§8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图

214 §8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图基础自测1.下列不正确的命题的序号是 . ①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 ②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 ③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 ④有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥答案 ①②③2.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是 . 答案 60°3.如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm ），则此几何体的表面积是 cm 2.答案 (20+42) 4.（2008·宁夏文，14）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为3，那么这个球的体积为 .答案 34 5.已知正三角形ABC 的边长为a,那么△ABC 的直观图△A ′B ′C ′的面积为 .答案 166a 2 例题精讲例1 下列结论不正确的是 （填序号）.①各个面都是三角形的几何体是三棱锥②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 ③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线答案 ①②③解析 ①错误.如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不一定是棱锥.②错误.如下图，若△ABC 不是直角三角形或是直角三角形,但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥.215③错误.若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长.④正确.例2 已知△ABC 的直观图A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，求原三角形ABC 的面积.解 建立如图所示的xOy 坐标系，△ABC 的顶点C 在y 轴上，AB 边在x 轴上，OC 为△ABC 的高，把y 轴绕原点顺时针旋转45°得y ′轴，则点C 变为点C ′，且OC=2OC ′，A 、B 点即为A ′、 B ′点，AB=A ′B ，已知A ′B ′=A ′C ′=a ，在△OA ′C ′中， 由正弦定理得''sin C OA OC ∠=ο45sin ''C A ，所以OC ′=a οο45sin 120sin =a 26, 所以原三角形ABC 的高OC=6a ，所以S △ABC =21×a ×6a=a 262. 例3 一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积.解 由三视图易知，该正三棱柱的形状如图所示：且AA ′=BB ′=CC ′=4cm,正三角形ABC 和正三角形A ′B ′C ′的高为23cm.∴正三角形ABC 的边长为|AB|=ο60sin 32=4.∴该三棱柱的表面积为S=3×4×4+2×21×42sin60°=48+83(cm 2). 体积为V=S 底·|AA ′|=21×42sin60°×4=163(cm 3). 故这个三棱柱的表面积为（48+83）cm 2,体积为163cm 3.例4 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示， 求图中三角形（正四面体的截面）的面积.解 如图所示，△ABE 为题中的三角形，由已知得AB=2，BE=2×23=3, BF=32BE=332,AF=22BF AB -=344-=38,∴△ABE 的面积为216 S=21×BE ×AF=21×3×38=2.∴所求的三角形的面积为2. 巩固练习1.如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中为真命题的是 （填序号）.①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补③等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆④等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上答案 ①③④2.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形,则原平面四边形的面积等于 . 答案 22a 23.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等 腰三角形，左视图（或称侧视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.（1）求该几何体的体积V ；（2）求该几何体的侧面积S.解 （1）由该几何体的俯视图、正视图、左视图可知，该几何体是四棱锥，且四棱锥的底面ABCD 是边长为6和8的矩形，高VO=4，O 点是AC 与BD 的交点. ∴该几何体的体积V=31×8×6×4=64. （2）如图所示，侧面VAB 中，VE ⊥AB ，则VE=22OE VO +=2234+=5∴S △VAB =21×AB ×VE=21×8×5=20 侧面VBC 中，VF ⊥BC ，则VF=22OF VO +=2244+=42.∴S △VBC =21×BC ×VF=21×6×42=122∴该几何体的侧面积 S=2（S △VAB +S △VBC ）=40+242.4.（2007·全国Ⅱ文，15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1 cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2.答案 2+42 回顾总结知识方法思想课后作业一、填空题1.利用斜二测画法可以得到：①三角形的直观图是三角形，②平行四边形的直观图是平行四边形，③正方形的直观图是正方形，④菱形的直观图是菱形，以上正确结论的序号是 .217答案 ①②2.如图所示，甲、乙、丙是三个几何体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号是 . ①长方体；②圆锥；③三棱锥；④圆柱. 答案④③②3.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 .答案 ②④4.用若干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型，其三视图如下：根据三视图回答此立体模型的体积为 .答案 55.棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的8个顶点都在球O 的表面上，E 、F 分别是棱AA 1、DD 1的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为 .答案 26.（2008·湖北理）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为 . 答案 328π 7.用小立方块搭一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图所示，这样的几何体至少要 个小立方块.最多只能用 个小立方块.答案 9 148.如图所示，E 、F 分别是正方体的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的正投影可能是 .（把可能的图的序号都填上）218答案 ②③二、解答题9.正四棱台AC 1的高是17 cm ，两底面的边长分别是4 cm 和16 cm ，求这个棱台的侧棱长和斜高. 解 如图所示，设棱台的两底面的中心分别是O 1、O ，B 1C 1和BC 的中点分别是E 1和E ，连接O 1O 、E 1E 、O 1B 1、OB 、O 1E 1、OE ，则四边形OBB 1O 1和OEE 1O 1都是直角梯形.∵A 1B 1=4 cm ，AB=16 cm ， ∴O 1E 1=2 cm ，OE=8 cm ，O 1B 1=22 cm ，OB=82 cm ，∴B 1B 2=O 1O 2+（OB-O 1B 1)2=361 cm 2，E 1E 2=O 1O 2+（OE-O 1E 1)2=325 cm 2，∴B 1B=19 cm ，E 1E=513cm.答 这个棱台的侧棱长为19 cm ，斜高为513cm.10.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm 2,母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径.解 圆台的轴截面如图所示，设圆台上下底面半径分别为x cm,3x cm.延长AA 1交OO 1的延长线于S ， 在Rt △SOA 中，∠ASO=45°, 则∠SAO=45°，∴SO=AO=3x ，∴OO 1=2x ，又S 轴截面=21（6x+2x ）·2x=392，∴x=7. 故圆台的高OO 1=14 (cm)，母线长l=2O 1O=142 (cm)，两底面半径分别为7 cm,21 cm.11.正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高（棱锥侧面三角形的高）为多少？解 如图所示，正棱锥S-ABCD 中高OS=3，侧棱SA=SB=SC=SD=7，在Rt △SOA 中， OA=22OS SA =2，∴AC=4.∴AB=BC=CD=DA=22.作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点.连接SE ，则SE 即为斜高，则SO ⊥OE.在Rt △SOE 中，∵OE=21BC=2，SO=3，∴SE=5，即侧面上的斜高为5.12. 如图所示的几何体中，四边形AA 1B 1B 是边长为3的正方形，CC 1=2，CC 1∥AA 1，这个几何体是棱柱吗？若是，指出是几棱柱.若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征，在立体图中画出截面.解 这个几何体不是棱柱；在四边形ABB 1A 1中，在AA 1上取点E ，使AE=2；在BB 1上取F 使BF=2；连接C 1E ，EF ，C 1F ，则过C 1EF 的截面将几何体分成两部分，其中一部分是棱柱ABC —EFC 1，其棱长为2；截去的部分是一个四棱锥C1—EA1B1F.219。

§8.1 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图考纲考情1.能画出柱、锥、台、球等简易组合体的三视图，并能识别三视图所表示的立体模型．会用斜二测画法画出它们的直观图．2.了解平行投影与中心投影，了解空间图形的不同表示形式．主干知识·整合知识点一空间几何体的结构特征1．多面体(1)棱柱的侧棱都________，上下底面是______且______的多边形．(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个________的三角形．(3)棱台可由________________的平面截棱锥得到，其上下底面是________且_____的多边形．2．旋转体(1)圆柱可以由______绕其任一边旋转得到．(2)圆锥可以由直角三角形绕其__________________旋转得到．(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由______于圆锥底面的平面截圆锥得到．(4)球可以由半圆或圆绕____________旋转得到．对点快练1．下列说法正确的是()A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点2．下图所示的几何体中，是棱柱的为________(填写所有正确的序号)．知识点二空间几何体的三视图1．三视图的名称几何体的三视图包括________、________、________.2．三视图的画法(1)画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．(2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的______方、______方、______方观察几何体得到的正投影图．对点快练3．将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为()4．如图所示，图①②③是图④所示的几何体的三视图，若图①是正视图，则图②是________，图③是________．知识点三空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用________画法来画，其规则是：1．原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为____，z′轴与x′轴和y′轴所在平面______．2．原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别____________．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度________，平行于y轴的线段在直观图中长度变为__________．对点快练5．用斜二测画法画一个水平放置的水平图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()热点命题·突破热点一空间几何体的结构特征例1给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体；⑤棱台的侧棱延长后交于一点．其中正确命题的序号是________．变式训练给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3热点二空间几何体的三视图考向1由直观图判断三视图例2如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)()A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥D．③④⑤考向2由三视图还原直观图例3某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A. 16 B.13 C.12D．1考向3由部分视图确定剩余视图例4已知某组合体的正视图与侧视图相同，如图所示，其中AB＝AC，四边形BCDE为矩形，则该组合体的俯视图可以是________(把你认为正确的图的序号都填上)．总结反思三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图.变式训练(1)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD 的正视图与侧视图的面积之比为()A．1 1 B．21C．2 3 D．32(2)一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()(3)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．热点三空间几何体的直观图例5如图所示，四边形A′B′C′D′是一平面图形的水平放置的斜二测画法的直观图，在斜二测直观图中，四边形A′B′C′D′是一直角梯形，A′B′∥C′D′，A′D′⊥C′D′，且B′C′与y′轴平行，若A′B′＝6，D′C′＝4，A′D′＝2.求这个平面图形的实际面积．变式训练已知平面△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．课堂总结1．对于基本概念和能用公式直接求棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决，这种题目难度不大．2．在绘制三视图时，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线．在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被挡住的轮廓线画成虚线．并做到“长对正、高平齐、宽相等”．3．能够由空间几何体的三视图得到它的直观图；也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图．提升空间想象能力．参考答案主干知识·整合知识点一空间几何体的结构特征1．(1)互相平行互相平行全等(2)公共顶点(3)平行于棱锥底面相互平行相似2．(1)矩形(2)一条直角边所在直线(3)平行(4)直径所在直线对点快练1．【答案】B【解析】A错，如图1；B正确，如图2，其中底面ABCD是矩形，可证明∠P AB，∠PCB 都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错，如图3；D错，由棱台的定义知，其侧棱必相交于同一点．2．【答案】③⑤【解析】根据棱柱的结构特征可知③⑤是棱柱．知识点二空间几何体的三视图1．正视图侧视图俯视图2．(2)正前正左正上对点快练3．【答案】B【解析】由正视图、俯视图得原几何体的形状如图所示，则该几何体的侧视图为B.4．【答案】侧视图俯视图【解析】根据三视图的概念知图②是侧视图，图③是俯视图．知识点三空间几何体的直观图斜二测1. 45°或135°垂直2. 平行于坐标轴不变原来的一半对点快练5．【答案】A【解析】由直观图的画法可知，落在y轴上的对角线的长度为2 2.热点命题·突破热点一空间几何体的结构特征例1【答案】②③④⑤【解析】①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体AC 1中的三棱锥C 1－ABC ，四个面都是直角三角形；⑤正确，由棱台的概念可知．变式训练 【答案】A【解析】①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图1所示；③不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．例2 【答案】 B【解析】 正视图应该是边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是①；侧视图应该是边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是②；俯视图应该是边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③. 例3 【答案】 A【解析】 由三视图可得该几何体的直观图为三棱锥A －BCD ，将其放在长方体中如图所示，其中BD ＝CD ＝1，CD ⊥BD ，三棱锥的高为1，所以三棱锥的体积为13×12×1×1×1＝16.故选A .例4 【答案】 ①②③④【解析】 直观图如图1的几何体(上部是一个正四棱锥，下部是一个正四棱柱)的俯视图为①；直观图如图2的几何体(上部是一个正四棱锥，下部是一个圆柱)的俯视图为②；直观图如图3的几何体(上部是一个圆锥，下部是一个圆柱)的俯视图为③；直观图如图4的几何体(上部是一个圆锥，下部是一个正四棱柱)的俯视图为④.变式训练【答案】(1)A (2)C (3)33【解析】(1)根据题意，三棱锥P －BCD 的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高，故三棱锥P －BCD 的正视图与侧视图的面积之比为11.(2)A ，B ，D 选项满足三视图作法规则，C 不满足三视图作法规则中的宽相等，故C 不可能是该锥体的俯视图．(3)由正视图知，底面三角形是腰长为2，底边为23的等腰三角形，三棱锥的高为1，所以该三棱锥的体积V ＝13×(12×23×1)×1＝33.例5 解：根据斜二测直观图画法规则可知该平面图形是直角梯形，且AB ＝6，CD ＝4保持不变． 由于C ′B ′＝2A ′D ′＝2 2.所以CB ＝4 2. 故平面图形的实际面积为12×(6＋4)×42＝20 2.变式训练 解：如图所示，△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，作C ′D ′∥A ′B ′交y ′轴于点D ′，则D ′到x ′轴的距离为32a ，∵∠D ′A ′B ′＝45°，∴A ′D ′＝62a ， 由斜二测画法的法则知，在△ABC 中，AB ＝A ′B ′＝a ，AB 边上的高是A ′D ′的二倍，即为6a ，∴S △ABC ＝12a ·6a ＝62a 2.。

§8.1空间几何体的结构、三视图和直观图最新考纲考情考向分析1.了解多面体和旋转体的概念，理解柱、锥、台、球的结构特征．2.了解简单组合体，了解中心投影、平行投影的含义．3.了解三视图和直观图间的关系，掌握三视图所表示的空间几何体．会用斜二测画法画出它们的直观图.空间几何体的结构特征、三视图、直观图在高考中几乎年年考查．主要考查根据几何体的三视图求其体积与表面积．对空间几何体的结构特征、三视图、直观图的考查，以选择题和填空题为主.1．多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形结构特征有两个面互相平行且全等，其余各面都是平行四边形．每相邻两个四边形的公共边都互相平行有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形2.旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环3.三视图与直观图三视图画法规则：长对正、高平齐、宽相等直观图斜二测画法：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半.概念方法微思考1．底面是正多边形的棱柱是正棱柱吗，为什么？提示不一定．因为底面是正多边形的直棱柱才是正棱柱．2．什么是三视图？怎样画三视图？提示光线自物体的正前方投射所得的正投影称为正视图，自左向右的正投影称为侧视图，自上向下的正投影称为俯视图，几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为三视图．画几何体的三视图的要求是正视图与俯视图长对正；正视图与侧视图高平齐；侧视图与俯视图宽相等．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( ×)(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( ×)(3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的截面与底面之间的部分．( √)(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．( ×)(5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．( ×)(6)菱形的直观图仍是菱形．( ×)题组二教材改编2．[P19T2]下列说法正确的是( )A．相等的角在直观图中仍然相等B．相等的线段在直观图中仍然相等C．正方形的直观图是正方形D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行答案 D解析由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行关系不变．3．[P8T1]在如图所示的几何体中，是棱柱的为________．(填写所有正确的序号)答案③⑤题组三易错自纠4．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( )A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱答案 A解析由三视图知识知，圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形．5．如图是正方体截去阴影部分所得的几何体，则该几何体的侧视图是( )答案 C解析此几何体侧视图是从左边向右边看．故选C.6．(2018·浙江诸暨中学期中)边长为22的正方形，其水平放置的直观图的面积为( )A.24B．1C．22D．8答案 C解析 正方形的边长为22，故面积为8，而原图和直观图面积之间的关系为S 直观图S 原图＝24，故直观图的面积为8×24＝2 2. 7．(2018·全国Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如下图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在侧视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为( )A ．217B ．25C ．3D ．2 答案 B解析 先画出圆柱的直观图，根据题中的三视图可知，点M ，N 的位置如图①所示．圆柱的侧面展开图及M ，N 的位置(N 为OP 的四等分点)如图②所示，连接MN ，则图中MN 即为M 到N 的最短路径．|ON |＝14×16＝4，|OM |＝2，∴|MN |＝|OM |2＋|ON |2＝22＋42＝2 5.故选B.题型一 空间几何体的结构特征1．以下命题：①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； ④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确命题的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 由圆锥、圆台、圆柱的定义可知①②错误，③正确．对于命题④，只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，④不正确．2．给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱．其中不正确的命题为________．(填序号)答案①②③解析对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故②错；对于③，若底面不是矩形，则③错；④由线面垂直的判定，可知侧棱垂直于底面，故④正确．综上，命题①②③不正确．思维升华空间几何体概念辨析题的常用方法(1)定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定．(2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析．题型二简单几何体的三视图命题点1 已知几何体识别三视图例1(2018·全国Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )答案 A解析由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.命题点2 已知三视图，判断简单几何体的形状例2如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱答案 B解析由题意知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱．命题点3 已知三视图中的两个视图，判断第三个视图例3一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下列选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )答案 C解析A，B，D选项满足三视图作法规则，C不满足三视图作法规则中的宽相等，故C不可能是该锥体的俯视图．思维升华三视图问题的常见类型及解题策略(1)注意观察方向，看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线．(2)还原几何体．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，结合空间想象还原．(3)由部分视图画出剩余的部分视图．先猜测，还原，再判断．当然作为选择题，也可将选项逐项代入．跟踪训练1(1)(2018·杭州模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的正投影可能是( )A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④答案 B解析 P 点在上下底面投影落在AC 或A 1C 1上，所以△PAC 在上底面或下底面的投影为①，在前、后面以及左、右面的投影为④.(2)(2018·宁波模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是( )答案 C解析 该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P —ABCD ，如图所示，该几何体的俯视图为C.题型三 空间几何体的直观图例4已知等腰梯形ABCD ，上底CD ＝1，腰AD ＝CB ＝2，下底AB ＝3，以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为________． 答案22解析 如图所示，作出等腰梯形ABCD 的直观图．因为OE ＝(2)2－1＝1，所以O ′E ′＝12，E ′F ＝24，则直观图A ′B ′C ′D ′的面积S ′＝1＋32×24＝22.思维升华用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与轴平行的线段在直观图中与轴平行，不平行的线段先画线段的端点再连线． 跟踪训练2如图，一个水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法)是一个底角为45°、腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )A ．2＋ 2B ．1＋ 2C ．4＋2 2D ．8＋4 2答案 D解析 由已知直观图根据斜二测画法规则画出原平面图形，如图所示，所以这个平面图形的面积为4×(2＋2＋22)2＝8＋42，故选D.1．在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是( )A．圆面B．矩形面C．梯形面D．椭圆面或部分椭圆面答案 C解析将圆柱桶竖放，水面为圆面；将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部分椭圆面；将圆柱桶水平放置，水面为矩形面，所以圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是梯形面，故选C.2.如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)( )A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥D．③④⑤答案 B解析正视图应该是边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是①，侧视图应该是边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是②；俯视图应该是边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③.3．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体答案 C解析截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体．4．某几何体的正视图与侧视图如图所示，则它的俯视图不可能是( )答案 C解析若几何体为两个圆锥体的组合体，则俯视图为A；若几何体为四棱锥与圆锥的组合体，则俯视图为B；若几何体为两个四棱锥的组合体，则俯视图为D；不可能为C，故选C. 5．(2018·丽水、衢州、湖州三地市质检)若将正方体(如图1)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图是( )答案 B解析从左向右看，该几何体的侧视图的外轮廓是一个正方形，且AD1对应的是实线，B1C对应的是虚线．故选B.6．(2011·浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )答案 D解析A，B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，故选D.7．(2019·台州模拟)已知底面是直角三角形的直棱柱的正视图、俯视图如下图所示，则该棱柱的侧视图的面积为( )A．18 6 B．18 3C．18 2 D.2722答案 C解析设侧视图的长为x，则x2＝6×3＝18，∴x＝3 2.所以侧视图的面积为S＝32×6＝18 2.故选C.8．用一个平面去截正方体，则截面不可能是( )A．直角三角形B．等边三角形C．正方形D．正六边形答案 A解析用一个平面去截正方体，则截面的情况为：①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；②截面为四边形时，可以是梯形(等腰梯形)、平行四边形、菱形、矩形、正方形，但不可能是直角梯形；③截面为五边形时，不可能是正五边形；④截面为六边形时，可以是正六边形．9．(2018·湖州模拟)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长为( )A.5B．22C．3D．2 3答案 C解析在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别为AD，BC的中点，该几何体的直观图如图中三棱锥D1—MNB1，故通过计算可得D1B1＝22，D1M＝B1N＝5，MN＝2，MB1＝ND1＝3，故该三棱锥中最长棱的长为3.10.一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC的面积为________．答案2 2解析因为直观图的面积是原图形面积的24倍，且直观图的面积为1，所以原图形的面积为2 2.11.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P－ABC的正视图与侧视图的面积的比值为________．答案 1解析 如题图所示，设正方体的棱长为a ，则三棱锥P －ABC 的正视图与侧视图都是三角形，且面积都是12a 2，故面积的比值为1.12．给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； ②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ④存在每个面都是直角三角形的四面体． 其中正确命题的序号是________． 答案 ②③④解析 ①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面所在的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中的三棱锥C 1－ABC ，四个面都是直角三角形．13.如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O 1，O 2，这两个球外切，且球O 1与正方体共顶点A 的三个面相切，球O 2与正方体共顶点B 1的三个面相切，则两球在正方体的面AA 1C 1C 上的正投影是( )答案 B解析 由题意可以判断出两球在正方体的面上的正投影与正方形相切．由于两球球心连线AB 1与面ACC 1A 1不平行，故两球球心射影所连线段的长度小于两球半径的和，即两个投影圆相交，即为图B.14.我国古代数学家刘徽在学术研究中，不迷信古人，坚持实事求是．他对《九章算术》中“开立圆术”给出的公式产生质疑，为了证实自己的猜测，他引入了一种新的几何体“牟合方盖”：以正方体相邻的两个侧面为底做两次内切圆柱切割，然后剔除外部，剩下的内核部分．如果“牟合方盖”的正视图和侧视图都是圆，则其俯视图的形状为( )答案 B解析由题意得在正方体内做两次内切圆柱切割，得到的几何体的直观图如图所示，由图易得其俯视图为B，故选B.15．(2018·嘉兴模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是( )A．圆弧B．抛物线的一部分C．椭圆的一部分D．双曲线的一部分答案 D解析根据几何体的三视图，可得侧视图中的虚线部分是由平行于旋转轴的平面截圆锥所得，故侧视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故选D.16．(2018·台州模拟)如图是一个几何体的三视图，则该几何体中最长棱的长是________．答案733解析 由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中三棱锥M —A 1B 1N ，如图所示，M 是棱AB 上靠近点A 的一个三等分点，N 是棱C 1D 1的中点，所以A 1B 1＝2，A 1N ＝B 1N ＝22＋12＝5， A 1M ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝2103， B 1M ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝2133， MN ＝22＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝733，所以该几何体中最长棱的长是733.。

§8.1空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积1．多面体的结构特点2.3.空间几何体的直观图经常使用斜二测画法来画，其规那么：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中维持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中长度为原先的一半．4．空间几何体的三视图(1)三视图的主视图、俯视图、左视图别离是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形．(2)三视图的特点：三视图知足“长对正、高平齐、宽相等”或说“主左一样高、主俯一样长、俯左一样宽”．5．柱、锥、台和球的侧面积和体积1． (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱． ( × ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( × )(3)用斜二测画法画水平放置的∠A 时，假设∠A 的两边别离平行于x 轴和y 轴，且∠A ＝90°，那么在直观图中，∠A ＝45°.( × ) (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同． ( × ) (5)圆柱的侧面展开图是矩形．( √ ) (6)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算．( √ )2． (2021·四川)一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的直观图能够是 ( )答案 D解析 由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D.3． (2021·课标全国Ⅰ)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，若是不计容器的厚度，那么球的体积为( )A.500π3cm 3B.866π3cm 3C.1 372π3 cm 3D.2 048π3cm 3答案 A解析 作出该球轴截面的图象如下图，依题意BE ＝2，AE ＝CE ＝4，设DE ＝x ，故AD ＝2＋x ，因为AD 2＝AE 2＋DE 2，解得x ＝3，故该球的半径AD ＝5， 因此V ＝43πR 3＝500π3. 4． 一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为________．答案62解析 由斜二测画法，知直观图是边长为1的正三角形，其原图是一个底为1，高为6的三角形，因此原三角形的面积为62.5． 假设一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，那么该圆锥的体积为________．答案33π 解析 侧面展开图扇形的半径为2，圆锥底面半径为1， ∴h ＝22－1＝3，∴V ＝13π×1×3＝33π.题型一 空间几何体的结构特点 例1 (1)以下说法正确的选项是( )A ．有两个平面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B ．四棱锥的四个侧面都能够是直角三角形C ．有两个平面相互平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D ．棱台的各侧棱延长后不必然交于一点 (2)给出以下命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，那么这两点的连线是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面能够不相似，但侧棱长必然相等． 其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3思维启发 从多面体、旋转体的概念入手，能够借助实例或几何模型明白得几何体的结构特点． 答案 (1)B (2)A解析 (1)A 错，如图1；B 正确，如图2，其中底面ABCD 是矩形，可证明∠PAB ，∠PCB 都是直角，如此四个侧面都是直角三角形；C 错，如图3；D 错，由棱台的概念知，其侧棱必相交于同一点．(2)①不必然，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②不必然，因为“其余各面都是三角形”并非等价于“其余各面都是有一个公共极点的三角形”，如图1所示；③不必然，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，可是侧棱长不必然相等． 思维升华 (1)有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的几何体不必然是棱柱． (2)既然棱台是由棱锥概念的，因此在解决棱台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略． (3)旋转体的形成不仅要看由何种图形旋转取得，还要看旋转轴是哪条直线．如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A ，B ，C是展开图上的三点，那么在正方体盒子中，∠ABC 的值为 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 C解析 还原正方体，如下图，连接AB ，BC ，AC ，可得△ABC 是正三角形，那么∠ABC ＝60°. 题型二 空间几何体的三视图和直观图例2 (1)如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12，那么该几何体的俯视图能够是( )(2)正三角形AOB 的边长为a ，成立如下图的直角坐标系xOy ，那么它的直观图的面积是________．思维启发 (1)由主视图和左视图可知该几何体的高是1，由体积是12可求出底面积．由底面积的大小可判定其俯视图是哪个．(2)依照直观图画法规那么确信平面图形和其直观图面积的关系． 答案 (1)C (2)616a 2解析 (1)由该几何体的主视图和左视图可知该几何体是柱体，且其高为1，由其体积是12可知该几何体的底面积是12，由图知A 的面积是1，B 的面积是π4，C 的面积是12，D 的面积是π4，应选C.(2)画出坐标系x ′O ′y ′，作出△OAB 的直观图O ′A ′B ′(如图)．D ′为O ′A ′的中点． 易知D ′B ′＝12DB (D 为OA 的中点)，∴S △O ′A ′B ′＝12×22S △OAB ＝24×34a 2＝616a 2.思维升华 (1)三视图中，主视图和左视图一样高，主视图和俯视图一样长，左视图和俯视图一样宽．即“长对正，宽相等，高平齐”．(2)解决有关“斜二测画法”问题时，一样在已知图形中成立直角坐标系，尽可能运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系．(1)(2021·湖南)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，那么该正方体的主视图的面积不可能等于( )A ．1 B.2 C.2－12D.2＋12(2)如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，那么原图形是 ( ) A ．正方形 B ．矩形C ．菱形D ．一样的平行四边形答案 (1)C (2)C解析 (1)由俯视图知正方体的底面水平放置，其主视图为矩形，以正方体的高为一边长，另一边长最小为1，最大为2，面积范围应为[1，2]，不可能等于2－12.(2)如图，在原图形OABC 中， 应有OD ＝2O ′D ′＝2×22＝42 cm ，CD ＝C ′D ′＝2 cm.∴OC ＝OD 2＋CD 2＝422＋22＝6 cm ，∴OA ＝OC ，故四边形OABC 是菱形． 题型三 空间几何体的表面积与体积例3 (1)一个空间几何体的三视图如下图，那么该几何体的表面积为 ( )A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．80(2)已知某几何体的三视图如下图，其中主视图、左视图均由直角三角形与半圆组成，俯视图由圆与内接三角形组成，依照图中的数据可得几何体的体积为 ( ) A.2π3＋12B.4π3＋16 C.2π6＋16D.2π3＋12思维启发 先由三视图确信几何体的组成及气宇，然后求表面积或体积． 答案 (1)C (2)C解析 (1)由三视图知该几何体的直观图如下图，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为4，长为42＋12＝17.因此S表＝42＋2×4＋12×(2＋4)×4×2＋4×17×2＝48＋817.(2)由三视图确信该几何体是一个半球体与三棱锥组成的组合体，如图，其中AP ，AB ，AC 两两垂直，且AP ＝AB ＝AC ＝1，故AP ⊥平面ABC ，S △ABC ＝12AB ×AC ＝12，因此三棱锥P －ABC 的体积V 1＝13×S △ABC ×AP ＝13×12×1＝16，又Rt△ABC 是半球底面的内接三角形，因此球的直径2R ＝BC ＝2，解得R ＝22，因此半球的体积V 2＝12×4π3×(22)3＝2π6，故所求几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝16＋2π6.思维升华 解决此类问题需先由三视图确信几何体的结构特点，判定是不是为组合体，由哪些简单几何体组成，并准确判定这些几何体之间的关系，将其切割为一些简单的几何体，再求出各个简单几何体的体积，最后求出组合体的体积．(2021·课标全国)已知三棱锥S －ABC 的所有极点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，那么此棱锥的体积为 ( ) A.26 B.36 C.23 D.22答案 A解析 由于三棱锥S －ABC 与三棱锥O －ABC 底面都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S －ABC 的高是三棱锥O －ABC 高的2倍，因此三棱锥S －ABC 的体积也是三棱锥O －ABC 体积的2倍． 在三棱锥O －ABC 中，其棱长都是1，如下图， S △ABC ＝34×AB 2＝34，高OD ＝ 12－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫332＝63， ∴V S －ABC ＝2V O －ABC ＝2×13×34×63＝26.转化思想在立体几何计算中的应用典例：(12分)如图，在直棱柱ABC —A ′B ′C ′中，底面是边长为3的等边三角形，AA ′＝4，M 为AA ′的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿 棱柱侧面通过棱CC ′到M 的最短线路长为29，设这条最短线路与CC ′的交点为N ，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC 与NC 的长；(3)三棱锥C —MNP 的体积．思维启发 (1)侧面展开图从哪里剪开展平；(2)MN ＋NP 最短在展开图上呈现如何的形式；(3)三棱锥以谁做底好． 标准解答解 (1)该三棱柱的侧面展开图为一边长别离为4和9的矩形，故对角线长为42＋92＝97.[2分](2)将该三棱柱的侧面沿棱BB ′展开，如以下图，设PC ＝x ，那么MP 2＝MA 2＋(AC ＋x )2. ∵MP ＝29，MA ＝2，AC ＝3，∴x ＝2，即PC ＝2.又NC ∥AM ，故PC PA ＝NCAM ，即25＝NC 2.∴NC ＝45.[8分](3)S △PCN ＝12×CP ×CN ＝12×2×45＝45.在三棱锥M —PCN 中，M 到面PCN 的距离， 即h ＝32×3＝332.∴V C —MNP ＝V M —PCN ＝13·h ·S △PCN＝13×332×45＝235.[12分] 温馨提示 (1)解决空间几何体表面上的最值问题的全然思路是“展开”，即将空间几何体的“面”展开后铺在一个平面上，将问题转化为平面上的最值问题．(2)若是已知的空间几何体是多面体，那么依照问题的具体情形能够将那个多面体沿多面体中某条棱或两个面的交线展开，把不在一个平面上的问题转化到一个平面上．若是是圆柱、圆锥那么可沿母线展开，把曲面上的问题转化为平面上的问题．(3)此题的易错点是，不明白从哪条侧棱剪开展平，不能正确地画出侧面展开图．缺乏空间图形向平面图形的转化意识.方式与技术1．棱柱、棱锥要把握各部份的结构特点，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决．2．旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状．3．三视图画法：(1)实虚线的画法：分界限和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线；(2)明白得“长对正、宽平齐、高相等”．4．直观图画法：平行性、长度两个要素．5．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规那么的几何体通过度割或补形将其转化为规那么的几何体求解．6．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确信有关元素间的数量关系，并作出适合的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的极点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．失误与防范1．台体能够看成是由锥体截得的，但必然强调截面与底面平行．2．注意空间几何体的不同放置对三视图的阻碍．3．几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系．A组专项基础训练(时刻：40分钟)一、选择题1．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两极点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )A．20 B．15C．12 D．10答案D解析如图，在正五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，从极点A动身的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点动身的对角线均有两条，共2×5＝10(条)．2．(2021·福建)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么那个几何体不能够是( )A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱答案 D解析 考虑选项中几何体的三视图的形状、大小，分析可得． 球、正方体的三视图形状都相同、大小均相等，第一排除选项A 和C. 关于如下图三棱锥O －ABC ，当OA 、OB 、OC 两两垂直且OA ＝OB ＝OC 时， 其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项B. 不论圆柱如何设置，其三视图的形状都可不能完全相同， 故答案选D.3． (2021·重庆)某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为( )A.5603B.5803 C ．200 D ．240答案 C解析 由三视图知该几何体为直四棱柱，其底面为等腰梯形，上底长为2，下底长为8，高为4，故面积为S ＝2＋8×42＝20.又棱柱的高为10，因此体积V ＝Sh ＝20×10＝200.4． 如图是一个物体的三视图，那么此三视图所描述物体的直观图是( ) 答案 D解析 由俯视图可知是B 和D 中的一个，由主视图和左视图可知B 错．5． 某几何体的三视图如下图，其中俯视图是个半圆，那么该几何体的表面积为( )A.32π B ．π＋3C.32π＋ 3D.52π＋3答案 C解析 由三视图可知该几何体为一个半圆锥，底面半径为1，高为3，∴表面积S ＝12×2×3＋12×π×12＋12×π×1×2＝3＋3π2.二、填空题6. 如下图，E 、F 别离为正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，那么四边形BFD 1E 在该正方体的面DCC 1D 1上的正投影是________．(填序号)答案 ②解析 四边形在面DCC 1D 1上的正投影为②：B 在面DCC 1D 1上的正投影为C ，F 、E 在面DCC 1D 1上的投影应在边CC 1与DD 1上，而不在四边形的内部，故①③④错误．7． 已知三棱锥A —BCD 的所有棱长都为2，那么该三棱锥的外接球的表面积为________． 答案 3π 解析 如图，构造正方体ANDM —FBEC .因为三棱锥A —BCD 的所有棱长都为2，因此正方体ANDM —FBEC 的棱长为1.因此该正方体的外接球的半径为32. 易知三棱锥A —BCD 的外接球确实是正方体ANDM —FBEC 的外接球，因此三棱锥A —BCD 的外接球的半径为32.因此三棱锥A —BCD 的外接球的表面积为S 球＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322＝3π. 8． (2021·江苏)如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 别离是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，那么V 1∶V 2＝________.答案 1∶24解析 设三棱锥F －ADE 的高为h ，则V 1V 2＝13h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD ·AE ·sin∠DAE 2h 122AD 2AE sin∠DAE＝124. 三、解答题9．一个几何体的三视图及其相关数据如下图，求那个几何体的表面积．解 那个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半．依照图中数据可知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为3，母线长为2，几何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故那个几何体的表面积为S ＝12π×12＋12π×22＋12π×(1＋2)×2＋12×(2＋4)×3＝11π2＋3 3.10．已知一个正三棱台的两底面边长别离为30 cm 和20 cm ，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高．解 如下图，三棱台ABC —A 1B 1C 1中，O 、O 1别离为两底面中心，D 、D 1别离为BC和B 1C 1的中点，那么DD 1为棱台的斜高．由题意知A 1B 1＝20，AB ＝30，则OD ＝53，O 1D 1＝1033， 由S 侧＝S 上＋S 下，得12×(20＋30)×3DD 1＝34×(202＋302)， 解得DD 1＝1333，在直角梯形O 1ODD 1中，O 1O ＝DD 21－OD －O 1D 12＝43，因此棱台的高为4 3 cm. B 组 专项能力提升(时刻：30分钟)1． 在四棱锥E —ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD,2AB ＝3CD ，M 为AE 的中点，设E —ABCD 的体积为V ，那么三棱锥M —EBC 的体积为( )A.25VB.13VC.23VD.310V 答案 D解析 设点B 到平面EMC 的距离为h 1，点D 到平面EMC 的距离为h 2.连接MD .因为M 是AE 的中点，因此V M —ABCD ＝12V . 因此V E —MBC ＝12V －V E —MDC . 而V E —MBC ＝V B —EMC ，V E —MDC ＝V D —EMC ，因此V E —MBCV E —MDC ＝V B —EMC V D —EMC ＝h 1h 2.因为B ，D 到平面EMC 的距离即为到平面EAC 的距离，而AB ∥CD ，且2AB ＝3CD ，因此h 1h 2＝32. 因此V E —MBC ＝V M －EBC ＝310V .2． 某三棱锥的三视图如下图，该三棱锥的表面积是( ) A ．28＋6 5 B ．30＋65C ．56＋125 D ．60＋125 答案 B 解析 由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如下图，其中AE ⊥平面BCD ，CD ⊥BD ，且CD ＝4，BD ＝5，BE ＝2，ED ＝3，AE ＝4.∵AE ＝4，ED ＝3，∴AD ＝5.又CD ⊥BD ，CD ⊥AE ，则CD ⊥平面ABD ，故CD ⊥AD ，因此AC ＝41且S △ACD ＝10.在Rt△ABE 中，AE ＝4，BE ＝2，故AB ＝25. 在Rt△BCD 中，BD ＝5，CD ＝4，故S △BCD ＝10，且BC ＝41.在△ABD 中，AE ＝4，BD ＝5，故S △ABD ＝10.在△ABC 中，AB ＝25，BC ＝AC ＝41，则AB 边上的高h ＝6，故S △ABC ＝12×25×6＝6 5. 因此，该三棱锥的表面积为S ＝30＋65. 3． 表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，那么该圆锥的底面直径为________．答案 2解析 设圆锥的母线为l ，圆锥底面半径为r .那么12πl 2＋πr 2＝3π，πl ＝2πr ，∴r ＝1，即圆锥的底面直径为2.4. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，图为该四棱锥的主视图和左视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．(1)依照图所给的主视图、左视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA .解 (1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)，边长为6 cm 的正方形，如图，其面积为36 cm 2.(2)由左视图可求得PD ＝PC 2＋CD 2＝62＋62＝6 2.由主视图可知AD ＝6，且AD ⊥PD ，因此在Rt△APD 中，PA ＝PD 2＋AD 2＝622＋62＝6 3 cm.5． 在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝a ，PA ＝PC ＝2a ，假设在那个四棱锥内放一球，求此球的最大半径．解 当球内切于四棱锥，即与四棱锥各面均相切时球半径最大，设球的半径为r ，球心为O ，连接OP 、OA 、OB 、OC 、OD ，那么把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥，这些小棱锥的高都是r ，底面别离为原四棱锥的侧面和底面，则V P －ABCD ＝13r (S △PAB ＋S △PBC ＋S △PCD ＋S △PAD ＋S 正方形ABCD )＝13r (2＋2)a 2.由题意，知PD ⊥底面ABCD ，∴V P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PD ＝13a 3. 由体积相等， 得13r (2＋2)a 2＝13a 3，解得r ＝12(2－2)a .。

§8.1 空间几何体的结构、三视图和直观图一、考点、热点回顾1.几何体作为线面关系的载体，其结构特征是必考内容；2.考查三视图、直观图及其应用． 复习备考要这样做 1.重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型；2.熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长(正)方体、三棱锥等几何体的三视图．1．多面体的定义及结构特征(1)棱柱的上下底面平行，侧棱都平行且长度相等，上底面和下底面是全等的多边形． (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．(3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面的两个多边形相似． 2．旋转体的定义及结构特征(1)圆柱可以由矩形绕其一边所在直线旋转得到．(2)圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到．(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到． (4)球可以由半圆或圆绕其直径旋转得到． 3．空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括主视图、左视图、俯视图． 4．空间几何体的直观图(1)在已知图形中建立直角坐标系xOy .画直观图时，它们分别对应x ′轴和y ′轴，两轴交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，它们确定的平面表示水平平面；(2)已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴和y ′轴的线段；(3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的12.[难点正本 疑点清源]1．正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．2． 正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫作正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．3．空间几何体的数量关系也体现在三视图中，主视图和左视图的“高平齐”，主视图和俯视图的“长对正”，左视图和俯视图的“宽相等”．其中，主视图、左视图的高就是空间几何体的高，主视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，左视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度．要尽量按照这个规则画空间几何体的三视图．1．利用斜二测画法得到的以下结论，正确的是__________．(写出所有正确的序号)①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④圆的直观图是椭圆；⑤菱形的直观图是菱形．答案①②④解析①正确；由原图形中平行的线段在直观图中仍平行可知②正确；但是原图形中垂直的线段在直观图中一般不垂直，故③错；④正确；⑤中原图形中相等的线段在直观图中不一定相等，故错误．2．一个几何体的主视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．答案①②③⑤解析①存在可以得主视图为三角形的情况；②四棱锥，若底面是矩形，有一侧棱垂直于底面可以得主视图为三角形；③三棱柱，把侧面水平放置，正对着底面看，得主视图为三角形；④四棱柱，不论从哪个方向看都得不出三角形；⑤圆锥的底面水平放置，主视图是三角形；⑥圆柱从不同方向看是矩形或圆，不可能是三角形．3．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是() A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体答案 C解析当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．4．(·湖南)某几何体的主视图和左视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能．．．是()答案 C解析根据几何体的三视图知识求解．由于该几何体的主视图和左视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是C.5.如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是()答案 B解析 通过观察图形，三棱锥的主视图应为高为4，底面边长为3的直角三角形．题型一 空间几何体的结构特征 例1 设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱台的相对侧棱延长后必交于一点． 其中真命题的序号是________．思维启迪：利用有关几何体的概念判断所给命题的真假． 答案 ①④解析 命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的．底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的．因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的．命题④由棱台的定义知是正确的．探究提高 解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可．以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥．命题②错，因这腰必须是垂直于两底的腰．命题③对．命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行．题型二 几何体的三视图例2 如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )思维启迪：对于三视图的有关问题，一定要抓住“投影”这个关键词，把握几何体的 形状． 答案 C解析 若该几何体的俯视图是选项A ，则该几何体的体积为1，不满足题意；若该几何体的俯视图是选项B ，则该几何体的体积为π4，不满足题意；若该几何体的俯视图是选项C ，则该几何体的体积为12，满足题意；若该几何体的俯视图是选项D ，则该几何体的体积为π4，不满足题意．故选C.探究提高 对于几何体的三视图，要注意以下几点： ①三视图的排放位置．主视图、左视图分别放在左、右两边，俯视图放在主视图的下边． ②注意实虚线的区别．③画三视图的规则：长对正，宽相等，高平齐．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )答案 C解析 由三视图中的正、左视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为C. 题型三 空间几何体的直观图例3 已知△ABC 的直观图A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，求原△ABC 的面积．思维启迪：按照直观图的画法，建立适当的坐标系将三角形A ′B ′C ′还原，并利用平面几何的知识求出相应的线段、角，求解时要注意线段和角的变化规律．解 建立如图所示的坐标系xOy ′，△A ′B ′C ′的顶点C ′在y ′轴上，A ′B ′边在x 轴上，把y ′轴绕原点逆时针旋转45°得y 轴，在y 轴上取点C 使OC ＝2OC ′，A 、B 点即为A ′、B ′点，长度不变．已知A ′B ′＝A ′C ′＝a ，在△OA ′C ′中，由正弦定理得OC ′sin ∠OA ′C ′＝A ′C ′sin 45°，所以OC ′＝sin 120°sin 45°a ＝62a ，所以原三角形ABC 的高OC ＝6a ， 所以S △ABC ＝12×a ×6a ＝62a 2.探究提高 对于直观图，除了了解斜二测画法的规则外，还要了解原图形面积S 与其直观图面积S ′之间的关系S ′＝24S ，并能进行相关问题的计算．正三角形AOB 的边长为a ，建立如图所示的直角坐标系xOy ，则它的直观图的面积是________．答案616a 2 解析 正三角形AOB 的面积为34a 2，其直观图的面积为原图形面积的24倍，故它的直观图的面积等于24·34a 2＝616a 2.三视图识图不准确致误典例：(5分)一个空间几何体的三视图，如图所示，则这个空间几何体的表面积是________．易错分析 不能把三视图反映出的空间几何体的形状、大小准确的还原出来． 审题视角 由三视图还原成直观图或几何体，要注意几何体的不同放置；结合三视图的规则综合考虑，正确得到原几何体．解析 这是一个由轴截面割开的半个圆柱与一个球的组合体，其表面积是圆柱的上下两个底面半圆、圆柱的侧面积的一半、圆柱的轴截面和球的表面积之和，故这个表面积是2×12×π×12＋12×2π×1×2＋2×2＋4π×⎝⎛⎭⎫122＝4π＋4. 答案 4π＋4温馨提醒 在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以主视图和俯视图为主，结合左视图进行综合考虑．方法与技巧1．棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决． 2．旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状．3．三视图画法：(1)实虚线的画法：分界线和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线；(2)理解“长对正、宽相等、高平齐”． 4．直观图画法：平行性、长度两个要素． 失误与防范1．台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行． 2．注意空间几何体的不同放置对三视图的影响．3．能够由空间几何体的三视图得到它的直观图；也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图，提升空间想象能力．A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．给出四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是() A．0 B．1 C．2 D．3答案 A解析反例：①直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；③④显然错误，故选A.2．(·福建)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是() A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱答案 D解析考虑选项中几何体的三视图的形状、大小，分析可得．球、正方体的三视图形状都相同、大小均相等，首先排除选项A和C.对于如图所示三棱锥O－ABC，当OA、OB、OC两两垂直且OA＝OB＝OC时，其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项B.不论圆柱如何设置，其三视图的形状都不会完全相同，故答案选D.3．(·课标全国)在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图如图所示，则相应的左视图可以为()答案 D解析由几何体的主视图和俯视图可知，该几何体的底面为半圆和等腰三角形，其左视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形，故应选D. 4．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )答案 D解析 由俯视图可知是B 和D 中的一个，由主视图和左视图可知B 错． 二、填空题(每小题5分，共15分)5．一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为________．答案 62解析 由斜二测画法，知直观图是边长为1的正三角形，其原图是一个底为1，高为6的三角形，所以原三角形的面积为62.6.如图所示，E 、F 分别为正方体ABCD —A1B 1C 1D 1的面ADD 1A 1、面 BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面DCC 1D 1上的投影是 ________．(填序号)答案 ②解析 四边形在面DCC 1D 1上的投影为②，B 在面DCC 1D 1上的投影为C ，F 、E 在面DCC 1D 1上的投影应在边CC 1与DD 1上，而不在四边形的内部，故①③④错误． 7．图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm 3的几何体的三视图，则h ＝________cm.答案 4解析 如图是三视图对应的直观图，这是一个三棱锥，其中SA ⊥平面ABC ，BA ⊥AC .由于V ＝13S △ABC ·h ＝13×12×5×6×h ＝5h ，∴5h ＝20，∴h ＝4.三、解答题(共22分)8．(10分)一个几何体的三视图及其相关数据如图所示，求这个几何体的表面积．解 这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半．根据图中数据可知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为3，母线长为2，几何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故这个几何体的表面积为S ＝12π×12＋12π×22＋12π×(1＋2)×2＋12×(2＋4)×3＝11π2＋3 3.9．(12分)已知一个正三棱台的两底面边长分别为30 cm 和20 cm ，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高．解 如图所示，正三棱台ABC —A 1B 1C 1中，O 、O 1分别为两底面中心，D 、D 1分别为BC 和B 1C 1的中点，则DD 1为棱台的斜高． 由题意知A 1B 1＝20，AB ＝30，则OD ＝53，O 1D 1＝1033，由S 侧＝S 上＋S 下， 12×(20＋30)×3DD 1＝34×(202＋302)， 解得DD 1＝1333，在直角梯形O 1ODD 1中，O 1O ＝DD 21－(OD －O 1D 1)2＝43，所以棱台的高为4 3 cm.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．(·山东)右图是长和宽分别相等的两个矩形，给定下列三个命题：①存在 三棱柱，其主视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其主视图、俯视图如右图； ③存在圆柱，其主视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是( ) A ．3B ．2C ．1D ．0答案 A解析底面是等腰直角三角形的三棱柱，当它的一个矩形侧面放置在水平面上时，它的主视图和俯视图可以是全等的矩形，因此①正确；若长方体的高和宽相等，则存在满足题意的两个相等的矩形，因此②正确；当圆柱侧放时(即左视图为圆时)，它的主视图和俯视图可以是全等的矩形，因此③正确．2.一个正方体截去两个角后所得几何体的主视图、左视图如图所示，则其俯视图为()答案 C解析依题意可知该几何体的直观图如下图所示，故其俯视图应为C.3．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于E，交CC1于F，得四边形BFD1E，给出下列结论：①四边形BFD1E有可能为梯形；②四边形BFD1E有可能为菱形；③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D；⑤四边形BFD1E面积的最小值为6 2.其中正确的是() A．①②③④B．②③④⑤C．①③④⑤D．①②④⑤答案 B解析四边形BFD1E为平行四边形，①显然不成立，当E、F分别为AA1、CC1的中点时，②④成立，四边形BFD1E在底面的投影恒为正方形ABCD.当E、F分别为AA1、CC1的中点时，四边形BFD1E的面积最小，最小值为6 2.二、填空题(每小题5分，共15分)4.在直观图(如图所示)中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在xOy坐标系中，四边形ABCO为________，面积为________ cm2.答案矩形8解析 由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图，即在xOy坐标系中，四边形ABCO 是一个长为4 cm ，宽为2 cm 的矩形，所以四边形ABCO 的面积 为8 cm 2.5．用半径为r 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是________．答案 32r 解析 由题意可知卷成的圆锥的母线长为r ，设卷成的圆锥的底面半径为r ′，则2πr ′＝πr ，所以r ′＝12r ，所以圆锥的高h ＝r 2－⎝⎛⎭⎫12r 2＝32r .6.如图，点O 为正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的中心，点E 为面B ′BCC ′的中心，点F 为B ′C ′的中点，则空间四边形D ′OEF在该正方体的各个面上的投影可能是________(填出所有可能的序号)．答案 ①②③解析 空间四边形D ′OEF 在正方体的面DCC ′D ′上的投影是①；在面BCC ′B ′上的投影是②；在面ABCD 上的投影是③，故填①②③. 三、解答题7．(13分)已知正三棱锥V —ABC 的主视图、左视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出左视图的面积．解 (1)如图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23，∴左视图中VA ＝42－⎝⎛⎭⎫23×32×232＝23， ∴S △VBC ＝12×23×23＝6.。