >，再根据二次根式的性质化简，然后计算二次根式的除法即可得．【详解】由二次根式的定义得：2500x y y xì³ïí³ïî，0x Q >，0y \³，又Q 除法运算的除数不能为0，0y \¹，0y \>，35xy ==，=，49=，故答案为：94．【点睛】本题考查了二次根式的定义与除法运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．29．（2020·x 的取值范围是___________．【答案】12x >【分析】根据二次根式有意义的条件及分式有意义的条件可得2x-1＞0，进而求出x 的取值范围即可．【详解】解：由题意可得：2x-1＞0，∴12x >．故答案为12x >．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键在于掌握二次根式中的被开方数是非负数．30．（2020·是同类二次根式，那么满足条件的m 中最小正整数是________．【答案】4【分析】根据同类二次根式的概念列式计算，得到答案．【详解】解：当5m+8=7时，m=-15，不合题意，，即5m+8=28时，m=4，是同类二次根式，那么m 的最小正整数是4，故答案为：4．【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，把各二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，这样的二次根式称为同类二次根式．31．（2020·上海第二工业大学附属龚路中学八年级期中）把(2-x的根号外因式移到根号内得____________．【答案】【分析】根据二次根式被开方数是非负数且分式分母不为零，将根号外的因式转化成正数形式，然后进行计算，化简求值即可．【详解】解：Q12x>-，20x\->；(2-x(x=--===故答案为：【点睛】本题考查二次根式的性质和二次根式计算，灵活运用二次根式的性质是解题关键．32．（2021·＝_____．【答案】1-．【分析】直接根据二次的性质进行化简即可．【详解】1，＝|1|(11=--=-1．【点睛】()(0)0(0)a a a a a a >=-<î是解答此题的关键．33．（2020·)0a >=______．【答案】．【分析】先确定b 的取值范围，再利用二次根式的性质化简．【详解】解：∵a ﹥0，3-ab ﹥0，∴b ﹤0，)0a >=．故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的性质与化简，解题的关键是确定b 的取值范围及理解被开平方数具有非负性．34．（2021·上海长宁区·八年级期末）已知3y x =-+，当x 分别取1,2,3,,2020¼时，所对应的y 值的总和是_________．【答案】2022【分析】将原式化简为23y x x =--+，然后根据x 的不同取值，求出y 的值，最后把所有的y 值加起来即可．【详解】解：3323y x x x x =+=+=--+，当2x ³时，231y x x =--+=，当2x <时，2352y x x x =--+=-，当1x =时，523y =-=，∴当x 分别取1,2,3,,2020¼时，所有y 值的总和是：312019320192022+´=+=．故答案是：2022．【点睛】本题考查二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式的性质进行化简．35．（2020·)0b >=________．【答案】5【分析】根据二次根式的性质化简．【详解】=5，故答案为：5．【点睛】此题考查二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．36．（2020·)0x y ×>=_________．【答案】．【分析】直接根据二次根式的性质即可得出结论．【详解】解：∵0x y ×>，则有：0,0x y >>或0,0x y <<当0,0x y >>==；当0,0x y <<==．【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，熟知二次根式的化简法则是解答此题的关键．37．（2019·上海民办桃李园实验学校八年级月考）已知0a >可化简为_______________【答案】【分析】由0a >，40a b -³可得b ＜0，再化简即可得到答案．【详解】解：Q 0a >，40a b-³,\ 0b <\ ==故答案为：【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握利用二次根式的性质化简二次根式是解题的关键．38．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中） 4.22=42.2=，则y x 的值是______．【答案】100【分析】，即可得到y x 的值．【详解】4.22=42.2=42.2104.22===∴y x =2100=故答案为：100．【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．39．（2021·上海闵行区·=x 的解是________．【答案】1x =【分析】根据一元二次方程和二次根式的性质求解即可；【详解】=x ，∴221x x -=，∴()210x -=，∴121x x ==，∵210x -³，∴12x ³，∴1x =；故答案是1x =．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解和二次根式的性质，准确计算是解题的关键．40．（2019·上海市民办嘉一联合中学八年级月考）化简：23a b = ___________【答案】-行二次根式的化简即可．【详解】解：要使该二次根式有意义，则有109ab->22033ab a ba b \\===-＜故答案为：-．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，以及二次根式的化简，牢记分母有理化的方法与规则是解题的关键，本题中被开方数分子分母同乘以ab 后，分母开出来容易出现符号错误，建议可以先套上绝对值符号再进行化简．三、解答题41．（2019·上海市同洲模范学校七年级期中）先阅读下列的解答过程，然再解答：a 、b ，使,,a b m ab n +==使得22+m ==那么便有：)a b ==>，这里7,12m n ==，由于4+3=7，4×3=12即22+7====（1=______=_______．（2【答案】（11，3+；（22-.【分析】（1）（2的形式，再根据范例分别求出各题中的a 、b ，即可求解．1-；1；3+；（2=2-.【点睛】本题主要考查二次根式根号内含有根号的式子的化简．二次根式根号内含有根号的式子化简主要利用了完全平方公式，所以一般二次根式根号内含有根号的式子化简是符合完全平方公式的特点的式子．42．（2021·3 0122-æö+ç÷èø【答案】6【分析】根据二次根式的性质，零指数幂，负整数指数幂进行计算，即可得到答案.【详解】3122-æö-+ç÷èø3312=--+2318=--+6=．【点睛】本题考查了二次根式的性质，零指数幂，负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题.43．（2020·)3xy>【答案】【分析】解：原式=xy>，因为3所以原式【点睛】本题考查了二次根式的化简，属于常考题型，熟练掌握二次根式的性质和化简的方法是关键．44．（2020·x，求x的值．【答案】4015【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，可得出x的取值范围，根据绝对值的性质可去掉绝对值，进而解方程即可得答案．【详解】∴x-2008≥0，解得：x≥2008，-＜0，x==，x x，两边同时平方得：x-2008=2007，解得：x=4015．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数的性质得出x的取值范围是解题关键．45．（2020·根据二次根式的性质先化简二次根式，再约分化简即可．【详解】解：原式25c ==【点睛】本题主要考查了二次根式的化简和分式的乘法，属于常见题型，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．46．（2020·【答案】1-【分析】先进行二次根式的乘法运算，再去绝对值以及化简二次根式，最后合并同类二次根式即可．【详解】1+-1+-=1-=1-．【点睛】本题主要考查二次根式的加减、乘法混合运算以及二次根式的化简，熟记二次根式的混合运算法则是解题关键．47．（2020·上海上外浦东附中八年级期中）化简62+- (其中x<0)【答案】-【分析】解：由题意知，00，x y <<62+-=2623y x ´+-=2623y x ´-+=-+=-【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答此题的关键．48．（2021·0111()2p ---+．【答案】【分析】根据二次根式、绝对值、零指数幂、负整数指数幂的性质计算，即可得到答案．【详解】0111()2p ---+=112+-+=．【点睛】本题考查了二次根式、绝对值、零指数幂、负整数指数幂的知识，解题的关键是熟练掌握二次根式、绝对值、零指数幂、负整数指数幂的性质，然后根据实数的运算法则计算，即可完成求解．49．（2019·上海市北海中学七年级月考）先阅读下列的解答过程，然后再解答：a 、b ，使a b m +=，72a b -=，使得22m +==，那么便有：)a b ==>即227+=，=2===+（1=；（2【答案】（11，2+（2）4【分析】（1）（2|a | 的形式化简后即可得出结论．【详解】解：（1=1-；专题02二次根式的乘除重难点专练（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（2021·上海九年级二模）下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B C D【答案】B【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可【详解】解：A，不是最简二次根式；B不能化简，符合题意；C，能化简，不符合题意；D，能化简，不符合题意；故选：B．【点睛】此题主要考查了最简二次根式，正确掌握相关定义是解题关键，在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．2．（2021·上海金山区·九年级二模）下列根式中，是最简二次根式的是（）A．B C D【答案】B【分析】根据最简二次根式的概念，逐一判断即可．【详解】=。

专题01 二次根式的有关概念和性质（专题强化）一、单选题(共40分)1．(本题4分)（2020·安徽·（3m ³）0x £）中，一定是二次根式的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的定义进行判断．【详解】3m ³）0x £）一定是二次根式，共4个故选：C ．【点睛】a≥0）的式子叫做二次根式是本题的解题关键．2．(本题4分)（2021·广西宁明·的结果为（ ）A B ．±5C ．-5D ．5【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的性质进行化简即可判断．【详解】=5．故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的化简，关键是理解以下几点：①的代数式叫做二次根式．当a＞0a的算术平方根；当a=0=0；当a＜0时，②．3．(本题4分)（2021·全国·七年级专题练习）在平面直角坐标系中，点M（a，b）的坐标满足（a﹣3）2+0，则点M在（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】【分析】直接利用偶次方的性质以及二次根式的性质得出a，b的值，进而确定其所在象限．【详解】解：∵（a﹣3）20，∴a＝3，b＝2，∴点M（3，2），故点M在第一象限．故选A．【点睛】此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题关键．4．(本题4分)（2021·广西·浦北中学八年级阶段练习）已知n n的取值不可能是( )A．20B．5C．2D．45【答案】C【解析】【分析】首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值．【详解】解：==，∴n可以是20，5，45，不能等于2，故选C．【点睛】本题考查了二次根式的意义，关键是正确进行化简．5．(本题4分)（2021·浙江·杭州第十四中学附属学校八年级阶段练习）若x ，y 为实数，且y ＝2+|x +y |的值是（ ）A ．5B ．3C ．2D ．1【答案】A【解析】【分析】根据二次根式的有意义的条件求出x 的值，故可求出y 的值，故可求解．【详解】依题意可得3030x x -³ìí-³î解得x =3∴y =2∴|x +y |=|3+2|=5故选A ．【点睛】此题主要考查二次根式的性质应用，解题的关键是熟知二次根式被开方数为非负数．6．(本题4分)（2021·2-的结果是（ ）A ．21x --B ．21x -C ．1D ．－1【答案】C【解析】【分析】先由20,x -³求解x 的取值范围，再化简二次根式，从而可得答案.【详解】解：由题意得：20,x -³2,30,x x \£->2()2x -- 32x x =--+321x x =--+=故选C【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，二次根式的化简，二次根式的乘方运算，掌握“二次根式有意义的隐含条件”是解题的关键.7．(本题4分)（2021·上海松江·八年级期中）已知0a > ）A ．2B ．C ．D 【答案】C【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件得到40a b -³，而0a >，则0b <，根据二次根式的性质得到原式==．【详解】解：Q 40a b-³，而0a >，0b \<\原式==．故选：C ．【点睛】||a =．8．(本题4分)（2022·北京市第十一中学九年级开学考试）估算2的值应在（ ）A ．7和8之间B ．8和9之间C ．9和10之间D ．10和11之间【答案】A【解析】【分析】将3转入根号内比较相邻的整数；【详解】解：2-2，∴910，∴72-＜8，故答案选：A【点睛】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估值，找出与无理数相近的整数判断其取值范围是关键．9．(本题4分)（2019·全国·八年级单元测试）已知,a b 为有理数，且满足等式a =ab +的值为( ).A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】【分析】1)+，代入等式得出3a +=.【详解】1==1)==+1)=3=3a \+=()(310a b -+-=．∵a ，b 为有理数，\3a =，1b =，即4a b +=．【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.10．(本题4分)（2019·重庆巴南·八年级期中）如果关于x 的不等式组0,2223x m x x -ì>ïïí-ï-<-ïî的解集为2x >，且式m 的个数是（ ）．A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C【解析】【分析】先求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集为2x >可得出m≤2|m|=3或2，于是m=-3，3，-2或2，由m≤2，得m=-3，-2或2．【详解】解：解不等式02x m ->得x ＞m ，解不等式223x x --<-得x ＞2，∵不等式组解集为x ＞2，∴m≤2，∵则|m|=3或2，∴m=-3，3，2或-2，由m≤2得，m=-3，-2或2．即符合条件的所有整数m 的个数是3个．故选：C ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组以及二次根式的性质，熟练运用一元一次不等式组的解法是解题的关键．二、填空题(共20分)11．(本题5分)（2022·全国·八年级课前预习）若式子12x -x 的取值范围是___________．【答案】x ≥0且x ≠2略12．(本题5分)（2020·全国·八年级单元测试）根据下列条件，求字母x＝1﹣x：___．【答案】x≤1．【解析】【分析】根据二次根式本身的非负性，列一元一次不等式即可求解．【详解】解：1﹣x≥0，∴x≤1，故答案为：x≤1．【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式被开方数非负，二次根式本身非负是二次根式的重要性质，也是解本题的关键．13．(本题5分)（2022·重庆南开中学八年级开学考试）若实数x，y满足4y=______．【答案】3【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件得出x-5≥0且5-x≥0，求出x=5，再求出y，最后代入求出即可．【详解】解：要使4y=有意义，必须x-5≥0且5-x≥0，解得：x=5，把x=5代入4y=得：y=4，==，3故答案为：3．本题考查了二次根式有意义的条件和解不等式，能根据二次根式有意义的条件得出x -5≥0和5-x ≥0是解此题的关键．14．(本题5分)（2021·山东·济南市槐荫区西城实验初级中学八年级阶段练习）对任意两实数a 、b ，定义运算“*”如下：a *b ＝()()a a b a b b a a b ì³í+<î．根据这个规则，则方程2*x ＝12的解为_________．【答案】-【解析】【分析】分两种情况讨论：当2x ³时，当2＜x 时，再根据自定义的提示公式列方程，解方程可得答案.【详解】解：当2x ³时，2212,x x *==x \=±但是x =2，不合题意，舍去，x \=-当2＜x 时， 22+212,x x *==210,x \=x \=但是x =2,x \=综上： x =-x故答案为：-【点睛】本题考查的是利用平方根解方程，弄懂自定义的含义，分情况列方程是解题的关键.三、解答题(共90分)15．（2021·福建省漳州第一中学八年级期中）已知数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简：【答案】2b【解析】【分析】从数轴上可得出a ，b 的取值范围，再进行二次根式的化简，最后合并即可得到答案．【详解】解：从数轴可得， -21,12a b <<-<<∴0,10,10a b b a -<->+<=11a b b a -+--+=()()()11a b b a --+-++=+11a b b a -+-++=2b【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a ，b 的符号是解题关键．16．(本题8分)（2019·四川遂宁·中考真题）先化简，再求值：2222222a ab b a ab a b a a b-+-¸--+，其中a ，b满足2(2)0a -=．【答案】1a b-+-1【解析】【分析】根据平方差公式进行变形，再根据分式混合运算法则进行计算，再根据平方差公式的性质和二次根式的性质进行求解，即可得到答案.【详解】解：原式2()2()()()a b a a b a b a a b a b-=-+--+12a b a b=-++1a b =-+，∵a ，b 满足2(2)0a -=，∴20a -=，10b +=，2a =，1b =-，原式1121=-=--．【点睛】本题考查平方差公式和二次根式的性质，解题的关键是掌握平方差公式和二次根式的性质.17．(本题8分)（2021·全国·0=，则b a 的平方根．【答案】12±【解析】【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不为零，根据条件求出,a b 的值．【详解】0=，其中4a ¹-，则160-=，即2160a -==，由2160a -=，解得：4,4a a ==-（舍去）0=，解得：1b =-，14b a \=，b a \的平方根为12±，故答案是：12±．【点睛】本题考查零分式值为零的条件及平方根的性质，解题的关键是：分母不为零的条件不能少．18．(本题8分)（2021·湖南省隆回县第二中学八年级阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题．====1===以上这种化简的步骤叫做分母有理化．（1（2【答案】（2【解析】【分析】（1（2）根据分母有理化的步骤进行化简，即可求解．【详解】（1（2【点睛】本题主要考查了分母有理化，明确题意，理解分母有理化的步骤是解题的关键．19．(本题10分)（2021·河北·保定市第十七中学八年级期中）求代数式a a＝1007，如图是小亮和小芳的解答过程．（1） 的解法是错误的；（2）错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质： ；（3）求代数式a a ＝﹣2022．【答案】（1）小亮；（2()()00a a a a a ì³ï==í-ïî＜；（3）2028【解析】【分析】（1）由1007a =知10a -<|1|1a a =-=-，从而做出判断；（2()()00a a a a a ì³ï==í-ïî＜可得答案；（3）利用二次根式的性质化简、代入求值即可得．【详解】解：（1）∵1007a =，∴10a -<，|1|1a a =-=-，所以小亮的解法是错误的．故答案为小亮；（2()()00a a a aa ì³ï==í-ïî＜．()()00a a a a a ì³ï==í-ïî＜．（3）23a a a a =+=+-+∵2022a =-∴30a -<∴33a a-=-∴原式2(3)66(2022)2028a a a =+-=-=--=【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质．20．(本题10分)（2021·四川省巴中中学八年级期中）先化简，再求值：a +，其中2020a =．如图是小亮和小芳的解答过程．小亮：解：11a a a ==+-=原式小芳：解：1214039a a a a ==+-=-=原式（1）______的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______；（2）先化简，再求值：a +2a =-；（3）有理数a 、b 、c【答案】（12）23a a +-，8；（3）a【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质判断即可；（2）根据二次根式的性质把原式化简，把a =-2代入计算即可．（3）由数轴可得：c ＜b ＜0＜a ，再根据二次根式的化简法则计算即可．【详解】解：（1）小亮的解法是错误的，（2）原式=a +23a a +-，∵a =-2＜3，∴原式=a +2（3-a ）=a +6-2a =6-a =8．（3）由图可知：c ＜b ＜0＜a ，∴a-b＞0，a-c＞0，+---+-=a b c a b a c=a-b+c-（a-b）+a-c=a-b+c-a+b+a-c=a．【点睛】21．(本题12分)（2021·湖南·被开方数a≥00³（10=，求b2﹣2b＋2a的值；（2）若a，b为实数，且24a=+，求a＋b的值；（3）已知实数a，b满足|24||2|42-++=，求a＋b的值．a b a【答案】（1）﹣9；（2）﹣1或3；（3）1【解析】【分析】（1）根据非负数的性质分别求出a、b2-2b，计算即可；（2）根据非负数的性质求出b，进而求出a2，计算即可；（3）根据二次根式有意义的条件求出a的范围，再根据非负数的性质计算，得到答案．【详解】解：（1）由题意得，a+6=0，b2-2b-3=0，解得，a=-6，b2-2b=3，∴b2-2b+2a=3+（-12）=-9；（2）由题意得，b-1≥0，1-b≥0，解得，b=1，∴a2=4，解得，a=±2，∴a＋b=﹣1或3；（3）∵|2a-4|+|ba，∴（a-3）b2≥0，解得，a≥3，原式变形为：2a-4+|b+2|a-4，∴|b，则b+2=0，a-3=0，解得，b=-2，a=3，则a+b=1．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、绝对值的性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．22．(本题12分)（2021·河南·郑州外国语中学八年级期中）先阅读，后解答：（13，23，＝13，＝5，0a为任意实数）．（2）利用（1）中的结论，直接写出下列问题的结果：_____；②（x＜2）＝_____．（33，求满足条件的所有整数x的和_____．【答案】（1()(0)00(0)a aaa a>ìï=íï-<î；（2）①π﹣3.14，②2﹣x；（3）26．【解析】【分析】（1）将a分为正数、0、负数三种情况得出结果；（2）①当a=3.14﹣π＜0时，根据（1）中的结论可知，得其相反数﹣a，即得π﹣3.14；②先将被开方数化为完全平方式，再根据公式得结果；（3）根据（158x x+=-+-，然后分三种情况讨论：①当x＜5时，②当5≤x≤8时，③当x＞8时，分别计算，哪一个结果为3，哪一个就是它的取值，根据具体取值，即可求答案．【详解】解：（1()(0)00(0)a aaa a>ìï=íï-<î；（2）π-=π﹣3.14，（x＜2），，=|x﹣2|，∵x＜2，∴x﹣2＜0，=2﹣x；（3）58x x+=-+-，①当x＜5时，x﹣5＜0，x﹣8＜0，所以原式=5﹣x+8﹣x=13﹣2x；②当5≤x≤8时，x﹣5≥0，x﹣8≤0，所以原式=x﹣5+8﹣x=3；③当x＞8时，x﹣5＞0，x﹣8＞0，所以原式=x﹣5+x﹣8=2x﹣13，=3，所以x的取值范围是5≤x≤8，x可取5、6、7、8，满足条件的所有整数x的和5+6+7+8=26．【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，明确二次根式的两个性质：a=（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）；()(0)00(0)a aaa a>ìï=íï-<î；尤其是第2个性质的运用，注意被开方数是完全平方式时，如第（3）小题，要分情况进行讨论．23．(本题14分)（2020·福建翔安·七年级阶段练习）如图，AB //CD ，E 为线段CD 上一点，BAD n Ð=°，6()n x y =+，且y =32x +．（1）求n 的值．（2）过P 点作FG //CD ，若P 点在直线DA 上向左运动，写出APE Ð与PEC Ð之间所有的数量关系，请自行画出相应的图形，并说明理由．（不考虑P 与A 、D 重合的情况）【答案】（1）60n =；（2）当P 在D 点右边时，120PEC APE Ð-Ð=°；当P 在线段AD 上时，240PEC APE Ð+Ð=°；当P 在A 点左边时，60PEC APE Ð-Ð=°．画图见解析，理由见解析．【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求解2,8x y ==，再代入计算可求n 的值．（2）分三种情况：①当P 在D 点右边时；②当P 在线段AD 上时；③当P 在A 点左边时；利用平行线的性质，进行讨论即可求解．【详解】（1）∵32y x =++，∵20x -³，即2x ³，20x -³，即2x £，∴2x =，3228y =´+=，∴2x =，8y =，∴6(28)60n =+=．（2）①当P 在D 点右边时，因为//GF CD ，//AB CD ，∴//AB GF ，设APE x Ð=，则60EPG x Ð=-，//GF CD Q ，∴180PEC EPG Ð+Ð=°，∴180(60)120PEC x x Ð=°--=+，120120PEC APE x x Ð-Ð=+-=°，②当P 在线段AD 上时，//GF CD ，//AB CD ，∴//AB GF ，∴60BAD APG Ð=Ð=°，设APE x Ð=，则60EPG x Ð=-，//GF CD Q ，∴180PEC EPG Ð+Ð=°，∴180(60)240PEC x x Ð=°--=-，240240PEC APE x x Ð+Ð=-+=°；③当P 在A 点左边时，//GF CD Q ，//AB CD ，180BAD BAP Ð+Ð=°，∴18060120BAP Ð=-=°，//AB GF ，设APE x Ð=，则120EPG x Ð=-，//GF CD Q ，∴180PEC EPG Ð+Ð=°，∴180(120)60PEC x x Ð=°--=+，6060PEC APE x x Ð-Ð=+-=°．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，角的和差关系，平行线公理，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，注意分类思想的运用．。

二次根式性质常考题、易错题、压轴题集锦1. 二次根式的定义与性质- 什么是二次根式？- 二次根式是指形如√a的数，其中a是非负实数。

- 二次根式的可化简形式有哪些？- 可化简的二次根式有：整数根式、分数根式、循环小数根式。

- 二次根式的性质有哪些？- 二次根式的性质包括：四则运算、开方原理（即：开方运算的逆运算是平方运算，平方运算的逆运算是开方运算）、指数与对数关系等。

2. 常考题1. 计算以下各式的值：a) √(4 + √(9 - √(5 + √4)))b) (√3 +√2)^2 - (√3 - √2)^22. 一个三角形的两条边的长度分别为3和4，夹角为60度，求第三条边的长度。

3. 易错题1. 若 a 和 b 是非负实数，则√(a + b)等于多少？a) a + bb) √a + √bc) √(a^2 + b^2)d) √a + b2. 若 (x - 3)^2 = 16，则 x 的值可能是多少？a) 1b) -1c) 5d) -54. 压轴题1. 已知 x + 1/x = 4，求 x^2 + 1/x^2 的值。

2. 已知 x^2 + 1/x^2 = 7，求 x + 1/x 的值。

---希望以上二次根式的常考题、易错题和压轴题的集锦对您有所帮助。

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