人教A版数学必修五 《等差数列》2课件

an1 an d (是与n无关的数或式子）
练习
1、判断下列数列是否为等差数列？如果是请说出公差d
a2=a1 + d， 常数列 （1）1，2，4，6，8，10，12，… 不是 a （ a +d ） a 3= 2 + d = 1 + d= a1 + 2 d， （2）0， 1，2，3，4，5，6，… 是 d=1 a 3 + d = （a1+2 + d= a + a = 3 d， 4 1 （3）3，3，3，3， 3，3，3，… 是 d=0 d ） a （ a1+3 + d= a + 4 d， 4 + d = a = 5 2，4，7，11，16，… 1 （ 4） 不是 d ） …… （5）－8，－6，－4，0，2，4，… 不是 （n-1） a3n，－ = 6，－ a1 9 + d． （6）3，0，－ ，… 是 d=-3
练习
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后, 三个数就会成为一个等差数列： （1）2 ， 3 ， 4 （2）-1， 2 ，5 （3）-12， -6 ，0 （4）0，
0
，0
例题
例4
已知一个等差数列的第3项是5，第8项 是20，求它的第25项． an=a1+(n-1)d 解 因为a3=5，a8=20，根据通项公式得
2、已知一个等差数列{an}的首项是a1，公差是d，如何 求出它的任意项an呢？
等差数列通项公式：
an=a1+（n-1）d
例题
例1
求等差数列8，5，2，…的通项公式 和第20项． an=a1+(n-1)d 解：∵a1 =8 d=5-8=-3

(2) 若 m 、n 、p 、q N* 且 m n p q
则 am an ap aq (反之不成立)
证明：由通项公式得：
am an a1 (m 1)d a1 (n 1)d 2a1 (m n 2)d
ap aq a1 ( p 1)d a1 (q 1)d
2a1 ( p q 2)d
2.2.2 等差数列 （2）
1、定义:
如果一个数列从第2项起，每一项与 它的前一项 的差都等于同一个常数，那么
这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常 用 d 表示.
即 an an1 d （n 2）
2、通项公式：
an a1 (n 1)d.
推广：an am (n m)d
故a，A，b 成等差数列 A a b 2
3、等差中项：
如果a ，A ，b成等差数列，那么 A叫做a与b的等差中项，且 A a b .
2
由此得,在等差数列a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , … an , …中,
an
an1 an1 2
（n 2）
即 2an an1 an1 （n 2）
(2) 若 m n p q，则 am an ap aq . (3) ak ，akm ，ak2m ， 组成的数列仍然是 等差数列，且公差为 md .
(4) Sk ，S2k Sk ，S3k S2k ， 组成的数列仍然是 等差数列 .
(5) 若数列{an}与{bn}均为等差数列 ， 则数列{man kbn}(m，k 为常数)仍为等差数列 .
∴ a3+ a6+a9=3a6 = 27.
练习： 在等差数列{an } 中 . (1) 已知 a2 a3 a11 a12 76，求 a7 ； (2) 已知 a2 a3 a4 a5 34，a2a5 52， 且 d 0，求 d ，an .

解：由题意得， a6=a1+5d＞0 a7=a1+6d＜0
∴-23/5＜d＜-23/6
∵d∈Z ∴d=-4
这例个数7.列已从知第等1差2项数起列为{a负n}的数首，项求为公3差0， d的范围。
解：a12=30+11d＜0 a11=30+10d≥0
∴ -3≤d＜-30/11
即公差d的范围为：-3≤d＜-30/11
讲解范例:
例5. 已知数列{an}的通项公式为 an＝pn＋q，其中p、q为常数， 且p≠0，那么这个数列一定是 等差数列吗？
这个等差数列的首项与公差分 别是多少？
首项a1＝p＋q 公差d＝p.
应用延伸
例6.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前 六项均为正数，第七项起为负数1
,
a
2
,
a
3
,
y和x,
b1
,
b
2
,
b
3
,
b
4
,
y都是等差
数
列
，则..
a b
2 2
- a1 - b1
总结:
2. 判断数列是否为等差数列的常用方法： (1) 定义法: 证明an－an－1＝d (常数) (2) 中项法: 利用中项公式，若2b＝a＋c,
则a, b, c成等差数列.
讲解范例:
4. 数列{an}中,a1= 2 , an+1=an- 2 (n∈N*), 则通项an=（C ）
A. 2n 2 2
B. 2n
C. 2n 2 2
D. 不能确定
5. 已知等差数列的前三项依次为：a-1, a+1, a+3, 则此数列的通项为（ B ）

2Aab A a b
2
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5
信息交流，揭示规律
2.等差数列的性质
，
性质1：若数列{ a n }是等差数列，公差为 d 若 d >0,则 { a n }是递增数列；
若 d<0,则 { a n }是递减数列；
若 d=0,则{ a n }是常数列.
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信息交流，揭示规律
2.等差数列的性质
1.等差中项的定义与应用 2. 判断一个数列是否为等差数列只需看 an1an(nN*)是否为常数； 3.等差数列的性质
性质1：若数列{ a n }是等差数列，公差为 d 若 d >0,则 { a n }是递增数列；
若 d<0,则 { a n }是递减数列；
若 d=0,则{ a n }是常数列.
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变式训练，深化提高
2.已知a、b、c成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a＋b也成等差数列． 证 ：∵a、b、c成等差数列 ∴2b=a＋c ∴(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c ＝a＋(a＋c)＋c ＝2(a＋c) ∴b＋c、c＋a、a＋b成等差数列．
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反思小结，观点提炼
求数列{ a n } 的通项公式.
解： a1a7 2a4
a1a4a73a415
， 由此得到
a4 5
又 a2a4a6 45 a2a6 9
即（ a42d)a (42d)9 （ 52d)5 (2d)9
得 d2
当 d 2 时， a n a 4 (n 4 )d 2 n 3
当 d-2 时，a n a 4 (n 4 )d 1 3 2 n
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