人教A版高中数学必修四 2.4 《平面向量的数量积》教案

授课人1、知识与技能目标：（1）理解向量夹角与向量在轴上射影的概念；（2）掌握向量的数量积的定义及性质；2、过程与方法目标：（1）通过物理学中力做功这一物理背景，让学生体会从特殊到一般的思维方法；感受知识的产生和发展的迁移过程，训练学生的逻辑思维能力；（2）通过对数量积定义的理解与学习，培养学生观察、举一反三的能力。

3、情感目标：通过本节学习，培养学生知识的迁移，发现、提出、解决数学问题的能力，初步尝试数学研究的过程，发展学生的创新意识。

向量的数量积的定义及性质利用力做功这一物理学背景，启发引导学生去研究向量数量积相关知识，在学生学习本节知识中，要常运用几何直观去引导学生理解定义的实质，揭示其几何意义。

让学生了解本节大致的内容，说明这个物理问题可通过向量解决，激发学生的学习兴趣（2）判断：两向量垂直，则两向量夹角是0902、 向量在轴上的正射影 已知a 和轴l （如图），过点O ，A 分别作轴l 的垂线，垂足分别是O 1，A 1，则向量11A O 叫向量a 在轴l 上的正射影（简称射影）；该射影在轴上的坐标，叫做a 在轴上的数量或在轴的方向上的数量。

l 问题2 （1）类比力做功问题，a 在轴上的正射影是什么？正射影的数量又是什么？ （2）类比向量在轴上的正射影概念，向量a 在向量b 上正射影的数量是多少？练习:已知轴l :向量5|| OA ,OA 的方向与轴l的正方向所成角为060,求OA 在轴l 上的正射影的数量; 讨论： (1) 把练习(1)中所成角改为0012,结果又是多少? (2)把练习(1)中的问题改成求OA 在轴l 上的正射影,应如何去算?还须知道哪个量？O 1A 1 O A的数量积，老师提问学生回答在学生回答过程中老师要配以图形学生回答通过这道练习，让学生体会数量积结果跟哪些量有关，强化定义的记忆，并由此得到数量积的5个重要的性质，培养学生独立分析解决问题的能力这些性质的证明让学生自己课下完成强化学生对数量积定通过本题，强化学生对数量积的定义及几何意义的理解和应用，体验创造的激情，激发学生的学习兴趣。

课题：平面向量的数量积（1）二．教学目标：1.理解平面向量数量积的概念；2.掌握两向量夹角的概念及其取值范围[0,]π；3.掌握两向量共线及垂直的充要条件；4.掌握向量数量积的性质。

三．教学重、难点：向量数量积及其重要性质。

四．教学过程： （一）引入：物理课中，物体所做的功的计算方法： ||||cos W F s θ=（其中θ是F 与s 的夹角）．（二）新课讲解： 1．向量的夹角：已知两个向量a 和b （如图2），作OA a =，OB b =，则AOB θ∠=（0180θ≤≤）叫做向量a 与b 的夹角。

当0θ=时，a 与b 同向；当180θ=时，a 与b 反向；当90θ=时，a 与b 的夹角是90，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b ．2．向量数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量||||cos a b θ⋅⋅叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a b ⋅，即||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅．说明：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关；②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量；实数与向量的积是一个向量；③规定，零向量与任一向量的数量积是0．3．数量积的几何意义： （1）投影的概念：如图，OA a =，，过点B 作1BB 垂直于直线OA ，垂足为1B ，则1||cos OB b θ=．||cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影，当θ为锐角时，它是正值；当θ为钝角时，它是一负值；当90θ=时，它是0；当0θ=时，它是||b ；当180θ=时，它是||b -．（2）a b ⋅的几何意义：数量积a b ⋅等于a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影||cos b θ的乘积。

Aa b）Bb1B O1 1()B【练习】：①已知||5a =，||4b =，a 与b 的夹角120θ=，则a b ⋅=10-；②已知||4b =，a 在b 上的投影是1||2b ，则a b ⋅= 8 ； ③已知||5a =，||4b =，32a b ⋅=-a 与b 的夹角θ=135．（3）数量积的性质：设a 、b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则 ①cos ||||a ba b θ⋅=；②当a 与b 同向时，||||a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，||||a b a b ⋅=-； 特别地：2||a a a ⋅=或||a a a =⋅；③||||||a b a b ⋅≤； ④a b ⊥0a b ⇔⋅=；若e 是与b 方向相同的单位向量，则 ⑤||cos e a a e a θ⋅=⋅=．4．例题分析：例1．已知正ABC ∆的边长为2，设BC a =，CA b =，AB c =，求a b b c c a ⋅+⋅+⋅． 解：如图，a 与b 、b 与c 、a 与c 夹角为120，∴原式||||cos120||||cos120||||cos120a b b c a c =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ 122()362=⨯⨯-⨯=-．例2．已知||3a =，||3b =，||23c =，且0a b c ++=，求a b b c c a ⋅+⋅+⋅．解：作AB c =，BC a =， ∵0a b c ++=， ∴CA b =，∵||||||||||||a b c a b -<<+且222||||||c a b =+， ∴ABC ∆中，90C =， ∴tan 3A =，∴30A ∠=，60B ∠=， 所以，3323cos1209312a b b c c a ⋅+⋅+⋅=⨯+⨯=--=-．五．课后练习：课本119P 练习第2，3，4．补充：1．若非零向量a 与b 满足||||a b a b +=-，则a b ⋅= 0 ．六．课堂小结：1．向量数量积的概念； 2．向量数量积的几何意义； 3．向量数量积的性质。

第二章平面向量2.4 平面向量的数量积第一课时平面向量数量积的物理背景及其含义1 教学目标[1]掌握平面向量的数量积[2]掌握平面向量数量积的几何意义[3]掌握平面向量数量积的运算律2教学重点/难点重点：平面向量数量积的定义及几何意义难点：平面向量数量积的运算律的理解和运用3 专家建议[1]平面向量数量积满足数乘结合律，但不满足乘法结合律，应加以详细讲解[2]稍微向外扩展一下点乘与叉乘的区别，加深对数量积的理解4 教学方法互动探究，类比式教学，启发式教学5 教学过程5.1 引入【师】首先，请同学们回答我三个问题，请看：【板演/PPT】问题1：前面几节课，我们学习过向量的什么知识？问题2：我们是怎么探索和研究向量的加法运算和减法运算的？问题3：在物理学中，我们是如何求一个力所做功的多少的？【生】讨论，思考【师】我们来把问题一个一个地解决掉【板演/PPT】答问题1：平面向量的相关定义（零向量，单位向量，平行向量，共线向量）平面向量的线性运算和坐标运算（数乘运算，坐标的加减法运算）答问题2：从物理角度入手探索，再理解概念，再学习运算律，再到知识的运用答问题3：如果一个物体在力F 的作用下产生位移S ，那么力F 所做的功就可以用如下公式计算：θcos ||||S F W = （θ是F 和S 的夹角）【师】同学们，大家都知道力和位移是矢量，功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定，这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢？5.2 新知介绍[1] 平面向量的数量积定义【师】从以上问题，我们知道，数学与物理知识之间存在着联系，那我们再从物理问题入手，思考下，物理中的人拉船模型中的数学知识【板演/PPT 】人的拉力（F ）的方向与船前进（S ）的方向往往是成一个夹角的，我们设为θ，那么这个力所做的功的大小与三个因素有关，（前提是忽略摩擦），力的大小、方向、船的位移。

其实，就两个矢量，力（F ）和位移（S ），夹角是力和位移之间的一种关系，能够形成功，一是要有力，二是要有位移。

§2.4平面向量的数量积教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.教学过程：一、复习引入：1．向量共线定理向量错误！嵌入对象无效。

与非零向量错误！嵌入对象无效。

共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使错误！嵌入对象无效。

=λ错误！嵌入对象无效。

.2．平面向量基本定理：如果错误！嵌入对象无效。

，错误！嵌入对象无效。

是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量错误！嵌入对象无效。

，有且只有一对实数λ1，λ2使错误！嵌入对象无效。

=λ1错误！嵌入对象无效。

+λ2错误！嵌入对象无效。

3．平面向量的坐标表示分别取与错误！嵌入对象无效。

轴、错误！嵌入对象无效。

轴方向相同的两个单位向量错误！嵌入对象无效。

、错误！嵌入对象无效。

作为基底.任作一个向量错误！嵌入对象无效。

，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数错误！嵌入对象无效。

、错误！嵌入对象无效。

，使得错误！嵌入对象无效。

把错误！嵌入对象无效。

叫做向量错误！嵌入对象无效。

的（直角）坐标，记作错误！嵌入对象无效。

4．平面向量的坐标运算若错误！嵌入对象无效。

，错误！嵌入对象无效。

，则错误！嵌入对象无效。

错误！嵌入对象无效。

，错误！嵌入对象无效。

错误！嵌入对象无效。

，错误！嵌入对象无效。

.若错误！嵌入对象无效。

，错误！嵌入对象无效。

向量的数量积教材分析：本节课是高中数学必修4第二章第四节内容，是在学习向量的加法、减法、数乘运算基础上介绍的另一种重要的运算。

平面向量的数量积是平面向量这一章的核心内容，是解决代数与几何问题的一个重要工具，同时也为空间向量数量积的学习奠定基础。

教学目标：知识与技能：（1）理解向量数量积的定义；（2）掌握向量数量积的性质和运算律；.（3）会应用数量积解决向量的模、夹角、垂直、共线等问题。

过程与方法：通过向量的线性运算及多项式乘法运算的对照，强化学生的类比思想；情感与态度：通过数量积的性质及运算律的灵活应用，发展学生从特殊到一般的认知能力，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯。

教学重难点：重点：向量数量积的定义及运算律.难点：向量数量积运算律的理解；向量数量积在解决向量模、夹角等问题的应用.教学方法：小组讨论，学生成果展示教学用品: 三角板，多媒体，粉笔教学过程：（一）课前自主学习1. 向量夹角的概念：__________________________________2. 向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ规定：0与任一向量的数量积为0，即0=⋅a练习:判断正误，并简要说明理由：（1）a ⋅b 是向量吗？ （ ）（2）a ⋅b 一定是非负实数吗？ （ ）（3）00=⋅a ,00=a . ( )（4）若a =0或b = 0，有a ⋅b = 0 ( )（5）若a ⋅b = 0，则a = 0或b = 0 ( )（6）若a ≠ 0且b ≠ 0，则a ⋅b ≠ 0 ( )3.向量数量积的性质：小组讨论：向量的数量积有哪些性质？利用这些性质可以解决哪些问题?（1）两个非零向量a 与b ，a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0；（2）两个非零向量a 与b ，当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |；（3）cos θ =||||a b a b ⋅； （4）a ⋅a = |a |2，||a a a =⋅，a ba b cos ⋅=θ；（5）|a ⋅b | ≤ |a ||b |. 4.向量数量积的运算律： （１）交换律：_________________________________________（２）对实数的结合律：__________________________________（３）分配律：__________________________________________思考：)()(c b a c b a ⋅=⋅对吗？（二）课堂讲练互动例1.已知向量a 与b 的夹角为θ，（132== ，分别在下列条件下求a ⋅b ：① θ=135° ② b a ⊥ ③ a ∥b(2) 2||=a ，3||=b , 3=⋅b a , 求θ.(3) 3||=b , 3-=⋅b a , θ=120°,求||a .思考:如何由数量积求夹角及模? cos θ =||||a b a b ⋅ , a b a b cos ⋅=θ.例2.32== ，a 与b 的夹角为π32，求： （1）)3()2(b a b a +⋅- (2) |a +b | (3) |a -b |.例3.△ABC 中， ||3AB =，||4BC = ，||5AC =，求：(1) BC BA ⋅ (2) ()AB BC CA +⋅ (3) AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅.变：△ABC 中，若0>⋅CA AB ，判断三角形的形状.（三）反馈练习 1设|a |=3,|b |=5,且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝2.若||||a b a b +=-，则a b ⋅=_____________.3. 2145=+==，求向量a 与b 的夹角.（四）课堂小结问题一：向量数量积的概念包括哪些主要内容？问题二：说出向量数量积的性质及运算律。

§2.4 平面向量的数量积（2）教学目标：掌握平面向量数量积运算规律；能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；掌握两向量共线、垂直的几何判断，会证明两量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用内容分析：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质教学过程：一、问题情境1．情境引入：平面向量数量积（内积）的定义,θcos ||||=⋅.2．提出问题：平面向量数量积有怎样的一些运算性质呢?与实数积的性质是否相同?二、学生活动问题1：实数积的运算率有哪些？交换律，结合律，分配律.问题２：向量数量积也有交换律、结合律、分配律吗？三、建构数学１.向量的交换律：a b b a ⋅=⋅ 证：设a ，b 夹角为θ，则θcos ||||=⋅，θcos ||||=⋅ ∴a b b a ⋅=⋅ ２.数乘结合律：b a b a b a b a ⋅=⋅=⋅=⋅λλλλ)()()(若0>λ,θλλcos ||||)(=⋅,θλλcos ||||)(=⋅,θλλcos ||||)(=⋅； 若0<λ，θλθλθπλλcos ||||)cos (||||)cos(||||)(b a b a b a b a =--=-=⋅θλλcos ||||)(b a b a =⋅，θλθλθπλλcos ||||)cos (||||)cos(||||)(=--=-=⋅⋅=⋅=⋅=⋅∴λλλλ)()()(3．向量的分配律：⋅+⋅=⋅+)( 设向量c b a ,,和实数λ，则向量的数量积满足下列运算率：（1）⋅=⋅（2）⋅=⋅=⋅=⋅λλλλ)()()(（3）⋅+⋅=⋅+)(4.回顾反思：（１）向量的数量积运算满足结合率吗？在实数中，有)()(bc a c ab =，但是)()(c b a c b a ⋅≠⋅显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线. （２）有如下常用性质：⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+)()(2222)(a +⋅+=+五、数学运用1.例题例1．已知4||,6||==b a ，，的夹角为060，求)3()2(b a b a -⋅+的值. 例2．已知5||,3||==，且λ+与λ-垂直，求λ.例3．已知2||,1||==，（1）若//，求⋅；（2）若，的夹角为060，求||+； （3）若-与垂直，求，的夹角.例4．设n m ,是两个单位向量，夹角为060，求向量n m a +=2与m n b 32-=的夹角.２．练习：可以讨论课本P80练习第1、2、3题.六、总结反思。

2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义1.知识与技能(1)掌握平面向量的数量积及其几何意义.(2)掌握平面向量数量积的重要性质及运算律.(3)了解用平面向量的数量积处理垂直问题的方法.(4)掌握向量垂直的条件.2.过程与方法通过以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念,培养学生分析问题、解决问题的能力和发现数学规律的思维方法和能力.3.情感、态度与价值观(1)通过对数量积概念的探究学习,培养学生的探索精神和创新意识.(2)通过本节内容的学习和运用,体会数学的科学价值和应用价值.重点:平面向量数量积的概念,用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹角.难点:平面向量数量积的定义及运算律的理解,平面向量数量积的应用.1.若向量a与b不共线,a·b≠0,且c=a-b,则向量a与c的夹角为()A.0B.C.D.解析:∵a·c=a·=a·a-a·=a·a-(a·b)=a·a-a·a=0,∴a⊥c.答案:D2.已知|a|=2|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则a与b夹角的取值范围是()A. B. C. D.解析:关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则Δ=|a|2-4a·b≥0,即|a|2≥4a·b.设a与b的夹角为θ,∵a·b=|a||b|cos θ,∴cos θ≤,而0≤θ≤π,∴≤θ≤π.答案:B3.在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,点P在AM上,且满足=2,则·()的值为()A.-4B.-2C.2D.4解析:如图所示.∵=2,∴||=2||.∵AM=3,∴||=2,||=1.又=2,∴·()=·(2)==-||2=-4.答案:A。

教学准备1. 教学目标线段的定比分点与平移2. 教学重点/难点线段的定比分点与平移3. 教学用具4. 标签教学过程一、基础知识1、线段的定比分点（1）定义设P1,P2是直线L上的两点，点P是L上不同于P1,P2的任意一点，则存在一个实数2、平移（1）图形平移的定义设F是坐标平面内的一个图形，将图上的所有点按照同一方向移动同样长度，得到图形F’，我们把这一过程叫做图形的平移。

（2）平移公式移后的新坐标与原坐标间的关系。

二、题型剖析[定比分点坐标公式]例2：已知的三个顶点坐标分别是，BD是的平分线，求点D的坐标及BD的长。

解答过程请参考课本。

变式一：若BD把分成面积相等的两部分，求点D的坐标及BD的长。

变式二：直线L//AC，且交AB、CB于E、F两点，若的面积与的面积之比为，求E、F两点的坐标。

[利用平移研究函数的性质]例3．是否存在这样的平移，使抛物线：平移后过原点，且平移后的抛物线的顶点和它与x轴的两个交点构成的三角形面积为1，若不存在，说明理由；若存在，求出函数的解析式。

【思维点拨】利用平移可将函数化简为一些基本函数，便于研究函数的性质。

一．课堂小结：（1）定比分点坐标公式时，一定要分清起点、终点和分点，在学习中不仅学会利用结论解决问题，也要注意该公式的推导过程，从中可得到一些启迪，为今后的学习打下思想方法的基础。

3）直角坐标系中通过坐标平移，曲线方程的次数不变。

曲线的形状大小不变，变化的只是曲线和坐标点的相互位置关系与曲线方程的形式。

某些曲线方程可以通过化简给我们的研究曲线带来方便。

四、作业：P77 闯关训练。

第40课 平面向量的数量积●考试目标 主词填空1.定义及运算律.两个向量的内积(即数量积),其结果是一个实数，而不是向量.其定义源于物理学中“力所做的功”.设a 及b 是具有共同始点的两个非零向量,其夹角θ满足:0°≤θ≤180°,我们把|a |·|b |·cos θ叫做a 与b 的数量积，记作a ·b 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ·b =2121y y x x +.其运算满足“交换律”“结合律”以及“分配律”,即:a ·b =b ·a ，(λ·a )·b =λ(a ·b )，(a ±b )·c =a ·c ±b ·c .2.平面向量数量积的重要性质.①|a |=a a ⋅=2||cos ||||a a a =θ⋅;cos θ=||||)(b a b a ⋅⋅;|a ·b |≤|a |·|b |,当且仅当a ,b 共线时取等号.②设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则:|a |=2121y x +;cos θ=222221212121)(y x y x y y x x +⋅++;|x 1x 2+y 1y 2|≤22222121y x y x +⋅+ 3.两向量垂直的充要条件若a ,b 均为非零向量,则:a ⊥b ⇔a ·b =0.若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0. 4.向量的模及三角不等式 |a |2=a ·a或|a |=a a ⋅;|a ·b |≤|a |·|b |;|a |2-|b |2=(a +b )·(a -b );|a ±b |=θ⋅⋅±+cos ||||222b a b a(θ为a ,b 夹角);||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |. 5.三角不等式的推广形式|a 1+a 2+…+a n |≤|a 1|+|a 2|+…+|a n |.●题型示例 点津归纳【例1】 计算下列各题:(1)已知等边三角形ABC 边长为1,且=a ,=b ,=c ,求a ·b +b ·c +c ·a ;(2)已知a 、b 、c 是空间中两两垂直的向量,且|a |=1,|b |=2,|c |=3,求r =a +b +c 的长度以及它和a ,b ,c 的夹角;(3)已知(a +3b )与(7a -5b )垂直,且(a -4b )与(7a -2b )垂直,求a 、b 的夹角;(4)已知|a |=2,|b |=5,a ,b 的夹角是32π,p =3a -b ,q =λa +17b ,问系数λ取向值时，p ⊥q .【解前点津】 (1)利用x 2=x ·x ,通过对(a +b +c )2的计算得出结论;(2)运用公式及运算律;(3)利用两向量垂直的充要条件;(4)利用两向量垂直的充要条件，运算律以及内积定义.构造关于λ的方程，解之即得.【规范解答】 (1)∵(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2-2(a ·b +b ·c +c ·a )=3-2(a ·b +b ·c +c ·a )=0⇒a ·b +b ·c +c ·a =23. (2)cos 〈r ,a 〉=||||a r ar ⋅⋅,∵|r |=2r 且r 2=(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2-2(a ·b +b ·c +c ·a )=14-2(a ·b +b ·c +c ·a )=14.∴|r |=14⇒ cos 〈r ,a 〉=1414||14||||14)(2==⋅⋅++a a a a c b a ; cos 〈r ,b 〉=714||14||||14)(2==⋅⋅++b b b b c b a ; cos 〈r ,c 〉=143||14||||14)(2==⋅⋅++c c c c c b a . (3)由条件:(a +3b )·(7a -5b )=7|a |2-15|b |2+16a ·b =0,(a -4b )·(7a -2b )=7|a |2+8|b |2-30a ·b =0⇒ |a |2=|b |2=2a ·b ⇒(|a |·|b |)2=4(a ·b )2⇒21||||±=⋅⋅b a b a .由cos 〈a ,b 〉=21得: 〈a ,b 〉=3π; 由cos 〈a ,b 〉=-21得: 〈a ,b 〉=π32. (4)令p ·q =0得:(3a -b )·(λa +17b )=0⇒3λ|a |2-17|b |2+(51-λ)a ·b =0 ①将|a |=2,|b |=5,a ·b =|a |·|b |·cos π32代入①得3λ·4-17×25+(51-λ)·(-5)=0解之:λ=40.【解后归纳】 综合利用内积的定义及运算律，内积运算形式与实数运算形式的相互转化，是计算的一项基本功.【例2】 在△ABC 中,=(2,3),=(1,k ),且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值. 【解前点津】 因谁是直角，尚未确定，故必须分类讨论. 【规范解答】 ①当∠A =90°时,因为·=0, ∴2×1+3·k =0,∴k =-32.②当∠B =90°时,BC =AC -AB =(1-2,k -3)=(-1,k -3) ∵AB ·BC =0,∴2×(-1)+3×(k -3)=0⇒k =311.③当∠C =90°时,∵AC ·BC =0,∴-1+k ·(k -3)=0,k 2-3k -1=0⇒k =233±. ∴k 的取值为:-32,311或233±.【解后归纳】 在三角形中计算两向量的内积，应注意方向及两向量的夹角. 【例3】 用向量法证明以下各题.(1)三角形中的余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bc ·cos A ;(2)平行四边形成为菱形的充要条件是其对角线互相垂直; (3)内接于半圆且以直径为一边的三角形为直角三角形.【解前点津】 (1)(如图1)在△ABC 中,构造内积AB ·AC , (2)在平行四边形ABCD 中,证明内积AC ·BD =0. 【规范解答】 (1)在△ABC 中.由AB ·AC =|AB |·|AC |·cos A =bc cos A ⇒2AB ·AC =2bc cos A ①又∵AB ·AC =(AC +CB )·AC =(AC -BC )·AC=2-· ②∵·=·(+)=2+· ③ ②+③得:2AB ·AC =AC 2-AC ·BC +AB 2+AB ·BC =AC 2+AB 2-BC 2=b 2+c 2-a 2代入①得:b 2+c 2-a 2=2bc ·cos A 故:a 2=b 2+c 2-2bc ·cos A . (2)必要性,因平行四边形ABCD 为菱形(如图2),那么:||=||=||=||于是: ·=(+)·(+)=(-CD +BC )·(BC +CD ) =BC 2-CD 2=|BC |2-|CD |2=0,∴AC ⊥BD .(3)如图3，O 是半圆的圆心，直径AB 是△ABC 的一条边,连CO ,则OA =OB =OC ,∵CA ·CB =(CO +OA )·(CO +OB )=(CO -OB )·(CO +OB )=CO 2-OB 2=|CO |2-|OB |2=0,例3题图解(1)例3题图解(2)例3题图解(3)∴⊥,∠ACB =90°.【解后归纳】 将平面图形中垂直关系的论证，转化为内积的运算，是应用向量知识的常规方法.【例4】 已知平行四边形以a =(2,1),b =(1,-3)为两邻边. (1)求它的边长和内角;(2)求它的两对角线的长和夹角.【解前点津】 利用内积的有关运算性质.【规范解答】 (1)|a |=51222=+,|b |=10)3(122=-+ ⇒ cos α=102105)3112(||||-=⨯⨯-⨯=⋅b a b a , ∴α=π-arccos 102.(2)|a +b |=13)1(21052)(222=-++=++=+ab b a b a ,|a -b |=17)1(2105222=-⨯-+=-+ab b a . cos β=221221517131051713)(21)(21)(21)(2122-=--=⨯-=-⋅+-⋅+b a b a b a b a b a . 【解后归纳】 本题综合运用了向量的有关运算性质，也可利用余弦定理求解.●对应训练 分阶提升 一、基础夯实1.已知|a |=1,|b |=2,且(a -b )与a 垂直,则a 与b 的夹角是 ( ) A.60° B.30° C.135° D.45°2.已知|a |=2,|b |=1,a 与b 之间的夹角为3π,则向量m =a -4b 的模为 ( )A.2B.23C.6D.123.a ,b 是两个非零向量,(a +b )2=a 2+b 2是a ⊥b 的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.若a =(-4,3),b =(5,6),则3|a |2-4a ·b 等于 ( ) A.23 B.57 C.63 D.835.已知a =(λ,2),b =(-3,5)且a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是 ( ) A.λ>310 B.λ≥310 C.λ<310 D.λ≤3106.已知a =(4,3),向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于 ( )A.⎪⎭⎫ ⎝⎛54,53或⎪⎭⎫ ⎝⎛53,54 B ⎪⎭⎫ ⎝⎛53,54或⎪⎭⎫ ⎝⎛--54,53 C ⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53或⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53或⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53 7.已知a =(2,3),b =(-4,7),则a 在b 方向上的投影为 ( ) A.55B.55- C.565D.1313 8.已知A (3,2),B (-1,-1),若点P (x ,-21)在线段AB 中垂线上,则x 为 ( ) A.-47 B.47C.2D.-2 9.已知a =(3,0),b =(k,5),且a 与b 的夹角为43π,则k 的值为 ( ) A.-4 B.4 C.5 D.-510.已知a =(3,-1),b =(1,2),求满足条件:x ·a =9与x ·b =-4的向量x 为 ( ) A.(2,3) B.(2,-3) C.(-2,3) D.(-2,-3) 二、思维激活11.已知向量a 、b 的夹角为3π,|a |=2,|b |=1,则|a +b |·|a -b |= .12.已知a ⊥b 、c 与a ,b 的夹角均为60°,且|a |=1,|b |=2,|c |=3,则(a +2b -c )2= . 13.已知a =(1,2),b =(1,1),c =b -k a ,若c ⊥a ,则c = .14.已知点A (1,0),B (3,1),C (2,0),且a =BC ,b =CA ,则a 与b 的夹角为 . 三、能力提高15.设A 、B 、C 、D 是平面内任意四点,求AB ·CD +BC ·AD +CA ·BD 值.16.设OA =(3,1),OB =(-1,2),OC ⊥OB ,BC ∥OA ,O 是原点，求满足OD +OA =OC 时的OD 坐标.17.已知两单位向量a 与b 的夹角为120°,若c =2a -b ,d =3b -a ,试求:c 与d 的夹角.18.已知a =(3,-1),b =⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,21,且存在实数k 和t ,使得x =a +(t 2-3)·b , y =-k a +t ·b ,且x⊥y ,试求tt k 2+的最小值.第4课 平面向量的数量积习题解答1.D ∵a ·(a -b )=a 2-a ·b =0,∴a ·b =1=1·2cos θ,∴cos θ=21.2.B |m |=2m =323cos 1620cos 128162816222=πθ-=θ⨯⨯-+=⋅-+b a b a . 3.C 展开得:a 2+b 2+2a ·b =a 2+b 2⇔a ·b =0.4.D 原式=3(42+32)-4·(-20+18)=83.5.A ∵a ·b =10-3λ,|a |=24λ+,|b |=34,∴由cos α=2434310λ+⋅λ-<0得λ>310.6.D 设b =(x ,y ),则x 2+y 2=1且4x +3y =0解方程组得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==5453y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=5453y x . 7.C ∵a ·b =2×(-4)+3×7=13,|a |=13,|b|=65,∴13=6513⨯·cos θ,∴|a |·cos θ=5656513=. 8.C 由条件知AB 中点为M ⎪⎭⎫⎝⎛21,1,令MP ·AB =0得:(x -1,-1)·(-4,-3)=-4(x -1)+(-1)·(-3)=0,x =2. 9.D 作内积:a ·b =3k =3·252+k cos 43π⇒k <0且252+k =-2k ⇒k =-5. 10.B 设x =(m ,n ),则由条件得⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+=-324293n m n m n m ,故x =(2,-3).11.由已知条件得:a ·b =1,故原式=21)214()214()()(22=-+⋅++=-⋅+b a b a . 12.由条件得:c ·a =3×1×cos60°=23,c ·b =3×2·cos60°=3. ⇒原式=a 2+4b 2+c 2+2a ·c +4a ·b -4b ·c =1+16+9+3-12=17.13.∵c =(1-k ,1-2k ),∴由c ·a =0得1·(1-k )+2(1-2k )=0得k =53⇒c =⎪⎭⎫ ⎝⎛-51,52. 14.由条件a =(-1,-1),b =(-1,0)⇒|a |=2,|b |=1,由a ·b =2cos θ得:(-1·(-1)+(-1)·0=2cos θ⇒cos θ=22⇒θ=45°. 15.∵=-,=-,=-,∴原式=(AD -BD )·CD +(BD -CD )·AD +(CD -AD )·BD=AD ·CD -BD ·CD +AD ·BD -AD ·CD +BD ·CD -AD ·BD =0.16.设OC =(x ,y ),由OC ⊥OB 得:-x +2y =0,又BC =OC -OB =(x +1,y -2),而BC ∥⇒3(y -2)-(x +1)=0解关于x ,y 的方程组得x =14,y =7.∴=(14,7)⇒=-=(11,6).17.∵a 、b 是两单位向量,∴|a |=|b |=1,且a ,b 夹角为120°. ∴a ·b =|a |·|b |·cos120°=-21, ∵|c |2=c ·c =(2a -b )·(2a -b )=4a ·a -4a ·b +b ·b =4|a |2-4a ·b +|b |2=7, ∴|c |=7.∵|d |2=d ·d =(3b -a )·(3b -a )=9b ·b -6a ·b +a ·a =13, ∴|d |=13.∵c ·d =(2a -b )·(3b -a )=6a ·b -3b ·b -2a ·a +a ·b =-217, ∴cos θ=-1829117137217-=⋅(θ为c 、d 夹角).∴θ=π-arccos1829117. 18.∵|a |=2)1(32=-+,|b |=1232122=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛,∵a ·b =0231213=⨯-⨯,故a ⊥b ,∵x ·y =0,∴［a +(t 2-3)·b ］·［-k a +t b ］=0化简得:k =433tt -.∴47)2(41)34(414222-+=-+=+t t t t k ≥-47.当且仅当t =-2时,tt k 2+有最小值-47.。

平面向量的数量积教案教学目标1．理解掌握平面内两向量夹角的概念及取值X围[0，π]．2．理解掌握两个非零向量的数量积(内积)cosθ的定义及其几何意义．3．理解掌握两向量共线、垂直的几何判定．4．理解掌握平面向量数量积的五个重要性质．教学重点和难点重点：本节课是全章的重点内容，所有内容都非常重要，主要有：平面向量夹角的概念；平面向量数量积的定义；平面向量数量积的几何意义；平面向量共线、垂直的判定；平面向量数量积的五个重要性质．难点：对平面向量数量积的定义，平面向量数量积的几何意义，平面向量数量积的五条重要性质的正确理解和掌握．教学过程设计(一)学生阅读课文．阅读思考题：(1)怎样定义平面内两向量的夹角．(2)什么是平面向量的数量积，它的几何意义是什么？(3)怎样应用平面向量的数量积判断两直线的垂直和平行．(4)平面向量的数量积有那些重要性质．(二)教师在学生回答思考题的基础上进行讲评．1．平面向量的夹角：(1)两向量的夹角：非零向量，作，∠AOB＝θ，(0≤θ≤π)叫做向量与的夹角．当θ＝0时，与同向；当θ＝π时，与反向．(2)两向量的垂直：如果与的夹角是90°，那么说与垂直，记作．2．平面向量的数量积：已积两个非零向量和，它们的夹角为θ，把数量|a|·|b|cosθ叫做与的数量积(内积、点积)记作，即cosθ．并且规定零向量与任一向量的数量积为0．(1)两个平面向量的数量积是一个数量，不是向量，它的值等于两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．(2)两平面向量的数量积与数a与数b的积a·b不同，的数值与向量的夹角有关，而a·b没有这一因素，因之二者有不同之处．如当a≠时，由＝0不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量即有＝0，这与a·b＝0，那么a＝0或b＝0不同．又如，实数a、b、c，(b≠0)由ab＝bc我们可以推出a＝c，但对于向量，这种推理是不正确的．并不能一定推出．即cos＝cos这里表示向量与的夹角，表示向量与的夹角，由cos＝cos可推得，，推不出．3．两向量共线与垂直的判定两向量共线，假设与共线同向，θ＝0．那么；假设与共线反向，θ＝π，那么重要方法：4．平面向量数量积的几何意义：(1)投影：在cosθ中，cosθ叫做向量在方向上的投影．当θ为锐角时，它是正值，当θ为钝角时，它是负值；当θ＝90°时，它是零；当θ＝0°时，它是；当θ＝180°时，它是－．(2)的几何意义是：数量积等于的长度与在的方向上的投影cosθ的乘积．5．平面向量数量积的五个重要性质：设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，θ是与的夹角．(1) (提问学生，给出证明)证：(2)证：，向量与的夹角为90°，＝0，即cosθ＝0，cosθ＝0，θ＝90°(3)当与同向时，；当与反向时，．特别地证：与同向，与的夹角为0°．与反向，与的夹角为180°．因与的夹角为0°．即(4)cosθ＝．证：∵这是求两向量夹角时常用的公式．(5)证：．这里|cosθ|≤1．∴在以上这五个性质中，较常用的是：cosθ＝同学们要牢牢掌握．(三)学生练习，教师辅导．练习1：课本练习2．解：＝8，＝6，、夹角60°．·＝·cos60°＝24．练习2：课本练习3．θ＝135°．练习3：课本练习4．解：△ABC中，＝，＝．当＜0时，、夹角为钝角，△ABC为钝角三角形．当＝0时，⊥，△ABC为直角三角形．解：练习5：＝4，与的夹角为30°，求与方向上的投影．练习6：＝－40，＝10，＝8，求与的夹角θ．(四)教师小结．1．平面向量的数量积，射影．2．平面向量的性质，(2)，(3)，(4)．(五)作业。

【例4】已知a,b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b的夹角.
四、变式演练,深化提高
练习1:四边形ABCD中,=a,=b,=с,=d,且a·b=b·с=с·d=d·a,试问四边形ABCD是什么图形?
练习2:已知=5,=4,向量a与b的夹角是120°,求.
五、反思小结,观点提炼
请同学们想一想,本节课我们学习了哪些知识?
布置作业
课本P108习题2.4A组第1,2,3题.
参考答案
一、设计问题,创设情境
问题1:(1)力F所做的功W=Fs cosθ.
(2)W(功)是标量,F(力)是矢量,s(位移)是矢量.
(3)W=F·s.
二、信息交流,揭示规律
1.数量积的概念
|a|·|b|cosθa·b
问题2:数量积的结果是实数,线性运算的结果是向量.
问题3:数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘。