高中数学第3章指数函数和对数函数6指数函数幂函数对数函数增长的比较学案北师大版必修11

学习目标核心素养1.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性．(重点)2.会利用指数函数、幂函数和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢．(难点) 1.通过具体实例体会三类函数模型增长的差异，提升数学建模素养.2.利用三类函数的图像对比研究函数的增长快慢培养直观想象素养.高中数学第3章指数函数和对数函数6指数函数幂函数对数函数增长的比较学案北师大版必修11指数函数、幂函数、对数函数增长的比较阅读教材P98～P103有关内容，完成下列问题．(1)三种函数的增长趋势当a>1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．当a>1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．当x>0，n>1时，幂函数y＝x n也是增函数，并且当x>1时，n越大，其函数值的增长就越快．思考1：在指数函数、对数函数、幂函数三类函数中，函数值增长最快的是哪个函数？[提示]指数函数(2)三种函数的增长对比对数函数y＝log a x(a>1)增长最慢，幂函数y＝x n(n>0)，指数函数y＝a x(a>1)增长的快慢交替出现，当x足够大时，一定有a x>x n>log a x.思考2：在区间(0，＋∞)上，当a>1，n>0时，是否总有log a x<x n<a n成立？[提示]不是，但总存在x0，使得当a>1，n>0，x>x0时，log a x<x n<a x成立．1．下列函数中，增长速度最快的是( )A．y＝2x B．y＝3xC．y＝5x D．y＝10xD[四个选项中的函数都是指数函数，且底数均大于1，D项中底数10最大，则函数y ＝10x的增长速度最快．]2．若x∈(1,2)，则下列结论正确的是( )A ．2x>x 12>lg xB ．2x>lg x >x 12C ．x 12>2x >lg x D ．x 12>lg x >2x[答案] A3．如图所示曲线反映的是________函数模型的增长趋势．[答案] 对数4．当x >4时，a ＝4x，b ＝log 4x ，c ＝x 4的大小关系是________． [答案] a >c >b指数、对数、幂函数增长趋势的比较f x xg x x 3A x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1<x 2.(1)请指出示意图中曲线C 1，C2分别对应哪一个函数；(2)结合函数图像，比较f (8)，g (8)，f (2 016)，g (2 016)的大小． [解] (1)C 1对应的函数为g (x )＝x 3，C 2对应的函数为f (x )＝2x.(2)∵g (1)＝1，f (1)＝2，g (2)＝8，f (2)＝4，g (9)＝729，f (9)＝512，g (10)＝1 000，f (10)＝1 024，∴f (1)>g (1)，f (2)<g (2)，f (9)<g (9)，f (10)>g (10)． ∴1<x 1<2,9<x 2<10.∴x 1<8<x 2<2 016. 从图像上知，当x 1<x <x 2时，f (x )<g (x )；当x >x 2时，f (x )>g (x )，且g (x )在(0，＋∞)上是增函数． ∴f (2 016)>g (2 016)>g (8)>f (8)．1．指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较函数性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1) y＝x n(n>0) 在(0，＋∞)上的单调性递增递增递增增长的速度先慢后快先快后慢随着n值的不同而不同图象的变化随x的增大越来越陡随x的增大逐渐变缓随着n值的不同而不同(1)常用方法单调性法、图象法，中间搭桥法、作差(商)法．(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即先将它们分为“小于0”，“大于等于0，小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．1.函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异．(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)[解](1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.(2)当x<x1时，g(x)>f(x)；当x1<x<x2时，f(x)>g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x).建立函数模型解决实际问题【例2报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？[思路探究]首先建立不同回报对应的函数模型，结合其图像解决问题．[解]设第x天所得回报是y元．由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；方案二：y＝10x(x∈N＋)；方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N＋)．作出三个函数的图像如图：由图可以看出，从每天所得回报看，在第1天到第3天，方案一最多，在第4天，方案一、二一样多，方案三最少，在第5天到第8天，方案二最多，第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第30天，所得回报已超过2亿元，∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．通过计算器计算列出三种方案的累积收入表．∴投资1天到6天，应选方案一，投资7天方案一、二均可，投资8天到10天应选方案二，投资11天及其以上，应选方案三．解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题来解决，结合函数图像有助于直观认识函数间在不同范围的大小关系.2．有一种树木栽植五年后可成材．在栽植后五年内，年增加20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐．乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次．请计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材？(不考虑最初的树苗成本，只按成材的树木计算)[解]设树林最初栽植量为a，甲方案在10年后树木产量为y1＝a(1＋20%)5(1＋10%)5＝a(1.2×1.1)5≈4a.乙方案在10年后树木产量为y2＝2a(1＋20%)5＝2a·1.25≈4.98a.y1－y2＝4a－4.98a<0，因此，乙方案能获得更多的木材.选择函数模型[探究问题]1．如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是什么？提示：由题中图像可知，该函数模型为指数模型．2．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：关于x 呈指数函数变化的变量是什么？提示：由表中的数据变化知，是指数函数变化的变量是y 2.【例3】 20世纪90年代，气候变化专业委员会向各国政府提供的一项报告指出：全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中CO 2体积分数增加，据测，1990年，1991年，1992年大气中CO 2体积分数分别比1989年增加了1个可比单位，3个可比单位，6个可比单位，若用一个函数模拟20世纪90年代中每年CO 2体积分数增加的可比单位数y 与年份增加数x (即当年数与1989年的差)的关系，模拟函数可选用二次函数f (x )＝px 2＋qx ＋r (其中p ，q ，r 为常数)，或g (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数且b >0，b ≠1)．(1)根据题目中的数据，求f (x )，g (x )的解析式；(2)如果1994年大气中CO 2体积分数比1989年增加了16个可比单位，请问以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．[思路探究] (1)列出方程组求系数，从而求解析式； (2)由x ＝5得出函数值，通过比较选择模拟函数． [解] (1)由题目中的数据得⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＋r ＝1，4p ＋2q ＋r ＝3，9p ＋3q ＋r ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝12，q ＝12，r ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝1，ab 2＋c ＝3，ab 3＋c ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝83，b ＝32，c ＝－3，所以f(x)＝12x2＋12x, g(x)＝83·⎝⎛⎭⎪⎫32x－3.(2)因为f(5)＝15，g(5)＝17.25，f(5)更接近16，所以选用f(x)＝12x2＋12x作为模拟函数好．解决函数应用题时的常用方法：1先依据给出的数据作出散点图，大体估计函数模型，设出函数模型，列出方程组求系数，即可确定出函数模型.2将求出的函数通过数据比较确定出最适合的函数模型.3．某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间t 50110250种植成本Q 150108150(1)根据上表数据，Q与上市时间t的变化关系．Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·b t，Q＝a·log b t.(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．[解](1)由表中数据知，当时间t变化时，种植成本并不是单调的，故只能选择Q＝at2＋bt＋c，即⎩⎪⎨⎪⎧150＝a×502＋b×50＋c，108＝a×1102＋b×110＋c，150＝a×2502＋b×250＋c.所以⎩⎪⎨⎪⎧a＝1200，b＝－32，c＝4252.解得Q＝1200t2－32t＋4252.(2)Q＝1200(t－150)2＋4252－2252＝1200(t－150)2＋100，所以当t＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102 kg.三种函数模型的表达式及其增长特点的总结(1)指数函数模型：表达式为f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a>0)，当b>1时，增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”；当0<b<1时，函数值由快到慢地减少．(2)对数函数模型：表达式为f(x)＝m log a x＋n(m，n，a为常数，m>0)，当a>1时，增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”；当0<a<1时，相应函数值逐渐减少，变化得越来越慢．(3)幂函数模型：表达式为f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1，α>0)，其增长情况由a和α的取值确定，常见的有二次函数模型.1．思考辨析(1)y＝x10比y＝1.1x的增长速度更快些．( )(2)对于任意的x>0，都有2x>log2x.( )(3)对于任意的x，都有2x>x2.( )[答案](1)×(2)√(3)×2．三个变量y1，y2，y3随自变量x的变化情况如下表：x 1357911y15135625 1 715 3 645 6 633y2529245 2 18919 685177 149y35 6.1 6.61 6.957.207.40其中关于x呈指数型函数变化的变量是________，呈幂函数型函数变化的变量是________．y3y2y1[由表中数据可知，y1随x的增加成倍增加，属于幂函数型函数变化，y2随x 的增加成“几何级数”增加，属于指数型函数变化，y3随x的增加增加越来越慢，属于对数函数变化．]3．某商场2018年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：①f(x)＝p·q x(q>0，q≠1)；②f (x )＝log p x ＋q (p >0，p ≠1)； ③f (x )＝x 2＋px ＋q .能较准确反映商场月销售额f (x )与月份x 关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f (1)＝10，f (3)＝2，则f (x )＝________.③，x 2－8x ＋17 [①②均单调，③先减后增，故能较准确反映商场月销售额f (x )与月份x 关系的函数模型为③，由f (1)＝10，f (3)＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋p ＋q ＝109＋3p ＋q ＝2，解得p ＝－8，q ＝17， 所以，f (x )＝x 2－8x ＋17.]4．用模型f (x )＝ax ＋b 来描述某企业每季度的利润f (x )(亿元)和生产成本投入x (亿元)的关系．统计表明，当每季度投入1(亿元)时利润y 1＝1(亿元)，当每季度投入2(亿元)时利润y 2＝2(亿元)，当每季度投入3(亿元)时利润y 3＝2(亿元)．又定义：当f (x )使[f (1)－y 1]2＋[f (2)－y 2]2＋[f (3)－y 3]2的数值最小时为最佳模型．(1)当b ＝23时，求相应的a 使f (x )＝ax ＋b 成为最佳模型；(2)根据题(1)得到的最佳模型，请预测每季度投入4(亿元)时利润y 4(亿元)的值． [解] (1)b ＝23时 ，[f (1)－y 1]2＋[f (2)－y 2]2＋[f (3)－y 3]2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋16，∴a ＝12时，f (x )＝12x ＋23为最佳模型．(2)f (x )＝x 2＋23，则y 4＝f (4)＝83.。