高中数学选修2-1精品教案3：3.2 利用向量解决平行与垂直问题教学设计

3.2立体几何中的向量方法（二）教学目标：掌握利用向量法解决空间中的垂直关系教学重点：证明空间中垂直关系的方法教学难点：空间中的垂直关系如何转化为向量的运算问题教学过程：一.复习引入直线的方向向量和平面的法向量二.思考分析直线的方向向量和平面的法向量可以确定直线和平面的位置．因此，可用向量方法解决线面垂直关系的判断及证明．问题1：直线的方向向量与一平面的法向量平行，则该直线与平面有什么关系？提示：垂直．问题2：若两平面的法向量垂直，则两平面垂直吗？提示：垂直．三.抽象概括证明垂直关系的向量方法用向量法证明线线、线面、面面之间的垂直关系，主要是找出直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，因此求直线的方向向量及平面的法向量是解题关键．四.例题分析及练习[例1]在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E.[思路点拨]分析题意→建立空间直角坐标系→表示出A1，F，C1，E的坐标→A1F⊥C1E[精解详析]以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．设AE ＝BF ＝x ，则E (a ，x,0)，F (a －x ，a,0)．∴1A F u u u r＝(－x ，a ，－a )， 1C E u u u r＝(a ，x －a ，－a )． ∵1A F u u u r ·1C E u u u r ＝(－x ，a ，－a )·(a ，x －a ，－a )＝－ax ＋ax －a 2＋a 2＝0， ∴1A F u u u r ⊥1C E u u u r，即A 1F ⊥C 1E .[感悟体会] 利用向量法证明线线垂直往往转化为证明直线的方向向量垂直，即证明它们的方向向量的数量积为0.证明的关键是建立恰当的空间直角坐标系，正确地表示出点的坐标进而求直线的方向向量． 训练题组11．设直线l 1的方向向量为a ＝(2,1，－2)，直线l 2的方向向量为b ＝(2,2，m )，若l 1⊥l 2，则m ＝( )A ．1B ．－2C ．－3D ．3解析：l 1⊥l 2⇔a ⊥b ，∴2×2＋1×2＋(－2)×m ＝0，∴m ＝3. 答案：D2．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AC 的中点．证明：(1)BD 1⊥AC ；(2)BD 1⊥EB 1.证明：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示 的空间直角坐标系Dxyz .设正方体的棱长为1，则B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，A (1，0,0)，C (0,1,0)， E (12，12，0)，B 1(1,1,1)．(1) 1BD u u u r＝(－1，－1,1)，AC uuu r ＝(－1，1,0)，∴1BD u u u r ·AC uuu r ＝(－1)×(－1)＋(－1)×1＋1×0＝0，∴1BD u u u r ⊥AC uuur ，∴BD 1⊥AC .(2) 1BD u u u r ＝(－1，－1,1)，1EB u u u r ＝(12，12，1)，∴1BD u u u r ·1EB u u u r ＝(－1)×12＋(－1)×12＋1×1＝0，∴1BD u u u r ⊥1EB u u u r，∴BD 1⊥EB 1.[例2] 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点． 求证：EF ⊥平面B 1AC .[思路点拨] 思路一：EF ⊥AB 1→EF ⊥B 1C →EF ⊥平面B 1AC思路二：求平面B 1AC 的法向量n EF ⊥平面B 1AC[精解详析] 法一：设AB uu u r ＝a ，AD uuu r＝c ，1AA u u u r ＝b ，则EF uuu r ＝1EB u u u r ＋1B F u u u r ＝12(1BB u u u r ＋11B D u u u u r )＝12(1AA u u u r ＋BD uuu r )＝12(1AA u u u r ＋AD uuu r －AB uu u r)＝12(－a ＋b ＋c )． ∵1AB u u u r ＝AB uu u r ＋1AA u u ur ＝a ＋b ，∴EF uuu r ·1AB u u u r ＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b )＝12(b 2－a 2＋c ·a ＋c ·b )＝12(|b |2－|a |2＋0＋0)＝0.∴EF uuu r ⊥1AB u u ur ，即EF ⊥AB 1.同理，EF ⊥B 1C .又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC .法二：设正方体的棱长为2，以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，E (2,2,1)，F (1,1,2)．∴EF uuu r＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(－1，－1,1)，1AB u u u r＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)， AC uuu r＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)．∴EF uuu r ·1AB u u ur ＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0，EF uuu r ·AC uuur ＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0，∴EF uuu r ⊥1AB u u u r ，EF uuu r ⊥AC uuur ，∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC .又AB 1∩AC ＝A ，∴EF ⊥平面B 1AC .法三：同法二得1AB u u u r ＝(0,2,2)，AC uuu r ＝(－2,2,0)，EF uuu r＝(－1，－1,1)．设平面B 1AC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则1AB u u u r·n ＝0，AC uuu r ·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，－2x ＋2y ＝0.取x ＝1，则y ＝1，z ＝－1，∴n ＝(1,1，－1)， ∴EF uuu r ＝－n ，∴EF uuu r∥n ，∴EF ⊥平面B 1AC .[感悟体会] 法一选基底，将相关向量用基底表示出来，然后利用向量的计算来证明．法二、法三建立空间直角坐标系，利用坐标将向量的运算转化为实数(坐标)的运算，以达到证明的目的． 训练题组23．已知直线l 与平面α垂直，直线的一个方向向量为u ＝(1,3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z ＝________.解析：∵l ⊥α，v ∥α，∴u ⊥v .∴(1,3，z )·(3，－2,1)＝0，即3－6＋z ＝0，z ＝3. 答案：34.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点，求证：A 1O ⊥平面GBD .证明：法一：设11A B u u u u r ＝a ，11AD u u u u r ＝b ，1A A u u u r ＝c ，则a ·b ＝0，b ·c ＝0，a ·c ＝0. 而1AO u u u r ＝1A A u u u r ＋AO uuu r ＝1A A u u u r ＋12(AB uu u r ＋AD uuu r )＝c ＋12(a ＋b )， BD uuu r ＝AD uuu r －AB uu u r＝b －a ， OG uuu r ＝OC uuu r ＋OG uuu r ＝12(AB uu u r ＋AD uuu r )＋121CC u u u r ＝12(a ＋b )－12c ，∴1AO u u u r ·BD uuu r ＝(c ＋12a ＋12b )·(b －a )＝c ·(b －a )＋12(a ＋b )·(b －a )＝c ·b －c ·a ＋12(b 2－a 2) ＝12(|b |2－|a |2)＝0. ∴1AO u u u r ⊥BD uuu r ，∴A 1O ⊥BD .同理可证，A 1O ⊥OG .又∵OG ∩BD ＝O ，∴A 1O ⊥平面GBD .法二：如图，取D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设正方体棱长为2，则O (1,1,0)，A 1(2,0,2)，G (0,2,1)，B (2,2,0)，D (0,0,0)，∴1OA u u u r ＝(1，－1,2)，OB uuu r ＝(1,1,0)，BG uuu r ＝(－2,0,1)．而1OA u u u r ·OB uuur ＝1－1＋0＝0， 1OA u u u r ·BG uuu r ＝－2＋0＋2＝0，∴1OA u u u r ⊥OB uuu r ，1OA u u u r ⊥BG uuur ，即OA 1⊥OB ，OA 1⊥BG .而OB ∩BG ＝B ，∴OA 1⊥平面GBD .[例3] 三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如右图所示，截面为A 1B 1C 1，∠BAC ＝90°，A 1A ⊥平面ABC ，A 1A ＝3，AB ＝AC ＝2A 1C 1＝2，D 为BC 的中点．证明：平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.[思路点拨] 思路一：证明BC ⊥AD →证明BC ⊥AA 1→BC ⊥平面A 1AD →平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1思路二：求平面A 1AD 的法向量n 1→求平面BCC 1B 1的法向量n 2→证明n 1·n 2＝0→ 平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1[精解详析] 法一：如下图，建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(0,0，3)，C 1(0,1，3)．∵D 为BC 的中点，∴D 点坐标为(1,1,0)．∴AD uuu r＝(1,1,0)，1AA u u u r ＝(0,0，3)，BC uuu r ＝(－2,2,0)．∴AD uuu r ·BC uuur ＝1×(－2)＋1×2＋0×0＝0，1AA u u u r ·BC uuu r ＝0×(－2)＋0×2＋3×0＝0. ∴AD uuu r ⊥BC uuur ，1AA u u u r ⊥BC uuu r .∴BC ⊥AD ，BC ⊥AA 1.又A 1A ∩AD ＝A ，∴BC ⊥平面A 1AD .又BC ⊂平面BCC 1B 1，∴平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.法二：同证法一建系后，得1AA u u u r ＝(0,0，3)，AD uuu r＝(1,1,0)，BC uuu r ＝(－2,2,0)，1CC u u u r ＝(0，－1，3)．设平面A 1AD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面BCC 1B 1的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·1AA u u u r ＝0，n 1·AD uuu r＝0，得⎩⎨⎧3z 1＝0，x 1＋y 1＝0.令y 1＝－1，则x 1＝1，z 1＝0，∴n 1＝(1，－1,0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BC uuu r ＝0，n 2·1CC u u u r ＝0，得⎩⎨⎧－2x 2＋2y 2＝0，－y 2＋3z 2＝0.令y 2＝1，则x 2＝1，z 2＝33，∴n 2＝(1,1，33)．∵n 1·n 2＝1－1＋0＝0，∴n 1⊥n 2.∴平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.[感悟体会] 证明面面垂直通常有两种方法，一是利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明；二是证明两个平面的法向量互相垂直． 训练题组35．在正棱锥P －ABC 中，三条侧棱两两互相垂直，G 是△P AB 的重心，E ，F 分别为BC ，PB 上的点，且BE ∶EC ＝PF ∶FB ＝1∶2.求证：平面GEF ⊥平面PBC .证明：法一：如图，以三棱锥的顶点P 为原点，以P A ，PB ，PC 所在直线分别作为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．令P A ＝PB ＝PC ＝3，则A (3,0,0)，B (0,3,0)，C (0,0,3)，E (0,2,1)，F (0,1,0)，G (1,1,0)，P (0,0,0)，于是PA u u r ＝(3,0,0)，FG uuu r ＝(1,0,0)，故PA u u r＝3FG uuu r ，∴P A ∥FG .而P A ⊥平面PBC ，∴FG ⊥平面PBC .又FG ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PBC . 法二：同证法一，建立空间直角坐标系，则E (0,2,1)，F (0,1,0)，G (1,1,0)．∴EF uuu r＝(0，－1，－1)，EG uuu r ＝(1，－1，－1)．设平面EFG 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则有n ⊥EF uuu r，n ⊥EG uuu r .∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，x －y －z ＝0.令y ＝1，得z ＝－1，x ＝0，即n ＝(0,1，－1)． 显然PA u u r＝(3,0,0)是平面PBC 的一个法向量．又n ·PA u u r ＝0，∴n ⊥PA u u r ，即平面PBC 的法向量与平面EFG 的法向量互相垂直，∴平面EFG ⊥平面PBC .6．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点，求证：平面AED ⊥平面A 1FD 1. 证明：如图，建立空间直角坐标系Dxyz .设正方体棱长为1，则E (1,1，12)，D 1(0,0,1)，F (0，12，0)，A (1,0,0)．∴DA uuu r ＝(1,0,0)＝11D A u u u u r ，DE uuu r ＝(1,1，12)， 1D F u u u u r ＝(0，12，－1)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面AED 和A 1FD 1的一个法向量．由⎩⎨⎧m ·DA uuu r ＝0，m ·DE uuu r ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，x 1＋y 1＋12z 1＝0.令y 1＝1，得m ＝(0,1，－2)． 又由⎩⎪⎨⎪⎧n ·11D A u u u u r＝0，n ·1D F u u u u r＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，12y 2－z 2＝0.令z 2＝1，得n ＝(0,2,1)． ∵m ·n ＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，∴m ⊥n ，故平面AED ⊥平面A 1FD 1. 五.课堂小结与归纳1．用向量法证明线面垂直的方法与步骤(1)基向量法⎩⎪⎨⎪⎧①设出基向量，用基向量表示直线的方向向量②找出平面内两条不共线向量并分别用基向量表示③分别证明直线的方向向量与平面内两不共线向量垂直(2)坐标法⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧方法一⎩⎪⎨⎪⎧①建立空间直角坐标系②将直线的方向向量用坐标表示③将平面内任意两条相交直线的方向向量用坐标表示④分别证明直线的方向向量与平面内两向量垂直方法二⎩⎪⎨⎪⎧①建立空间坐标系②将直线的方向向量、平面的法向量分别用坐标表示④证明平面的法向量与直线的方向向量平行2．利用空间向量证明面面垂直，通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直，进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直． 六.当堂训练1．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(2,3,8)，则( ) A ．α∥β B ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直 D ．以上均不正确 解析：u ·v ＝(1,2，－1)·(2,3,8)＝1×2＋2×3－1×8＝0，∴u ⊥v .∴α⊥β.答案：B2．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，12，2)，则m 为( )A ．－4B ．－6C ．－8D ．8解析：∵l ∥α，平面α的法向量为(1，12，2)，∴(2，m,1)·(1，12，2)＝0.∴2＋12m ＋2＝0.∴m ＝－8.答案：C3．已知AB uu u r ＝(1,5，－2)，BC uuu r ＝(3,1，z )，若AB uu u r ⊥BC uuu r ，BP u u u r ＝(x －1，y ，－3)，且BPu u u r⊥平面ABC ，则BP u u u r等于( )A ．(337，－157，4)B ．(337，－157，－3)C ．(407，－157，4)D ．(407，157，－3)解析：由AB uu u r ·BC uuu r ＝0得3＋5－2z ＝0，∴z ＝4.又BP u u u r⊥平面ABC ， ∴⎩⎨⎧BP u u u r ·AB uu u r ＝0， BP u u u r ·BC uuur ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －1＋5y ＋6＝0，3x －3＋y －12＝0，解得⎩⎨⎧x ＝407，y ＝－157.答案：B4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A ．AC B ．BD C ．A 1DD ．AA 1解析：建立如图所示的坐标系．设正方体棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)， C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，E (12，12，1)．∴CE ―→＝(12，12，1)－(0,1,0)＝(12，－12，1)，AC uuu r ＝(－1,1,0)，BD uuu r＝(－1，－1,0)，1A D u u u r ＝(－1,0，－1)，1A A u u u r ＝(0,0，－1)．∵CE u u u r ·BD uuu r ＝(12，－12，1)·(－1，－1,0)＝－12＋12＋0＝0， ∴CE u u u r ⊥BD uuu r，∴CE ⊥BD .答案：B5．在直角坐标系Oxyz 中，已知点P (2cos x ＋1,2cos 2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)，其中x ∈[0，π]．若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________．解析：由题意得OP uuu r ⊥OQ uuu r.∴cos x ·(2cos x ＋1)－(2cos 2x ＋2)＝0.∴2cos 2x －cos x ＝0.∴cos x ＝0或cos x ＝12.又x ∈[0，π]，∴x ＝π2或x ＝π3.答案：π2或π36．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，且有AB uu u r ＝(2，－1，－4)，ADuuu r＝(4,2,0)，AP uu u r ＝(－1,2，－1)．给出结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP uu u r是平面ABCD的法向量；④AP uu u r ∥BD uuu r.其中正确的是________．解析：由AP uu u r ·AB uu u r＝－2－2＋4＝0知AP ⊥AB ，故①正确； 由AP uu u r ·AD uuu r＝－4＋4＋0＝0，知AP ⊥AD ，故②正确；由①②知AP uu u r是平面ABCD 的法向量，故③正确，④不正确．答案：①②③7.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ＝2，BC ＝22，E ，F 分别是AD ，PC 的中点．求证：PC ⊥平面BEF .解：如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．∵AP ＝AB ＝2，BC ＝AD ＝22，四边形ABCD 是矩形，∴A ，B ，C ，D ，P 的坐标为A (0，0,0)，B (2,0,0)，C (2,22，0)，D (0,22，0)，P (0,0,2)． 又E ，F 分别是AD ，PC 的中点，∴E (0，2，0)，F (1，2，1)．∴PC uuu r (2,22，－2)，BF uuu r ＝(－1，2，1)，EF uuu r＝(1,0,1)， ∴PC uuu r ·BF uuu r ＝－2＋4－2＝0，PC uuu r ·EF uuu r ＝2＋0－2＝0，∴PC uuu r ⊥BF uuu r ，PC uuu r ⊥EF uuu r ，∴PC ⊥BF ，PC ⊥EF .又BF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面BEF . 8.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点．(1)求证：A 1E ⊥BD ；(2)若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定E 点的位置．解：以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体棱长为a ，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )．设E (0，a ，e )(0≤e ≤a )．(1) 1A E u u u r ＝(－a ，a ，e －a )，BD uuu r ＝(－a ，－a,0)，1A E u u u r ·BD uuu r ＝a 2－a 2＋(e －a )·0＝0， ∴1A E u u u r ⊥BD uuu r，即A 1E ⊥BD .(2)设平面A 1BD ，平面EBD 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)．∵DB uuu r ＝(a ，a,0)，1DA u u u r ＝(a,0，a )，DE uuu r ＝(0，a ，e )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ax 1＋ay 1＝0，ax 1＋az 1＝0.⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋ay 2＝0，ay 2＋ez 2＝0. 取x 1＝x 2＝1，得n 1＝(1，－1，－1)，n 2＝(1，－1，ae )．由平面A 1BD ⊥平面EBD 得n 1⊥n 2.∴2－a e ＝0，即e ＝a 2.∴当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .。

不可忽视的利用空间向量处理垂直与平行关系问题山东省利津县第一中学 胡彬 257400关于空间向量在几何体中的应用,同学们在学习中注重的往往是两用空间向量解决求角球距离的问题,却忽视了利用空间向量处理垂直与平行关系问题.这样的做法往往导致了一旦遇到几何体中的垂直与平行关系问题要处理,而几何方法又无法解决时,可能就会束手无策,坐以待毙了.而实际上,利用空间向量处理垂直与平行关系问题同样会带来直观、运算量小、减少空间想象的力度等优点.一. 利用空间向量处理垂直关系问题例1.ABC-C 11B A 是各棱长均相等的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点.求证：平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1 .[分析]:线与线、线与面、面与面的垂直平行关系是历年高考命题的热点，请注意各种关系的相互转化并最终转化到平面问题或比较简单、具体的问题而加以解决。

若用空间向量法则证明垂直问题主要是用好平面的法向量。

[解法一]取AB 1的中点M ，AB 中点N ，连结DM ，MN ，CN MN ∥21BB 1∥CD 且MN =21BB 1=CD DMA1B1BNACC 1∴ DM ∥CN 且 DM=CN由已知可得 CN ⊥AA 1,且CN ⊥AB ∴CN ⊥面AB B 1A 1, DM ⊥面AB B 1A 1,且 DM ⊂面AB 1D, ∴面AB 1D ⊥面AB B 1A 1[回顾]面面垂直的判定定理“l ⊥α , l ⊂α ⇒ α ⊥β ”中，首先，L 应是β内垂直于交线的直线。

将一个向量表示成几个便于计算的向量相加（首尾相接）在证线与线垂直中常用。

于是有下面的证法二。

[证法二] ·1AA =(++211AB )·1AA =(++211AA +2111B A )·1AA =-21a 2+0+21a 2+0 (a 为棱长)同样 DM ·AB =DC ·AB +CA ·AB +211AA ·AB +2111B A ·AB =0-21a 2+0+21a 2=0∴DM ⊥相交直线AB. AA 1, ∴DM ⊥平面AB B 1A 1 且 DM ⊂平面AB 1D ∴平面AB 1D ⊥平面AB B 1A 1.本题也可以建立直角坐标系,利用向量坐标证明或证明面AB 1D 与面ABC 的法向量数量积为0.[证法三]以AB 的中点O 为原点，射线OB ，OC ，OM （M 是AB 1的中点）分别为x 轴,y 轴、z 轴正向建立空间直角坐标系.如图，设所有的棱长均为2，则A （-1，0，0），B （1，0，0）D （0,3 ,1）, B(1,0,2) xyCDA1MAOB B1C 1设平面AB 1D 的法向量为n =（x,y,z ）由n ·AD =（x,y,z ）（1，3，1）=x+3y+z=0和n ·1AB =（x,y,z ）（2，0，2）=2x+2z=0 ,取=（-1,0,1）.而平面AB B 1A 1的法向量为=（0, 3,0）·=（-1,0,1）·（0, 3,0）=0+0+0=0 ∴⊥∴平面AB 1D ⊥平面AB B 1A 1.[回顾]:向量坐标法解题时注意；（1）点坐标，向量坐标，向量关系三大步的运算要准确，（2）将题意转化为相应的向量计算。

《空间向量在立体几何中的应用》教学设计一教学目标 （一）知识与技能1理解并会用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值； 2理解并会用空间向量解决平行与垂直问题 （二）过程与方法1体验用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值的过程； 2体验用空间向量解决平行与垂直问题的过程． （三）情感态度与价值观1通过理解并用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值，用空间向量解决平行与垂直问题的过程，让学生体会几何问题代数化，领悟解析几何的思想；2培养学生向量的代数运算推理能力； 3培养学生理解、运用知识的能力． 二教学重、难点重点：用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值及解决平行与垂直问题． 难点：用空间向量求二面角的余弦值．三教学方法：情景教学法、启发式教学法、练习法和讲授法． 四教学用具：电脑、投影仪． 五教学设计 （一）新课导入1提问学生：（1）怎样找空间中线线角、线面角和二面角的平面角？ （2）能否用代数运算来解决平行与垂直问题？ （二）新课学习1用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值（1）设12,l l 是两条异面直线，,A B 是1l 上的任意两点，,C D 是直线2l 上的任意两点，则12,l l 所成（2）设AB 是平面α的斜线，且,B BC α∈是斜线AB 在平面α内的射影，则斜线AB 与平面α所n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，则AB 与平面α所（3）设12,n n 是二面角l αβ--的面,αβ弦值例1：在棱长为a 的正方体''''ABCD A B C D -中，EF 分别是'',BC A D 的中点，（1）求直线'ACDE 与所成角的余弦值 （2）求直线AD 与平面'B EDF 所成的角的余弦值（3）求平面'B EDF 与平面ABCD分析：启发学生找出三条两两垂直的直线AB,AD,AA ´，建立空间直角坐标系A-，根据已知找出相关点的坐标，然后写出相关向量的坐标，并进行运算就可以得到所求的结果解：（1）如图建立坐标系，则'(0,0,),(,,0),(0,,0),(,,0)2aA a C a a D a E a'(,,),(,,0)2a AC a a a DE a ∴=-=-'''15cos ,15AC DE AC DE AC DE•∴<>==• 故'ACDE 与所成的角的余弦值为1515 （2）,ADE ADF ∠=∠所以AD 在平面'B EDF 内的射影在EDF ∠的平分线上，又'B EDF 为菱形，'DB ∴为EDF ∠的平分线，故直线AD 与平面'B EDF 所成的角为'ADB ∠，建立如图所示坐标系，则'(0,0,0),(,0,),(0,,0)A B a a D a ，'(0,,0),(,,)DA a DB a a a ∴=-=-，'''3cos ,3DA DB DA DB DA DB •∴<>==•故AD 与平面'B EDF 所成角的余弦值为33 （3）由''(0,0,0),(0,0,),(,0,),(0,,0),(,,0)2aA A aB a a D a E a ,所以平面ABCD 的法向量为'(0,0,)m AA a ==,下面求平面'B EDF 的法向量，设(1,,)n y z =，由'(,,0),(0,,)22a aED a EB a =-=-，'0210n ED y z n EB ⎧•==⎧⎪∴⇒⎨⎨=⎩•=⎪⎩，(1,2,1)n ∴= 6cos ,6m n n m m n•∴<>==• 所以，平面'BEDF 与平面ABCD 所成的角的余弦值为66 课堂练习：1如图，PA ABC ⊥平面，,1,AC BC PA AC BC ⊥===A PB C --的余弦值参考答案：解：建立如图所示空间直角坐标系C xyz -，取PB 的中点D ，连,DC 可证DC PB ⊥，作AE PB ⊥于E ，则向量DC EA 与的夹角的大小为二面角A PB C --的大小。

3 .2 立体几何中的向量方法——平行与垂直（1）【学习目标】1．理解直线的方向向量和平面的法向量； 2．会用待定系数法求平面的法向量；3．能用向量方法证明空间线线、线面、面面的平行与垂直关系. 【自主学习】1、点的位置向量:2、直线的方向向量:3、平面的法向量:如果表示向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥n ，如果α⊥n ，那么向量叫做平面α的法向量.4.如何求平面的一个法向量？5、用向量描述空间线面关系，请参照课本填下表设空间两条直线21,l l 的方向向量分别为21,e e ，两个平面21,αα的法向量分别为21,n n ，则由如下结论【典型例题】例1.在直三棱柱111C B A ABC -中，090=∠ACB ,030=∠BAC ,M A A BC ,6,11==是1CC 的中点.求证：AM B A ⊥1证明：如图，建立如图所示的空间直角坐标系，则1(____________),(_____________),(_________),(__________)A B A M1),(_________)AM A B ==（___________1___________.AM AB ∴⋅=___________.∴例 2.如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点N M ,分别在对角线AE BD ,上，且AE AN BD BM 31,31==,求证：//MN 平面CDE 证明：建立如图所示空间坐标系，设AB,AD,AF 长分别为3a ,3b ,3c_________________(______)NM ==又平面CDE 的一个法向量____(_____)=由____________,NM AD ⋅= 得到AD NM ⊥因为MN 不在平面CDE 内 所以NM//平面CDE【目标检测】如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中,︒=∠60ABC ，,2,a PD PB a AC PA ==== 点E 在PD 上,且PE :ED = 2: 1，在棱PC 上是否存在一点F, 使BF∥平面AEC?证明你的结论.分析:该问为探索性问题，用传统方法求解有相当难度，但如果我们建立如图所示空间坐标系，不难得到解答.关键是如何得到F 点的坐标？§3.2【学习目标】能用向量方法解决异面直线所成角的计算问题学习难点：两条异面直线的夹角与两个空间向量的夹角之间的区别；【自主学习】一、两条异面直线所成角设异面直线,a b 所成的角θ，直线,a b 的方向向量分别为,a b ，请画图探究cos cos ,.a b θ<>与的关系【自主检测】1.在正方体1111D C B A ABCD -中,E 1，F 1分别在A 1B 1,,C 1D 1上，且E 1B 1=41A 1B 1，D 1F 1=41D 1C 1，求BE 1与DF 1所成的角的余弦值。

§3.2立体几何中的向量方法第1课时用空间向量解决立体几何中的平行问题学习目标1.了解空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义，并会求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题．知识点一直线的方向向量与平面的法向量(1)用向量表示直线的位置(2)用向量表示平面的位置①通过平面α上的一个定点O和两个向量a和b来确定：②通过平面α上的一个定点A和法向量来确定：(3)直线的方向向量和平面的法向量知识点二 平面的法向量及其求法在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤： (1)设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )；(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)；(3)根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0；(4)解方程组，取其中的一组解，即得平面的一个法向量． 知识点三 用空间向量处理平行关系设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为μ，v ，则1．若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．( √ )2．两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直线垂直．(×) 3．若向量n1，n2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行．(×) 4．若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．(√) 5．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则l1⊥l2.(√)题型一求平面的法向量例1如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，E为PD的中点．AB ＝AP＝1，AD＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．考点直线的方向向量与平面的法向量题点求平面的法向量解因为P A⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB →的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D (0，3，0)，E ⎝⎛⎭⎫0，32，12，B (1,0,0)，C (1，3，0)， 于是AE →＝⎝⎛⎭⎫0，32，12.AC →＝(1，3，0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ，z ＝－3y ，令y ＝－1，则x ＝z ＝ 3.所以平面ACE 的一个法向量为n ＝(3，－1，3)． 引申探究本例条件不变，试求直线PC 的一个方向向量和平面PCD 的一个法向量？解 如图所示，建立空间直角坐标系，则P (0,0,1)，C (1，3，0)，所以PC →＝(1，3，－1)，即直线PC 的一个方向向量．设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 因为D (0，3，0)，所以PD →＝(0，3，－1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －z ＝0，3y －z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，z ＝3y ，令y ＝1，则z ＝ 3.所以平面PCD 的一个法向量为(0,1，3)． 反思感悟 求平面法向量的三个注意点(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．(2)取特值：在求n 的坐标时，可令x ，y ，z 中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量．(3)注意0：提前假定法向量n ＝(x ，y ，z )的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0.跟踪训练1 已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (2，1,0)，B (0,2,3)，C (1,1,3)，试求出平面ABC 的一个法向量．考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量解 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．∵A (2,1,0)，B (0,2,3)，C (1,1,3)， ∴AB →＝(－2,1,3)，BC →＝(1，－1,0)． 则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＋3z ＝0，x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3z ，x ＝y .令z ＝1，则x ＝y ＝3.故平面ABC 的一个法向量为n ＝(3,3,1)． 题型二 利用空间向量证明平行问题例2 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .考点 向量法求解平面与平面的位置关系 题点 向量法解决面面平行证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)，B 1(2,2,2)， 所以FC 1→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)． 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量， 则n 1⊥DA →，n ⊥AE →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n ·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1. 令z 1＝2，则y 1＝－1， 所以n 1＝(0，－1,2)． 因为FC 1→·n 1＝－2＋2＝0， 所以FC 1→⊥n 1.又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .(2)C 1B 1→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量． 由n 2⊥FC 1→，n 2⊥C 1B 1→， 得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1→＝2x 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1， 所以n 2＝(0，－1,2)． 因为n 1＝n 2，即n 1∥n 2， 所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .反思感悟 证明线面、面面平行问题的方法(1)用向量法证明线面平行：①是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；②是证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内；③是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． (2)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．跟踪训练2 如图，在四棱锥P-ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，P A ＝BC ＝12AD ＝1，问在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面P AB ？若存在，求出E 点的位置；若不存在，请说明理由．考点 向量法求解直线与平面的位置关系 题点 向量法解决线面平行 解 存在点E 使CE ∥平面P AB .以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Axyz ， ∴P (0,0,1)，C (1,1,0)，D (0,2,0)， 设E (0，y ，z )，则PE →＝(0，y ，z －1)， PD →＝(0,2，－1)，∵PE →∥PD →，∴y (－1)－2(z －1)＝0，① ∵AD →＝(0,2,0)是平面P AB 的法向量， 又CE →＝(－1，y －1，z )，CE ∥平面P AB ， ∴CE →⊥AD →，∴(－1，y －1，z )·(0,2,0)＝0. ∴y ＝1，代入①得z ＝12，∴E 是PD 的中点，∴存在E 点，当点E 为PD 中点时，CE ∥平面P AB .面面平行有探究典例 如图所示，在正方体AC 1中，O 为底面ABCD 中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO .考点 向量法求解平面与平面的位置关系题点 向量法解决面面平行解 如图所示，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，在CC 1上任取一点Q ，连接BQ ，D 1Q .设正方体的棱长为1，则O ⎝⎛⎭⎫12，12，0，P ⎝⎛⎭⎫0，0，12， A (1,0,0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，则Q (0,1，z )，则OP →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，12， BD 1→＝(－1，－1,1)，∵BD 1→＝2OP →，∴OP →∥BD 1→，∴OP ∥BD 1.AP →＝⎝⎛⎭⎫－1，0，12，BQ →＝(－1,0，z )， 当z ＝12时，AP →＝BQ →， 即AP ∥BQ ，又AP ∩OP ＝P ，BQ ∩BD 1＝B ，则有平面P AO ∥平面D 1BQ ，∴当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO .[素养评析] (1)求点的坐标：可设出对应点的坐标，根据面面平行的判定定理转化为向量共线问题或者利用两个平面的法向量共线，进而建立与所求点的坐标有关的等式．(2)由结论推应具备的条件的逆向推理是逻辑推理中的一种基本形式，通过应用推理的方式与方法，能较好的培养学生的合乎逻辑的思维品质.1．已知l 1的方向向量为v 1＝(1,2,3)，l 2的方向向量为v 2＝(λ，4,6)，若l 1∥l 2，则λ等于() A ．1B ．2C ．3D ．4考点 向量法求解直线与直线的位置关系题点 方向向量与线线平行[答案] B[解析] 由l 1∥l 2，得v 1∥v 2，得1λ＝24＝36，故λ＝2.2．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3,4)，B (9,2,1)，则线段AB 与坐标平面( )A ．xOy 平行B ．xOz 平行C ．yOz 平行D ．yOz 相交考点 向量法求解直线与平面的位置关系题点 向量法解决线面平行[答案] C[解析] 因为AB →＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB ∥平面yOz .3．若A (1,0，－1)，B (2,1,2)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量是( )A ．(2,2,6)B ．(－1,1,3)C ．(3,1,1)D ．(－3,0,1)考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求直线的方向向量[答案] A[解析] ∵A ，B 在直线l 上，∴AB →＝(1,1,3)，与AB →共线的向量(2,2,6)可以是直线l 的一个方向向量．4．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，则m 为( ) A ．－4B ．－6C ．－8D ．8考点 向量法求解直线与平面的位置关系题点 向量法解决线面平行[答案] C[解析] ∵l ∥α，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2， ∴(2，m,1)·⎝⎛⎭⎫1，12，2＝0. ∴2＋12m ＋2＝0.∴m ＝－8. 5.如图所示，在空间图形P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，CD ∥AB ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，且PB ＝4PM ，∠PBC ＝30°，求证：CM ∥平面P AD .考点 向量法求解直线与平面的位置关系题点 向量法解决线面平行证明 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，∵∠PBC ＝30°，PC ＝2，∴BC ＝23，PB ＝4，∴D (1,0,0)，C (0,0,0)，A (4,23，0)，P (0，0,2)，∵PB ＝4PM ，∴PM ＝1，M ⎝⎛⎭⎫0，32，32， ∴CM →＝⎝⎛⎭⎫0，32，32，DP →＝(－1,0,2)，DA →＝(3,23，0)， 设平面P AD 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DP →＝0，n ·DA →＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋2z ＝0，3x ＋23y ＝0， 令x ＝1，解得y ＝－32，z ＝12， 故n ＝⎝⎛⎭⎫1，－32，12， 又∵CM →·n ＝⎝⎛⎭⎫0，32，32·⎝⎛⎭⎫1，－32，12＝0， ∴CM →⊥n ，又CM ⊄平面P AD ，∴CM ∥平面P AD .1．利用向量法解决立体几何问题的“三步曲”：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．2．证明线面平行问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系；也可以转化为线线平行，利用向量共线来证明.。

§3.2.1 立体几何中的向量方法（平行、垂直问题）学习目标：掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念；掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平行、垂直等立体几何问题。

一、主要知识：1、直线的方向向量：2、平面的法向量：3、用向量方法证明空间中的平行关系：设直线,l m 的方面向量为,a b ；平面,αβ的法向量为,μν。

（1）线线平行：（2）线面平行：（3）面面平行：4、用向量方法证明空间中的垂直关系：设直线,l m 的方面向量为,a b ；平面,αβ的法向量为,μν。

（1）线线垂直：（2）线面垂直：（3）面面垂直：二、典例分析：〖例1〗：正方体1111ABCD A BC D -棱长为2，,E F 分别是11,BB DD 的中点，求证：（1）1//FC AD 平面；（2）平面//ADE 平面11B C F 。

〖例2〗：四棱锥中P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，90ABC BAD ∠=∠=，112PA AB BC AD ====，问：在棱PD 上是否存在一点E ，使//CE 平面PAB ？若存在，求出E 点的位置；若不存在，说明理由。

〖例3〗：如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别是1,BB CD 的中点。

（1）证明：1AD D F ⊥；（2）证明：面AED ⊥面11A D F 。

三、课后作业：1、下列说法正确的是（ ）A 、平面的法向量是唯一确定的B 、一条直线的方向向量是唯一确定的C 、平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量D 、若m 是直线l 的方向向量，若//l α，则//m α2、空间直角坐标系中，()()()()1,2,3,1,0,5,3,0,4,4,1,3A B C D -，则直线AB 与CD 的位置关系为（ ）A 、平行B 、垂直C 、相交但不垂直D 、无法确定3、设平面α的法向量为()1,2,2μ=-，平面β的法向量为()2,4,k ν=--，若//αβ，则k =（ ）A 、2B 、4-C 、4D 、2-4、在正方体1111ABCD A BC D -中，若E 为11AC 的中点，则直线CE 垂直于（ ） A 、AC B 、BD C 、1A D D 、1A A5、已知()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1A B C ，则平面ABC 的一个单位法向量是（ ）A 、()1,1,1B 、333⎛- ⎝⎭C 、,333⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭D 、333⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭6、在单位正方体1111ABCD A BC D -中，若,M N 分别为1,A B AC 上的点，1A M AN ==，则MN 与平面11BB C C 的位置关系为（ ）A 、相交B 、平行C 、垂直D 、不能确定7、已知直线l α⊥，直线l 的一个方向向量为()1,3,z μ=-，向量()3,2,1ν=-与α平行，则z = 。

3.2立体几何中的向量方法（一）教学目标：掌握利用向量法解决空间中的平行关系 教学重点：证明空间中平行关系的方法教学难点：空间中的平行关系如何转化为向量的共线或共面问题 教学过程： 一.复习引入 直线的方向向量 二.思考分析以前人们为夯实地面，采用的是一种由三人合作使用的石制工具，石墩上有三个石耳，用三根粗绳子拴着，三个人站在三个方位上，同时拉绳子使石墩离开地面，然后石墩落下夯实地面．若三个人所站方位使得绳子两两成等角，且与水平地面所成角为45°，为了使质量为100 kg 的石墩垂直离开地面，每个人至少需要用10023kg 的力．问题1：在空间中给定一个定点A (一个石耳)和一个定方向(绳子方向)，能确定这条直线在空间的位置吗？ 提示：能．问题2：在空间过一定点且与一定直线垂直的平面位置确定吗？ 提示：确定． 三.抽象概括 1．直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量． 2．平面的法向量直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则a 叫做平面α的法向量. 3.空间中平行关系、垂直关系的向量表示设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为u ，v ，则 线线平行 l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝kb ，k ∈R ； 线面平行 l ∥α⇔a ⊥u ⇔a·u ＝0； 面面平行 α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝kv (k ∈R)． 线线垂直 l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a·b ＝0；线面垂直 l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝ku ，k ∈R ； 面面垂直 α⊥β⇔u ⊥v ⇔u·v ＝0.1．直线的方向向量不是唯一的，可以分为方向相同和相反两类．解题时，可以选取坐标最简的方向向量．2．一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可以根据需要进行选取，一个平面的所有法向量共线．3．因为直线的方向向量与平面的法向量可以确定直线和平面的位置，所以可以利用直线的方向向量和平面的法向量来表示空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系． 四.例题分析及练习[例1] (1)设a ，b 分别是不重合的直线l 1，l 2的方向向量，根据下列条件判断l 1与l 2的位置关系：①a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)；②a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)；③a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)． (2)设u ，v 分别是不同的平面α，β的法向量，根据下列条件判断α，β的位置关系： ①u ＝(1，－1,2)，v ＝(3,2，－12)；②u ＝(0,3,0)，v ＝(0，－5,0)； ③u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)．(3)设u 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，根据下列条件判断α和l 的位置关系： ①u ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)； ②u ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)； ③u ＝(4,1,5)，a ＝(2，－1,0)．[思路点拨] 先判断直线的方向向量与平面的法向量的关系，再判断线面、面面关系． [精解详析] (1)①∵a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)，∴a ＝－13b ，∴a ∥b ，∴l 1∥l 2.②∵a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)，∴a ·b ＝0，∴a ⊥b ，∴l 1⊥l 2.③∵a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)，∴a 与b 不共线，也不垂直，∴l 1与l 2相交或异面(不垂直)． (2)①u ＝(1，－1,2)，v ＝(3,2，－12)，∴u ·v ＝3－2－1＝0，∴u ⊥v ，∴α⊥β.②∵u ＝(0,3,0)，v ＝(0，－5,0)，∴u ＝－35v ，∴u ∥v ，∴α∥β.③∵u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)，∴u 与v 不共线，也不垂直， ∴α与β相交但不垂直．(3)①∵u ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)，∴u ·a ＝－6＋8－2＝0，∴u ⊥a ，∴l ⊂α或l ∥α. ②∵u ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)，u ＝－14a ，∴l ⊥α.③∵u ＝(4,1,5)，a ＝(2，－1,0)，∴u 与a 不共线，也不垂直，∴l 与α相交，但不垂直．[感悟体会] 解答本题的关键是：①搞清直线的方向向量、平面的法向量和直线、平面的位置关系之间的内在联系；②要熟练掌握判断向量共线、垂直的方法，在把向量关系转化为几何关系时，注意其等价性． 训练题组11．已知直线l 的方向向量为u ＝(2,0，－1)，平面α的一个法向量为v ＝(－2,1，－4)，则l 与α的位置关系为________．解析：∵u ·v ＝(2,0，－1)·(－2,1，－4)＝－4＋0＋4＝0， ∴u ⊥v ，∴l ∥α或l ⊂α. 答案：l ∥α或l ⊂α2．根据下列条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系． (1)直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(1，－2，－2)，b ＝(－2，－3,2)． (2)平面α，β的法向量分别为u ＝(1,3,6)，v ＝(－2，－6，－12)．(3)直线l 的方向向量、平面α的法向量分别是a ＝(2,0,3)，v ＝(1，－4，－3)． (4)直线l 的方向向量、平面α的法向量分别是a ＝(3,2,1)，v ＝(1，－2,1)．解：(1)∵a ＝(1，－2，－2)，b ＝(－2，－3,2)，∴a ·b ＝－2＋6－4＝0，∴a ⊥b ，∴l 1⊥l 2. (2)∵u ＝(1,3,6)，v ＝(－2，－6，－12)，∴v ＝－2(1,3,6)＝－2u ，∴u ∥v ，∴α∥β. (3)∵a ＝(2,0,3)，v ＝(1，－4，－3)，∴a 与v 既不共线也不垂直，∴l 与α斜交． (4)∵a ＝(3,2,1)，v ＝(1，－2,1)，∴a ·v ＝3－4＋1＝0，a ⊥v ，∴l ⊂α或l ∥α. [例2] 已知点A (1,0,0)，B (0,2,0)，C (0,0,3)，求平面ABC 的一个法向量．[思路点拨] 分析题意设出平面的法向量n →将所设法向量中的某一变量赋非零值→得出结论[精解详析] 设坐标原点为O ，由已知可得AB uu u r ＝OB uuur －OA u u u r ＝(0,2,0)－(1,0,0)＝(－1,2,0)， AC uuu r ＝OC uuu r －OA u u u r＝(0,0,3)－(1,0,0)＝(－1,0,3)．设平面ABC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·AB uu u r＝(x ，y ，z )·(－1,2,0)＝－x ＋2y ＝0，n ·AC uuu r ＝(x ，y ，z )·(－1,0,3)＝－x ＋3z ＝0.不妨令x ＝6，则y ＝3，z ＝2.因此，可取n ＝(6,3,2)为平面ABC 的一个法向量． [感悟体会] 利用待定系数法求法向量的解题步骤：训练题组23．已知平面内的两个向量a ＝(2,3,1)，b ＝(5,6,4)，则该平面的一个法向量为( ) A ．(1，－1,1) B ．(2，－1,1) C ．(－2,1,1)D ．(－1,1，－1)解析：显然a 与b 不平行，设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a ·n ＝0，b ·n ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋z ＝0，5x ＋6y ＋4z ＝0.令z ＝1，得x ＝－2，y ＝1.∴n ＝(－2,1,1)． 答案：C4.四边形ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1.在如图所示的坐标系Axyz 中，分别求平面SCD 和平面SAB 的一个法向量．解：A (0,0,0)，D (1,0,0)，C (2,2,0)，S (0,0,2)．∵AD ⊥平面SAB ，∴AD uuu r＝(1,0,0)是平面SAB 的一个法向量．设平面SCD 的法向量为n ＝(1，y ，z )，则n ·DC uuu r ＝(1，y ，z )·(1,2,0)＝1＋2y ＝0，∴y ＝－12.又n ·DS uuu r ＝(1，y ，z )·(－1,0,2)＝－1＋2z ＝0，∴z ＝12.∴n ＝(1，－12，12)即为平面SCD 的一个法向量.[例3] 如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E ，F 分别是棱A 1B 1，A 1D 1，B 1C 1，C 1D 1的中点．求证：平面AMN ∥平面EFDB .[思路点拨] 建立空间直角坐标系→分别求出两个平面的法向量m ，n →证明m ∥n[精解详析] 如图，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体棱长为a ，则A (a,0,0)，A 1(a,0，a )，D 1(0,0，a )，B 1(a ，a ，a )，B (a ，a,0)， C 1(0，a ，a )．∴N (a 2，0，a )，M (a ，a 2，a )，E (a 2，a ，a )，F (0，a2，a )，∴AN uuu r ＝(－a 2，0，a )，NM uuu u r ＝(a 2，a 2，0)，DB uuu r ＝(a ，a,0)，DF uuu r ＝(0，a2，a )．设平面AMN 与平面EFDB 的法向量分别为m ＝(x 1，y 1，z 1)和n ＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎨⎧m ·AN uuu r ＝0，m ·NM uuu u r＝0，∴⎩⎨⎧－a 2x 1＋0×y 1＋az 1＝0，a 2x 1＋a 2y 1＋0×z 1＝0，∴y 1＝－x 1＝－2z 1.取z 1＝1，∴平面AMN 的一个法向量为m ＝(2，－2,1)．同理由⎩⎨⎧n ·DB uuu r＝0，n ·DF uuu r＝0，可得x 2＝－y 2，y 2＝－2z 2. 令z 2＝1，∴平面EFDB 的一个法向量为n ＝(2，－2,1)． ∵m ＝n ，∴m ∥n ， ∴平面AMN ∥平面EFDB .[感悟体会] 证明面面平行问题可由以下方法去证明：①转化为相应的线线平行或线面平行；②分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．本题采用的是方法②，解题过程虽复杂，但思路清晰，是证明平面平行的常用方法． 训练题组35.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是C 1C ，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .证明：法一：如图所示，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则可求得M (0,1，12)，N (12，1,1)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，于是MN uuur ＝(12，0，12)，1DA u u u r ＝(1,0,1)，DB uuu r＝(1,1,0)．设平面A 1BD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则n ·1DA u u u r ＝0，且n ·DB uuu r ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0. 取x ＝1，得y ＝－1，z ＝－1.∴n ＝(1，－1，－1)．又MN uuur ·n ＝(12，0，12)·(1，－1，－1)＝0，∴MN uuur⊥n .又MN ⊄平面A 1BD ，∴MN ∥平面A 1BD .法二：∵MN uuur ＝1C N u u u u r －1C M u u u u r ＝1211C B u u u u r －121C C u u u r ＝12(11D A u u u u r －1D D u u u u r )＝121DA u u u r， ∴MN uuur ∥1DA u u u r.而MN ⊄平面A 1BD ，DA 1⊂平面A 1BD ，∴MN ∥平面A 1BD .6.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.证明：如图，分别以AB ，AD ，AA 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A 1(0,0,1)，B (1,0,0)，D (0,1,0)，B 1(1,0,1)，C (1,1,0)，D 1(0,1,1)，1A B u u u r ＝(1,0，－1)，1D C u u u u r ＝(1,0，－1)．11B D u u u u r ＝(－1,1,0)，BD uuu r＝(－1,1,0)，∴1A B u u u r ∥1D C u u u u r ，11B D u u u u r ∥BD uuu r.∴A 1B ∥D 1C ，B 1D 1∥BD .又∵D 1C ⊂平面B 1D 1C ，A 1B ⊄平面B 1D 1C ，∴A 1B ∥平面B 1D 1C ， 同理BD ∥平面B 1D 1C .又∵A 1B ∩BD ＝B ，∴平面A 1BD ∥平面B 1D 1C . 五.课堂小结与归纳利用向量方法证明几何中的平行问题可以通过两条途径实现，一是利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系；二是通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明． 六.当堂训练1．若A (1，－2,3)，B (2,5,6)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1，－2,3) B ．(2,5,6)C ．(1,7,3) D ．(－1，－7,3)解析：∵AB uu u r ＝(1,7,3)，又与AB uu u r平行的非零向量都可作为l 的方向向量，∴(1,7,3)＝AB uu u r可作为l 的方向向量．答案：C2．已知AB uu u r＝(2,2,1)，AC uuu r ＝(4,5,3)，则平面ABC 的一个单位法向量为( )A ．(－13，－23，－23)B ．(－13，23，－23)C ．(－13，23，23)D ．(13，23，23)解析：设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＋z ＝0，4x ＋5y ＋3z ＝0.取x ＝1，则y ＝－2，z ＝2.所以n ＝(1，－2,2)．因为|n |＝3， 所以平面ABC 的一个单位法向量可以是(－13，23，－23)．答案：B3．设平面α的法向量为(1，－2,2)，平面β的法向量为(2，λ，4)，若α∥β，则λ等于( ) A ．2 B ．4C ．－2 D ．－4解析：∵α∥β，∴(1，－2,2)＝m (2，λ，4)，∴λ＝－4. 答案：D4.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：①A 1M ∥D 1P ；②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥平面DCC 1D 1；④A 1M ∥平面D 1PQB 1.这四个结论中正确的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3 D ．4解析：∵1AM u u u u r ＝1A A u u u r ＋AM u u u u r ＝1A A u u u r ＋12AB uu u r， 1D P u u u r ＝1D D u u u u r ＋DP uuu r ＝1A A u u u r ＋12AB uu u r，∴1AM u u u u r ∥1D P u u u r ，从而A 1M ∥D 1P ，可得①③④正确． 又B 1Q 与D 1P 不平行，故②不正确． 答案：C5．若AB uu u r＝λCD uuu r ＋u CE u u u r (λ，u ∈R)，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是________．解析：∵AB uu u r ＝λCD uuu r ＋u CE u u u r ，∴AB uu u r 与CD uuur ，CE u u u r 共面，∴AB ∥平面CDE 或AB ⊂平面CDE .答案：AB ∥平面CDE 或AB ⊂平面CDE6．已知直线l 1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l 2的一个方向向量为(x ，y,8)，且l 1∥l 2，则x ＝______，y ＝______.解析：∵l 1∥l 2，∴－7x ＝3y ＝48，∴x ＝－14，y ＝6.答案：－14 67.如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．证明：直线MN ∥平面OCD .证明：作AP ⊥CD 于点P ，如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．A (0,0,0)，B (1,0,0)，P (0，22，0)，D (－22，22，0)，O (0,0,2)，M (0,0,1)， N (1－24，24，0)． MN uuur ＝(1－24，24，－1)，OP uuu r ＝(0，22，－2)，OD uuu r ＝(－22，22，－2)． 设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·OP uuu r ＝0，n ·OD uuu r ＝0，即⎩⎨⎧22y －2z ＝0，－22x ＋22y －2z ＝0.取z ＝2，解得n ＝(0,4，2)．∵MN uuur ·n ＝(1－24，24，－1)·(0,4，2)＝0，即MN uuur ⊥n ，∴MN ∥平面OCD .8.如图，在正方体AC 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点．设Q 是CC 1上的点．当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO?解：建立如图所示的坐标系，设正方体棱长为2，则O (1,1,0)，A (2,0,0)，P (0,0,1)，B (2,2,0)，D 1(0,0,2)．再设Q (0,2，c )，∴OA u u u r ＝(1，－1,0)，OP uuu r ＝(－1，－1，1)，BQ uuu r＝(－2,0，c )，1BD u u u r ＝(－2，－2，2)． 设平面P AO 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n 1·OA u u u r ＝0，n ·OP uuu r＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，－x －y ＋z ＝0. 令x ＝1，则y ＝1，z ＝2.∴平面P AO 的一个法向量为n 1＝(1,1,2)．若平面D 1BQ ∥平面P AO ，那么n 1也是平面D 1BQ 的一个法向量．∴n 1·BQ uuu r＝0，即－2＋2c ＝0，∴c ＝1， 这时n 1·1BD u u u r ＝－2－2＋4＝0，故当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO .。

第1课时空间向量与平行、垂直关系[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P102～P104的内容，回答下列问题．(1)观察教材P102－图3.2－1(2)，向量a与直线l有什么关系？提示：a与直线l平行．(2)观察教材P102－图3.2－1(4)，直线l与平面α的位置关系是什么？a与l是什么位置关系？提示：l与平面α垂直，a是l的方向向量．(3)观察教材P103－图3.2－2(1)，直线l与平面α的位置关系是什么？直线l的方向向量u与平面α的法向量v有什么关系？提示：l∥α，u⊥v．(4)观察教材P103－图3.2－2(2)，直线l与平面α的位置关系是什么？直线l的方向向量u与平面α的法向量v有什么关系？提示：l⊥α，u∥v．2．归纳总结，核心必记(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量．(2)平面的法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．(3)空间平行关系的向量表示①线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．②线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0．③面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔u＝λv⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(4)空间垂直关系的向量表示①线线垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m ⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0．②线面垂直设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥u⇔a＝λu⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．③面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔u⊥v ⇔u·v＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0．[问题思考](1)直线的方向向量和平面的法向量是唯一的吗？若不唯一，直线的方向向量之间的关系是怎样的？平面的法向量之间的关系是怎样的？提示：直线的方向向量和平面的法向量不是唯一的，直线的不同方向向量是共线向量，平面的不同法向量是共线向量．(2)若直线l的方向向量为u，平面α的一个法向量为v，且u⊥v，那么l与α平行吗？提示：不一定，也可能l在α内．(3)若直线l的一个方向向量为a，向量b∥α，c∥α且a⊥b，a⊥c，则l与α有怎样的位置关系？提示：当b与c不共线时可得l⊥α；当b与c共线时l与α的位置关系不确定．(4)若向量a⊥α，a∥β，则平面α，β有怎样的位置关系？提示：α⊥β．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点：(1)直线的方向向量和平面的法向量的定义是：；(2)若直线l，m的方向向量分别为a，b，则l∥m和l⊥m的条件是：；(3)若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为u，则l∥α和l⊥α的条件是：；(4)若平面α、β的法向量分别为u，v，则α∥β和α⊥β的条件是： ．[思考] 若是平面α内的两个不共线向量，如何求平面α的一个法向量？名师指津：设平面的法向量为n ，则由即可求法向量n .讲一讲1．已知平面α经过三点A (1，2，3)，B (2，0，－1)，C (3，－2，0)，求平面α的一个法向量．[尝试解答] 因为A (1，2，3)，B (2，0，－1)，C (3，－2，0)，所以＝(1，－2，－4)，＝(2，－4，－3)．设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －4z ＝0，2x －4y －3z ＝0. 得z ＝0，x ＝2y ，令y ＝1， 则x ＝2，所以平面α的一个法向量为n ＝(2，1，0)．利用待定系数法求法向量的解题步骤练一练1．四边形ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1.在如图所示的坐标系Axyz 中，分别求平面SCD 和平面SAB 的一个法向量．解：A (0，0，0)，D (1，0，0)，C (2，2，0)，S (0，0，2)． ∵AD ⊥平面SAB ，∴＝(1，0，0)是平面SAB 的一个法向量．设平面SCD 的法向量为n ＝(1，y ，z )，则n ·＝(1，y ，z )·(1，2，0)＝1＋2y ＝0，∴y ＝－12.又n ·＝(1，y ，z )·(－1，0，2)＝－1＋2z ＝0，∴z ＝12.∴n ＝⎝⎛⎭⎫1，－12，12即为平面SCD 的一个法向量．[思考] 如何利用向量证明空间中直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行？名师指津：(1)空间两直线平行的充要条件是两直线的方向向量平行；(2)直线与平面平行的充要条件是直线在平面外且直线的方向向量与平面的法向量垂直；(3)平面与平面平行的充要条件是两平面的法向量平行．讲一讲2．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .[尝试解答] 如图所示建立空间直角坐标系Dxyz .则有D (0，0，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，2，1)，F (0，0，1)，B 1(2，2，2)，所以＝(0，2，1)，(1)设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，则n 1⊥，n 1⊥，令z 1＝2，则y 1＝－1， 所以n 1＝(0，－1，2)． 因为·n 1＝－2＋2＝0， 所以⊥n 1.又因为FC 1⊄平面ADE ， 所以FC 1∥平面ADE . (2)因为＝(2，0，0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量． 由n 2⊥，n 2⊥，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2. 令z 2＝2，得y 2＝－1， 所以n 2＝(0，－1，2)， 因为n 1＝n 2，即n 1∥n 2， 所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .向量法证明平行问题的途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系； (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．练一练2．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，P ，Q ，R ，S 分别是AA 1，D 1C 1，AB ，CC 1的中点．求证：PQ ∥RS .证明：法一：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz .则P(3，0，1)，Q(0，2，2)，R(3，2，0)，S(0，4，1)，∴PQ∥RS.∴RS∥PQ.[思考]如何利用向量证明空间中的直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直？名师指津：(1)两直线垂直的充要条件是两直线的方向向量垂直；(2)直线与平面垂直的充要条件是直线的方向向量与平面的法向量平行；(3)两平面垂直的充要条件是两平面的法向量垂直．讲一讲3.如图，在四棱锥E-ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD ＝2，∠BCE＝120°.求证：平面ADE⊥平面ABE.[尝试解答]取BE的中点O，连接OC，则OC⊥EB，又AB⊥平面BCE.∴以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.如图所示．则由已知条件有C(1，0，0)，B(0，3，0)，E(0，－3，0)，D(1，0，1)，A(0，3，2)．设平面ADE的法向量为n＝(a，b，c)，则n·＝(a，b，c)·(0，23，2)＝23b＋2c＝0，n·＝(a，b，c)·(－1，3，1)＝－a＋3b＋c＝0.令b＝1，则a＝0，c＝－3，∴n＝(0，1，－3)．∵AB⊥平面BCE，∴AB⊥OC，又OC⊥EB，且EB∩AB＝B，∴OC⊥平面ABE，∴平面ABE的法向量可取为m＝(1，0，0)．∵n·m＝(0，1，－3)·(1，0，0)＝0，∴n⊥m，∴平面ADE⊥平面ABE.(1)用向量法判定线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直．(2)用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0.练一练3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥平面B1AC.证明：设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，E(2，2，1)，F(1，1，2)．法一：＝(－1，－1，1)，＝(0，2，2)，＝(－2，2，0)，∴·＝(－1，－1，1)·(0，2，2)＝0，·＝(－1，－1，1)·(－2，2，0)＝0，∴EF⊥AB1，EF⊥AC，又AB1∩AC＝A，∴EF⊥平面B1AC.法二：设平面B1AC的法向量为n＝(x，y，z)．令x＝1，可得平面B1AC的一个法向量为n＝(1，1，－1)．又＝－n，∴∥n，∴EF⊥平面B1AC.——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是利用空间向量证明平行、垂直问题，难点是求平面的法向量，也是本节课的易错点．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)平面的法向量的求法，见讲1；(2)利用向量证明平行问题，见讲2；(3)利用向量证明垂直问题，见讲3.3．利用向量研究空间位置关系三步曲：(1)建系；(2)求直线的方向向量或平面的法向量；(3)利用向量的位置关系判断(证明)空间线线、线面、面面位置关系．。

高中数学-打印版§ 3. 2. 3利用向量解决平行与垂直问题【学情分析】：教学对象是髙二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识，前面又学习了用向虽表示线线、线而、而面间的位置关系与向疑运算的关系，所以本节课是通过运用这些关系解决立体几何中的平行与垂直问题。

本次课内容不难理解，但学生自己做题时往往会遇到一个如何转化的问题，因此，教学中应重点抓住转换思想来进行.【教学目标】：（1）知识与技能：继续理解用向量表示空间中平行与垂直的关系和方法：会用向量法和坐标法等方法解决立体几何中的平行与垂直问题.（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。

（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。

【教学重点】：向量法与坐标法.【教学难点】：立体几何中的平行与垂直问题向向量问题的转化.【课前准备】：Powerpoint课件【教学过程设计】：高中数学-打印版底面是正三角形，A/T丄丿用駆说厂向量法:= c・b + cm・b-a四、小结a = c •b =—2一一一一=（c-a + 2a-b）^（b + a） = （2°-/?）•（〃 +"）=2a +cfb—b — 2a -b =1 — 1=0所以，结论成立。

坐标法：证明：（图略）设底面边长起，高为儿如图建立空间直角坐和系.A（VIOO）出（0J、0）,C（0,—l,0）・AG/5Q〃）,F（0丄力）,<7（0,-1上）・0 =乔'・疋=3 — 1一力2,力2=2.AB'.BC^ = 0 + 2-h2 = 0. /. BC'丄AB'利用向虽解决平行与垂直问题1.向量法：利用向量的概念技巧运算解决问题。

2.坐标法：利用数及其运算解决问题。

两种方法经常结合起来使用。

反思归纳五、作业1,直三棱柱A3C — A5G中，角ACB是直角.AC=1, CB=©,侧棱A4I = L侧而AA.B.B的两条对角线交点为D, 的中点为M,求证CD平面BDM。