必修一函数知识点总结材料

必修一函数知识点总结函数概念（一）知识梳理1．映射的概念设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为B A f →: ，f 表示对应法则 注意：⑴A 中元素必须都有象且唯一；⑵B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。

2．函数的概念 (1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),((2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。

(3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法 （1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； （2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； (3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

4．分段函数在自变量的不同变化围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

（二）考点分析考点1：映射的概念例1．（1）A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=；（2）*{|2,}A x x x N =≥∈，{}|0,B y y y N =≥∈，2:22f x y x x →=-+；（3）{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y →= 上述三个对应 是A 到B 的映射．例2．若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =，,,a b c R ∈，则A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个，A 到B 的函数有 个例3．设集合{1,0,1}M =-，{2,1,0,1,2}N =--，如果从M 到N 的映射f 满足条件：对M 中的每个元素x 与它在N 中的象()f x 的和都为奇数，则映射f 的个数是（ ）()A 8个 ()B 12个 ()C 16个 ()D 18个考点2：判断两函数是否为同一个函数例1． 试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）2)(x x f =，33)(x x g =；（2）x xx f =)(，⎩⎨⎧<-≥=;01,01)(x x x g（3）1212)(++=n n x x f ，1212)()(--=n n x x g （n ∈N *）；（4）xx f =)(1+x ，x x x g +=2)(；（5）12)(2--=x x x f ，12)(2--=t t t g考点3：求函数解析式方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法； （3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式例1．已知二次函数)(x f 满足564)12(2+-=+x x x f ，求)(x f （三种方法）例2．（09改编）已知)11(x x f -+=2211xx +-，则)(x f 的解析式可取为 题型2：求抽象函数解析式例1．已知函数)(x f 满足x xf x f 3)1(2)(=+，求)(x f考点4：求函数的定义域题型1：求有解析式的函数的定义域 （1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x 的取值围，实际操作时要注意：① 分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③ 偶次根式中被开方数应为非负数；④ 零指数幂中，底数不等于0；⑤ 负分数指数幂中，底数应大于0；⑥ 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦ 如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。

例1.（08年）函数=)(x f )4323ln(122+--++-x x x x x的定义域为( ) A.),2[)4,(+∞--∞ ;B.)1,0()0,4( -；C. ]1,0()0,4[, -;D. )1,0()0,4[, - 题型2：求复合函数和抽象函数的定义域 例1．（2007·）设()x x x f -+=22lg，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为（ ）A . ()()4,00,4 -；B . ()()4,11,4 --；C . ()()2,11,2 --；D . ()()4,22,4 --例2．已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域 例3．已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域 例4．已知(21)y f x =-的定义域是（-2，0），求(21)y f x =+的定义域 考点5：求函数的值域1． 求值域的几种常用方法 （1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数4cos 2sin 2+--=x x y ，可变为2)1(cos 4cos 2sin 22+-=+--=x x x y 解决 （2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求， 如函数)32(log 221++-=x x y 就是利用函数u y 21log =和322++-=x x u 的值域来求。

（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。

如求函数22122+-+=x x x y 的值域]2133,2133[+- （4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。

如求函数1cos 3cos 2+-=x x y 的值域，因为（5）利用基本不等式求值域： 如求函数432+=x xy 的值域 （6）利用函数的单调性求求值域： 如求函数])2,1[(2224-∈+-=x x x y 的值域 （7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（8）导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数32()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最小值。

（－48）（9）对勾函数法 像y=x+mx ，（m>0）的函数，m<0就是单调函数了 三种模型：（1）如4y x x=+，求（1）单调区间（2）x 的围[3,5]，求值域（3）x ∈ [-1,0 )⋃(0,4],求值域（2）如 44y x x =++，求（1）[3,7]上的值域 （2）单调递增区间（x ≤0或x ≥4）（3）如 123y x x =+- ， （1）求[-1,1]上的值域 （2）求单调递增区间函数的单调性（一）知识梳理1、函数的单调性定义：设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ⊆，如果对于区间I 的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说)(x f y =在区间I 上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间；如果对于区间I 的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说)(x f y =在区间I 上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间。

如果用导数的语言来，那就是：设函数)(x f y =，如果在某区间I 上0)(>'x f ，那么)(x f 为区间I 上的增函数；如果在某区间I 上0)(<'x f ，那么)(x f 为区间I 上的减函数；2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法： （1）①定义法（取值――作差――变形――定号）；②导数法（在区间(,)a b ，若总有()0f x '>，则()f x 为增函数；反之，若()f x 在区间(,)a b 为增函数，则()0f x '≥，（2）在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意(0by ax a x=+>,0)b >型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(,)-∞+∞，减区间为[.（3）复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减（4）若)(x f 与)(x g 在定义域都是增函数（减函数），那么)()(x g x f +在其公共定义域是增函数（减函数）。

3、单调性的说明：（1）函数的单调性只能在函数的定义域来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；（2）函数单调性定义中的1x ，2x 有三个特征：一是任意性；二是大小，即)(2121x x x x <<；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；（3）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数xy 1=分别在)0,(-∞和),0(+∞都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即),0()0,(+∞-∞ 是单调递减的，只能说函数xy 1=的单调递减区间为)0,(-∞和),0(+∞。

4、函数的最大（小）值设函数)(x f y =的定义域为A ，如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≤恒成立，那么称)(0x f 为)(x f y =的最大值；如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≥恒成立，那么称)(0x f 为)(x f y =的最小值。

（二）考点分析考点1 函数的单调性题型1：讨论函数的单调性例1．（1）求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间；（2）已知2()82,f x x x =+-若2()(2)g x f x =-试确定()g x 的单调区间和单调性． 例2. 判断函数f(x)=12-x 在定义域上的单调性.题型2：研究抽象函数的单调性例1．已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时()0,(2)1f x f >=，（1）求证：()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）解不等式2(21)2f x -<． 题型3：函数的单调性的应用例1．若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数a 的取值围是______ 例2．已知函数1()2ax f x x +=+在区间()2,-+∞上为增函数，则实数a 的取值围_____ 考点2 函数的值域（最值）的求法 求最值的方法：（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。