深圳市福田区红岭中学高一新生入学考试数学模拟试卷

2024-2025学年广东省深圳市福田区红岭中学高三（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集U={1,2,3,4,5}，集合M满足∁U M={2,4}，则( )A. 1⊆MB. 4⊆MC. 5∈MD. 3∉M2.“ln(x−1)<0”的一个必要不充分条件是( )A. −1<x<−1e B. x>0 C. −1<x<0 D. 1<x<323.若a=0.20.3，b=0.30.2，c=log0.50.3，则a，b，c的大小关系为( )A. c<a<bB. b<a<cC. a<b<cD. a<c<b4.函数f(x)=ln(x+2)x−1的图象大致是( )A. B.C. D.5.已知圆C：x2+y2−4x−6y+4=0关于直线l：ax+by−1=0(ab>0)对称，则12a +13b的最小值是( )A. 2B. 3C. 6D. 46.已知函数f(x)=log a[x(a−x)](a>0，且a≠1)在(1,2)上单调递增，则a的取值范围为( )A. (1,2]B. (1,4]C. [2,+∞)D. [4,+∞)7.若函数f(x)={2x−m,x<1,x2−4mx+3m2,x≥1有3个零点，则实数m的取值范围是( )A. [13,1) B. (−∞,0)∪[1，+∞)C. [1,2)D. [13,1)∪[2，+∞)8.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(2−x)=0，f(1+x)=f(3−x)，当x∈[1,2]时，f(x)=x3−2 x2+x，则方程6f(x)−x+1=0所有根之和为( )A. 10B. 11C. 12D. 13二、多选题：本题共3小题，共15分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

2019-2020学年广东省深圳市红岭中学高一上学期第一学段考试数学试题及答案一、单选题1．已知集合{|0}M x x =>，{|12}N x x =-<，则()R C M N ⋂等于（ ） A ．(1,)-+∞ B ．(0,1) C ．(1,0]- D ．(1,1)-【答案】C【解析】先求得M 的补集，然后求补集与N 的交集. 【详解】依题意可知(,0]R C M =-∞，所以()(]1,0R C M N ⋂=-，故选C. 【点睛】本小题主要考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.2．设命题:,x p x R e x ∀∈>，则p ⌝是（ ） A ．,x x R e x ∀∈≤ B ．000,xx R e x ∃∈< C ．,x x R e x ∀∈< D ．000,xx R e x ∃∈≤【答案】D 【解析】【详解】由题意知，全程命题的否定是特称命题，且只否定结论， 所以p ⌝：000,x x R e x ∃∈≤.故选: D. 3．若a >b ，则A ．ln(a −b )>0B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │【答案】C【解析】本题也可用直接法，因为a b >，所以0a b ->，当1a b -=时，ln()0a b -=，知A 错，因为3x y =是增函数，所以33a b >，故B 错；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，知C 正确；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错． 【详解】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．4．设a ，b ，c 为正数，则“a b c +>”是“222a b c +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不修要条件【答案】B【解析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】 解：a ，b ，c 为正数，∴当2a =，2b =，3c =时，满足a b c +>，但222a b c +>不成立，即充分性不成立，若222a b c +>，则22()2a b ab c +->，即222()2a b c ab c +>+>，a b c +>，成立，即必要性成立，则“a b c +>”是“222a b c +>”的必要不充分条件， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键．5．已知ln x π=，13y e -=，13log z π=，则（ ） A ．x y z << B ．z x y << C ．z y x << D ．y z x <<【答案】C【解析】利用中间值法，将这三个数与0、1比较大小，从而得出这三个数的大小关系. 【详解】由于对数函数ln y x =在其定义域上是增函数，则ln ln 1x e π=>=，指数函数x y e =在R 上为增函数，则10301e e -<<=，即01y <<，对数函数13log y x=在其定义域上是减函数，则1133log log 10π<=，即0z <.因此，z y x <<，故选C. 【点睛】本题考查利用中间值法比较指数式、对数式的大小，常用的中间值为0和1，在实际问题中，中间值取多少要由具体问题来选择，同时在比较大小时，要充分利用指数函数与对数函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6．函数()ln(34)x x f x =-的定义域为（） A ．40)3(log ， B ．30)4(log ， C ．()0-∞， D ．(0)+∞，【答案】C【解析】由题意知对数括号里面的值应340x x ->，求解不等式即可。

2015-2016学年广东省深圳市红岭中学高一（上）第一次段考数学试卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给了的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果A={x|x＞﹣1}，那么正确的结论是（）A．0⊆A B．{x}∈A C．∅∈A D．{0}⊆A2．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，4，5}，B={2，3，4}，则A∩（∁U B）=（）A．{4} B．{1，5} C．{2，3} D．{1，2，3，5}3．关于函数f（x）=x3﹣x的奇偶性，正确的说法是（）A．f（x）是奇函数但不是偶函数B．f（x）是偶函数但不是奇函数C．f（x）是奇函数又是偶函数D．f（x）既不是奇函数也不是偶函数4．设函数f（x）=，则f（）=（）A．B．﹣C．D．165．下列四组函数，表示同一函数的是（）A．，g（x）=x B．f（x）=x，C．f（x）=x，D．f（x）=lnx2，g（x）=2lnx6．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是（）A．y=100x B．y=log100x C．y=x100D．y=100x7．已知，则a，b，c之间的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b8．当0＜a＜1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=log a x的图象是（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）=7+a x﹣1的图象恒过点P，则P点的坐标是（）A．（1，8）B．（1，7）C．（0，8）D．（8，0）10．若函数在区间（﹣∞，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，则a=（）A．1 B．﹣1 C．±1D．不存在11．函数f（x）=的零点的情况是（）A．仅有一个或0个零点B．有两个正零点C．有一正零点和一负零点 D．有两个负零点12．若f（x）和g（x）都是定义在R上的奇函数，且F（x）=f（g（x））+2在（0，+∞）上有最大值8，则在（﹣∞，0）上，F（x）有（）A．最小值﹣8 B．最大值﹣8 C．最小值﹣6 D．最小值﹣4二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．幂函数f（x）的图象过点（4，2），则f（x）的解析式是．14．设函数f（x）=﹣x2+2x+3，x∈[0，3]的最大值和最小值分别是M，m，则M+m= ．15．已知，则f（）= ．16．给出下列四个判断：①在定义域上单调递减；②函数f（x）=2x﹣x2恰有两个零点；③函数有最大值1；④若奇函数f（x）满足x＜0时，f（x）=x2+x，则x＞0时，f（x）=﹣x2+x．其中正确的序号是．三.解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（1）计算：；（2）计算：．18．已知全集U=R，A={x|﹣4≤x≤2}，B={x|﹣1＜x≤3}，P={x|x≤0，或x≥}，Q={x|a﹣2＜x＜a+2}．（1）求A∩B；（2）求（∁U B）∪P；（3）若A∩B⊆Q，求实数a的取值范围．19．（1）求函数的定义域；（2）求函数（a＞0，且a≠1）的值域．20．已知函数f（x）=log2x+ax+2．（1）当a=0时，求函数f（x）的零点；（2）当a=1时，判断函数f（x）在定义域内的零点的个数并给出代数证明．21．已知函数为奇函数，及lg2=0.3010，lg2.015=0.3043．（1）求实数a的值；（2）证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是减函数；（3）求最小的正整数n，使得f（1+0.01×2n）+f（﹣2016）＜f（0）．22．给定函数f（x），若对于定义域中的任意x，都有f（x）≥x恒成立，则称函数f（x）为“爬坡函数”．（1）证明：函数f（x）=x2+1是爬坡函数；（2）若函数f（x）=4x+m•2x+1+x+2m2﹣4是爬坡函数，求实数m的取值范围；（3）若对任意的实数b，函数都不是爬坡函数，求实数c的取值范围．2015-2016学年广东省深圳市红岭中学高一（上）第一次段考数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给了的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果A={x|x＞﹣1}，那么正确的结论是（）A．0⊆A B．{x}∈A C．∅∈A D．{0}⊆A【考点】集合的包含关系判断及应用；元素与集合关系的判断．【专题】集合．【分析】元素和集合之间用“∈”表示，集合间用“⊆”、“⊇”等表示．【解答】解：0是元素，A是集合，0⊆A是错误的；{x}表示集合与A不能用“∈”，∅是集合，与集合A之间不能用“∈”，又0∈A，故选：D．【点评】本题主要考查元素与集合的关系，集合与集合的关系，属于基础题．2．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，4，5}，B={2，3，4}，则A∩（∁U B）=（）A．{4} B．{1，5} C．{2，3} D．{1，2，3，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】对应思想；转化法；集合．【分析】根据题意求出∁U B，即可求出A∩∁U B．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，4，5}，B={2，3，4}，∴∁U B={1，5}，∴A∩∁U B={1，5}．故选：B．【点评】本题考查了集合之间的交、并、补的混合运算问题，是基础题目．3．关于函数f（x）=x3﹣x的奇偶性，正确的说法是（）A．f（x）是奇函数但不是偶函数B．f（x）是偶函数但不是奇函数C．f（x）是奇函数又是偶函数D．f（x）既不是奇函数也不是偶函数【考点】函数奇偶性的判断．【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．【解答】解：∵f（x）=x3﹣x，∴f（﹣x）=﹣x3+x=﹣（x3﹣x）=﹣f（x），则函数f（x）是奇函数但不是偶函数，故选：A【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．4．设函数f（x）=，则f（）=（）A．B．﹣C．D．16【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数，逐步求解函数值即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（2）=4+2﹣2=4，f（）=f（）=1﹣=．故选：A．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．5．下列四组函数，表示同一函数的是（）A．，g（x）=x B．f（x）=x，C．f（x）=x，D．f（x）=lnx2，g（x）=2lnx【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．【解答】解：A．f（x）=|x|，两个函数的对应法则不同，所以A不是同一函数．B．f（x）的定义域为R，而g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），所以定义域不同，所以B不是同一函数．C．g（x）=x，两个函数的定义域和对应法则一致，所以C表示同一函数．D．f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），而g（x）的定义域为（0，+∞），所以定义域不同，所以D不是同一函数．故选：C．【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．6．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是（）A．y=100x B．y=log100x C．y=x100D．y=100x【考点】指数函数的图像与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，底数大于1的指数函数增长最快．【解答】解：由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y=100x增长速度最快．故选D．【点评】本题主要考查幂函数、指数函数、对数函数的增长速度的快慢，属于基础题．7．已知，则a，b，c之间的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b【考点】对数值大小的比较．【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据指数函数与对数函数的性质，即可比较a、b、c的大小．【解答】解：∵a=＜=1，且a＞0；b=＞30=1，c=log3＜log1=0；∴c＜a＜b，即b＞a＞c．故：B．【点评】本题考查了利用指数函数与对数函数的图象与性质比较函数值大小的应用问题，是基础题目．8．当0＜a＜1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=log a x的图象是（）A．B．C．D．【考点】对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质．【专题】压轴题；数形结合．【分析】先将函数y=a﹣x化成指数函数的形式，再结合函数的单调性同时考虑这两个函数的单调性即可判断出结果【解答】解：∵函数y=a﹣x与可化为函数y=，其底数大于1，是增函数，又y=log a x，当0＜a＜1时是减函数，两个函数是一增一减，前增后减．故选C．【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对对数函数和指数函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．9．已知函数f（x）=7+a x﹣1的图象恒过点P，则P点的坐标是（）A．（1，8）B．（1，7）C．（0，8）D．（8，0）【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．【分析】根据指数函数的性质，我们易得指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象恒过（0，1）点，再根据函数图象的平移变换法则，求出平移量，进而可以得到函数图象平移后恒过的点A的坐标．【解答】解：由指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象恒过（0，1）点而要得到函数y=7+a x﹣1（a＞0，a≠1）的图象，可将指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象向右平移1个单位，再向上平移7个单位．则（0，1）点平移后得到（1，8）点．点P的坐标是（1，8）．故选A．【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象与性质，其中根据函数y=7+a x﹣1（a＞0，a≠1）的解析式，结合函数图象平移变换法则，求出平移量是解答本题的关键．10．若函数在区间（﹣∞，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，则a=（）A．1 B．﹣1 C．±1D．不存在【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由题意得到f（x）的对称轴为x=1，且a＜0，再根据对称轴公式代值求出a的值．【解答】解：∵函数在区间（﹣∞，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，∴函数f（x）的对称轴为x=1=，且a＜0，解的a=﹣1，故选：B．【点评】本题考查二次函数图象特征和单调性，以及不等式的解法，属于基础题．11．函数f（x）=的零点的情况是（）A．仅有一个或0个零点B．有两个正零点C．有一正零点和一负零点 D．有两个负零点【考点】函数的零点．【专题】作图题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】作函数y=log2（x+4）与y=2x的图象，从而化函数的零点情况为函数的图象的交点的情况，从而解得．【解答】解：作函数y=log2（x+4）与y=2x的图象如下，，∵函数y=log2（x+4）与y=2x的图象有两个交点，且在y轴的两侧，故选：C．【点评】本题考查了函数的零点与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用．12．若f（x）和g（x）都是定义在R上的奇函数，且F（x）=f（g（x））+2在（0，+∞）上有最大值8，则在（﹣∞，0）上，F（x）有（）A．最小值﹣8 B．最大值﹣8 C．最小值﹣6 D．最小值﹣4【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】由奇函数的定义可得，f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=﹣g（x），令h（x）=f（g（x）），可得h（x）也为R上的奇函数，由题意可得h（x）在（0，+∞）上有最大值6，则h（x）在（﹣∞，0）上有最小值﹣6，即可得到答案．【解答】解：f（x）和g（x）都是定义在R上的奇函数，即有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=﹣g（x），令h（x）=f（g（x）），h（﹣x）=f（g（﹣x））=f（﹣g（x））=﹣f（g（x））=﹣h（x），即h（x）为R上的奇函数．由F（x）在（0，+∞）上有最大值8，即h（x）在（0，+∞）上有最大值6，则h（x）在（﹣∞，0）上有最小值﹣6，则F（x）在（﹣∞，0）上有最小值﹣6+2=﹣4．故选D．【点评】本题考查函数的性质和运用，考查奇函数的定义和性质，考查运算能力，属于基础题．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．幂函数f（x）的图象过点（4，2），则f（x）的解析式是．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据幂函数的概念设f（x）=xα，将点的坐标代入即可求得α值，从而求得函数解析式．【解答】解：设f（x）=xα，∵幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），∴4α=2∴α=．这个函数解析式为．故答案为：．【点评】本题主要考查了待定系数法求幂函数解析式、指数方程的解法等知识，属于基础题．14．设函数f（x）=﹣x2+2x+3，x∈[0，3]的最大值和最小值分别是M，m，则M+m= 4 ．【考点】二次函数在闭区间上的最值．【专题】计算题；函数思想；配方法；函数的性质及应用．【分析】先将解析式化为顶点式就可以求出最小值，再根据对称轴在其取值范围内就可以求出最大值【解答】解：f（x）=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，x∈[0，3]∴抛物线的对称轴为x=1，x=1时y有最大值4，∴x=3时y有最小值﹣9+6+3=0．∴M+m=4+0=4故答案为：4．【点评】本题是一道有关二次函数图象性质的题，考查了二次函数的顶点式和二次函数的最值的运用．15．已知，则f（）= 1 ．【考点】函数的值．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由已知条件利用函数的性质和有理数指数幂性质求解．【解答】解：∵，∴f（）=f（2﹣1）=+3=1．故答案为：1．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．16．给出下列四个判断：①在定义域上单调递减；②函数f（x）=2x﹣x2恰有两个零点；③函数有最大值1；④若奇函数f（x）满足x＜0时，f（x）=x2+x，则x＞0时，f（x）=﹣x2+x．其中正确的序号是③④．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】数形结合；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】根据函数的性质分别进行判断即可．【解答】解：①在定义域上单调递减，错误，比如﹣1＜1，但f（﹣1）＞f（1）不成立，故①错误；②由f（x）=2x﹣x2=0得2x=x2，分别作出函数y=2x和y=x2的图象，由图象知两个函数有3个交点，即函数f（x）=2x﹣x2恰有3个零点；故②错误，③函数≤（）0=1，即函数有最大值1；故③正确，④若奇函数f（x）满足x＜0时，f（x）=x2+x，则x＞0时，﹣x＜0，即f（﹣x）=x2﹣x=﹣f（x），即f（x）=﹣x2+x，x＜0．故④正确，故正确是结论是③④，故答案为：③④【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性，函数的零点以及函数奇偶性的应用，综合性较强．三.解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（1）计算：；（2）计算：．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】（1）直接利用有理指数幂的运算法则化简求解即可．（2）利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：（1）==+1+=4．…（5分）（2）==．…（10分）【点评】本题考查有理指数幂的运算法则以及对数运算法则的应用，是基础题．18．已知全集U=R，A={x|﹣4≤x≤2}，B={x|﹣1＜x≤3}，P={x|x≤0，或x≥}，Q={x|a﹣2＜x＜a+2}．（1）求A∩B；（2）求（∁U B）∪P；（3）若A∩B⊆Q，求实数a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；分析法；集合．【分析】（1）直接由集合A、B，则A∩B可求；（2）由集合B求出∁U B，则（∁U B）∪P可求；（3）由A∩B⊆Q，列出不等式组，解不等式组则答案可求．【解答】解：（1）∵U=R，A={x|﹣4≤x≤2}，B={x|﹣1＜x≤3}，P={x|x≤0，或x≥}，Q={x|a﹣2＜x＜a+2}，∴A∩B={x|﹣4≤x≤2}∩{x|﹣1＜x≤3}={x|﹣1＜x≤2}；（2）∵∁U B={x|x≤﹣1或x＞3}，∴（∁U B）∪P═{x|x≤﹣1或x＞3}∪{x|x≤0，或x≥}={x|x≤0或x≥}；（3）∵A∩B⊆Q，∴，解得0＜a≤1．【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础题．19．（1）求函数的定义域；（2）求函数（a＞0，且a≠1）的值域．【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【专题】计算题；分类讨论；函数的性质及应用．【分析】（1）由题意得，从而求函数的定义域；（2）由配方法可得﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4≤4，再讨论a以确定对数函数的单调性，从而求值域．【解答】解：（1）由题意得，，解得，0＜x≤5，且x≠4，∴函数f（x）的定义域是（0，4）∪（4，5]；（2）∵t=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4≤4，①当0＜a＜1时，f（x）≥log a4，即函数的值域是[log a4，+∞）；②当a＞1时，f（x）≤log a4，即函数的值域是（﹣∞，log a4]．【点评】本题考查了函数的定义域与值域的求法，同时考查了分类讨论的思想应用及配方法与单调性的应用．20．已知函数f（x）=log2x+ax+2．（1）当a=0时，求函数f（x）的零点；（2）当a=1时，判断函数f（x）在定义域内的零点的个数并给出代数证明．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】方程思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】（1）由a=0，解方程log2x+2=0，可得零点；（2）求得f（1）＞0，f（）＜0，判断f（x）的单调性，再由零点存在定理，即可判断零点的个数．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=log2x+2=0，即log2x=﹣2，解得，∴函数f（x）的零点是；（2）当a=1时，f（x）=log2x+x+2，∵f（1）=（log21+1+2）=3＞0，，且f（x）的图象在定义域内连续，∴f（x）在区间内有一个零点，又∵f（x）在定义域内单调递增，故f（x）在定义域内恰有一个零点．【点评】本题考查函数的零点的求法和判断，注意运用方程的思想和函数零点存在定理，考查运算能力，属于中档题．21．已知函数为奇函数，及lg2=0.3010，lg2.015=0.3043．（1）求实数a的值；（2）证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是减函数；（3）求最小的正整数n，使得f（1+0.01×2n）+f（﹣2016）＜f（0）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质，利用f（0）=0，即可求实数a的值；（2）利用函数单调性的定义即可证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是减函数；（3）根据函数奇偶性和单调性的关系，将不等式进行转化求解即可．【解答】解：（1）由f（0）=0，求得…（3分）（2）由（1）可知，设x1，x2∈[1，+∞），设x1＜x2，则…（4分），∵1≤x1＜x2，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在区间[1，+∞）上是减函数；…（7分）（3）∵f（x）为奇函数，∴f（0）=0，f（﹣2016）=﹣f（2016），…（8分）所以原式可化为f（1+0.01×2n）＜f（2016），由（2）可知函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，且1+0.01×2n＞1，∴1+0.01×2n＞2016，即2n＞201500，…（10分）两边取对数，得nlg2＞lg2.015+5，即0.3010n＞5.3043，解得n＞17.62，故最小的正整数n的值为18．…（12分）【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的证明，利用定义法是解决本题的关键．22．给定函数f（x），若对于定义域中的任意x，都有f（x）≥x恒成立，则称函数f（x）为“爬坡函数”．（1）证明：函数f（x）=x2+1是爬坡函数；（2）若函数f（x）=4x+m•2x+1+x+2m2﹣4是爬坡函数，求实数m的取值范围；（3）若对任意的实数b，函数都不是爬坡函数，求实数c的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【专题】综合题；新定义；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】（1）利用定义直接判断f（x）﹣≥0恒成立即可；（2）由题意可知，4x+m•2x+1+2m2﹣4≥0恒成立，利用换元思想，设2x=t，则t＞0，上式变为t2+2mt+2m2﹣4≥0，分别讨论对称轴，求出函数的最小值即可；（3）由题意可知，对任意的实数b，存在x，使得，相当于f （x）﹣x=0有两不相等的实根，得出，即b2﹣b+1﹣4c＞0对任意的实数b恒成立，在利用二次函数的性质可知．【解答】解：（1）∵，∴f（x）≥x恒成立，即得函数f（x）=x2+1是爬坡函数；…（3分）（2）由题意可知，4x+m•2x+1+x+2m2﹣4≥x恒成立，∴4x+m•2x+1+2m2﹣4≥0恒成立．设2x=t，则t＞0，上式变为t2+2mt+2m2﹣4≥0，设g（t）=t2+2mt+2m2﹣4=（t+m）2+m2﹣4（t＞0）①若﹣m＞0，则，解得m≤﹣2；②若﹣m≤0，则g（0）=2m2﹣4≥0，解得；综上所述，m的取值范围是m≤﹣2或；…（9分）（3）由题意，对任意的实数b，存在x，使得，即，故，即b2﹣b+1﹣4c＞0对任意的实数b恒成立，∴，解得．…（14分）【点评】考查了新定义类型的解题方法，应紧扣定义，用到了二次函数对称轴的讨论和最值问题的转换．。

广东省深圳市福田区红岭中学2023-2024学年高一（下）第一次月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题的4个选项中仅有一个选项是正确的，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上）1.已知复数z 满足()12i 2i z -=+，则z=（）A.15B.55C.1D.【答案】C 【解析】【分析】先求出1z =，然后再求1z =.【详解】由()12i 2i z -=+，得：12i 2i z -=+，所以：1z =，即：1z =，故C 项正确.故选：C.2.已知,a b 为非零实数，则“a b >”是“11a b<”成立的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件【答案】D 【解析】【分析】举反例结合充分必要条件的定义分析即可.【详解】显然0a b >>时不能推出11a b <，反之110a b<<时也不能推出a b >，则“a b >”是“11a b<”成立的既非充分又非必要条件.故选：D3.设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是A.若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B.若l α⊥，//l m ，则m α⊥C.若//l α，m α⊂，则//l m D.若//l α，//m α，则//l m【答案】B 【解析】【分析】利用,l α可能平行判断A ，利用线面平行的性质判断B ，利用//l m 或l 与m 异面判断C ，l 与m 可能平行、相交、异面，判断D .【详解】l m ⊥，m α⊂，则,l α可能平行，A 错；l α⊥，//l m ，由线面平行的性质可得m α⊥，B 正确；//l α，m α⊂，则//l m ，l 与m 异面；C 错，//l α，//m α，l 与m 可能平行、相交、异面，D 错，.故选B.【点睛】本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.4.已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足()12AP AC AD =+ ，则AP AC ⋅=uu u r uuu r（）A.4B.5C.6D.8【答案】C 【解析】【分析】建立平面直角坐标系并写出各点坐标，根据题意求相应向量的坐标，再根据数量积的坐标运算进行求解即可.【详解】建立坐标系如图，正方形ABCD 的边长为2，则()0,0A ，()2,2C ，()0,2D ，可得()()2,2,0,2AC AD ==，点P 满足()()11,22AP AC AD =+= ，所以12226AP AC ⋅=⨯+⨯= ．故选：C.5.已知函数()(01R)xf x a b a a b =+>≠∈，，的图象如图所示，则函数()lng x x bx a =-+的零点所在区间为（）A.210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.211,e 2⎛⎫⎪⎝⎭C.1,12⎛⎫⎪⎝⎭D.()1,2【答案】B 【解析】【分析】由图象得，点(1,0)-，(0,1)-在函数()f x 的图象上，代值计算可得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，再利用零点存在性定理可得答案.【详解】由图象得，点(1,0)-，(0,1)-在函数()f x 的图象上，所以1011a b b -⎧+=⎨+=-⎩，解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩所以()1ln +22g x x x =+，其定义域为(0,)+∞，因为1ln ,22y x y x ==+均在(0,)+∞上单调递增，所以()1ln +22g x x x =+在(0,)+∞上单调递增，2222112123ln 0e e e 2e 2g ⎛⎫=++=-< ⎪⎝⎭，1113ln 1ln 202222g ⎛⎫=++=-> ⎪⎝⎭，()151ln1+2=022g =+>，()192ln 2+4=+ln 2022g =+>即2110e 2g g ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()ln g x x bx a =-+的零点所在区间为211,e 2⎛⎫⎪⎝⎭，故选：B.6.在ABC 中，若sin cos a B A =，且sin 2sin cos C A B =，那么ABC 一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形【答案】D 【解析】【分析】由两角和的正弦公式并结合正弦定理可得tan A =，即π3A =，又由sin 2sin cos C AB =化简可得()sin 0A B -=，得A B =，从而可求解.【详解】sin cos a B A =，则sin sin cos A B B A =，因为(),0,πA B ∈，所以tan A =π3A =，又因为sin 2sin cos C A B =，πA B C ++=，则()sin 2sin cos A B A B +=，则sin cos cos sin cos A B A B A B +=，即sin cos cos sin 0A B A B -=，即()sin 0A B -=，又因为(),0,πA B ∈，则A B ππ-<-<，所以π3A B ==，即π3A B C ===.即ABC 一定是等边三角形，故D 正确.故选：D.7.若对于任意[],1x m m ∈+，都有210x mx +-<成立，则实数m 的取值范围是（）A.2,03⎛⎫-⎪⎝⎭B.2,02⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭C.2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.2,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】利用一元二次函数的图象与性质分析运算即可得解.【详解】由题意，对于[],1x m m ∀∈+都有2()10f x x mx =+-<成立，∴()()()()2221011110f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩，解得：02m -<<，即实数m的取值范围是,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.故选：B.8.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R ，都有()()11f x f x -=+，且当[]0,1x ∈时，()21x f x =-，若函数()()()log 2a g x f x x =-+（0a >且1a ≠）在()1,7-上恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A.()10,7,7⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭ B.()10,9,7⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭C.()10,7,9⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D.()10,9,9⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】分析可知，函数()f x 的周期为4，作出函数()f x 的图像，依题意可得数()y f x =与log (2)a y x =+的图像在(1,7)-上有4个不同的交点，然后分1a >及01a <<讨论即可．【详解】解： 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当[]0,1x ∈时，()21x f x =-，∴当[]1,0x ∈-时，[]0,1x -∈，所以()()21x f x f x -=-=-+-，即当[]1,0x ∈-时1(2)x f x --+=，又对任意x ∈R ，都有(1)(1)f x f x -=+，则()f x 关于1x =对称，且()()()2f x f x f x -=+=-，()(4)f x f x ∴=+，即函数()f x 的周期为4，又由函数()()log (2)(0a g x f x x a =-+>且1)a ≠在(1,7)-上恰有4个不同的零点，得函数()y f x =与log (2)a y x =+的图像在(1,7)-上有4个不同的交点，又()()151f f ==()()()1371f f f -===-，当1a >时，由图可得log (52)1log a a a +<=，解得7a >；当01a <<时，由图可得1log (72)1log a a a -+>-=，解得109a <<．综上可得()10,7,9a ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪⎝⎭.故选：C ．二、多选题（本大题共3小题，每题6分，共18分，每小题选项中有多个选项是正确的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上）9.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（）A.向量()12,3e =- ，231,2e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 能作为平面内所有向量的一组基底B.若点G 是ABC 的重心，则0GA GB GC ++=C.若0a b ⋅=，则0a=或0b =D.若向量()1,1a =- ，()2,3b = ，则向量b 在向量a上的投影向量为2a 【答案】BD 【解析】【分析】由基底的概念即可判断A ，由三角形重心的定义即可判断B ，由平面向量数量积的定义即可判断C ，由投影向量的概念即可判断D.【详解】因为向量()12,3e =- ，231,2e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，则122e e =- ，即12//e e ，则21,e e 不能作为平面内的基底，故A 错误；如图所示，连接AG 并延长交BC 于E 点，点E 为BC 中点，延长AE 到点D ，使得GE ED =，则GB GC GD += ，0GD GA += ，所以0GA GB GC ++=，故B 正确；因为cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅<> ，若0a b ⋅= ，则0a =或0b = 或,90a b <>=︒ ，故C 错误；因为向量()1,1a =- ，()2,3b = ，则向量b 在向量a上的投影向量为a b a a a⋅⨯2a ==，故D 正确；故选：BD10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，下列结论正确的是（）A.若P 在棱AB 上运动，则直线1A D 与直线1D P 所成的夹角一定为90︒B.若P 在棱AB 上运动，则三棱锥11C D PC -的体积为16C.若P 在底面ABCD 内（包含边界）运动，且满足1DP =，则动点P 的轨迹的长度为πD.若P 在ABC 内（包含边界）运动，则直线1D P 与平面ABCD 所成角的正弦值的取值范围为,33⎣⎦【答案】ABD 【解析】【分析】证明1A D ⊥平面11ABC D ，再根据线面垂直的性质即可判断A ；根据1111C D PC P D C C V V --=即可判断B ；易得动点P 的轨迹的长度为以D 为圆心，1为半径的圆的周长的四分之一，即可判断C ；1DD ⊥平面ABCD ，可得1DPD ∠即为直线1D P 与平面ABC 所成角，再进行分析即可判断D .【详解】对于A ，连接11,AD A D ，则11A D AD AB ⊥⊥，平面11ADD A ，又1A D ⊂平面11ADD A ，1A D AB ∴⊥，又1AB AD A = ，AB ⊂平面11ABC D ，1AD ⊂平面11ABC D ，1A D ∴⊥平面11ABC D ，又1D P ⊂平面11ABC D ，11A D D P ⊥∴，所以直线1A D 与直线1D P 所成的夹角一定为90︒，故A 正确；对于B ，连接PC ，1PC ，1D C ，则三棱锥11C D PC -的体积等于三棱锥11P CC D -的体积，//AB 平面11CDD C ，∴点P 到平面11CDD C 的距离BC =，为定值1，即三棱锥11P CC D -的高为1，底面三角形11CD C 的面积为12，1111111111326C D PC P D C C V V --==⨯⨯⨯⨯=∴，故B正确；对于C ，因为P 满足1DP =，则动点P 的轨迹的长度为以D 1为半径的圆的周长的四分之一，所以P 点的轨迹的长度为π2，故C 错误；对于D ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面ABCD ，对于平面ABC ，1DD 为垂线，1D P 为斜线，DP 为射影，所以1DPD ∠即为直线1D P 与平面ABC 所成角，设AC BD O = ，则AC BD ⊥，因为P 是ABC 内（包括边界）的动点，所以当P 与O 重合时，2DB DP ==最小，此时11sin 13DPD D P ==∠，当P 与B 重合时，DP DB ==11sin 1DPD D P ==∠，所以1sin ,33DPD ∠∈⎣⎦，故D 正确.故选：ABD.11.已知函数()()3221,0213,0x x f x x x -⎧-≥⎪=⎨-++<⎪⎩，则（）A.函数()f x 有3个零点B.若函数()y f x t =-有2个零点，则{}(]03,7t ∈ C.若关于x 的方程()f x t =有4个不等实根1x ，2x ，3x ，4x ，则12344x x x x +++=D.关于x 的方程()24=f x 有5个不等实数根【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式作出函数的图象，结合函数的零点与方程根的关系，依次分析选项是否正确，综合可得答案．【详解】根据题意，函数3221,0()2(1)3,0x x f x x x -⎧-≥⎪=⎨-++<⎪⎩，由此作出函数的草图：依次分析选项：对于A ：由图象易知曲线()y f x =与y 轴有两个交点，故函数()f x 有2个零点，故A 错误；对于B ：令()0y f x t =-=，可得()f x t =，则函数()y f x t =-的零点个数即为()y f x =与y t =的图象的交点个数，若函数()y f x t =-有两个零点，由图象可知{}(]03,7t ∈⋃，B 正确；对于C ：若关于x 的方程()f x t =有四个不等实根，则()y f x =与y t =的图象有四个交点.不妨设1234x x x x <<<，由图象可得：()1,3t ∈，且122x x +=-，346x x +=，所以12344x x x x +++=，故C 正确；对于D ：因为()24fx =，解得()2f x =-或()2f x =，结合图象可知：()2f x =-有一个根，()2f x =有四个根，所以关于x 的方程()24f x =有5个不等实数根，D 正确．故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查函数图像及应用，关键是利用图像并结合对称性解决CD.三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分）12.已知向量(1,3)a = ，(,2)b m =- ，(4,3)c =- ，且(2)a b c +⊥ ．则实数m 的值为________.【答案】1【解析】【分析】先求得2(2,4)a b m +=+【详解】解：根据题意，∵(1,3)a = ，(,2)b m =- ，则2(2,4)a b m +=+ ，又(4,3)c =- ，且(2)a b c +⊥，∴(2)4(2)120a b c m +⋅=-++=，解得1m =；故答案为：1.13.已知sin ,cos θθ是关于x 的方程20x ax a -+=的两个根()R a ∈，则1tan tan θθ+=_______．【答案】1-1【解析】【分析】根据根与系数关系可以求得sin cos sin ·cos a aθθθθ+=⎧⎨=⎩，然后利用()22sin cos a θθ+=，求出a 的值，然后111tan tan sin cos aθθθθ+==即可求解.【详解】由题意得：sin θ，cos θ是20x ax a -+=的两个根，即：()240a a ∆=--≥，解得：4a ≥或0a ≤，由根与系数的关系得：sin cos sin ·cos a aθθθθ+=⎧⎨=⎩，所以：()22sin cos 12sin cos a θθθθ+=+=，即：2210a a --=，解得：1a =1a =（舍去），1sin cos 11tan 1tan cos sin sin cos a θθθθθθθθ+=+===--.故答案为：1-.14.已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为18，若存在球O 与三棱柱111ABC A B C -的各棱均相切，则球O 的表面积为_________________.【答案】16π【解析】【分析】利用三棱柱的体积公式、球的特征及其体积公式即可.【详解】如图所示，取上下底面的中心'',O O '，D E F 、、分别为上底面棱上的切点，则O 为''O O '的中点，设1,2AB a AA h ==，由题意易知2a h =，则2133,,26C F O F O D OD R '''='===，因为223321842ABC V hS ha ha h h ===⇒==⇒=△，所以224π=16πR S R =⇒=球.故答案为：16π.四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知向量a 与b的夹角为30︒，a = 2b = .（1）求a b ⋅ 及a b -；（2）求向量a b - 与向量b的夹角θ.【答案】（1）3；1（2）120︒【解析】【分析】（1）根据数量积的定义可计算求得a b ⋅ 的值；根据模的计算公式可求得a b - ；（2）求出()a b b -⋅的值，根据向量的夹角公式即可求得答案.【小问1详解】由题意3||||co 33022s a b a b ⋅=⋅=⨯=；1a b -==；【小问2详解】由题意得2()341a b b a b b -⋅=⋅-=-=- ，故2()|1cos |||a b b a b b θ=--⋅-⋅=，由于0180θ︒≤≤︒，故120θ=︒.16.函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象先向右平移π4个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，求()g x 在,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 上的最大值和最小值；（3）若关于x 的方程()0g x m -=在,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 上有两个不等实根，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）()max g x =，()min 2g x =-；（3）2m -<≤【解析】【分析】（1）利用函数图象的顶点求出2A =，利用周期求出2ω=，由特殊点求出π6ϕ=，即可求出解析式；（2）利用三角函数图象变换求得()π2sin 43g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质，利用换元法求得最值；（3）结合函数的定义域和三角函数的性质即可确定其值域，由图象即求.【小问1详解】由函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象可知2A =，1113ππ1264T -=，πT ∴=，2π2Tω==，又π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ππ22π,62k k ϕ∴⨯+=+∈Z ，解得π2π,6k k ϕ=+∈Z ，由π2ϕ<可得π6ϕ=，()π2sin 26f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭；【小问2详解】将()f x 向右平移π4个单位，得到πππ2sin 22sin 2463y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再将所有点的横坐标缩短为原来的12，得到()π2sin 43g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，令3π4t x =-，由,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx ，可得2ππ,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，因为函数2sin y t =在2ππ,32⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在ππ,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，又π2sin 22⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π2sin 3=，2π2sin 3⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得()max g x =，()min 2g x =-；【小问3详解】由（2）可得2sin y t =在2ππ,32⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在ππ,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，可得π2sin 22⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π2sin 3=，2π2sin 3⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为关于x 的方程()0g x m -=在,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 上有两个不等实根，即y m =与()y g x =的图象在,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx有两个交点.由图象可知符合题意的m的取值范围为2m -<≤17.记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、ccos sin A c A +=．（1）求角C ；（2）若ABC 的周长为20，面积为，求边c ．【答案】（1）60︒（2）7【解析】【分析】（1）根据正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式和同角的三角函数关系化简，即可求解；（2）根据三角形的面积公式可得40ab =，由余弦定理计算可得22240a b c +=+，结合22()(20)a b c +=-计算即可求解.【小问1详解】cos sin A c A +=，cos sin sin )C A C A B A C +==+，cos sin sin cos cos C A C A A C C A +=+，sin sin cos C A A C =，又0180A ︒<<，得sin 0A >，所以sin C C =，即sin tan cos CC C==，由0180C ︒<<，解得60C ︒=；【小问2详解】由（1），得1sin 2ABC S ab C === 40ab =，由余弦定理，得222cos cos 602a b c C ab ︒+-==，即2221280a b c +-=，得22240a b c +=+.又20a b c ++=，所以22()(20)a b c +=-，即222240040a ab b c c ++=-+，即22408040040c c c ++=-+，解得7c =.18.已知直三棱柱ABC A B C '''-满足90BAC ∠=︒，122AB AC AA '===，点M ，N 分别为A B '，B C ''的中点.（1）求证：MN 平面A ACC ''；（2）求证：A N '⊥平面BCN .（3）求三棱锥C MNB -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）43【解析】【分析】（1）连接AB '，AC '，只需证明//MN AC '即可，由中位线定理结合线面平行的判定定理即可得证.（2）只需证明A N B C '''⊥，A N B B ''⊥即可，由等腰直角三角形性质，线面垂直的性质以及判定定理即可得证.（3）利用转换法C MNB M BCN V V --=，只需求点M 到平面BCN 的距离和三角形BCN 的面积，由（2）的结论、点M 为A B '的中点以及解直角三角形知识即可求解.【小问1详解】如图，连接AB '，AC '，四边形ABB A ''为矩形，M 为A B '的中点，AB ∴'与A B '交于点M ，且M 为AB '的中点，又点N 为B C ''的中点，//MN AC '∴，又MN ⊄平面A ACC ''，且AC '⊂平面A ACC ''，//MN ∴平面A ACC ''.【小问2详解】直三棱柱ABC A B C '''-满足90BAC B A C '''∠=︒=∠，AB AC A B A C ''''===，又点N 为B C ''的中点，且BB '⊥面A B C '''，A N '⊂面A B C '''，所以A N B C '''⊥，A N B B ''⊥，又,,B C BB B B C BB '''''''⋂=⊂面BCN ，A N '∴⊥平面BCN .【小问3详解】由图可知C MNB M BCN V V --=，90BAC ∠=︒，122AB AC AA '===，BC ∴==又三棱柱ABC A B C '''-为直三棱柱，且4AA '=，142BCN S ∴=⨯= .2A B A C ''''== ，90B A C '''∠=︒，点N 为B C ''的中点，所以A N '=由（2）可知A N '⊥平面BCN .所以点A '到平面BCN ，又点M 为A B '的中点，所以点M 到平面BCN 的距离为22，124323C MNB M BCN V V --∴==⨯=.19.若函数()y f x =对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使()()121f x f x =成立，则称该函数为“依赖函数”.（1）判断函数()g x x =是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数()22x f x -=在定义域[],m n （0n m >>）上为“依赖函数”，求mn 的取值范围；（3）已知函数()()()23h x x a a =-≤在定义域3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为“依赖函数”.若存在实数3,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意的t ∈R ，不等式()()2h x t s t x ≥-+-恒成立，求实数s 的最大值.【答案】（1）不是“依赖函数”，理由见解析（2）()0,4（3）712【解析】【分析】（1）根据题中定义，运用特例法进行判断即可；（2）根据题中定义，结合指数函数的单调性、二次函数的性质进行求解即可；（3）根据二次函数对称轴与所给的区间的位置关系，结合对钩函数、一元二次方程根的判别式分类讨论进行求解即可.【小问1详解】对于函数()g x x =的定义域R 内存在10x =，则()12()01g x g x =≠，故()g x x =不是“依赖函数”.【小问2详解】因为()22x f x -=在[],m n 递增，故()()1f m f n =，即22221m n --=，4m n+=由0n m >>，故40n m m =->>，得02m <<，从而()4mn m m =-，设()()()2424t m m m m =-=--+当()0,2m ∈时，函数()t m 单调递增，故()0,4mn ∈；【小问3详解】①若332a ≤≤，故()()2h x x a =-在3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值为0，此时不存在2x ，舍去；②若32a <故()()2h x x a =-在3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()3312h h ⎛⎫⋅=⎪⎝⎭，解得1a =或72a =（舍）.∴存在3,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意的R t ∈，有不等式()()221x t s t x -≥-+-都成立，即()22210t xt x s x ++-++≥恒成立，由()22Δ4210x x s x ⎡⎤=--++≤⎣⎦，得()24234s x x +≤+，由3,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()4423s x x+≤+，又43y x x =+在3,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，故当3x =时，max 43133x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，从而()31423s +≤，解得127s ≤，综上，故实数s 的最大值为712.【点睛】关键点睛：本题的关键是根据二次函数的对称轴与所给区间的位置分类进行求解.。

2024年广东省深圳市红岭中学中考一模数学试题一、单选题1．将两本相同的书进行叠放，得到如图所示的几何体，则它的正视图是（ ）A ．B ．C ．D ．2．“准知盘中餐，粒粒皆辛苦”．已知一粒米的质量约0.000021千克，则数据0.000021用科学记数法表示为（ ） A ．40.2110-⨯B ．42.110-⨯C ．62110-⨯D ．52.110-⨯3．下列运算正确的是（ ） A ．236a a a ⋅=B ．()32626a a -=C ．34a a a ÷=D ．2235a a a +=4．金牛区某校八年级学生参加体质健康测试，有一组9个女生做一分钟的仰卧起坐个数如表中数据所示，则这组仰卧起坐个数的众数和中位数分别是（ ）A ．众数是58，中位数是48B ．众数是58，中位数是52C ．众数是50，中位数是48D ．众数是50，中位数是525．若点()11,A y -，()22,B y ，()33,C y 在反比例函数6y x=的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A ．231y y y >>B ．321y y y >>C ．123y y y >>D ．132y y y >>6．如图，AB 为O e 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，OF BC ⊥于点F ，65BOF ∠=︒，则A O D ∠为（ ）A ．70︒B ．65︒C ．50︒D ．45︒7．如图，在四边形ABCD 中，AB CD P ，以点B 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB ，BC 于点E ，F ，分别以E ，F 为圆心，以大于12EF 长为半径作弧，两弧在ABC ∠内交于点P ，作射线BP ，交AD 于点G ，交CD 的延长线于点H ．若4A B A G ==，5GD =，则CH 的长为（ ）A ．6B ．8C ．9D ．108．函数1y ax =+与21y ax bx =++(a b ，是常数，且0a ≠)在同一坐标系中的图像可能是( )A ．B ．C ．D ．9．如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A 点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α为60°，又从A 点测得D 点的俯角β为30°，若旗杆底总G 为BC 的中点，则矮建筑物的高CD 为【 】A ．20米B ．C ．D ．10．如图，点D ，E ，F 分别在ABC V 的边上，13AD BD =，DE BC ∥，EF AB ∥，M 是DF 的中点，连结CM 并延长交AB 于点N ，则MNCM的值是（ ）A ．15B ．29C ．16D ．17二、填空题11．分解因式：32a 4ab -=．12．已知关于x 的一元二次方程260x kx +-=的一个根是2，则另一个根的值是． 13．一个不透明的口袋中装有若干个红球，小明又放入10个黑球，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程后发现摸出红球的频率稳定在0.6，则估计口袋中红球的数量为个．14．如图，在平面直角坐标系中，OABC Y 的顶点A ，B 在第一象限内，顶点C 在y 轴上，经过点A 的反比例函数()0ky x x=>的图象交BC 于点D ．若3B C B D =，OABC Y 的面积为6，则k 的值为 ．15．如图，已知Rt ABC △的两条直角边43AC BC ==，，将Rt ABC △绕直角边AC 中点G 旋转得到DEF V ，若DEF V 的锐角顶点D 恰好落在ABC V 的斜边AB 上，则CH =．三、解答题16．计算：()2120242tan 602π-⎛⎫--+︒ ⎪⎝⎭17．先化简，再求值：243111x x x x -⎛⎫÷-- ⎪++⎝⎭，其中2x ． 18．某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A ．音乐；B ．体育；C ．美术；D ．阅读；E ．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：(1)①此次调查一共随机抽取了________名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中圆心角α=________度；(2)若该校有3200名学生，估计该校参加D 组（阅读）的学生人数；(3)刘老师计划从E 组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．19．如图，ABC V 内接于O e ，AB 是O e 的直径，点D 在AB 的延长线上，且BCD A ∠=∠，点E 为AC 的中点，连接OE 并延长与DC 的延长线交于点F ．(1)求证：CD 是O e 的切线； (2)若4CD =，1tan 2A =，求CF 的长． 20．为了奖励优秀学生，某学校购买了A 、B 两种不同的笔记本，已知B 型笔记本的单价比A 型笔记本的单价多1.5元，且用1200元购买A 型笔记本与用1500买B 型笔记本本数相同． (1)求A 、B 两种型号笔记本的单价各是多少元？(2)为了奖励更多的学生，增强学生的学习积极性．学校还需要增加购买一些笔记本，增加购买A 型笔记本和B 型笔记本共200本，且购买的A 型笔记本数量不能多于B 型笔记本．若要使得用于购买的花费最少，应当购买A 型笔记本，B 型笔记本各多少本？ 21．根据以下素材，探索完成任务．CDAC时，轴，拦网面垂直于注：上述任务中足球落在门柱边线视作足球进入球门．22．【问题发现】（1）如图1，将正方形ABCD和正方形AEFG按如图所示的位置摆放，连接BE和DG，延长DG 交BE 的延长线于点H ，求BE 与DG 的数量关系和位置关系．【类比探究】（2）若将“正方形ABCD 和正方形AEFG ”改成“矩形ABCD 和矩形AEFG ，且矩形ABCD ∽矩形AEFG ，3AE =，4AG =”，如图，点E 、D 、G 三点共线，点G 在线段DE上时，若AD =，求BE 的长． 【拓展延伸】（3）若将“正方形ABCD 和正方形AEFG 改成“菱形ABCD 和菱形AEFG ，且菱形ABCD ∽菱形AEFG ，如图3，5AD =，6AC =，AG 平分DAC ∠，点P 在射线AG 上，在射线AF 上截取AQ ，使得35AQ AP =，连接PQ ，QC ，当4ta n 3P Q C ∠=时，直接写出AP 的长．。

广东省深圳市红岭中学2019-2020学年高一下学期第一次在线考试数学试题一、单选题(★) 1 . 下列说法正确的个数为（）①零向量没有方向；②向量的模一定是正数；③与非零向量共线的单位向量不唯一A．0B．1C．2D．3(★) 2 . 为调查参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是（）A．1000名运动员是总体B．每个运动员是个体C．抽取的100名运动员是样本D．样本容量是100(★) 3 . 已知是虚数单位，若复数满足，则（）A．B．C．D．(★) 4 . 已知两点，，则与向量同向的单位向量是（）A．B．C．D．(★) 5 . 在△ ABC中，已知 a＝9， b＝，C=150° , 则c等于（）A．B．C．D．(★) 6 . 对一个容量为的总体抽取容量为的样本，选取简单随机抽样和分层随机抽样两种不同方法抽取样本，在简单随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率为，某个体第一次被抽中的概率为；在分层随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率分别为则（）A．B．C．D．，没有关系(★) 7 . 某工厂对一批元件进行抽样检测.经检测，抽出的元件的长度（单位： mm）全部介于93至105之间.将抽出的元件的长度以2为组距分成6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.若长度在内的元件为合格品，根据频率分布直方图，估计这批元件的合格率是（）A．80%B．90%C．20%D．85.5%(★) 8 . 若且，则四边形的形状为（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等腰梯形(★) 9 . 设为所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．(★) 10 . 总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取容量为6的样本，选取方法是从随机数表第1行的第5列开始，依次向右读取．一行结束后，转至下一行从第一列开始，直到取足样本，则选出来的第6个样本的编号为（）32 04 34 12 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 8178 07 65 72 06 02 63 14 07 64 43 01 69 97 28 98A．02B．07C．14D．01(★) 11 . 在四边形中，，，则该四边形的面积为（）A．5B．C．D．10(★★) 12 . 已知的内角所对的边分别为，的面积为，且，则其周长为（）A．10B．9C．12D．二、填空题(★) 13 . 已知下列抽取样本的方式：①从实数集中逐个抽取10个分析奇偶性；②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出1个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；④从甲、乙两厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验其中，不是简单随机抽样的是____（填序号）．(★) 14 . 平面向量满足，，，则_____．(★) 15 . 如图，太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西的方向上，汽车行驶后，又测得小岛在南偏西的方向上，则小岛到公路的距离是_____ ．(★★) 16 . 若复数满足，则（为虚数单位）的最小值为______．三、解答题(★) 17 . 若复数满足（为虚数单位），复数的虚部为2，且是实数，求．(★) 18 . 在中，已知，，，求的值．(★) 19 . （1）向量与的夹角为且，，求：① ；② ．（2）已知，．若为与的夹角，求的值；(★) 20 . 从红岭中学高一年级的理科素质考试中，随机抽取70名学生的成绩得到如图所示的频率分布直方图；（1）请补全频率分布直方图并估计该校高一学生本次考试的平均分；（2）若用分层抽样的方法从分数在，，中共抽取26人，则，，各抽取多少人？(★★) 21 . 在以为坐标原点平面直角坐标系中，，，，，.（1）若，且，求点的坐标；（2）若∥ ，当且取最大值为4时，求．(★★) 22 . 在中，所对的边分别为，且满足（1）求角的大小；（2）若且为锐角三角形，求的取值范围．。

2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案满分150分 考试时间120分钟 考试日期：.一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置上. 1.下列四个选项中正确的是（ ）A. }1,0{1∈B. }1,0{1∉C. }1,0{1⊆D. }1,0{}1{∈2、已知全集{}8,7,6,5,4,3,2,1=U ，集合{}4,3,2=M ，{}6,3,1=P ，则集合{}5,7,8是（ ） ()A P M()B P M ()C ()U MP C ()D ()U MP C3．下列函数中，与函数xy 1=有相同定义域的是（ ）A.x x f ln )(=B.xx f 1)(=C.3)(x x f =D.xe xf =)( 4.若a>0，a≠1，且m>0，n>0，则下列各式中正确的是 ( ) A.log a m•log a n=log a (m+n) B.a m•a n=am•nC.a a a a log mlog m log n log n=- D. m m n n a a a -=5.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）A 、2xy = B 、2log y x = C 、y=x 3 D 、-1x y = 6．函数f(x)=12xx -的零点所在的区间是（ ） A ．（0，21） B ．（21，1） C ．（1，23） D ．（23，2）7．已知f(x)=a x ,g(x)=log a x(a>0,a≠1)，若f(3)×g(3)<0,那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能为（ ）8.三个数23.0=a ，3.022,3.0log ==c b 之间的大小关系是（ ）A. a ﹤c ﹤bB. a ﹤b ﹤cC. b ﹤a ﹤cD.b ﹤c ﹤a9.设函数），在（且0)10(|,|log )(∞-≠>=a a x x f a 上单调递增，则)2()1(f a f 与+的大小关系为（ ）A )2()1(f a f =+B )2()1(f a f >+ C. )2()1(f a f <+ D.不确定A ．恒为负B ．等于零C ．恒为正D ．不小于零 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.已知幂函数m()=x f x 的图象过点)2,2(，则1()4f =______.12.已知函数⎩⎨⎧=x x x f 3log )(2)0()0(≤>x x ，则)]41([f f 的值是 ．13.函数2()log 3+1xf x =（）的值域是____________（用区间表示）。

2019-2020学年广东省深圳市红岭中学高一上学期第一学段考试数学试题及答案一、单选题1．已知集合{|0}M x x =>，{|12}N x x =-<，则()R C M N ⋂等于（ ） A ．(1,)-+∞ B ．(0,1) C ．(1,0]- D ．(1,1)-【答案】C【解析】先求得M 的补集，然后求补集与N 的交集. 【详解】依题意可知(,0]R C M =-∞，所以()(]1,0R C M N ⋂=-，故选C. 【点睛】本小题主要考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.2．设命题:,x p x R e x ∀∈>，则p ⌝是（ ） A ．,x x R e x ∀∈≤ B ．000,xx R e x ∃∈< C ．,x x R e x ∀∈< D ．000,xx R e x ∃∈≤【答案】D 【解析】【详解】由题意知，全程命题的否定是特称命题，且只否定结论， 所以p ⌝：000,x x R e x ∃∈≤.故选: D. 3．若a >b ，则A ．ln(a −b )>0B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │【答案】C【解析】本题也可用直接法，因为a b >，所以0a b ->，当1a b -=时，ln()0a b -=，知A 错，因为3x y =是增函数，所以33a b >，故B 错；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，知C 正确；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错． 【详解】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．4．设a ，b ，c 为正数，则“a b c +>”是“222a b c +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不修要条件【答案】B【解析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】 解：a ，b ，c 为正数，∴当2a =，2b =，3c =时，满足a b c +>，但222a b c +>不成立，即充分性不成立，若222a b c +>，则22()2a b ab c +->，即222()2a b c ab c +>+>，a b c +>，成立，即必要性成立，则“a b c +>”是“222a b c +>”的必要不充分条件， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键．5．已知ln x π=，13y e -=，13log z π=，则（ ） A ．x y z << B ．z x y << C ．z y x << D ．y z x <<【答案】C【解析】利用中间值法，将这三个数与0、1比较大小，从而得出这三个数的大小关系. 【详解】由于对数函数ln y x =在其定义域上是增函数，则ln ln 1x e π=>=，指数函数x y e =在R 上为增函数，则10301e e -<<=，即01y <<，对数函数13log y x=在其定义域上是减函数，则1133log log 10π<=，即0z <.因此，z y x <<，故选C. 【点睛】本题考查利用中间值法比较指数式、对数式的大小，常用的中间值为0和1，在实际问题中，中间值取多少要由具体问题来选择，同时在比较大小时，要充分利用指数函数与对数函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6．函数()ln(34)x x f x =-的定义域为（） A ．40)3(log ， B ．30)4(log ， C ．()0-∞， D ．(0)+∞，【答案】C【解析】由题意知对数括号里面的值应340x x ->，求解不等式即可。