高中数学苏教版选修2-1第1章《常用逻辑用语》(3.2)word学案

1.2 简单的逻辑联结词[学习目标] 1.了解联结词“且”“或”“非”的含义.2.会用联结词“且”“或”“非”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假.3.通过学习，明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假．知识点一“p且q”“p且q”就是用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题，记作p∧q. 知识点二“p或q”“p或q”就是用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题，记作p∨q. 知识点三命题的否定一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作非p，读作“非p”或“p的否定”．知识点四含有逻辑联结词的命题的真假判断p q p∨q p∧q 非p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真思考(1)逻辑联结词“或”与生活用语中的“或”的含义是否相同？(2)命题的否定与否命题有什么区别？答案(1)生活用语中的“或”表示不兼有，而在数学中所研究的“或”则表示可兼有但不一定必须兼有．(2)命题的否定只否定命题的结论，而否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论．题型一p∧q命题及p∨q命题例1 分别写出下列命题构成的“p∧q”“p∨q”的形式，并判断它们的真假．(1)p：函数y＝3x2是偶函数，q：函数y＝3x2是增函数；(2)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角；(3)p：3是无理数，q：3是实数；(4)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等．解(1)p∧q：函数y＝3x2是偶函数且是增函数；∵p真，q假，∴p∧q为假．p∨q：函数y＝3x2是偶函数或是增函数；∵p真，q假，∴p∨q为真．(2)p∧q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角；∵p真，q真，∴p∧q为真．p∨q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；∵p真，q真，∴p∨q为真．(3)p∧q：3是无理数且是实数；∵p真，q真，∴p∧q为真．p∨q：3是无理数或是实数；∵p真，q真，∴p∨q为真．(4)p∧q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等；∵p真，q真，∴p∧q为真．p∨q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；∵p真，q真，∴p∨q为真．反思与感悟(1)判断p∧q形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，然后根据真值表“一假则假，全真则真”进行判断．(2)判断p∨q形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，只要有一个为真，即可判定p∨q形式命题为真，而p与q均为假命题时，命题p∨q为假命题，可简记为：有真则真，全假为假．跟踪训练1 指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题：(1)李明是男生且是高一学生．(2)方程2x2＋1＝0没有实数根．(3)12能被3或4整除．解(1)是“p且q”形式．其中p：李明是男生；q：李明是高一学生．(2)是“非p ”形式．其中p ：方程2x 2＋1＝0有实根．(3)是“p 或q ”形式．其中p ：12能被3整除；q ：12能被4整除． 题型二 非p 命题例2 写出下列命题的否定形式． (1)面积相等的三角形都是全等三角形； (2)若m 2＋n 2＝0，则实数m 、n 全为零； (3)若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0.解 (1)面积相等的三角形不都是全等三角形． (2)若m 2＋n 2＝0，则实数m 、n 不全为零． (3)若xy ＝0，则x ≠0且y ≠0.反思与感悟 非p 是对命题p 的全盘否定，对一些词语的正确否定是写非p 的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”、“p ∧q ”的否定是“非p ∨非q ”等．跟踪训练2 写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p ：y ＝ sin x 是周期函数； (2)p ：3＜2；(3)p ：空集是集合A 的子集； (4)p ：5不是75的约数．解 (1) 非p ：y ＝ sin x 不是周期函数．命题p 是真命题，非p 是假命题； (2) 非p ：3≥2.命题p 是假命题，非p 是真命题；(3) 非p ：空集不是集合A 的子集．命题p 是真命题，非p 是假命题； (4) 非p ：5是75的约数．命题p 是假命题，非p 是真命题． 题型三 p ∨q 、p ∧q 、非p 命题的综合应用例3 已知命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，若“p ∨q ”与“非q ”同时为真命题，求实数a 的取值范围．解 命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4≥0，x 1＋x 2>－2，x 1＋1x 2＋1>0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1≥0，－2a >－22－2a >0，，解得a ≤－1.命题q ：关于x 的不等式ax2－ax ＋1>0的解集为R ，等价于a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0.由于⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，解得0<a <4，所以0≤a <4.因为“p ∨q ”与“非q ”同时为真命题，即p 真且q 假，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a <0或a ≥4，解得a ≤－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．反思与感悟 由真值表可判断p ∨q 、p ∧q 、非p 命题的真假，反之，由p ∨q ，p ∧q ，非p 命题的真假也可判断p 、q 的真假情况．一般求满足p 假成立的参数范围，应先求p 真成立的参数的范围，再求其补集．跟踪训练3 已知命题p ：方程x 2＋ax ＋1＝0有两个不等的实根；命题q ：方程4x 2＋2(a －4)x ＋1＝0无实根，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围． 解 ∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，∴p 与q 一真一假， 由a 2－4>0得a >2或a <－2. 由4(a －4)2－4×4<0得2<a <6.①若p 真q 假，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <－2，a ≤2或a ≥6，∴a <－2或a ≥6； ②若p 假q 真，则有⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ≤2，2<a <6，通过分析可知不存在这样的a .综上，a <－2或a ≥6.1． 命题p ：“x >0”是“x 2>0”的必要不充分条件，命题q ：△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的充要条件，则下列四个命题正确的是________．(填序号) ①p 真q 假 ②p ∧q 为真 ③p ∨q 为假④p 假q 真答案 ④解析 命题p 假，命题q 真． 2．给出下列命题： ①2>1或1>3；②方程x 2－2x －4＝0的判别式大于或等于0； ③25是6或5的倍数；④集合A ∩B 是A 的子集，且是A ∪B 的子集． 其中真命题的个数为________． 答案 4解析 ①由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；②由于方程x 2－2x －4＝0的Δ＝4＋16>0，所以“方程x 2－2x －4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；③由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；④由于A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆A ∪B ，所以命题“集合A ∩B 是A 的子集，且是A ∪B 的子集”是真命题．3．已知命题p 1：函数y ＝2x－2－x在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数．则在命题①p 1∨p 2，②p 1∧p 2，③(非p 1)∨p 2和④p 1∧(非p 2)中，为真命题的是________． 答案 ①④解析 p 1是真命题，则非p 1为假命题；p 2是假命题，则非p 2为真命题； ∴①p 1∨p 2是真命题，②p 1∧p 2是假命题，∴③(非p 1)∨p 2为假命题，④p 1∧(非p 2)为真命题． ∴为真命题的是①④.4．已知命题p ：1∈{x |(x ＋2)(x －3)<0}，命题q ：∅＝{0}，则下列判断正确的是________． ①p 假q 真 ②“p ∨q ”为真 ③“p ∧q ”为真 ④“非p ”为真 答案 ②解析 由(x ＋2)(x －3)<0得－2<x <3， ∵1∈(－2,3)，∴p 真． ∵∅≠{0}，∴q 为假， ∴“p ∨q ”为真．5．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是________．①p 为真 ②綈p 为假 ③p ∧q 为假 ④p ∨q 为真答案 ③解析 函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，故p 为假命题；x ＝π2不是y ＝cos x 的对称轴，命题q 为假命题，故p ∧q 为假．1.正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个． 2．判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤： (1)逐一判断命题p ，q 的真假．(2)根据“且”“或”的含义判断“p ∧q ”，“p ∨q ”的真假．p ∧q 为真⇔p 和q 同时为真， p ∨q 为真⇔p 和q 中至少一个为真．3．若命题p 为真，则“非p ”为假；若p 为假，则“非p ”为真，类比集合知识，“非p ”就相当于集合p 在全集U 中的补集∁U p .因此(非p )∧p 为假，(非p )∨p 为真． 4．命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别．。

2006-2007学年度某某省某某市民兴中学高二数学选修2-1常用逻辑用语教案【课题【课型】：新授课【教学目的】：1、理解四种命题的概念及掌握四种命题之间的相互关系.2、理解一个命题的真假与其它三个命题真假间的关系.3、培养学生逻辑推理能力.【教学重点】：逆命题、否命题、逆否命题的概念及四种命题之间的相互关系【教学难点】：不容易区分条件和结论的简单命题和较复杂的命题(一个条件多个结论型的命题和多个条件一个结论型的命题)的逆命题、否命题和逆否命题的求法．【教具】：多媒体、实物投影仪【教学方法】：启发式【教学过程】：一、复习命题：引入四种命题1、复习命题的概念：能够判断真假的语句叫做命题2、【引例】：如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；①如果两个三角形的面积相等，那么它们全等；②如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等；③如果两个三角形的面积不相等，那么它们不全等；④【提问】：命题②、③、④与命题①有何关系？二、四种命题的概念：1、用“若p则q”表示原命题结构，p是命题的条件，q是命题的结论；（1）如果一个命题的条件和结论是另一个命题的结论和条件，则称这两个命题为互逆命题；（2）如果一个命题的条件和结论是另一个命题条件的否定和结论的否定，则称这两个命题为互命题；（3）如果一个命题的条件和结论是另一个命题结论的否定和条件的否定，则称这两个命题为互为逆否命题；注：①设“若p 则q ”为原命题，则用“若q 则P ”表示原命题的逆命题，用“若非P则非q ”表示原命题的否命题，用“若非q 则非P ”表示原命题的逆否命题。

②书写四种命题的步骤：交换原命题的条件和结论所得的命题是逆命题； 同时否定原命题的条件和结论所得的命题是否命题；交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题；2、四种命题的关系： 三、例题讲解：例1：把命题“负数的平方是正数”改写成“若p 则g ”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题．解：原命题：若一个数是负数，则它的平方是正数． 逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数． 否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．例2：写出命题“若a 和b 都是偶数，则a+b 是偶数”的否命题和逆否命题． 分析：(1)“a 和b 都是偶数”是条件，“a+b 是偶数”是结论．(2)“a 和b 都是偶数”的否定包含三种情况，“a 是偶数，b 不是偶数”或“a 不是偶数，b 是偶数”，或“a 不是偶数，b 也不是偶数”．所以综合起来它的否定即为“a 和b 不都是偶数”． 解：否命题为：若a 和b 不都是偶数，则a+b 不是偶数． 逆否命题为：若a+b 不是偶数，则a 和b 不都是偶数． 【课本例题】：四、【课堂练习】：1、课本练习1-32、(1)命题“若a>b ，则b<a ”的逆命题为(若b<a ，则a>b)(2) 写出命题 “同位角相等，两直线平行”的逆命题、否命题、逆否命题(3)命题“在二次函数2y ax bx c =++中，若24b ac -≥0，则该二次函数的图像与x 轴有公共点”的否命题为(在二次函数2y ax bx c =++中，若24b ac -<0，则该二次函数的图像与x 轴没有公共点．)(指出“≥”的否定是“<”．)(4)把命题“平行线相交”改写成“若p 则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题五、【课堂小结】：(概念及方法)六、【补充练习】：(思考)1．“负数的平方是正数”有几个条件?它的四种命题有其他的写法吗?原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互 2．显然例一中“负数的平方是正数”这个命题是真命题，那么它的逆命题、否命题、逆否命题都是真命题吗?3．写出命题“若12,0)1(22-===++-y x y x 且则”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.课题：1.1 四种命题（2） 教学目的：1．理解四种命题的关系，并能利用这个关系判断命题的真假2．培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想教学重点：理解四种命题的关系教学难点：逆否命题的等价性授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一．复习引入：四种命题及其形式原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若−p 则−q ； 逆否命题：若−q 则−p. 二.讲解新课：1．四种命题的相互关系互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，若把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题与逆否命题.因此，四种命题之间的相互关系，可用右下图表示：2．四种命题的真假关系一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：①、原命题为真，它的逆命题不一定为真②、原命题为真，它的否命题不一定为真③、原命题为真，它的逆否命题一定为真例1．判断以下四种命题的真假原命题：若四边形ABCD为平行四边形，则对角线互相平分真逆命题：若四边形ABCD对角线互相平分，则它为平行四边形；真否命题：若四边形ABCD不是为平行四边形，则对角线不平分；真逆否命题：若四边形ABCD对角线不平分，则它不是平行四边形；真归纳小结：（学生回答，教师整理补充）(1)原命题为真，它的逆命题不一定为真；(2)原命题为真，它的否命题不一定为真；(3)原命题为真，它的逆否命题一定为真结论：两个互为逆否的命题同真或同假(如原命题和它的逆否命题，逆命题和否命题)，其余情况则不一定同真或同假（如原命题和逆命题，否命题和逆否命题等），这时称互为逆否的两个命题等价，即原命题⇔逆否命题例2:设原命题是“当c>0时，若a>b，则ac>bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假.分析：“当c>0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a>b，结论是ac>bc.解：逆命题：当c>0时，若ac>bc，则a>b.它是真命题；否命题：当c>0时，若a≤b，则ac≤bc.它是真命题；逆否命题：当c>0时，若ac≤bc，则a≤b.它是真命题.1．命题“若 x = y 则 |x| = |y|”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它的真假解：逆命题：若 |x| = |y| 则 x = y （假，如 x = 1, y = -1）否命题：若 x ≠ y 则 |x| ≠|y| （假，如 x = 1, y = -1）逆否命题：若 |x| ≠|y| 则 x ≠ y （真）2．写出命题：“若 xy = 6则 x = 3且 y = 2”的逆命题否命题逆否命题，并判断它们的真假解：逆命题：若 x = 3 且 y = 2 则 x + y = 5 （真）否命题：若 x + y ≠ 5 则 x ≠ 3且y≠2 （真）逆否命题：若 x ≠ 3 或y≠2 则 x + y ≠5 （假）四种命题之间的相互关系和真假关系【课题】：充分条件【课型】：新授课【教学目的】：1、【教学重点】：逆命题、否命题、逆否命题的概念及四种命题之间的相互关系【教学难点】：不容易区分条件和结论的简单命题和较复杂的命题(一个条件多个结论型的命题和多个条件一个结论型的命题)的逆命题、否命题和逆否命题的求法．【教具】：多媒体、实物投影仪【教学方法】：启发式【教学过程】：一、复习命题：引入四种命题1、复习命题的概念：能够判断真假的语句叫做命题2、【引例】：如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；①如果两个三角形的面积相等，那么它们全等；②如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等；③如果两个三角形的面积不相等，那么它们不全等；④【提问】：命题②、③、④与命题①有何关系？二、四种命题的概念：1、用“若p则q”表示原命题结构，p是命题的条件，q是命题的结论；（1）如果一个命题的条件和结论是另一个命题的结论和条件，则称这两个命题为互逆命题；（2）如果一个命题的条件和结论是另一个命题条件的否定和结论的否定，则称这两个命题为互命题；（3）如果一个命题的条件和结论是另一个命题结论的否定和条件的否定，则称这两个命题为互为逆否命题；注：①设“若p则q”为原命题，则用“若q则P”表示原命题的逆命题，用“若非P 则非q”表示原命题的否命题，用“若非q则非P”表示原命题的逆否命题。

1．1命题及其关系1．1.1四种命题[学习目标] 1.了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义.2.会分析四种命题的相互关系．[知识链接]在初中，我们已学过许多数学命题，当时是如何定义命题的，你能举出一些例子吗？答：判断一件事情的句子叫命题．如：有两边相等的三角形是等腰三角形．[预习导引]1．命题的概念(1)定义：能够判断真假的语句叫做命题．(2)真假命题：命题中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．(3)命题的一般形式：命题的一般形式为“若p，则q”．通常，命题中的p是命题的条件，q 是命题的结论．2．四种命题及其表示一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，那么，对p和q进行“换位”和“换质”后，一共可以构成四种不同形式的命题：原命题：若p则q；逆命题：将条件和结论“换位”，即若q则p；否命题：条件和结论“换质”，即分别否定；逆否命题：条件和结论“换位”又“换质”，即分别否定，且位置互换．3．四种命题的相互关系(1)四种命题的相互关系(2)四种命题的真假关系一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：①原命题为真，它的逆命题不一定为真．②原命题为真，它的否命题不一定为真．③原命题为真，它的逆否命题一定为真．要点一命题及其真假的判定例1判断下列语句是不是命题，若是，判断真假，并说明理由．(1)求证5是无理数．(2)若x∈R，则x2＋4x＋7>0.(3)你是高一学生吗？(4)一个正整数不是质数就是合数．(5)x＋y是有理数，则x、y也都是有理数．(6)60x＋9>4.解(1)祈使句，不是命题．(2)是真命题，因为x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0对于x∈R，不等式恒成立．(3)是疑问句，不涉及真假，不是命题．(4)是假命题，正整数1既不是质数，也不是合数．(5)是假命题，如x＝2，y＝－ 2.(6)不是命题，这种含有未知数的语句，未知数的取值能否使不等式成立，无法确定．规律方法判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一是否对一件事进行了判断；第二能否判断真假．一般地，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．跟踪演练1下列语句是不是命题，若是命题，试判断其真假．(1)4是集合{1,2,3}的元素；(2)三角函数是函数；(3)2比1大吗？(4)若两条直线不相交，则两条直线平行．解(1)是命题，且是假命题；(2)是陈述句，并且可以判断真假，是命题，且是真命题；(3)是疑问句，不是命题；(4)是命题，且是假命题．要点二四种命题的关系例2下列命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题．其中是真命题的是________．答案①②③解析①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，是假命题．所以真命题是①②③.规律方法要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握．跟踪演练2有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；③“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；④“同位角相等”的逆命题．其中真命题的个数是________．答案 1解析①“若x＋y≠0，则x，y不是相反数”，是真命题．②“若a2≤b2，则a≤b”，取a＝0，b＝－1，a2≤b2，但a>b，故是假命题．③“若x>－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，而x＝4>－3不是不等式的解，故是假命题．④“相等的角是同位角”，是假命题．要点三等价命题的应用例3判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假．解方法一原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．真假判断如下：∵抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，若a<1，则4a－7<0.即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点．所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．故原命题的逆否命题为真．方法二先判断原命题的真假．因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，所以a≥1.所以原命题成立．又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．规律方法由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．跟踪演练3判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．解∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0.∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真．1．下列语句不是命题的有________个．①2＜1；②x＜1；③若x＜2，则x＜1；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数．答案 1解析①③④可以判断真假，是命题；②不能判断真假，所以不是命题．2．下列命题中的真命题是________．①互余的两个角不相等；②相等的两个角是内错角；③若a2＝b2，则|a|＝|b|；④三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角．答案③解析由平面几何知识可知①②④三项都是错误的．3．命题“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题是______________________，它是________命题(填“真”或“假”)．答案若平面向量a，b的方向不相同，则a，b不共线假4．给出以下命题：①“若x2＋y2≠0，则x、y不全为0”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．其中为真命题的是________．答案①③解析①否命题是“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”，真命题．②逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”，假命题．③∵Δ＝1＋4m，若m>0时，Δ>0，∴x2＋x－m＝0有实根，即原命题为真．∴逆否命题为真命题．1.根据命题的意义，可以判断真假的陈述句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式．含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式，大前提应保持不变，且不写在条件p中．3．写四种命题时，可以按下列步骤进行：(1)找出命题的条件p和结论q；(2)写出条件p的否定非p和结论q的否定非q；(3)按照四种命题的结构写出所有命题．4．每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论．5．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础.一、基础达标1．若“a＝0，则ab＝0”的逆否命题是_____________________________________．答案若ab≠0，则a≠02．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是____________________．答案若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数解析否命题是既否定条件又否定结论．因此否命题应为“若函数f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数”．3．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．答案 2解析原命题显然为真命题，故其逆否命题为真命题，而其逆命题为“若a>－6，则a>－3”，这是假命题，从而否命题也是假命题，因此只有两个真命题．4．“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为__________________________________．答案若x，y不全为零，则xy≠0解析由于“全为零”的否定为“不全为零”，所以“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为“若x，y不全为零，则xy≠0”．5．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②正方形的四条边相等；③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________(填序号)．答案②和③①和③①和②6．有下列三个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题；②“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；③“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．其中真命题的序号为________．答案②解析命题①：可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题，因此命题①是假命题；命题②：“若x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1”是真命题；命题③是假命题．7．已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．解(1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”．(2)命题p的否命题是真命题．证明如下：∵ac<0，∴－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．∴该命题是真命题．二、能力提升8．命题“当AB＝AC时，△ABC是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有______个．答案 2解析原命题为真命题，逆命题“当△ABC是等腰三角形时，AB＝AC”为假命题，否命题“当AB≠AC时，△ABC不是等腰三角形”为假命题，逆否命题“当△ABC不是等腰三角形时，AB≠AC”为真命题．9．已知原命题“两个无理数的积仍是无理数”，则：①逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”；②否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”；③逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”．其中所有正确叙述的序号是________．答案①②解析原命题的逆命题、否命题叙述正确．逆否命题应为“乘积不是无理数的两个数不都是无理数”．10．给出下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，是真命题的是________(填序号)．答案②④解析命题①是假命题，“两条直线”应改为“两条相交直线”；命题②是面面垂直的判定定理，是真命题；命题③是假命题，垂直于同一直线的两条直线可能平行、异面或相交；命题④是面面垂直的性质定理的另一种说法，是真命题．11．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．(1)已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d；(2)已知a，b，c∈R，若ac<0，则ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．解(1)逆命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d，是假命题．否命题：已知a，b，c，d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d，是假命题．逆否命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d，是真命题．(2)逆命题：已知a，b，c∈R，若ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac<0，是假命题，例如当a＝1，b＝－3，c＝2时，方程x2－3x＋2＝0有两个不等实根x1＝1，x2＝2，但ac ＝2>0.否命题：已知a，b，c∈R，若ac≥0，则ax2＋bx＋c＝0没有两个不相等的实数根，是假命题．逆否命题：a，b，c∈R，若ax2＋bx＋c＝0没有两个不相等的实数根，则ac≥0，是真命题．12．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．解方法一(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题的真假即可．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．方法二(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真．三、探究与创新13．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．”(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．解(1)逆命题：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0，为真命题．由于逆命题与否命题具有相同的真假性，因此可转化为证明其否命题为真，即证明“若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”为真命题．因为a＋b<0，则a<－b，b<－a.因为f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，则f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，所以f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．因此否命题为真命题，即逆命题为真命题．(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0，为真命题．因为一个命题的真假性与它的逆否命题的真假性相同，所以可证明原命题为真命题．因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a.又因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．所以逆否命题为真命题．。

新课程标准数学选修2—1第一章课后习题解答第一章常用逻辑用语1．1命题及其关系练习（P4）1、略.2、（1）真；（2）假；（3）真；（4）真.3、（1）若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两边上的中线相等. 这是真命题.（2）若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴对称. 这是真命题.（3）若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行. 这是假命题.练习（P6）1、逆命题：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0. 这是假命题.否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不能被5整除. 这是假命题.逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位数字不是0. 这是真命题.2、逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等. 这是真命题.否命题：若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等. 这是真命题.逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题.3、逆命题：图象关于原点对称的函数是奇函数. 这是真命题.否命题：不是奇函数的函数的图象不关于原点对称. 这是真命题. 逆否命题：图象不关于原点对称的函数不是奇函数. 这是真命题. 练习（P8）证明：若1a b -=，则22243a b a b -+--()()2()2322310a b a b a b b a b b a b =+-+---=++--=--=所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题. 习题1.1 A 组（P8）1、（1）是； （2）是； （3）不是； （4）不是.2、（1）逆命题：若两个整数a 与b 的和a b +是偶数，则,a b 都是偶数. 这是假命题.否命题：若两个整数,a b 不都是偶数，则a b +不是偶数. 这是假命题. 逆否命题：若两个整数a 与b 的和a b +不是偶数，则,a b 不都是偶数. 这是真命题.（2）逆命题：若方程20x x m +-=有实数根，则0m >. 这是假命题. 否命题：若0m ≤，则方程20x x m +-=没有实数根. 这是假命题. 逆否命题：若方程20x x m +-=没有实数根，则0m ≤. 这是真命题.3、（1）命题可以改写成：若一个点在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离相等.逆命题：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则这个点在线段的垂直平分线上.这是真命题.否命题：若一个点到不在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离不 相等. 这是真命题.逆否命题：若一个点到线段的两个端点的距离不相等，则这个点不在线段的垂直平分线上. 这是真命题.（2）命题可以改写成：若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等.逆命题：若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形. 这是假命题. 否命题：若一个四边形不是矩形，则四边形的对角线不相等. 这是假命题.逆否命题：若四边形的对角线不相等，则这个四边形不是矩形. 这是真命题.4、证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形，也就是说这两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆否命题为真命题. 所以，原命题也是真命题.习题 B 组（P8）证明：要证的命题可以改写成“若p ，则q ”的形式：若圆的两条弦不是直径，则它们不能互相平分.此命题的逆否命题是：若圆的两条相交弦互相平分，则这两条相交弦是圆的两条直径.可以先证明此逆否命题：设,AB CD 是O 的两条互相平分的相交弦，交点是E ，若E 和圆心O 重合，则,AB CD 是经过圆心O 的弦，,AB CD 是两条直径. 若E 和圆心O 不重合，连结,,AO BO CO 和DO ，则OE 是等腰AOB ∆，COD ∆的底边上中线，所以，OE AB ⊥，OE CD ⊥. AB 和CD 都经过点E ，且与OE 垂直，这是不可能的. 所以，E 和O 必然重合. 即AB 和CD 是圆的两条直径.原命题的逆否命题得证，由互为逆否命题的相同真假性，知原命题是真命题.1．2充分条件与必要条件练习（P10）1、（1）⇒；（2）⇒；（3）⇒；（4）⇒.2、（1）. 3（1）.4、（1）真；（2）真；（3）假；（4）真.练习（P12）1、（1）原命题和它的逆命题都是真命题，p是q的充要条件；（2）原命题和它的逆命题都是真命题，p是q的充要条件；（3）原命题是假命题，逆命题是真命题，p是q的必要条件.2、（1）p是q的必要条件；（2）p是q的充分条件；（3）p是q的充要条件；（4）p是q的充要条件.习题1.2 A组（P12）1、略.2、（1）假；（2）真；（3）真.3、（1）充分条件，或充分不必要条件；（2）充要条件；（3）既不是充分条件，也不是必要条件；（4）充分条件，或充分不必要条件.4、充要条件是222+=.a b r习题 B组（P13）1、（1）充分条件；（2）必要条件；（3）充要条件.2、证明：（1）充分性：如果222++=++，那么a b c ab ac bc2220a b c ab ac bc++---=.所以222-+-+-=a b a c b c()()()0所以，0b c-=.-=，0a b-=，0a c即a b c∆是等边三角形.==，所以，ABC（2）必要性：如果ABC==∆是等边三角形，那么a b c所以222-+-+-=()()()0a b a c b c所以2220++---=a b c ab ac bc所以222++=++a b c ab ac bc1．3简单的逻辑联结词练习（P18）1、（1）真；（2）假.2、（1）真；（2）假.3、（1）225x-=的根，假命题；+≠，真命题；（2）3不是方程290（31≠-，真命题.习题1.3 A组（P18）1、（1）4{2,3}∈或2{2,3}∈且2{2,3}∈，假命题；∈，真命题；（2）4{2,3}（3）2是偶数或3不是素数，真命题；（4）2是偶数且3不是素数，假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）假命题.3、（1不是有理数，真命题；（2）5是15的约数，真命题；（3）23+=，真命题；≥，假命题；（4）8715（5）空集不是任何集合的真子集，真命题.习题 B组（P18）（1）真命题. 因为p为真命题，q为真命题，所以p q∨为真命题；（2）真命题. 因为p为真命题，q为真命题，所以p q∧为真命题；（3）假命题. 因为p为假命题，q为假命题，所以p q∨为假命题；（4）假命题. 因为p为假命题，q为假命题，所以p q∧为假命题.1．4全称量词与存在量词练习（P23）1、（1）真命题； （2）假命题； （3）假命题.2、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题.练习（P26）1、（1）00,n Z n Q ∃∈∉； （2）存在一个素数，它不是奇数；（3）存在一个指数函数，它不是单调函数.2、（1）所有三角形都不是直角三角形； （2）每个梯形都不是等腰梯形；（3）所有实数的绝对值都是正数.习题1.4 A 组（P26）1、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题； （4）假命题.2、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题.3、（1）32000,x N x x ∃∈≤； （2）存在一个可以被5整除的整数，末位数字不是0；（3）2,10x R x x ∀∈-+>； （4）所有四边形的对角线不互相垂直. 习题 B 组（P27）（1）假命题. 存在一条直线，它在y 轴上没有截距；（2）假命题. 存在一个二次函数，它的图象与x 轴不相交；（3）假命题. 每个三角形的内角和不小于180︒；（4）真命题. 每个四边形都有外接圆.第一章 复习参考题A 组（P30）1、原命题可以写为：若一个三角形是等边三角形，则此三角形的三个内角相等.逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则此三角形是等边三角形. 是真命题；否命题：若一个三角形不是等边三角形，则此三角形的三个内角不全相等. 是真命题；逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，则此三角形不是等边三角形. 是真命题.2、略.3、（1）假； （2）假； （3）假； （4）假.4、（1）真； （2）真； （3）假； （4）真； （5）真.5、（1）2,0n N n ∀∈>； （2）{P P P ∀∈在圆222x y r +=上}，(OP r O =为圆心)；（3）(,){(,),x y x y x y ∃∈是整数}，243x y +=；（4）0{x x x ∃∈是无理数}，30{x q q ∈是有理数}.6、（1）32≠，真命题； （2）54≤，假命题； （3）00,0x R x ∃∈≤，真命题；（4）存在一个正方形，它不是平行四边形，假命题.第一章 复习参考题B 组（P31）1、（1）p q ∧； （2）()()p q ⌝∧⌝，或()p q ⌝∨.2、（1）Rt ABC ∀∆，90C ∠=︒，,,A B C ∠∠∠的对边分别是,,a b c ，则222c a b =+；（2）ABC ∀∆，,,A B C ∠∠∠的对边分别是,,a b c ，则sin sin sin a b c A B C==.新课程标准数学选修2—1第二章课后习题解答第二章 圆锥曲线与方程2．1曲线与方程练习（P37）1、是. 容易求出等腰三角形ABC 的边BC 上的中线AO 所在直线的方程是0x =.2、3218,2525a b ==. 3、解：设点,A M 的坐标分别为(,0)t ，(,)x y .（1）当2t ≠时，直线CA 斜率 20222CA k t t-==-- 所以，122CB CA t k k -=-= 由直线的点斜式方程，得直线CB 的方程为 22(2)2t y x --=-. 令0x =，得4y t =-，即点B 的坐标为(0,4)t -.由于点M 是线段AB 的中点，由中点坐标公式得4,22t tx y -==. 由2t x =得2t x =，代入42ty -=， 得422xy -=，即20x y +-=……① （2）当2t =时，可得点,A B 的坐标分别为(2,0)，(0,2) 此时点M 的坐标为(1,1)，它仍然适合方程①由（1）（2）可知，方程①是点M 的轨迹方程，它表示一条直线. 习题2.1 A 组（P37）1、解：点(1,2)A -、(3,10)C 在方程2210x xy y -++=表示的曲线上；点(2,3)B -不在此曲线上2、解：当0c ≠时，轨迹方程为12c x +=；当0c =时，轨迹为整个坐标平面. 3、以两定点所在直线为x 轴，线段AB 垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，得点M 的轨迹方程为224x y +=.4、解法一：设圆22650x y x +-+=的圆心为C ，则点C 的坐标是(3,0). 由题意，得CM AB ⊥，则有1CM AB k k =-. 所以，13y yx x⨯=--(3,0)x x ≠≠ 化简得2230x y x +-=(3,0)x x ≠≠当3x =时，0y =，点(3,0)适合题意；当0x =时，0y =，点(0,0)不合题意.解方程组 222230650x y x x y x ⎧+-=⎪⎨+-+=⎪⎩， 得5,3x y ==所以，点M 的轨迹方程是2230x y x +-=，533x ≤≤. 解法二：注意到OCM ∆是直角三角形，利用勾股定理，得2222(3)9x y x y ++-+=， 即2230x y x +-=. 其他同解法一. 习题 B 组（P37）1、解：由题意，设经过点P 的直线l 的方程为1x y ab+=. 因为直线l 经过点(3,4)P ，所以341ab+= 因此，430ab a b --=由已知点M 的坐标为(,)a b ，所以点M 的轨迹方程为430xy x y --=.2、解：如图，设动圆圆心M 的坐标为(,)x y .由于动圆截直线30x y -=和30x y +=所得弦分别为AB ，CD ，所以，8AB =，4CD =. 过点M 分别作直线30x y -=和30x y +=的垂线，垂足分别为E ，F ，则4AE =，2CF =.ME =，MF =.连接MA ，MC ，因为MA MC =， 则有，2222AE ME CF MF+=+所以，22(3)(3)1641010x y x y -++=+，化简得，10xy =. 因此，动圆圆心的轨迹方程是10xy =.2．2椭圆 练习（P42）1、14. 提示：根据椭圆的定义，1220PF PF +=，因为16PF =，所以214PF =.2、（1）22116x y +=； （2）22116y x +=； （3）2213616x y +=，或2213616y x +=.3、解：由已知，5a =，4b =，所以3c ==.（1）1AF B ∆的周长1212AF AF BF BF =+++.由椭圆的定义，得122AF AF a +=，122BF BF a +=. 所以，1AF B ∆的周长420a ==.（2）如果AB 不垂直于x 轴，1AF B ∆的周长不变化.这是因为①②两式仍然成立，1AF B ∆的周长20=，这是定值. 4、解：设点M 的坐标为(,)x y ，由已知，得直线AM 的斜率 1AM yk x =+(1)x ≠-； 直线BM 的斜率 1BM yk x =-(1)x ≠； 由题意，得2AM BM k k =，所以211y yx x =⨯+-(1,0)x y ≠±≠ 化简，得3x =-(0)y ≠因此，点M 的轨迹是直线3x =-，并去掉点(3,0)-.练习（P48）1、以点2B （或1B ）为圆心，以线段2OA 为半径画圆，圆与x 轴的两个交点分别为点12,F F 就是椭圆的两个焦点.这是因为，在22Rt B OF ∆中，2OB b =，222B F OA a ==，所以，2OF c =. 同样有1OF c =. 2、（1）焦点坐标为(8,0)-，(8,0)； （2）焦点坐标为(0,2)，(0,2)-.3、（1）2213632x y +=； （2）2212516y x +=.4、（1）22194x y += （2）22110064x y +=，或22110064y x +=.5、（1）椭圆22936x y +=，椭圆2211612x y +=的离心率是12，因为132>，所以，椭圆2211612x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁；（2）椭圆22936x y +=的离心率是3，椭圆221610x y +=的离心率是5，因为3>221610x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁.6、（1）8(3,)5； （2）(0,2)； （3）4870(,)3737--. 7、7. 习题2.2 A 组（P49）1、解：由点(,)M x y 10=以及椭圆的定义得，点M 的轨迹是以1(0,3)F -，2(0,3)F 为焦点，长轴长为10的椭圆.它的方程是2212516y x +=.2、（1）2213632x y +=； （2）221259y x +=； （3）2214940x y +=，或2214940y x +=.3、（1）不等式22x -≤≤，44y -≤≤表示的区域的公共部分； （2）不等式x -≤≤，101033y -≤≤表示的区域的公共部分. 图略.4、（1）长轴长28a =，短轴长24b =，离心率e =，焦点坐标分别是(-，，顶点坐标分别为(4,0)-，(4,0)，(0,2)-，(0,2)；（2）长轴长218a =，短轴长26b =，离心率e =，焦点坐标分别是(0,-，，顶点坐标分别为(0,9)-，(0,9)，(3,0)-，(3,0).5、（1）22185x y +=； （2）2219x y +=，或221819y x +=；（3）221259x y +=，或221259y x +=.6、解：由已知，椭圆的焦距122F F =.因为12PF F ∆的面积等于1，所以，12112P F F y ⨯⨯=，解得1P y =.代入椭圆的方程，得21154x +=，解得x =所以，点P 的坐标是(1)2±±，共有4个7、解：如图，连接QA . 由已知，得QA QP =. 所以，QO QA QO QP OP r +=+==. 又因为点A 在圆内，所以OA OP <根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为长轴长的椭圆. 8、解：设这组平行线的方程为32y x m =+.把32y x m =+代入椭圆方程22149x y +=，得22962180x mx m ++-=.这个方程根的判别式 223636(218)m m ∆=-- （1）由0∆>，得m -<<当这组直线在y 轴上的截距的取值范围是(-时，直线与椭圆相交.（2）设直线与椭圆相交得到线段AB ，并设线段AB 的中点为(,)M x y . 则 1223x x mx +==-. 因为点M 在直线32y x m =+上，与3m x =-联立，消去m ，得320x y +=.这说明点M 的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包括端点），这些弦的中点在一条直线上.9、222213.525 2.875x y +=. 10、地球到太阳的最大距离为81.528810⨯km ，最下距离为81.471210⨯km. 习题 B 组（P50）1、解：设点M 的坐标为(,)x y ，点P 的坐标为00(,)x y ，则0x x =，032y y =. 所以0x x =，023y y = ……①. 因为点00(,)P x y 在圆上，所以22004x y += ……②.将①代入②，得点M 的轨迹方程为22449x y +=，即22149x y +=所以，点M 的轨迹是一个椭圆与例2相比可见，椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到.2、解法一：设动圆圆心为(,)P x y ，半径为R ，两已知圆的圆心分别为12,O O .分别将两已知圆的方程 22650x y x +++=，226910x y x +--= 配方，得 22(3)4x y ++=， 22(3)100x y -+=当P 与1O ：22(3)4x y ++=外切时，有12O P R =+ ……①当P 与2O ：22(3)100x y -+=内切时，有210O P R =- ……② ①②两式的两边分别相加，得1212O P O P +=12= ……③ 化简方程③.先移项，再两边分别平方，并整理，得 12x =+ ……④ 将④两边分别平方，并整理，得 22341080x y +-= ……⑤将常数项移至方程的右边，两边分别除以108，得 2213627x y += ……⑥由方程⑥可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴和短轴长分别为12，12= ……①由方程①可知，动圆圆心(,)P x y 到点1(3,0)O -和点2(3,0)O 距离的和是常数12，所以点P 的轨迹方程是焦点为(3,0)-、(3,0)，长轴长等于12的椭圆. 并且这个椭圆的中心与坐标原点重合，焦点在x 轴上，于是可求出它的标准方程.因为 26c =，212a =，所以3c =，6a =所以236927b =-=.于是，动圆圆心的轨迹方程为2213627x y +=.3、解：设d 是点M 到直线8x =的距离，根据题意，所求轨迹就是集合12MF P M d ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭由此得12= 将上式两边平方，并化简，得 223448x y +=，即2211612x y +=所以，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为8，. 4、解：如图，由已知，得(0,3)E - 因为,,R S T 是线段OF ,,R S T '''是线段CF 所以，(1,0),(2,0),(3,0)R S T ；933(4,),(4,),(4,)424R S T '''.直线ER 的方程是33y x =-； 直线GR '的方程是3316y x =-+. 联立这两个方程，解得 3245,1717x y ==.所以，点L 的坐标是3245(,)1717. 同样，点M 的坐标是169(,)55，点N 的坐标是9621(,)2525. 由作图可见，可以设椭圆的方程为22221x y m n+=(0,0)m n >> ……①把点,L M 的坐标代入方程①，并解方程组，得22114m =，22113n =. 所以经过点,L M 的椭圆方程为221169x y +=.把点N 的坐标代入22169x y +，得22196121()()11625925⨯+⨯=，所以，点N 在221169x y +=上.因此，点,,L M N 都在椭圆221169x y +=上.2．3双曲线 练习（P55）1、（1）221169x y -=. （2）2213y x -=.（3）解法一：因为双曲线的焦点在y 轴上所以，可设它的标准方程为22221y x a b-=(0,0)a b >>将点(2,5)-代入方程，得222541a b-=，即22224250a b a b +-=又 2236a b +=解方程组 222222425036a b a b a b ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩令22,m a n b ==，代入方程组，得425036mn m n m n +-=⎧⎨+=⎩解得 2016m n =⎧⎨=⎩，或459m n =⎧⎨=-⎩第二组不合题意，舍去，得2220,16a b ==所求双曲线的标准方程为2212016y x -=解法二：根据双曲线的定义，有2a ==.所以，a = 又6c =，所以2362016b =-=由已知，双曲线的焦点在y 轴上，所以所求双曲线的标准方程为2212016y x -=.2、提示：根据椭圆中222a b c -=和双曲线中222a b c +=的关系式分别求出椭圆、双曲线的焦点坐标.3、由(2)(1)0m m ++>，解得2m <-，或1m >- 练习（P61）1、（1）实轴长2a =，虚轴长24b =；顶点坐标为-；焦点坐标为(6,0),(6,0)-；离心率e =（2）实轴长26a =，虚轴长218b =；顶点坐标为(3,0),(3,0)-； 焦点坐标为-；离心率e =（3）实轴长24a =，虚轴长24b =；顶点坐标为(0,2),(0,2)-； 焦点坐标为-；离心率e =（4）实轴长210a =，虚轴长214b =；顶点坐标为(0,5),(0,5)-；焦点坐标为；离心率5e =2、（1）221169x y -=； （2）2213628y x -=.3、22135x y -=4、2211818x y -=，渐近线方程为y x =±.5、（1）142(6,2),(,)33-； （2）25(,3)4习题2.3 A 组（P61）1、把方程化为标准方程，得2216416y x -=. 因为8a =，由双曲线定义可知，点P 到两焦点距离的差的绝对值等于16. 因此点P 到另一焦点的距离是17.2、（1）2212016x y -=. （2）2212575x y -=3、（1）焦点坐标为12(5,0),(5,0)F F -，离心率53e =； （2）焦点坐标为12(0,5),(0,5)F F -，离心率54e =；4、（1）2212516x y -=. （2）221916y x -=（3）解：因为ce a==，所以222c a =，因此2222222b c a a a a =-=-=.设双曲线的标准方程为 22221x y a a -=，或22221y x a a-=.将(5,3)-代入上面的两个方程，得222591a a -=，或229251a a-=. 解得 216a = （后一个方程无解）.所以，所求的双曲线方程为2211616x y -=.5、解：连接QA ，由已知，得QA QP =. 所以，QA QO QP QO OP r -=-==. 又因为点A 在圆外，所以OA OP >.根据双曲线的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为实轴长的双曲线.6、22188x y -=.习题 B 组（P62）1、221169x y -=2、解：由声速及,A B 两处听到爆炸声的时间差，可知,A B 两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以,A B 为焦点的双曲线上.使,A B 两点在x 轴上，并且原点O 与线段AB 的中点重合，建立直角坐标系xOy .设爆炸点P 的坐标为(,)x y ，则 34031020PA PB -=⨯=. 即 21020a =，510a =.又1400AB =，所以21400c =，700c =，222229900b c a =-=.因此，所求双曲线的方程为221260100229900x y -=. 3、22221x y a b-=4、解：设点11(,)A x y ，22(,)B x y 在双曲线上，且线段AB 的中点为(,)M x y .设经过点P 的直线l 的方程为1(1)y k x -=-，即1y kx k =+-把1y kx k =+-代入双曲线的方程2212y x -=得222(2)2(1)(1)20k x k k x k ------=（220k -≠） ……① 所以，122(1)22x x k k x k +-==- 由题意，得2(1)12k k k -=-，解得 2k =.当2k =时，方程①成为22430x x -+=.根的判别式162480∆=-=-<，方程①没有实数解.所以，不能作一条直线l 与双曲线交于,A B 两点，且点P 是线段AB 的中点.2．4抛物线 练习（P67）1、（1）212y x =； （2）2y x =； （3）22224,4,4,4y x y x x y x y ==-==-.2、（1）焦点坐标(5,0)F ，准线方程5x =-； （2）焦点坐标1(0,)8F ，准线方程18y =-；（3）焦点坐标5(,0)8F -，准线方程58x =； （4）焦点坐标(0,2)F -，准线方程2y =；3、（1）a ，2pa -. （2），(6,- 提示：由抛物线的标准方程求出准线方程. 由抛物线的定义，点M 到准线的距离等于9，所以 39x +=，6x =，y =±练习（P72） 1、（1）2165y x =； （2）220x y =； （3）216y x =-； （4）232x y =-. 2、图形见右，x3、解：过点(2,0)M 且斜率为1的直线l 的方程 为2y x =-与抛物线的方程24y x =联立 224y x y x=-⎧⎨=⎩解得 1142x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩2242x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB ===.4、解：设直线AB 的方程为x a =(0)a >.将x a =代入抛物线方程24y x =，得24y a =，即y =± 因为 22AB y ==⨯== 所以，3a = 因此，直线AB 的方程为3x =.习题2.4 A 组（P73）1、（1）焦点坐标1(0,)2F ，准线方程12y =-； （2）焦点坐标3(0,)16F -，准线方程316y =； （3）焦点坐标1(,0)8F -，准线方程18x =； （4）焦点坐标3(,0)2F ，准线方程32x =-. 2、（1）28y x =-； （2），或(4,-3、解：由抛物线的方程22y px =(0)p >，得它的准线方程为2px =-.根据抛物线的定义，由2MF p =，可知，点M 的准线的距离为2p . 设点M 的坐标为(,)x y ，则 22p x p +=，解得32px =. 将32px =代入22y px =中，得y =. 因此，点M的坐标为3()2p，3(,)2p. 4、（1）224y x =，224y x =-； （2）212x y =-（图略）5、解：因为60xFM ∠=︒，所以线段FM所在直线的斜率tan 60k =︒= 因此，直线FM 的方程为1)y x =-与抛物线24y x =联立，得21)142y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩将1代入2得，231030x x -+=，解得，113x =，23x =把113x =，23x =分别代入①得1y =，2y = 由第5题图知1(,33-不合题意，所以点M的坐标为.因此，4FM ==6、证明：将2y x =-代入22y x =中，得2(2)2x x -=， 化简得 2640x x -+=，解得3x =± 则321y =±=±因为OB k =，OA k所以15195OB OA k k -⋅===--所以 OA OB ⊥7、这条抛物线的方程是217.5x y =8、解：建立如图所示的直角坐标系，设拱桥抛物线的方程为22x py =-， 因为拱桥离水面2 m ，水面宽4 m 所以 222(2)p =--，1p =因此，抛物线方程为22x y =- ……①水面下降1 m ，则3y =-，代入①式，得22(3)x =-⨯-，x =.这时水面宽为 m.习题 B 组（P74）1、解：设垂线段的中点坐标为(,)x y ，抛物线上相应点的坐标为11(,)x y .根据题意，1x x =，12y y =，代入2112y px =，得轨迹方程为212y px =. 由方程可知，轨迹为顶点在原点、焦点坐标为(,0)8p 的抛物线.2、解：设这个等边三角形OAB 的顶点,A B 在抛物线上，且坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则 2112y px =，2222y px =.又OA OB =，所以 22221122x y x y +=+即221212220x x px px -+-=，221212()2()0x x p x x -+-= 因此，1212()(2)0x x x x p -++= 因为120,0,20x x p >>>，所以12x x =由此可得12y y =，即线段AB 关于x 轴对称.因为x 轴垂直于AB ，且30AOx ∠=︒，所以11tan303y x =︒=. 因为2112y x p=，所以1y =，因此12AB y ==.3、解：设点M 的坐标为(,)x y由已知，得 直线AM 的斜率 (1)1AM yk x x =≠-+. 直线BM 的斜率 (1)1BM yk x x =≠-. 由题意，得2AM BM k k -=，所以，2(1)11y y x x x -=≠±+-，化简，得2(1)(1)x y x =--≠±第二章 复习参考题A 组（P80）1、解：如图，建立直角坐标系，使点2,,A B F 在x 轴上，2F 为椭圆的右焦点（记1F 为左焦点）.因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为22221(0)x y a b+=>>.则 22a c OA OF F A -=-=63714396810=+=22a c OB OF F B +=+=637123848755=+=，解得 7782.5a =，8755c =所以 b ==用计算器算得 7722b ≈因此，卫星的轨道方程是2222177837722x y +=.2、解：由题意，得 12a c R r a c R r -=+⎧⎨+=+⎩， 解此方程组，得1221222R r r a r r c ++⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩因此卫星轨道的离心率21122cr r e aR r r -==++.3、（1）D ； （2）B .4、（1）当0α=︒时，方程表示圆.（2）当090α︒<<︒时，方程化成2211cos y x α+=. 方程表示焦点在y 轴上的椭圆.（3）当90α=︒时，21x =，即1x =±，方程表示平行于y 轴的两条直线. （4）当90180α︒<≤︒时，因为cos 0α<，所以22cos 1x y α+=表示双曲线，其焦点在x 轴上. 而当180α=︒时，方程表示等轴双曲线.5、解：将1y kx =-代入方程224x y -=得 2222140x k x kx -+--= 即 22(1)250k x kx -+-= ……①222420(1)2016k k k ∆=+-=-令 0∆<，解得k >，或k <因为0∆<，方程①无解，即直线与双曲线没有公共点，所以，k 的取值范围为k >，或k <6、提示：设抛物线方程为22y px =，则点B 的坐标为(,)2p p ，点C 的坐标为(,)2pp - 设点P 的坐标为(,)x y ，则点Q 的坐标为(,0)x .因为，PQ y ==2BC p =，OQ x =.所以，2PQ BC OQ =，即PQ 是BC 和OQ 的比例中项.7、解：设等边三角形的另外两个顶点分别是,A B ，其中点A 在x 轴上方.直线FA 的方程为 )2p y x =-与22y px =联立，消去x ，得 220y p --=解方程，得 12)y p =+，22)y p =-把12)y p =+代入)2p y x =-，得 17(2x p =+.把22)y p =代入)2p y x =-，得 27(2x p =-.所以，满足条件的点A 有两个17((2))2A p p +，27((2))2A p p -.根据图形的对称性，可得满足条件的点B 也有两个17((,2))2B p p +-，27((,2))2B p p --所以，等边三角形的边长是112)A B p =+，或者222(2A B p =. 8、解：设直线l 的方程为2y x m =+.把2y x m =+代入双曲线的方程222360x y --=，得221012360x mx m +++=.1265mx x +=-，2123610m x x += ……①由已知，得 21212(14)[()4]16x x x x ++-= ……②把①代入②，解得 m =所以，直线l 的方程为2y x =±9、解：设点A 的坐标为11(,)x y ，点B 的坐标为22(,)x y ，点M 的坐标为(,)x y .并设经过点M 的直线l 的方程为1(2)y k x -=-，即12y kx k =+-.把12y kx k =+-代入双曲线的方程2212y x -=，得222(2)2(12)(12)20k x k k x k ------=2(20)k -≠. ……① 所以，122(12)22x x k k x k+-==-由题意，得2(12)22k k k -=-，解得4k =当4k =时，方程①成为 21456510x x -+=根的判别式25656512800∆=-⨯=>，方程①有实数解. 所以，直线l 的方程为47y x =-.10、解：设点C 的坐标为(,)x y .由已知，得 直线AC 的斜率 (5)5AC yk x x =≠-+ 直线BC 的斜率 (5)5BC yk x x =≠- 由题意，得AC BC k k m =. 所以，(5)55y y m x x x ⨯=≠±+- 化简得，221(5)2525x y x m-=≠± 当0m <时，点C 的轨迹是椭圆(1)m ≠-，或者圆(1)m =-，并除去两点(5,0),(5,0)-；当0m >时，点C 的轨迹是双曲线，并除去两点(5,0),(5,0)-；11、解：设抛物线24y x =上的点P 的坐标为(,)x y ，则24y x =.点P 到直线3y x =+的距离d ===.当2y =时，d. 此时1x =，点P 的坐标是(1,2).12顶为原点、拱高所在直线为y 轴 （向上），建立直角坐标系.设隧道顶部所在抛物线的方程 为22x py =-因为点(4,4)C -在抛物线上 所以 242(4)p =-- 解得 24p =-所以，隧道顶部所在抛物线的方程 为24x y =-.设0.5EF h =+. 则(3, 5.5)F h -把点F 的坐标代入方程24x y =-，解得 3.25h =. 答：车辆通过隧道的限制高度为3.2 m.第二章 复习参考题B 组（P81）1、12PF F S ∆=2、解：由题意，得1PF x ⊥轴.把x c =-代入椭圆方程，解得 2b y a=±. 所以，点P 的坐标是2(,)b c a -直线OP 的斜率21b k ac =-. 直线AB 的斜率2bk a=-.由题意，得2b bac a=，所以，b c =，a =.由已知及1F A a c =+，得 a c +=所以 (1c += c =所以，a =，b =因此，椭圆的方程为221105x y +=.3、解：设点A 的坐标11(,)x y ，点B 的坐标22(,)x y .由OA OB ⊥，得12120x x y y +=.由已知，得直线AB 的方程为25y x =-+. 则有 12125()250y y y y -++= ……①由25y x =-+与22y px =消去x ，得250y py p +-= ……② 12y y p +=-，125y y p =- ……③ 把③代入①，解得54p =当54p =时，方程②成为245250y y +-=，显然此方程有实数根. 所以，54p =4、解：如图，以连接12,F F 的直线为x 轴，线段12F F 的中点为原点，建立直角坐标系.对于抛物线，有176352922922p =+=， 所以，4584p =，29168p =.对于双曲线，有2080529c a c a +=⎧⎨-=⎩解此方程组，得775.5a =，1304.5c = 因此，2221100320b c a =-=.所以，所求双曲线的方程是221601400.31100320x y -=(775.5)x ≥. 因为抛物线的顶点横坐标是 (1763)(1763775.5)987.5a --=--=- 所以，所求抛物线的方程是 29168(987.5)y x =+ 答：抛物线的方程为29168(987.5)y x =+，双曲线的方程是221601400.31100320x y -=(775.5)x ≥. 5、解：设点M 的坐标为(,)x y由已知，得 直线AM 的斜率 (1)1AM yk x x =≠-+ 直线BM 的斜率 (1)1BM yk x x =≠-由题意，得2AM BM k k +=，所以2(1)11y y x x x +=≠±-+，化简，得21(1)xy x x =-≠±所以，点M 轨迹方程是21(1)xy x x =-≠±.6、解：（1）当1m =时，方程表示x 轴；（2）当3m =时，方程表示y 轴；（3）当1,3m m ≠≠时，把方程写成22131x y m m +=--. ①当13,2m m <<≠时，方程表示椭圆； ②2m =时，方程表示圆；③当1m <，或3m >时，方程表示双曲线.7、以AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切.证明：如图，过点,A B 分别作抛物线22(0)y px p =>的准线l 的 垂线，垂足分别为,D E .由抛物线的定义，得 AD AF =，BE BF =.所以，AB AF BF AD BE =+=+.设AB 的中点为M ，且过点M 作抛物线22(0)y px p =>的准线l 的垂线，垂足为C .显然MC ∥x 轴，所以，MC 是直角梯形ADEB 的中位线. 于是，11()22MC AD BE AB =+=.因此，点C 在以AB 为直径的圆上.又MC l ⊥，所以，以AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切. 类似地，可以证明：对于椭圆，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相离； 对于双曲线，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相交.新课程标准数学选修2—1第三章课后习题解答 第三章 空间向量与立体几何 3．1空间向量及其运算 练习（P86）1、略.2、略.3、A C AB AD AA ''=+-，BD AB AD AA ''=-+，DB AA AB AD ''=--.练习（P89）1、（1）AD ； （2）AG ； （3）MG .2、（1）1x =； （2）12x y ==； （3）12x y ==. 3练习（P92） 1、B .2、解：因为AC AB AD AA ''=++，所以22()AC AB AD AA ''=++2222222()4352(0107.5)85AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯++=所以85AC '=3、解：因为AC α⊥所以AC BD ⊥，AC AB ⊥，又知BD AB ⊥. 所以0AC BD ⋅=，0AC AB ⋅=，又知0BD AB ⋅=.2CD CD CD =⋅222222()()CA AB BD CA AB BD CA AB BDa b c =++⋅++=++=++所以CD .练习（P94）1、向量c 与a b +，a b -一定构成空间的一个基底. 否则c 与a b +，a b -共面，于是c 与a ，b 共面，这与已知矛盾. 2、共面 2、（1）解：OB OB BB OA AB BB OA OC OO a b c ''''=+=++=++=++；BA BA BB OC OO c b '''=+=-+=-CA CA AA OA OC OO a b c '''=+=-+=-+（2）1111()2222OG OC CG OC CB b a c a b c '=+=+=++=++. 练习（P97）1、（1）(2,7,4)-； （2）(10,1,16)-； （3）(18,12,30)-； （4）2.2、略.3、解：分别以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.则(0,0,0)D ，1(1,1,1)B ，1(1,,0)2M ，(0,1,0)C 所以，1(1,1,1)DB =，1(1,,0)2CM =-.所以，111110cos ,3DB CM DB CM DB CM-+⋅<>===⋅习题3.1 A 组（P97）1、解：如图，（1）AB BC AC +=；（2）AB AD AA AC AA AC CC AC ''''++=+=+=；（3）设点M 是线段CC '的中点，则12AB AD CC AC CM AM '++=+=； （4）设点G 是线段AC '的三等分点，则11()33AB AD AA AC AG ''++==. 向量,,,AC AC AM AG '如图所示. 2、A .3、解：22()AC AB AD AA ''=++2222222()15372(53573722298AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+所以，13.3AC '≈.4、（1）21cos602AB AC AB AC a ⋅=⋅︒=； （2）21cos1202AD DB AD DB a ⋅=⋅︒=-； （3）21cos1802GF AC GF AC a ⋅=⋅︒=- 11()22GF AC a ==； （4）21cos604EF BC EF BC a ⋅=⋅︒= 11()22EF BD a ==； （5）21cos1204FG BA FG BA a ⋅=⋅︒=- 11()22FG AC a ==； （6）11()22GE GF GC CB BA CA ⋅=++⋅2111()222111424111cos120cos60cos6042414DC CB BA CA DC CA CB CA BA CA DC CA CB CA BA CA a =++⋅=⋅+⋅+⋅=⋅︒+⋅︒+⋅︒=5、（1）60︒； （2）略.6、向量a 的横坐标不为0，其余均为0；向量b 的纵坐标不为0，其余均为0；向量c 的竖坐标不为0，其余均为0.7、（1）9； （2）(14,3,3)-.8、解：因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，即8230x --+=，解得103x =. 9、解：(5,1,10)AB =--，(5,1,10)BA =-设AB 的中点为M ，119()(,,2)222OM OA OB =+=-，所以，点M 的坐标为19(,,2)22-，(AB =-=10、解：以1,,DA DC DD 分别作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.则1,,,C M D N 的坐标分别为：(0,1,0)C ，1(1,0,)2M ，1(0,0,1)D ，1(1,1,)2N . 1(1,1,)2CM =-，11(1,1,)2D N =-所以2312CM ==，21312D N ==111114cos ,994CM D N --<>==- 由于异面直线CM 和1D N 所成的角的范围是[0,]2π因此，CM 和1D N 所成的角的余弦值为19.11、31(,,3)22- 习题 B 组（P99）1、证明：由已知可知，OA BC ⊥，OB AC ⊥∴ 0OA BC ⋅=，0OB AC ⋅=，所以()0OA OC OB ⋅-=，()0OB OC OA ⋅-=. ∴ OA OC OA OB ⋅=⋅，OB OC OB OA ⋅=⋅.∴ 0OA OC OB OC ⋅-⋅=，()0OA OB OC -⋅=，0BA OC ⋅=. ∴ OC AB ⊥.2、证明：∵ 点,,,E F G H 分别是,,,OA OB BC CA 的中点.∴ 12EF AB =，12HG AB =，所以EF HG = ∴四边形EFGH 是平行四边形.1122EF EH AB OC ⋅=⋅11()()44OB OA OC OB OC OA OC =-⋅=⋅-⋅ ∵ OA OB =，CA CB =（已知），OC OC =.∴ BOC ∆≌AOC ∆（SSS ） ∴ BOC AOC ∠=∠ ∴ OB OC OA OC ⋅=⋅ ∴ 0EF EH ⋅= ∴ EF EH ⊥∴ 平行四边形□EFGH 是矩形.3、已知：如图，直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，,O B 为垂足. 求证：OA ∥BD证明：以点O 为原点，以射线OA 方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，,,i j k 分别为沿x 轴、y 轴、z 轴的坐标向量，且设(,,)BD x y z =.∵ BD α⊥.∴ BD i ⊥，BD j ⊥.∴ (,,)(1,0,0)0BD i x y z x ⋅=⋅==，(,,)(0,1,0)0BD j x y z y ⋅=⋅==. ∴ (0,0,)BD z =. ∴ BD zk =.∴ BD ∥k ，又知,O B 为两个不同的点. ∴ BD ∥OA .3．2立体几何中的向量方法 练习（P104）1、（1）3b a =，1l ∥2l ； （2）0a b ⋅=，1l ⊥2l ； （3）3b a =-，1l ∥2l .2、（1）0u v ⋅=，αβ⊥； （2）2v u =-，α∥β；（3）2247u v u v⋅=-α与β.练习（P107）1、证明：设正方形的棱长为1.11D F DF DD =-，AE BE BA =-.因为11()000D F AD DF DD AD ⋅=-⋅=-=，所以1D F AD ⊥.因为1111()()00022D F AE DF DD BE BA ⋅=-⋅-=+-+=，所以1D F AE ⊥. 因此1D F ⊥平面ADE .2、解：22()CD CD CA AB BD ==++222222361664268cos(18060)68CA AB BD CA AB CA BD AB BD=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯⨯︒-︒=∴CD =练习（P111）1、证明：1()()2MN AB MB BC CN AB MB BC CD AB ⋅=++⋅=++⋅222211()22111cos120cos60cos600222MB BC AD AC AB a a a a =++-⋅=+︒+︒-︒=∴ MN AB ⊥. 同理可证MN CD ⊥.2、解：222222()2cos l EF EA A A AF m d n mn θ''==++=+++（或2cos()mn πθ-）22222cos d l m n mn θ=--，所以AA d '==.3、证明：以点D 为原点，,,DA DC DD '的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)D ，(0,1,0)C ，(1,1,0)B ，(0,1,1)C '，11(,1,)22O . ∵ 11(,1,)(1,0,1)022DO BC '⋅=---⋅-= ∴DO BC '⊥ 习题3.2 A 组（P111） 1、解：设正方形的棱长为1（1）1()()2MN CD MB B N CC C D ''''''⋅=+⋅+=，21MN CD '⋅== 112cos 12θ==，60θ=︒.（2）1()2MN AD MB B N AD ''⋅=+⋅=，21MN AD ⋅==1cos 22θ==，45θ=︒.2、证明：设正方体的棱长为1因为11()000DB AC DB BB AC ⋅=+⋅=+=，所以1DB AC ⊥.因为111111()000DB AD DA AB AD ⋅=+⋅=+=，所以11DB AD ⊥. 因此，1DB ⊥平面1ACD .3、证明：∵()cos cos 0OA BC OC OB OA OC OA OB OA θθ⋅=-⋅=-=，∴OA BC ⊥.4、证明：（1）因为11()000AC LE A A AC LE ⋅=+⋅=+=，所以1AC LE ⊥. 因为11()000AC EF A B BC EF ⋅=+⋅=+=，所以1AC EF ⊥. 因此，1AC ⊥平面EFGHLK . （2）设正方体的棱长为1因为1111()()1AC DB A A AC DB DB ⋅=+⋅+=-，211(3)3ACDB ⋅== 所以 1cos 3θ=-.因此1DB 与平面EFGHLK 的所成角α的余弦cos 3α=. 5、解：（1）222211111()()22222DE DE DE DE DA AB AC AB OA AC AB ==⋅=++-=++11(111111)42=++-+-=所以，2DE =（2）11111()()22222AE AO AC AB AO ⋅=+⋅=+=，32AE AO ⋅=1cos2θ===sin 3θ=点O 到平面ABC的距离sin 1OH OA θ=== 6、解：（1）设1AB =，作AO BC ⊥于点O ，连接DO .以点O 为原点，,,OD OC OA 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)O ，D ，1(0,,0)2B ，3(0,,0)2C ，A .∴3((4DO DA ⋅=-⋅=，18DODA ⋅=，cos 2θ=. ∴ AD 与平面BCD所成角等于45︒.（2）(0,1,0)(0BC DA ⋅=⋅=. 所以，AD 与BC 所成角等于90︒.（3）设平面ABD 的法向量为(,,1)x y ，。

§1.1 命题及四种命题设计人：韩爱芳1. 掌握命题、真命题及假命题的概念；2. 四种命题的内在联系，能根据一个命题来构造它的逆命题、否命.复习2：什么是定理?什么是公理?.二、新课导学※学习探究1.在数学中,我们把用、、或表达的，可以的叫做命题.其中的语句叫做真命题，的语句叫做假命题练习：下列语句中：（1）若直线//a b，则直线a和直线b无公共点；（2）247+=（3）垂直于同一条直线的两个平面平行；（4）若21x=，则1x=；（5）两个全等三角形的面积相等；（6）3能被2整除.其中真命题有，假命题有2.命题的数学形式：“若p，则q”，命题中的p叫做命题的，q叫做命题的.※典型例题例1：下列语句中哪些是命题?是真命题还是假命题?（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；（3）指数函数是增函数吗？（4）若空间有两条直线不相交，则这两条直线平行；（52；（6）15x>.命题有，真命题有假命题有.例2 指出下列命题中的条件p和结论q：（1）若整数a能被2整除，则a是偶数；（2）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直平分.解：（1）条件p：结论q：（2）条件p：结论q：变式：将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假：（1）垂直于同一条直线的两条直线平行；（2）负数的立方是负数；（3）对顶角相等.※动手试试1.判断下列命题的真假：（1）能被6整除的整数一定能被3整除；（2）若一个四边形的四条边相等，则这个四边形是正方形；（3）二次函数的图象是一条抛物线；（4）两个内角等于45︒的三角形是等腰直角三角形.2.把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断它们的真假.(1)等腰三角形两腰的中线相等；(2)偶函数的图象关于y轴对称；(3)垂直于同一个平面的两个平面平行.小结：判断一个语句是不是命题注意两点：（1）是否是陈述句；（2）是否可以判断真假.3.四种命题的概念（1）对两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们这样的两个命题叫做,其中一个命题叫做原命题为：“若p，则q”，则逆命题为：“”.(2) 一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定, 我们把这样的两个命题叫做,其中一个命题叫做命题,那么另一个命题叫做原命题的.若原命题为：“若p，则q”，则否命题为：“”（3）一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定, 我们把这样的两个命题叫做,其中一个命题叫做命题,那么另一个命题叫做原命题的.若原命题为：“若p，则q”，则否命题为：“”练习：下列四个命题：（1）若()f x是周期函数；f x是正弦函数，则()（2）若()f x是周期函数，则()f x是正弦函数；（3）若()f x不是周期函数；f x不是正弦函数，则()（4）若()f x不是正弦函数.f x不是周期函数，则()（1）（2）互为（1）（3）互为（1）（4）互为（2）（3）互为例3 命题：“已知a、b、c、d是实数，若子,==，则a c b da b c d+=+”.写出逆命题、否命题、逆否命题.变式：设原命题为“已知a、b是实数，若a b+是无理数，则a、b都是无理数”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题.※动手试试写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题并判断它们的真假：（1）若一个整数的末位数是0，则这个整数能被5整除；（2）若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等； （3）奇函数的图像关于原点对称.三、总结提升： ※ 学习小结这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1.下列语名中不是命题的是（ ）. A.20x > B.正弦函数是周期函数 C.{1,2,3,4,5}x ∈ D.125>2.设M 、N 是两个集合，则下列命题是真命题的是（ ）. A.如果M N ⊆，那么M N M ⋂= B.如果M N N ⋂=，那么M N ⊆ C.如果M N ⊆，那么M N M ⋃= D.M N N ⋃=，那么N M ⊆3.下面命题已写成“若p ，则q ”的形式的是（ ）. A.能被5整除的数的末位是5B.到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上C.若一个等式的两边都乘以同一个数，则所得的结果仍是等式D.圆心到圆的切线的距离等于半径 4.下列语句中：（1）2+2）1002是个大数（3）好人一生平安（4）968能被11整除，其中是命题的序号是 5.将“偶函数的图象关于y 轴对称”写成“若p ，则q ”的形式，则p ： ，q ：1.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假 （1）若,a b 都是偶数，则a b +是偶数； （2）若0m >，则方程20x x m +-=有实数根.2.把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假：（1）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；（2）矩形的对角线相等.§1.1 四种命题间的相互关系设计人：李月光1．掌握四种命题的内在联系；2. 能分析逆命题、否命题和逆否命题的相互关系，并能利用等价关复习2：判断命题“若0a ≥，则20x x a +-=有实根”的逆命题的真假.二、新课导学 ※ 学习探究1：分析下列四个命题之间的关系（1）若()f x 是正弦函数，则()f x 是周期函数； （2）若()f x 是周期函数，则()f x 是正弦函数； （3）若()f x 不是正弦函数，则()f x 不是周期函数； （4）若()f x 不是周期函数，则()f x 不是正弦函数. （1）（2）互为 （1）（3）互为 （1）（4）互为 （2）（3）互为通过上例分析我们可以得出四种命题之间有如下关系：2、四种命题的真假性例1 以“若2320x x -+=，则2x =”为原命题，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假并总结其规律性.（1） . (2) . 练习：判断下列命题的真假.(1)命题“在ABC ∆中，若AB AC >，则C B ∠>∠”的逆命题； （2）命题“若0ab ≠，则0a ≠且0b ≠”的否命题； （3）命题“若0a ≠且0b ≠，则0ab ≠”的逆否命题； （4）命题“若0a ≠且0b ≠，则220a b +>”的逆命题.反思：（1）直接判断（2）互为逆否命题的两个命题等价来判断. ※ 典型例题例1 证明:若220x y +=，则0x y ==.变式：判断命题“若220x y +=，则0x y ==”是真命题还是假命题？练习：证明：若222430a b a b -+--≠，则1a b -≠.例2 已知函数()f x 在(,)-∞+∞上是增函数,,a b R ∈,对于命题“若0a b +≥，则()()()()f a f b f a f b +≥-+-.”(1) 写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论. (2) 写出其逆否命题,并证明你的结论. ※ 动手试试1.求证：若一个三角形的两条边不等，这两条边所对的角也不相等.2.命题“如果22x a b ≥+，那么2x ab ≥”的逆否命题是（ ） A.如果22x a b <+，那么2x ab < B.如果2x ab ≥，那么22x a b ≥+ C.如果2x ab <，那么22x a b <+ D.如果22x a b ≥+，那么2x ab <三、总结提升： ※ 学习小结这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 命题“若0x >且0y >，则0xy >”的否命题是（ ）.A.若0,0x y ≤≤，则0xy ≤B.若0,0x y >>，则0xy ≤C.若,x y 至少有一个不大于0，则0xy <D.若,x y 至少有一个小于0，或等于0，则0xy ≤2. 命题“正数a 的平方根不等于0”是命题“若a 不是正数，则它的平方根等于0”的（ ）.A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.等价命题3.）. A.假设B. C.D.4. 若1x >，则21x >的逆命题是 否命题是5.命题“若a b >，则221a b ≥-”的否命题为1. 已知,a b 是实数，若20x ax b ++≤有非空解集，则240a b -≥，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假.2.证明：在四边形ABCD 中，若AB CD AC CD +<+，则AB AC <.§1.2.1 充分条件与必要条件设计人：杨光明1. 理解必要条件和充分条件的意义；..复习2：将命题“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”改写为“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假.二、新课导学※学习探究探究任务：充分条件和必要条件的概念问题：1. 命题“若22>+，则2x a b>”x ab（1）判断该命题的真假；（2）改写成“若p，则q”的形式，则P：q：（3）如果该命题是真命题，则该命题可记为：读着：2. 1.命题“若0a=”ab=,则0（1）判断该命题的真假；（2）改写成“若p，则q”的形式，则P：q：（3）如果该命题是真命题，则该命题可记为：读着：新知：一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q .我们就说,由p 推出q ,记作p q ⇒,并且说p 是q 的 ,q 是p 的 试试：用符号“⇒”与“”填空： （1） 22x y = x y =；（2） 内错角相等 两直线平行；（3） 整数a 能被6整除 a 的个位数字为偶数； （4） ac bc = a b =. ※ 典型例题例1 下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若1x =，则2430x x -+=；（2）若()f x x =，则()f x 在(,)-∞+∞上为增函数； （3）若x 为无理数，则2x 为无理数.练习：下列“若P ，则q ”的形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行； （2）若5x >，则10x >例2 下列“若p ，则q ”形式的命题中哪些命题中的q 是p 必要条件？ （1）若x y =，则22x y =；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等； （3）若a b >，则ac bc >练习：下列“若p ，则q ”形式的命题中哪些命题中的q 是p 必要条件？ （1）若5a +是无理数，则a 是无理数； （2）若()()0x a x b --=，则x a =.小结：判断命题的真假是解题的关键.※ 动手试试练1. 判断下列命题的真假.（1）2x =是2440x x -+=的必要条件； （2）圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件； （3）sin sin αβ=是αβ=的充分条件； （4）0ab ≠是0a ≠的充分条件.练2. 下列各题中，p 是q 的什么条件？ （1）p ：1x =，q ：1x - （2）p ：|2|3x -≤，q ：15x -≤≤； （3）p ：2x =，q ：3x -=（4）p ：三角形是等边三角形，q ：三角形是等腰三角形.三、总结提升 ※ 学习小结这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？※ 知识拓展设,A B 为两个集合,集合A B ⊆，那么x A ∈是x B ∈的 条件，.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 在平面内,下列哪个是“四边形是矩形”的充分条件？（ ）. A.平行四边形对角线相等 B.四边形两组对边相等 C.四边形的对角线互相平分 D.四边形的对角线垂直2.,x y R ∈，下列各式中哪个是“0xy ≠”的必要条件？（ ）. A.0x y += B.220x y +> C.0x y -= D.330x y +≠3.平面//α平面β的一个充分条件是（ ）. A.存在一条直线,//,//a a a αβ B.存在一条直线,,//a a a αβ⊂C.存在两条平行直线,,,,//,//a b a b a b αββα⊂⊂D.存在两条异面直线,,,,//,//a b a b a b αββα⊂⊂ 4.p :20x -=,q ：(2)(3)0x x --=，p 是q 的 条件.5. p ：两个三角形相似；q ：两个三角形全等，p 是q 的 条件.1. 判断下列命题的真假 （1）“a b >”是“22a b >”的充分条件；（2）“|||ab >”是“22a b >”的必要条件.2. 已知{|A x x =满足条件}p ，{|B x x =满足条件}q . (1)如果A B ⊆,那么p 是q 的什么条件? (2)如果B A ⊆,那么p 是q 的什么条件?§1.2.2 充要条件设计人：刘翠霞1. 理解充要条件的概念；.，找出疑惑之处）1112复习1：什么是充分条件和必要条件?复习2：p：一个四边形是矩形q：四边形的对角线相等.p是q的什么条件?二、新课导学※学习探究探究任务一：充要条件概念问题：已知p：整数a是6的倍数，q：整数a是2 和3的倍数.那么p 是q的什么条件?q又是p的什么条件?新知：如果p q⇔,那么p与q互为试试：下列形如“若p，则q”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？p是q的什么条件？（1）若平面α外一条直线a与平面α内一条直线平行，则直线a与平面α平行；（2）若直线a与平面α内两条直线垂直，则直线a与平面α垂直.反思：充要条件的实质是原命题和逆命题均为真命题.※ 典型例题例1 下列各题中,哪些p 是q 的充要条件?(1) p : 0b =,q :函数2()f x ax bx c =++是偶函数； (2) p : 0,0,x y >> q :0xy > (3) p : a b > ， q :a c b c +>+变式：下列形如“若p ，则q ”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？哪些p 是q 的充要条件?(1) p : 0b = ,q :函数2()f x ax bx c =++是偶函数； (2) p : 0,0,x y >> q :0xy > (3) p : a b > ， q :a c b c +>+小结：判断是否充要条件两种方法 （1）p q ⇒且q p ⇒；（2）原命题、逆命题均为真命题； (3) 用逆否命题转化.练习：在下列各题中, p 是q 的充要条件? (1)p :234x x =+ , q :x =(2) p : 30x -=, q :(3)(4)0x x --= (3) p : 240(0)b ac a -≥≠ ,q :20(0)ax bx c a ++=≠(4) p : 1x =是方程20ax bx c ++=的根 q :0a b c ++=例2 已知：O 的半径为r ，圆心O 到直线的距离为d .求证:d r =是直线l 与O 相切的充要条件.变式：已知：O 的半径为r ，圆心O 到直线的距离为d ，证明: (1)若d r =，则直线l 与O 相切. (2)若直线l 与O 相切,则d r =小结：证明充要条件既要证明充分性又要证明必要性.※ 动手试试练1. 下列各题中p 是q 的什么条件？ （1）p ：1x =，q ：1x - （2）p ：|2|3x -=，q ：15x -≤≤ ； （3）p ：2x =，q ：3x -=；（4）p ：三角形是等边三角形，q ：三角形是等腰三角形.练2. 求圆222()()x a y b r -+-=经过原点的充要条件.三、总结提升 ※ 学习小结这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？※ 知识拓展设A 、B 为两个集合，集合A B =是指x A x B ∈⇔∈，则“x A ∈”与“x B ∈”互为.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列命题为真命题的是（ ）. A.a b >是22a b >的充分条件 B.||||a b >是22a b >的充要条件 C.21x =是1x =的充分条件D.αβ=是tan tan αβ= 的充要条件2.“x M N ∈”是“x M N ∈”的（ ）. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.设p ：240(0)b ac a ->≠，q ：关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠有实根，则p 是q 的（ ）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.22530x x --<的一个必要不充分条件是（ ）. A.132x -<< B.102x -<<C.132x -<< D.16x -<<5. 用充分条件、必要条件、充要条件填空. (1).3x >是5x >的(2).3x =是2230x x --=的( 3).两个三角形全等是两个三角形相似的1. 证明：20a b +=是直线230ax y ++=和直线20x by ++=垂直的充要条件.2.求证：ABC ∆是等边三角形的充要条件是222a b c ab ac bc ++=++，这里,,a b c 是ABC ∆的三边.§1.3简单的逻辑联结词设计人：李永福1. 了解“或”“且”“非”逻辑联结词的含义；2. 掌握,,∧∨⌝的真假性的判断；p q p q p3. 正确理解p⌝的意义，区别p⌝与p的否命题；p的真假性的判断，关键在于p与q的真假的判断.，找出疑惑之处）1416复习1：什么是充要条件?复习2：已知{|=满足条件}qB x x=满足条件}p,{|A x x(1)如果A B⊆,那么p是q的什么条件；(2) 如果B A⊆,那么p是q的什么条件；(3) 如果A B=,那么p是q的什么条件.二、新课导学※学习探究探究任务一：“且“的意义问题：下列三个命题有什么关系?(1)12能被3整除；（2）12能被4整除；（3）12能被3整除且能被4整除.新知：1.一般地,用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来就得到一个新命题，记作“”，读作“”.试试：判断下列命题的真假：（1）12是48且是36的约数；（2）矩形的对角线互相垂直且平分.反思：p q∧的真假性的判断，关键在于p与q的真假的判断.探究任务二：“或“的意义问题：下列三个命题有什么关系?(1) 27是7的倍数；（2）27是9的倍数；（3）27是7的倍数或是9的倍数.新知：1.一般地,用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来就得到一个新命题，记作“”，读作“”.（1）47是7的倍数或49是7的倍数；（2）等腰梯形的对角线互相平分或互相垂直.反思：p q∨的真假性的判断，关键在于p与q的真假的判断.探究任务三：“非“的意义问题：下列两个命题有什么关系?(1) 35能被5整除；（2）35不能被5整除；新知：1.一般地,对一个命题的全盘否定就得到一个新命题，记作“”，读作“”或“”.试试：写出下列命题的否定并判断他们的真假：（1）2+2=5；（2）3是方程290x-=的根；（3=-1反思：p⌝的真假性的判断，关键在于p的真假的判断.※典型例题例1 将下列命题用“且”联结成新命题并判断他们的真假：（1）p：平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形的对角线相等；（2）p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分；（3）p：35是15的倍数，q：35是7的倍数变式：用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判断他们的真假：（1）1既是奇数，又是素数；（2）2和3都是素数.小结：p q∧的真假性的判断，关键在于p与q的真假的判断.例2 判断下列命题的真假(1) 22≤；(2) 集合A是A B的子集或是A B的子集；(3) 周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等.变式：如果p q∨为∧为真命题，那么p q∨一定是真命题吗？反之，p q 真命题，那么p q∧一定是真命题吗？小结：p q∨的真假性的判断，关键在于p与q的真假的判断.例3 写出下列命题的否定，并判断他们的真假：（1）p：siny x=是周期函数；（2）p：32<（3）空集是集合A的子集.小结：p⌝的真假性的判断，关键在于p的真假的判断.三、总结提升※学习小结这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？※知识拓展阅读教材第18页,理解逻辑联结词“且”“或”“非”与集合运算.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. “p或q为真命题”是“p且q为真命题”的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.命题P：在ABC>的充要条件；命题q：a b>是C B∠>∠是sin sin∆中，C B22>的充分不必要条件，则（）.ac bcA.p真q假B.p假q假C.“p或q”为假D.“p且q”为真3.命题：（1）平行四边形对角线相等；（2）三角形两边的和大于或等于第三边；（3）三角形中最小角不大于60︒；（4）对角线相等的菱形为正方形.其中真命题有（）.A.1B.2C.3D.44.命题p：0不是自然数，命题q：π是无理数，在命题“p或q”“p且q”“非p”“非q”中假命题是，真命题是.5. 已知p：2||6-≥，q：,,x x∈∧⌝都是假命题，则x的值组成的集x Z p q q1. 写出下列命题，并判断他们的真假：（1）p q∨，这里p：4{2,3}∈；∈，q：2{2,3}（2）p q∧，这里p：4{2,3}∈；∈，q：2{2,3}(3) p q∨，这里p：2是偶数，q：3不是素数；(4) p q∧，这里p：2是偶数，q：3不是素数.2.判断下列命题的真假：（1）52>且73>（2）78≥（3）34>或34<§1.4 全称量词与存在量词班级：组名：姓名：设计人：李洪涛审核人：魏帅举领导审批：1. 掌握全称量词与存在量词的的意义；2. 掌握含有量词的命题：全称命题和特称命题真假的判断.，找出疑惑之处）2123复习1：写出下列命题的否定,并判断他们的真假：（1（2）5不是15的约数（3）8715+≠（4）空集是任何集合的真子集复习2：判断下列命题的真假，并说明理由：（1）p q∨，这里p：π是无理数，q：π是实数；（2）p q∧，这里p：π是无理数，q：π是实数；(3) p q∨，这里p：23>，q：8715+≠；(4) p q∧，这里p：23>，q：8715+≠.二、新课导学※学习探究探究任务一：全称量词的意义问题：1.下列语名是命题吗？（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系？（1）3x>；（2）21x+是整数；（3）对所有的,3∈>；x R x（4）对任意一个x Zx+是整数.∈，212. 下列语名是命题吗？（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系？(1)213x +=；(2)x 能被2和3整除；（3）存在一个0x R ∈，使0213x +=；（4）至少有一个0x Z ∈，0x 能被2和3整除.新知：1.短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示，含有 的命题，叫做全称命题.其基本形式为：,()x M p x ∀∈，读作：2. 短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示，含有 的命题，叫做特称称命题.其基本形式00,()x M p x ∃∈，读作：试试：判断下列命题是不是全称命题或者存在命题,如果是,用量词符号表示出来.(1)中国所有的江河都流入大海；（2）0不能作为除数；（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数；（4）每一个非零向量都有方向.反思：注意哪些词是量词是解决本题的关键,还应注意全称命题和存在命题的结构形式.※ 典型例题例1 判断下列全称命题的真假：（1）所有的素数都是奇数；（2）2,11x R x ∀∈+≥；（3）对每一个无理数x ，2x 也是无理数.变式：判断下列命题的真假：（1）2(5,8),()420x f x x x ∀∈=-->（2）2(3,),()420x f x x x ∀∈+∞=-->小结：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中每一个元素x 验证()p x 成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M 中的一个0x x =，使得0()p x 不成立即可.例2 判断下列特称命题的真假：（1） 有一个实数0x ，使200230x x ++=；（2） 存在两个相交平面垂直于同一条直线；（3） 有些整数只有两个正因数.变式：判断下列命题的真假：(1)2,32a Z a a ∃∈=-(2)23,32a a a ∃≥=-小结：要判定特称命题“00,()x M p x ∃∈” 是真命题只要在集合M 中找一个元素0x ，使0()p x 成立即可；如果集合M 中，使()P x 成立的元素x 不存在，那么这个特称命题是假命题.※ 动手试试练1. 判断下列全称命题的真假：（1）每个指数都是单调函数；（2）任何实数都有算术平方根；（3）{|x x x ∀∈是无理数}，2x 是无理数.练2. 判定下列特称命题的真假：（1）00,0x R x ∃∈≤；（2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；（3）0{|x x x ∃∈是无理数}，20x 是无理数.三、总结提升※ 学习小结这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？※ 知识拓展数理逻辑又称符号逻辑,是用数学的方法研究推理过程的一门学 莱布尼茨（1646—1716）是数理逻辑的创始人。

织金二中高二年级数学组集体备课教案执笔人：李武松 田海斌参加人：陈元凤 方健 吕招贵 周越 余平 李承华 朱枝涛 程佳 班银 教学内容：选修2-1 第一章 常用逻辑用语 课时安排：8课时 课时内容：1.1命题及其关系 第1课时 1.1.1 命题一、教学目标1、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p ，则q ”的形式；2、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；3、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重点与难点重点：命题的概念、命题的构成难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假三、教学过程<一>复习引入 1．回顾初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？ 2．思考、分析下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？ （1）若直线b a //，则直线a 与直线b 没有公共点 ． （2）2+4=7．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （4）若12=x ,则1=x ．（5）两个全等三角形的面积相等． （6）3能被2整除． 3．讨论、判断学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。

其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。

教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。

<二>探讨新知4．抽象、归纳定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．5．例题解析（P例1）2判断下列语句是否为命题？（解略）（1）空集是任何集合的子集．（2）若整数a是素数，则是a奇数．（3）指数函数是增函数吗？（4）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．（5）2)2(-＝-2．（6）15x．>让学生思考、辨析、讨论解决，且通过练习，引导学生总结：判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一是“陈述句”，第二是“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹句均不是命题．引申：以前，同学们学习了很多定理、推论，这些定理、推论是否是命题？同学们可否举出一些定理、推论的例子来看看？通过对此问的思考，学生将清晰地认识到定理、推论都是命题．过渡：同学们都知道，一个定理或推论都是由条件和结论两部分构成（结合学生所举定理和推论的例子，让学生分辨定理和推论条件和结论，明确所有的定理、推论都是由条件和结论两部分构成）。

第一章常用的逻辑用语1．1命题及其关系1．1.1 四种命题(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假．2．过程与方法通过学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．3．情感、态度与价值观通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及分析问题和解决问题的能力．●重点难点重点：(1)会写四种命题并会判断命题的真假；(2)四种命题之间的相互关系．难点：(1)命题的否定与否命题的区别；(2)写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；(3)分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．教学时，应从回顾命题的相关知识入手，以命题的结构为切入点，结合具体的实例，总结出四种命题的定义，并将理论应用于实践，通过适当的例题及练习，掌握四种命题的写法及真假的判断方法，并且体会四种命题间的关系，从而突出教学的重点；对于命题的否定与否命题，要结合具体的实例，进行区别，分析它们结构的区别，辨析其真假，从而化解难点．(教师用书独具)●教学建议本节课作为数学的工具课程，安排在选修教材的开篇，是非常合适的，首先之前通过必修课的学习，学生已经具备大量的数学基本素材，有例可举；其次，学习本章内容，又可为学习后续课程提供新的逻辑思维方式，因此本章内容承前启后，作用极大．本节课作为概念理论课，学习时切忌抽象，从认识的角度出发，由具体到抽象，由特殊到一般，通过具体实例抽象出相关逻辑概念，由一般到具体，由相关概念及理论指导学生进行四种命题的互求及真假性的判断．●教学流程回顾初中有关命题的概念，判断命题真假．⇒通过具体实例抽象出四种命题的定义，理清四种命题条件与结论间的关系，辨析命题的否定与否命题的区别．⇒展示题板，由实例得出四种命题间的关系，抽象出逆否命题的概念，并得出互为逆否命题间的真假关系．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握命题的判断方法，以及其真假的判别方法．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握四种命题的互求，以及它们真假性判断的方法．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握命题的真假性的应用，即由它们的真假性求字母参数的取值范围．⇒通过易错易误辨析，体会带有大前提命题的否命题的写法，杜绝错误的写法．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能.力【问题导思】观察下列语句：①两个全等的三角形面积相等；②y＝2x是一个增函数；③请把门关上；④y＝tan x的定义域为全体实数吗？⑤若x>2012，则x>2013.1．上述哪几个语句能判断真假？【提示】①②⑤2．语句⑤的条件和结论分别是什么？【提示】条件为“x>2012”，结论为“x>2013”．命题定义：能够判断真假的语句形式：若p则q，其中p是命题的条件，q是命题的结论分类真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句观察下列四个命题：(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；(2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；(3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．1．命题(1)与命题(2)、(3)、(4)的条件和结论之间分别有什么关系？【提示】命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是命题(2)的条件；对于命题(1)、(3)，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定；对于命题(1)、(4)，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定．2．命题(1)(4)的真假性相同吗？命题(2)(3)的真假性相同吗？【提示】命题(1)(4)同为真，命题(2)(3)同为假．1．四种命题的概念一般地，设“若p则q”为原命题，那么“若q则p”就叫做原命题的逆命题，原命题与逆命题称为互逆命题；“若非p则非q”就叫做原命题的否命题，原命题和否命题称为互否命题；“若非q则非p”就叫做原命题的逆否命题，原命题与逆否命题称为互为逆否命题．2．四种命题之间的关系一般地，互为逆否命题的两个命题，要很都是真命题，要么都是假命题．判断下列语句是否为命题？是真命题还是假命题？(1)若平面四边形的边都相等，则它是菱形；(2)空集是任何集合的真子集；(3)对顶角相等吗？(4)对顶角不相等；(5)6>3；(6)x>3.【思路探究】能否判定真假→结论【自主解答】(1)能判断真假，是真命题；(2)能判断真假，是假命题；(3)不是命题；(4)能判断真假，是假命题；(5)能判断真假，是真命题；(6)不能判断真假，不是命题．1．判断语句是否为命题的标准是能否判断其真假，是否符合已学过的公理、定理、公式等，一般情况下疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．2．假命题也是命题，往往有人错误地认为不是命题．下列语句是否是命题？若是，判断其真假，并说明理由．①2是无限循环小数；②x2－3x＋2＝0；③当x＝4时，2x>0；④垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？⑤把门关上．【解】①是命题，能判断真假.2是无理数，此命题为假命题．②不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，我们无法判断语句的真假．③是命题，能作出真假判断的语句，是一个真命题．④不是命题，因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断．⑤不是命题，没有作出判断．写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假：(1)正偶数不是素数；(2)已知a，b，c∈R，若ac<0，则ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．【思路探究】将原命题改写成若p则q的形式→依照定义写出另外三种命题→判断真假【自主解答】(1)原命题：若一个数是正偶数，则这个数不是素数，是假命题；逆命题：若一个数不是素数，则这个数是正偶数，是假命题；否命题：若一个数不是正偶数，则这个数是素数，是假命题；逆否命题：若一个数是素数，则这个数不是正偶数，是假命题．(2)由方程根的判别式与0的大小关系，可知原命题是真命题．逆命题：已知a，b，c∈R，若ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac<0，是假命题，如当a＝1，b＝－3，c＝2时，方程x2－3x＋2＝0有两个不相等的实数根x1＝1，x2＝2，但此时ac＝2>0.否命题：已知a，b，c∈R，若ac≥0，则ax2＋bx＋c＝0没有实数根或只有一个根，是假命题．这是因为逆命题是假命题，否命题和逆命题互为逆否命题，具有相同的真假性．逆否命题：已知a，b，c∈R，若ax2＋bx＋c＝0没有实数根或只有一个根，则ac≥0，是真命题．因为原命题是真命题，逆否命题与原命题同真假．1．对于题(1)这样的命题，条件与结论不明显，需将原命题改写成“若p则q”的形式，必要时可以加入字母或文字．注意命题形式的改变并不改变命题的真假性，只是表述形式上发生了变化．2．对于四种命题的真假性判断，其方法有两个：①借助相应的定义、定理、公式等直接判断；②借助其逆否命题进行判断．写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假： (1)如果一个四边形是平行四边形，则它的两组对边互相平行； (2)负数的平方是正数．【解】 (1)原命题：平行四边形的两组对边互相平行，显然是真命题． 逆命题：如果一个四边形的两组对边互相平行，则它是平行四边形，是真命题． 否命题：如果一个四边形不是平行四边形，则它的两组对边不互相平行，是真命题． 逆否命题：如果一个四边形的两组对边不互相平行，则它不是平行四边形，是真命题． (2)原命题：若一个数是负数，则它的平方是正数，是真命题． 逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数，是假命题． 否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数，是假命题． 逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数，是真命题．已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x ＜0}，若命题“A ∩B＝∅”是假命题，求实数m 的取值范围．【思路探究】A ∩B ＝∅假⇒A ∩B ≠∅⇒错误!)→取 交 集【自主解答】 因为“A ∩B ＝∅”是假命题，所以A ∩B ≠∅.设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，则U ＝{m |m ≤－1或m ≥32}．假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U x 1＋x 2≥0x 1x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U 4m ≥02m ＋6≥0⇒m ≥32.又集合{m |m ≥32}关于全集U 的补集是{m |m ≤－1}，所以实数m 的取值范围是{m |m ≤－1}．1．本题若从正面分析，首先要使Δ≥0，然后分两个负根，一正根一负根，两种情况求并集再与Δ≥0求交集，这样解题十分繁琐，故采用“正难则反”思想简化解题过程．2．利用命题的真假求参数的取值范围，应注意转化思想的应用，即根据所给的真或(假)命题，转化为相应的数学问题进行求解．已知命题P ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题Q ：1－x ＋x 24<1，若命题P 是真命题，命题Q 是假命题，求实数x 的取值范围．【解】 由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1， 即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3. 由1－x ＋x 24<1，得x 2－4x <0，解得0<x <4.因为命题P 为真命题，命题Q 为假命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1或x ≥3x ≤0或x ≥4，解得x ≤－1或x ≥4.所以，满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞).忽略大前提而致错将命题“a >0时，函数y ＝ax ＋b 的值随x 的增大而增大”写成“若p则q ”的形式，并写出其否命题．【错解】 “若p 则q ”的形式：若a >0，则函数y ＝ax ＋b 的值随x 的增大而增大； 否命题：若a ≤0，则函数y ＝ax ＋b 的值随x 的不增大而不增大．【错因分析】 原命题有两个条件：“a >0”和“x 增大”，其中“a >0”是大前提，在写原命题、逆命题、否命题、逆否命题时，都要把“a >0”置于“若”字的前面，把“x 增大”作为原命题的条件．错解中对否命题的写法，把“a >0”和“x 增大”都否定了，从而改变了一次函数的性质，特别是当a ＝0时，便失去了研究“增”与“不增”的意义，应在不改变函数性质的前提下完成解答．【防范措施】 (1)有大前提的命题，改写成“若p 则q ”的形式时，要注意其书写格式为“大前提，若p 则q ”，而不能为“若大前提且p ，则q ”或“若大前提或p ，则q ”．(2)对于含有大前提的命题，在写其他三种命题时，应保持大前提不变．【正解】 “若p 则q ”的形式：当a >0时，若x 增大，则函数y ＝ax ＋b 的值也随着增大；否命题：当a >0时，若x 不增大，则函数y ＝ax ＋b 的值也不增大．1．已知原命题，写出它的逆命题、否命题及逆否命题是本节的重点内容，求解本类题目时，首先应将原命题改写为“若p则q”的形式，弄清条件与结论，并注意命题的大前提与条件的关系．2．四种命题的真假性判断，由于互为逆否命题的两个命题同真假，因此只需判断两个互否命题的真假性即可．1．下列语句是命题的是________． (1)若a >b ，则a 2>b 2； (2)a 2>b 2；(3)方程x 2－x －1＝0的近似根； (4)方程x 2－x －1＝0有根吗？【解析】 (2)、(3)无法判断真假；(4)是疑问句，不是陈述句，不能判断真假，故(2)、(3)、(4)不是命题．【答案】 (1)2．(2013·肇庆高二检测)命题“若a >－3，则a >－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．【解析】 原命题与逆否命题为真命题，逆命题及否命题为假命题． 【答案】 23．(2012·湖南高考改编)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是________．①若α≠π4，则tan α≠1；②若α＝π4，则tan α≠1；③若tan α≠1，则α≠π4；④若tan α≠1，则α＝π4.【解析】 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的条件是“α＝π4”，结论是“tan α＝1”，故其逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．【答案】 ③4．写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假． (1)若|a |＝|b |，则a ＝b ； (2)若x ＜0，则x 2＞0.【解】 (1)逆命题：若a ＝b ，则|a |＝|b |，它为真命题； 否命题：若|a |≠|b |，则a ≠b ，它为真命题； 逆否命题：若a ≠b ，则|a |≠|b |，它为假命题． (2)逆命题：若x 2＞0，则x ＜0，它为假命题； 否命题：若x ≥0，则x 2≤0，它为假命题；逆否命题：若x2≤0，则x≥0，它为真命题.一、填空题1．下列命题：①若xy＝1，则x、y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④实数的平方是非负数．其中真命题的序号是________．【解析】①④均正确，②③均错误．【答案】①④2．(2013·漳州高二检测)命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是________．【解析】条件：x2<1，结论：－1<x<1，交换条件结论的位置并全否定可得．【答案】若x≤－1或x≥1，则x2≥13．“若x≠1，则x2－1≠0”的逆否命题为________命题(填“真”“假”)．【解析】逆否命题为：若x2－1＝0则x＝1，显然为假命题．【答案】假4．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是________．【解析】逆命题的条件和结论是它的原命题的结论和条件．【答案】若|a|＝|b|，则a＝－b5．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________．【解析】原命题的条件是“a＋b＋c＝3”，结论是“a2＋b2＋c2≥3”，所以否命题是“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”．【答案】若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<36．有下列四个命题：①“已知函数y＝f(x)，x∈D，若D关于原点对称，则函数y＝f(x)，x∈D为奇函数”的逆命题；②“对应边平行的两角相等”的否命题；③“若a≠0，则方程ax＋b＝0有实根”的逆否命题；④“若A∪B＝B，则B≠A”的逆否命题．其中的真命题是________．【解析】①的逆命题为：若y＝f(x)，x∈D为奇函数，则D关于原点对称，为真命题．②的否命题为：若两个角的对应边不平行，则两角不相等，为假命题．③的逆否命题为：若ax＋b＝0无实根，则a＝0，为真命题．④的逆否命题为：若B＝A，则A∪B≠B，为假命题．【答案】①③7．命题“若a，b是奇数，则a＋b是偶数”以及它的逆命题、否命题、逆否命题，这四个命题中，真命题个数为________．【解析】因为原命题是真命题，而逆命题“若a＋b是偶数，则a，b都是奇数”是假命题，所以逆否命题是真命题，否命题是假命题，所以，真命题的个数是2.【答案】 28．(2013·杭州高二检测)把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．若函数f(x)＝log2x的图象与g(x)的图象关于________对称，则函数g(x)＝________.(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形)．【解析】可考虑关于x轴、y轴、直线y＝x、原点对称等几种情形之一．【答案】(1)x轴，－log2x；(2)y轴，log2(－x)；(3)直线y＝x,2x；(4)原点，－log2(－x)二、解答题9．指出下列命题中的条件p和结论q，并判断命题的真假：(1)若x＋y是有理数，则x，y都是有理数；(2)如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数；(3)函数y＝2x＋1为增函数．【解】(1)条件p：x＋y是有理数，结论q：x，y都是有理数，是假命题．(2)条件p：一个函数的图象是一条直线，结论q：这个函数为一次函数，是假命题．(3)将命题“函数y＝2x＋1为增函数”改写为“若p则q”的形式为“若一个函数为y ＝2x＋1，则这个函数为增函数”．则条件p：一个函数为y＝2x＋1，结论q：这个函数为增函数，是真命题．10．分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假：(1)若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等；(2)奇函数的图象关于原点对称；(3)已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.【解】(1)逆命题：若一个三角形的两个角相等，则这个三角形的两条边相等，是真命题．否命题：若一个三角形的两条边不相等，则这个三角形的两个角不相等，是真命题．逆否命题：若一个三角形的两个角不相等，则这个三角形的两条边不相等，是真命题．(2)原命题：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象关于原点对称，是真命题．逆命题：若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数，是真命题．否命题：若一个函数不是奇函数，则这个函数的图象关于原点不对称，是真命题．逆否命题：若一个函数的图象关于原点不对称，则这个函数不是奇函数，是真命题．(3)逆命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d，是假命题．否命题：已知a，b，c，d是实数，若a与b、c与d不都相等，则a＋c≠b＋d，是假命题．逆否命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a与b、c与d不都相等，是真命题．11．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．【解】原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a ＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集”．判断其真假如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.因为a<1，所以4a－7<0，即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象与x轴无交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．故原命题的逆否命题为真命题.(教师用书独具)主人邀请张三、李四、王五三人吃饭聊天，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能来了，”主人听了随口说了句：“你看看，该来的没有来，”张三听了，脸色一沉，起来一声不吭地走了，主人愣了片刻，又道了句：“哎哟，不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去．请你用逻辑与命题的原理解释二人离去的原因．【思路探究】利用主人说的两个命题的逆否命题来说明原因．【自主解答】张三走的原因：“该来的没有来”的逆否命题是“来了不该来的”，张三觉得自己是不该来的．李四走的原因：“不该走的又走了”的逆否命题是“该走的没有走”，李四觉得自己是应该走的．1．这是一个老笑话，是说主人不会说话，不过在这个故事中却蕴含着逻辑思想，通过这样的题目，可以激发同学们学习数学的兴趣．2．利用逆否命题的等价性还可以证明数学命题即反证法．证明：如果p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2.【证明】 该命题的逆否命题为：若p ＋q >2，则p 2＋q 2≠2.p 2＋q 2＝12[(p ＋q )2＋(p －q )2]≥12(p ＋q )2.∵p ＋q >2，∴(p ＋q )2>4，∴p 2＋q 2>2. 即p ＋q >2时，p 2＋q 2≠2成立． ∴如果p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2.1.1.2 充分条件和必要条件(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能正确理解充分条件、必要条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件． 2．过程与方法通过对充分条件、必要条件的概念的理解与应用，培养学生的分析、判断和归纳的逻辑思维能力．3．情感、态度与价值观通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及良好的思维品质，在练习过程中进行辨证唯物主义思想教育．●重点难点重点：理解充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断．难点：充分条件、必要条件、充要条件的证明与探究．教学时，应以回顾命题的结构入手，结合具体的实例，归纳出必要条件、充分条件、充要条件的定义，并将理论应用于实践，通过适当的例题及练习，掌握判定条件充要性的方法，强调利用推出符号得出条件之间的充要关系，在此基础上进一步探讨充分条件、必要条件、充要条件的证明与探究方法，突出教学的重点，化解教学的难点．(教师用书独具)●教学建议本节课是四种命题的延伸和深化，首先应以上节课学习的命题知识为基础，进行理论铺垫，通过具体的命题，得出充分条件、必要条件、充要条件的定义，进而探究充要性的判断方法，以及充分条件、必要条件、充要条件的探究方法，培养学生发散性思维能力．在学习的过程中，要多举实例，类型要全，设计知识面要广泛，使学生利用新的逻辑思维方式理解以前各章节学习的概念、定理及性质．●教学流程回顾提问四种命题的构成、真假关系，举例回答．⇒通过具体实例抽象出充分条件、必要条件的定义，归纳出充分条件、必要条件的判定方法．⇒通过具体实例抽象出充要条件的定义，归纳出充要条件的判定方法，进而总结条件关系的分类，辨析充分条件与充要条件的关系．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握条件充要性的判断方法及步骤，并提醒学生注意判别时的常犯错误．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握多个命题间充要关系的判断方法，即用推出符号画出多个命题间的关系，找出通路，并且注意是否可逆．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握命题的条件充要性的应用，即由它们的充要性求字母参数的取值范围．⇒通过易错易误辨析，体会探求充分条件、必要条件、充要条件时不要把题意弄反，充分条件与必要条件不可颠倒．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力．”与“前面我们讨论了“若p则q”形式的命题，其中有的命题为真命题，有的命题为假命题．1．若x>a2＋b2，能推出x>2ab吗？【提示】能．2．若ab＝0，能推出a＝0吗？【提示】不能．q”为真，记作“p⇒q”；“若p则q”为假，记作“pq”．一般地，命题“若p则【问题导思】判断命题“若x＝1，则x2－4x＋3＝0”中条件和结论的关系，并请你从集合的角度来解释．【提示】“x＝1”是“x2－4x＋3＝0”的充分条件，“x2－4x＋3＝0”是“x＝1”的必要条件．两个条件“x＝1”和“x2－4x＋3＝0”都是变量的取值，和集合有关．将“x＝1”对应集合记作A，“x2－4x＋3＝0”对应集合记作B.显然A B.1．一般地，如果“p⇒q”，那么称p是q的充分条件，同时称q 是p的必要条件；如果“p⇒q”，且“q⇒p”，那么称p是q的充分必要条件，简记为p是q的充要条件，记作p⇔q.2．如果“p⇒q”，且“q p”，那么称p是q的充分不必要条件．3．如果“p q”，且“q⇒p”，那么称p是q的必要不充分条件．4．如果“pD⇒/q”，且“qD⇒/p”，那么称p是q的既不充分又不必要条件.指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”和“既不充分又不必要条件”中选出一种)：(1)p：λa＝0，q：λ＝0或a＝0(其中，λ是实数，a是向量)；(2)p：x＝a，q：|x|＝|a|；(3)p：四边形是矩形，q：四边形是正方形；(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．【思路探究】结合充要条件定义结论判断p⇒q？判断q⇒p?【自主解答】(1)因为λa＝0⇔λ＝0或a＝0，所以p是q的充要条件．(2)因为x＝a⇒|x|＝|a|，|x|＝|a| x＝a，所以p是q的充分不必要条件．(3)因为四边形是正方形⇒四边形是矩形，四边形是矩形四边形是正方形，所以p 是q的必要不充分条件．(4)因为四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，所以p是q的既不充分又不必要条件．1．判断p是q的充分条件还是必要条件，即对命题“若p则q”“若q则p”进行真假判断，即确定p与q之间有怎样的推式成立，注意命题的真假对应的推式．2．判断p是q的什么条件，不能只看p⇒q是否成立，还要检验q⇒p是否成立．下列各组命题中，p是q的什么条件？(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；(2)p：△ABC中有两个角相等，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：a2＋b2>2ab，q：|a＋b|<|a|＋|b|.【解】(1)因为能被6整除的数一定能被3整除，所以p⇒q，但能被3整除的数不一定能被6整除，如9，所以q p，所以p是q的充分不必要条件．(2)因为三角形中若有两个角相等，则一定是等腰三角形．反之，等腰三角形中一定有两个角相等，所以p⇔q，即p是q的充要条件．(3)因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2>0，所以a≠b.而|a＋b|<|a|＋|b|必须满足a，b异号，即p q，同时q⇒p，所以p是q的必要不充分条件．的探求若p是r的充分不必要条件，r是q的必要条件，r又是s的充要条件，q是s的必要条件，则s是p的什么条件？【思路探究】题设中给出的信息较多，而且还有一些干扰信息，因此要想从中找出s 与p的关系并不容易，可考虑将文字语言翻译成符号语言，使它们之间的关系一目了然，便于找到答案．【自主解答】p，q，r，s之间的关系如图所示，由图可知p⇒s，但s p，故s 是p的必要不充分条件．1．当题目中涉及到多个命题时，判断其充要性时，一般可采用“⇒”链接成图，寻求“通路”．2．用图形来反映条件之间的关系有三个地方易出错：(1)翻译不准确，(2)标注箭头有误，(3)读图错误．因此解决此类问题时，一定要细心，避免弄巧成拙．如果p 是q 的必要条件，r 是q 的充分不必要条件，那么下列说法正确的是________． ①r 是p 的充分不必要条件； ②r 是p 的必要不充分条件； ③r 是p 的充要条件；④r 是p 的既不充分又不必要条件． 【解析】 由题意可得，故r 是p 的充分不必要条件．【答案】 ①的应用已知条件p ：{x |x <1－a 5或x >1＋a 5(a ≥0)}，条件q ：12x 2－3x ＋1>0，试选取适当的实数a 的值，使p 是q 的充分条件．【思路探究】p ⇒q →转化为集合关系→利用数轴→求a 范围【自主解答】 由已知，p 是q 成立的充分条件，则集合p 是集合q 的子集． ∵2x 2－3x ＋1>0，∴q ：{x |x <12或x >1}．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 5≤12，a ＋15≥1，∴a ≥4.∴a 的取值范围是[4，＋∞)．1．由条件的充要性求字母参数的取值范围，一般转化为集合间的包含关系列等式(或不等式)．2．作题时，要审清题意，如本例中，p 是q 的充分条件，有两层含义，即充要和充分不必要，不要片面地当成后者，而列错不等式⎩⎪⎨⎪⎧1－a 5<12a ＋15>1.(2013·泉州高二检测)已知p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－m 2>0(m >0)，若q 是p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．【解】 由x 2－8x －20>0，得x >10或x <－2. 由x 2－2x ＋1－m 2>0，得x >1＋m 或x <1－m (m >0)． ∴p ：{x |x >10或x <－2}，q ：{x |x >1＋m 或x <1－m }． 又∵q 是p 的充分不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1＋m ≥10， 解得m ≥9.1－m ≤－2，混淆充分条件与必要条件致误使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件是________．①x ≥0；②x <0或x >2；③x ∈{－1,3,5}；④x ≤－12或x ≥3.【错解】 由2x 2－5x －3≥0解得x ≥3或x ≤－12，因为集合{x |x ≥3或x ≤－12x |x >2或x <0}，所以“x <0或x >2”是使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件．故填②.【答案】 ②【错因分析】 对于两个条件A ，B ，如果A ⇒B 成立，则A 是B 的充分条件(B 的充分条件是A )，B 是A 的必要条件；如果B ⇒A 成立，则A 是B 的必要条件，B 是A 的充分条件；如果A ⇔B ，则A ，B 互为充要条件．解题时最容易出错的原因就是颠倒了充分性和必要性．【防范措施】 在解答问题时务必看清设问方式，明确哪个是条件，哪个是结论，然后根据充分、必要条件的概念作出准确的判断．。

§4　逻辑联结词“且”“或”“非”4．1　逻辑联结词“且”4．2　逻辑联结词“或”学习目标　1.了解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断其命题的真假．知识点一　“且”思考　观察三个命题：①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？答案　命题③是将命题①②用“且”联结得到的新命题．梳理　(1)定义：一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题“p且q”．(2)当p，q都是真命题时，p且q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p且q是假命题．将命题p和命题q以及p且q的真假情况绘制为命题“p且q”的真值表如下：p q p且q真真真真假假假真假假假假命题“p且q”的真值表可简单归纳为“同真则真”．知识点二　“或”思考　观察三个命题：①3>2；②3＝2；③3≥2，它们之间有什么关系？答案　命题③是命题①②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题．梳理　(1)定义：一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题“p或q”．(2)当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p或q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p或q是假命题．将命题p和命题q以及p或q的真假情况绘制为命题“p或q”的真值表如下：p q p或q真真真真假真假真真假假假命题“p或q”的真值表可简单归纳为“假假才假”．1．逻辑联结词“且”“或”只能出现在命题的结论中．(×)2．“p且q为假命题”是“p为假命题”的充分条件．(×)3．当p，q都为假命题时，p且q才为假命题．(×)4．若p：sin x≥2，q：任意x∈R，x2－x＋1＞0，则p或q为假命题．(×)类型一　含有“且”“或”命题的构成命题角度1　简单命题与复合命题的区分例1　指出下列命题的形式及构成它的命题．(1)向量既有大小又有方向；(2)矩形有外接圆或有内切圆；(3)2≥2.考点　“且”“或”的概念题点　把命题写成“p且q”或“p或q”的形式解　(1)是p且q形式命题．其中p：向量有大小，q：向量有方向．(2)是p或q形式命题．其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆．(3)是p或q形式命题．其中p：2>2，q：2＝2.反思与感悟　不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词“或”“且”构成的命题是复合命题．判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题．如“四边相等且四角相等的四边形是正方形”不是“且”联结的复合命题，它是真命题，而用“且”联结的命题“四边相等的四边形是正方形且四角相等的四边形是正方形”是假命题．跟踪训练1　命题“菱形对角线垂直且平分”为________形式复合命题．考点　“且”的概念题点　把命题写成“p且q”的形式答案　p且q命题角度2　用逻辑联结词构造新命题例2　分别写出下列命题的“p且q”“p或q”形式的命题．(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．考点　“且”“或”的概念题点　把命题写成“p且q”或“p或q”的形式解　(1)p或q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．p且q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．(2)p或q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．p且q：－1和－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．反思与感悟　用逻辑联结词“或”“且”联结p，q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可以把p，q中的条件或结论合并．跟踪训练2　指出下列命题的形式及构成它的简单命题．(1)96是48与16的倍数；(2)不等式x 2－x －2＞0的解集是{x |x ＜－1或x ＞2}．考点　“且”“或”的概念题点　把命题写成“p 且q ”或“p 或q ”的形式解　(1)p 且q ：p ：96是48的倍数；q ：96是16的倍数．(2)p 或q ：p ：不等式x 2－x －2＞0的解集是{x |x ＜－1}，q ：不等式x 2－x －2＞0的解集是{x |x ＞2}．类型二　“p 且q ”和“p 或q ”形式命题的真假判断例3　分别指出“p 或q ”“p 且q ”的真假．(1)p ：函数y ＝sin x 是奇函数；q ：函数y ＝sin x 在R 上单调递增；(2)p ：直线x ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切；q ：直线x ＝与圆x 2＋y 2＝1相交．12考点　“p 且q ”和“p 或q ”形式命题真假性判断题点　判断“p 且q ”和“p 或q ”形式命题的真假解　(1)∵p 真，q 假，∴“p 或q ”为真，“p 且q ”为假．(2)∵p 真，q 真，∴“p 或q ”为真，“p 且q ”为真．反思与感悟　形如p 或q ，p 且q 命题的真假根据真值表判定．跟踪训练3　分别指出由下列各组命题构成的“p 或q ”“p 且q ”形式的命题的真假．(1)p ：是无理数，q ：π不是无理数；3(2)p ：集合A ＝A ，q ：A ∪A ＝A ；(3)p ：函数y ＝x 2＋3x ＋4的图像与x 轴有公共点，q ：方程x 2＋3x －4＝0没有实数根．考点　“p 且q ”和“p 或q ”形式命题真假性判断题点　判断“p 且q ”和“p 或q ”形式命题的真假解　(1)∵p 真，q 假，∴“p 或q ”为真，“p 且q ”为假．(2)∵p 真，q 真，∴“p 或q ”为真，“p 且q ”为真．(3)∵p 假，q 假，∴“p 或q ”为假，“p 且q ”为假．类型三　已知复合命题的真假求参数范围例4　已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根，q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根，若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．考点　“p 或q ”“p 且q ”形式命题真假性的判断题点　由“p 或q ”“p 且q ”形式命题的真假求参数的取值范围解　因为p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根，所以Error!所以m ＞2.因为q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根，所以Δ＜0，即16(m－2)2－16＜0，所以16(m2－4m＋3)＜0，所以1＜m＜3.因为p或q为真，p且q为假，所以p为真，q为假或者p为假，q为真．即Error!或Error!解得m≥3或1＜m≤2.所以m的取值范围为{m|m≥3或1＜m≤2}．引申探究本例中若将“p且q为假”改为“p且q为真”，求实数m的取值范围．解　同例得当p为真命题时，m＞2，当q为真命题时，1＜m＜3.因为p或q为真，p且q为真，所以p，q均为真命题，即Error!解得2＜m＜3，所以m的取值范围为(2,3)．反思与感悟　应用逻辑联结词求参数范围的四个步骤(1)分别求出命题p，q为真时对应的参数集合A，B；(2)讨论p，q的真假；(3)由p，q的真假转化为相应的集合的运算；(4)求解不等式或不等式组得到参数的取值范围．跟踪训练4　已知p：(x＋2)(x－3)≤0，q：|x＋1|≥2，若“p且q”为真，则实数x的取值范围是________．考点　“p且q”形式命题真假性的判断题点　由“p且q”形式命题的真假求参数的取值范围答案　[1,3]解析　由(x＋2)(x－3)≤0，解得－2≤x≤3.由|x＋1|≥2，解得x≥1或x≤－3.∵“p且q”为真，∴Error!解得1≤x≤3，则实数x的取值范围是[1,3]．1．已知p：2＋3＝5，q：5＜4，则下列判断正确的是( )A ．p 为假命题B ．q 为真命题C ．p 或q 为真命题D ．p 且q 为真命题考点　“p 且q ”“p 或q ”形式命题真假性的判断题点　判断“p 且q ”“p 或q ”形式命题的真假答案　C解析　由题意，知p 为真命题，q 为假命题．2．由下列各组命题构成的新命题“p 或q ”“p 且q ”都为真命题的是( )A ．p ：4＋4＝9，q ：7＞4B ．p ：a ∈{a ，b ，c }，q ：{a }⊆{a ，b ，c }C ．p ：15是质数，q ：8是12的约数D ．p ：2是偶数，q ：2不是质数考点　“p 且q ”“p 或q ”形式命题真假性的判断题点　判断“p 且q ”“p 或q ”形式命题的真假答案　B3．已知命题p ，q ，若p 为真命题，则( )A ．p 且q 必为真B ．p 且q 必为假C ．p 或q 必为真D ．p 或q 必为假考点　“p 且q ”“p 或q ”形式命题真假性的判断题点　判断“p 且q ”“p 或q ”形式命题的真假答案　C解析　p 或q ，一真则真，故必有p 或q 为真．4．已知p ：函数y ＝sin x 的最小正周期为，q ：函数y ＝sin2x 的图像关于直线x ＝π对称，π2则p 且q 是________命题．(填“真”或“假”)考点　“p 且q ”形式命题真假性的判断题点　判断“p 且q ”形式命题的真假答案　假解析　由题意，知命题p 为假命题，命题q 也是假命题，故p 且q 是假命题．5．已知命题p ：函数f (x )＝(x ＋m )(x ＋4)为偶函数；命题q ：方程x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ＝0的一个根大于2，一个根小于2，若p 且q 为假，p 或q 为真，求实数m 的取值范围．考点　“p 且q ”“p 或q ”形式命题真假性的判断题点　由“p 且q ”“p 或q ”形式命题的真假求参数的取值范围解　若命题p 为真，则由f (x )＝x 2＋(m ＋4)x ＋4m ，得m ＋4＝0，解得m ＝－4.设g (x )＝x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ，其图像开口向上，若命题q为真，则g(2)<0，即22＋(2m－1)×2＋4－2m<0，解得m<－3.由p且q为假，p或q为真，得p假q真或p真q假．若p假q真，则m<－3且m≠－4；若p真q假，则m无解．所以实数m的取值范围为(－∞，－4)∪(－4，－3)．1．判断不含有逻辑联结词的命题构成形式关键是：弄清构成它的命题条件、结论．2．对用逻辑联结词联结的复合命题的真假进行判断时，首先找出构成复合命题的简单命题，判断简单命题的真假，然后分析构成形式，根据构成形式判断复合命题的真假．一、选择题1．“p 且q 是真命题”是“p 或q 是真命题”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件考点　“p 或q ”“p 且q ”形式命题真假性的判断题点　判断“p 或q ”“p 且q ”形式命题的真假答案　A解析　p 且q 是真命题⇒p 是真命题，且q 是真命题⇒p 或q 是真命题；p 或q 是真命题⇏p 且q 是真命题．2．命题p ：函数y ＝log a (ax ＋2a )(a ＞0且a ≠1)的图像必过定点(－1,1)，命题q ：如果函数y ＝f (x )的图像关于(3,0)对称，那么函数y ＝f (x －3)的图像关于原点对称，则有( )A ．“p 且q ”为真B ．“p 或q ”为假C ．p 真q 假D ．p 假q 真考点　“p 或q ”“p 且q ”形式命题真假性的判断题点　判断“p 或q ”“p 且q ”形式命题的真假答案　C解析　由命题p 知，ax ＋2a ＝a ，解得x ＝－1，故过定点(－1,1)，而命题q 为假命题．3．设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为；命题q ：函数y ＝cos x 的图像关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是( )π2A ．p 为真B ．q 为真C ．p 且q 为假D ．p 或q 为真考点　“p 且q ”形式命题真假性的判断题点　判断“p 且q ”形式命题的真假答案　C解析　函数y ＝sin2x 的最小正周期为＝π，故p 为假命题；x ＝不是y ＝cos x 的对称轴，2π2π2命题q 为假命题，故p 且q 为假．故选C.4．p ：方程x 2＋2x ＋a ＝0有实数根，q ：函数f (x )＝(a 2－a )x 是增函数，若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a >0B ．a ≥0C ．a >1D ．a ≥1考点　“p 且q ”“p 或q ”形式命题真假性的判断题点　由“p 且q ”“p 或q ”形式命题的真假求参数的取值范围答案　B解析　∵方程x 2＋2x ＋a ＝0有实数根，∴Δ＝4－4a ≥0，解得a ≤1.∵函数f (x )＝(a 2－a )x 是增函数，∴a 2－a >0，解得a <0或a >1.∵p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，∴p ，q 中一真一假．①当p 真q 假时，得0≤a ≤1；②当p 假q 真时，得a >1.由①②，得所求实数a 的取值范围是a ≥0.5．命题p ：“x >0”是“x 2>0”的必要不充分条件，命题q ：△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的充要条件，则( )A ．p 真q 假B ．p 且q 为真C ．p 或q 为假D ．p 假q 真考点　“p 或q ”“p 且q ”形式命题真假性的判断题点　判断“p 或q ”“p 且q ”形式命题的真假答案　D解析　命题p 假，命题q 真．6．命题p ：点P 在直线y ＝2x －3上；q ：点P 在曲线y ＝－x 2上，则使“p 且q ”为真命题的一个点P 的坐标是( )A ．(0，－3) B ．(1,2)C ．(1，－1)D ．(－1,1)考点　“p 且q ”形式命题真假性的判断题点　判断“p 且q ”形式命题的真假答案　C解析　点P (x ，y )满足Error!解得P (1，－1)或P (－3，－9)，故选C.7．已知p ：x 2－2x －3＜0；q ：＜1，若p 且q 为真，则x 的取值范围是( )1x －2A ．(－1,2) B ．(－1,3)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，2)考点　“p 且q ”形式命题真假性的判断题点　由“p 且q ”形式命题的真假求参数的值答案　A解析　由命题p ，得－1＜x ＜3，当q 为真命题时，得x ＜2或x ＞3，因为p 且q 为真命题，所以Error!即－1＜x ＜2.二、填空题8．设p ：2x ＋y ＝3，q ：x －y ＝6，若p 且q 为真命题，则x ＝________，y ＝________.考点　“p 且q ”形式命题真假性的判断题点　由“p 且q ”形式命题的真假求参数的值答案　3　－3解析　若p 且q 为真命题，则p ，q 均为真命题，所以有Error!解得Error!9．若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x ＜1或x ＞4}”是假命题，则x 的取值范围是________．考点　“p 或q ”形式命题真假性的判断题点　由“p 或q ”形式命题的真假求参数的取值范围答案　[1,2)解析　x ∈[2,5]或x ∈(－∞，1)∪(4，＋∞)，即x ∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于命题是假命题，所以1≤x ＜2，即x ∈[1,2)．10．设p ：关于x 的不等式a x >1的解集是{x |x <0}，q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，如果p 和q 有且仅有一个为真，则a 的取值范围为______________．考点　“p 或q ”形式命题真假性的判断题点　由“p 或q ”形式命题的真假求参数的取值范围答案　∪(0，12][1，＋∞)解析　若p 真，则0<a <1，若p 假，则a ≥1或a ≤0.若q 真，有Error!即a >.12若q 假，则a ≤，又p 和q 有且仅有一个为真，12所以当p 真q 假时，0<a ≤，12当p 假q 真时，a ≥1.综上所述，a ∈∪.(0，12][1，＋∞)三、解答题11．判断下列复合命题的真假．(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；(2)不等式x 2－2x ＋1>0的解集为R 且不等式x 2－2x ＋2≤1的解集为∅.考点　“p 且q ”形式命题真假性的判断题点　判断“p 且q ”形式命题的真假解　(1)这个命题是“p 且q ”形式的复合命题，其中p ：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q ：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p 真q 真，则“p 且q ”为真，所以该命题是真命题．(2)这个命题是“p 且q ”形式的复合命题，其中p ：不等式x 2－2x ＋1>0的解集为R ，q ：不等式x 2－2x ＋2≤1的解集为∅.因为p 假q 假，所以“p 且q ”为假，故该命题为假命题．12．已知p ：c 2＜c 和q ：对任意x ∈R ，x 2＋4cx ＋1＞0，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数c 的取值范围．考点　“p 且q ”“p 或q ”形式命题真假性的判断题点　由“p 且q ”“p 或q ”形式命题的真假求参数的取值范围解　由不等式c 2＜c ，得0＜c ＜1.由对任意x ∈R ，x 2＋4cx ＋1＞0，得(4c )2－4＜0，得－＜c ＜.1212由已知，得p 和q 必有一个为真、一个为假．当p 真q 假时，≤c ＜1；当q 真p 假时，－＜c ≤0.1212故实数c 的取值范围是∪(－12，0][12，1)13．设p ：函数f (x )＝lg(ax 2－4x ＋a )的定义域为R ；q ：设a ＝(2x 2＋x ，－1)，b ＝(1，ax ＋2)，不等式a ·b >0对任意x ∈(－∞，－1)恒成立．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．考点　“p 或q ”“p 且q ”形式命题真假性的判断题点　由“p 或q ”“p 且q ”形式命题的真假求参数的取值范围解　若p 为真命题，则ax 2－4x ＋a >0对x ∈R 都成立，当a ＝0时，f (x )＝lg(－4x )的定义域不为R ，不合题意，当a ≠0时．则(－4)2－4a 2<0且a >0，即Error!解得a >2.若q 为真命题，则由a ·b >0对任意x ∈(－∞，－1)恒成立，知2x 2＋x －(ax ＋2)>0，即a >2x －＋1对任意x ∈(－∞，－1)恒成立，则a >max .2x (2x －2x ＋1)令g (x )＝2x －＋1，可知g (x )在(－∞，－1)上是增函数，当x ＝－1时取得最大值，g (x )2x max ＝1.故a ≥1.又p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则p ，q 中一个为真命题，另一个为假命题．若p 真q 假，则Error!无解；若p 假q 真，则Error!则1≤a ≤2.综上，实数a 的取值范围为[1,2]．四、探究与拓展14．命题p ：1是集合{x |x 2＜a }中的元素；命题q ：2是集合{x |x 2＜a }中的元素．若“p 且q ”是真命题，则a 的取值范围为________．考点　“p 且q ”形式命题真假性的判断题点　“p 且q ”形式命题的真假求参数的取值范围答案　(4，＋∞)解析　由p 为真命题，得a ＞1，由q 为真命题，得a ＞4.因为p 且q 为真命题，所以Error!解得a ＞4.15．已知p ：(x ＋1)(x －5)≤0，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)．(1)若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；(2)若m ＝5，p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数x 的取值范围．考点　“p 且q ”“p 或q ”形式命题真假性的判断题点　由“p 且q ”“p 或q ”形式命题的真假求参数的取值范围解　(1)由(x ＋1)(x －5)≤0，得－1≤x ≤5，∵p 是q 的充分条件，∴Error!解得m ≥4.(2)当m ＝5时，q ：－4≤x ≤6.根据已知，p ，q 一真一假，当p 真q 假时，Error!无解；当p 假q 真时，Error!解得－4≤x ＜－1或5＜x ≤6.综上，实数x 的取值范围是[－4，－1)∪(5,6]．。

四种命题及其关系1.如果用p和q分别表示命题的条件和结论，那么它的四种形式是：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若綈p则綈q；逆否命题：若綈q则綈p.应注意的是：如果所给命题不是“若p则q”形式，首先应改写成“若p则q”形式；如果一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是说大前提不变．2．四种命题之间的关系四种命题中有两对互为逆否的命题，分别是原命题和逆否命题，否命题和逆命题．由于互为逆否的命题同真假，则四种命题中，真命题的个数只能是0、2、4.给出命题：“已知a，b，c，d为实数，若a≠b且c≠d，则a＋c≠b ＋d”，对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，其中真命题的个数为________．【思路点拨】判断原命题及逆命题的真假→由互为逆否的命题真假性相同判断逆否命题及否命题的真假【解析】原命题为假命题．如3≠5,4≠2，但3＋4＝5＋2.逆命题为“a＋c≠b＋d，则a≠b且c≠d”也是假命题，如3＋4≠3＋5，但a＝b＝3.由原命题与其逆否命题等价，逆命题与其否命题等价，知逆否命题和否命题都为假命题．【答案】0写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并判断其真假．(1)若x＋y＝5，则x＝3且y＝2；(2)平行于同一直线的两条直线互相平行；(3)矩形的对角线相等且互相平分；(4)正偶数不是质数．【解】(1)逆命题：若x＝3且y＝2，则x＋y＝5.(真)否命题：若x＋y≠5，则x≠3或y≠2.(真)逆否命题：若x≠3或y≠2，则x＋y≠5.(假)(2)逆命题：若两条直线互相平行，则它们平行于同一条直线．(真命题)否命题：若两条直线不平行于同一条直线，则它们不互相平行．(真命题)逆否命题：若两条直线互相不平行，则它们不平行于同一条直线．(真命题)(3)逆命题：若一个四边形的对角线相等且互相平分，则它是矩形．(真命题)否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等或不互相平分．(真命题)逆否命题：若一个四边形的对角线不相等或不互相平分，则它不是矩形．(真命题)(4)逆命题：如果一个数不是质数，那么这个数是正偶数．(假命题)否命题：如果一个数不是正偶数，那么这个数是质数．(假命题)逆否命题：如果一个数是质数，那么这个数不是正偶数．(假命题)充要条件的判断及应用这是因为充分条件、必要条件很好地体现了数学上逻辑推理的纯粹性与完备性．另一原因是这一逻辑知识可以和本学科内的任一知识相联系、相结合．正确理解充分条件、必要条件的定义是解题的关键，而理解定义的前提是分清命题的条件与结论．对于命题“p⇒q”来说，它可以有四种自然语言描述：(1)p是q的充分条件；(2)q 是p的必要条件；(3)q成立的充分条件是p；(4)p成立的必要条件是q.只有深刻理解这四句话，才能做好这一类的题目．下列各题中，p 是q 的什么条件？(1)在△ABC 中，p ：∠A ≠30°，q ：sin A ≠12； (2)p ：x ＋y ≠－2，q ：x 、y 不都是－1.【思路点拨】 由于p ，q 所述对象都具有否定性，从正面入手较难，宜用逆否命题等价判断．【规范解答】 (1)在△ABC 中，綈q ：sin A ＝12，綈p ：∠A ＝30°. ∵在△ABC 中，sin A ＝12，则∠A ＝30°或∠A ＝150°， ∴綈q綈p ，而綈p ⇒綈q ，故綈q 是綈p 的必要不充分条件，从而，p 是q 的必要不充分条件．(2)綈p ：x ＋y ＝－2，綈q ：x ＝－1且y ＝－1.∵綈q ⇒綈p ，但綈p綈q ，故綈q 是綈p 的充分不必要条件，从而，p 是q 的充分不必要条件．若非空集合A ，B ，C 满足A ∪B ＝C ，且B 不是A 的子集，则下列结论中正确的有________． ①“x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件但不是必要条件；②“x ∈C ”是“x ∈A ”的必要条件但不是充分条件；③“x ∈C ”是“x ∈A ”的充要条件；④“x ∈C ”不是“x ∈A ”的充分条件也不是“x ∈A ”的必要条件．【解析】 由A ∪B ＝C ，知A ⊆C ，B ⊆C ，故由x ∈A ，则x ∈C ，但x ∈C ，可能有x ∈B ，但x ∉A ，由充分必要条件的定义知选②.【答案】 ②全称命题与存在性命题通常有两种方法：(1)定义法：对给定的集合的每一个元素x ，p (x )都为真；(2)代入法：在给定的集合内找出一个x 0，使p (x 0)为假，则全称命题为假．判断存在性命题的真假时，通常用代入法：在给定的集合中能找到一个元素x ，使命题p (x )为真，则为真命题，否则为假命题．通常在对全称命题和存在性命题进行否定时，首先要判断所给命题是全称命题还是存在性命题，然后按照下面的规则进行否定：全称命题否定后，全称量词变为存在量词，肯定判断变为否定判断；存在性命题否定后，存在量词变为全称量词，肯定判断变为否定判断．判断下列命题是否是全称命题或存在性命题，若是，用符号表示，并判断其真假．(1)有一个实数α，sin 2α＋cos 2α≠1；(2)任何一条直线都存在斜率；(3)对于所有的实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0恰有唯一解．【思路点拨】判断类别→符号表示→判断真假【规范解答】 (1)存在性命题，符号表示：∃α∈R ，sin 2α＋cos 2α≠1.假命题．(2)全称命题，符号表示：∀直线l ，l 存在斜率．假命题．(3)全称命题，符号表示：∀a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0恰有唯一解．假命题．写出下列命题的否定，并判断它们的真假：(1)p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋14≥0； (2)q ：∃x 是质数，x 不是奇数；(3)r ：至少有一个实数x ，使x > x 2＋1；(4)s ：所有的周期函数都有最小正周期．【解】 (1)綈p ：∃x ∈R ，使x 2＋x ＋14<0.由于对任意的实数x ，x 2＋x ＋14＝(x ＋12)2≥0，故p 是真命题，綈p 是假命题．(2)綈q ：∀x 是质数，x 是奇数．由于2是质数，且2不是奇数，故q 是真命题，綈q 是假命题．(3)綈r ：∀x ∈R ，x ≤x 2＋1.对于对任意的实数x ，x ≤|x |＝x 2<x 2＋1，故r 是假命题，綈r 是真命题． (4)綈s ：有的周期函数没有最小正周期．由于f (x )＝0(x ∈R )是周期函数但没有最小正周期，故s 是假命题，綈s 是真命题．逻辑联结词“或”、“且”、“非”逻辑联结词的出现使得命题复杂化，对于一个较复杂的命题真假的判断，首先找出命题中所含的逻辑联结词，并将其分解成“简单命题＋逻辑联结词”的形式，再根据真值表进行真假判断．给出两个命题：p ：函数y ＝x 2－x －1有两个不同的零点，q ：若1x<1，则x >1，那么在下列四个命题中，真命题是________．①(綈p )∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧(綈q )；④(綈p )∨(綈q )．【思路点拨】 判断p 、q 真假→綈p 、綈q 真假→命题真假【解析】 ∵Δ＝1＋4＝5>0，∴p 真．∵x <0时1x<0<1但x >1不成立，∴q 假， ∴綈q 真，∴①②③均为假命题，④为真命题．【答案】 ④分别指出下列各命题的构成形式，并指出命题的真假．(1)8或6是30的约数；(2)41是偶数且41是质数；(3)方程x 2－x ＋1＝0没有实数根．【解】 (1)“p 或q ”的形式，其中p ：8是30的约数，q ：6是30的约数，原命题为真命题．(2)“p 且q ”的形式，其中p ：41是偶数，q ：41是质数．原命题为假命题．(3)“非p ”的形式，其中p ：方程x 2－x ＋1＝0有实数根．原命题为真命题．转化与化归思想把一种状况转化为另一种状况，也就是转化为另一种情境，使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式．本章中，很多综合问题常是以逻辑形式叙述的数学命题，只有将逻辑条件转化为一般数学命题，才能利用相关知识进行求解． 设命题p ：函数f (x )＝(a －32)x 是R 上的减函数，命题q ：函数f (x )＝x 2－4x ＋3在[0，a ]上的值域为[－1,3]．若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求a 的取值范围．【思路点拨】 将“p 且q 为假，p 或q 为真”转化为“一真一假”再进行分类讨论．【规范解答】 由0＜a －32＜1得32＜a ＜52， ∵f (x )＝(x －2)2－1在[0，a ]上的值域为[－1,3]得2≤a ≤4，∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p 、q 一真一假．若p 真q 假，得32＜a ＜2；若p 假q 真，得52≤a ≤4. 综上所得，a 的取值范围是32＜a ＜2或52≤a ≤4.设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解】 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )·(x －a )<0，又a >0，所以a <x <3a ，当a ＝1时，1<x <3，即p 为真时，实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，得2<x ≤3， 即q 为真时，实数x 的取值范围是2<x ≤3，若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是2<x <3.(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，即綈p ⇒綈q ，且綈q 綈p ，设A＝{x|綈p}，B＝{x|綈q}，则A B.又A＝{x|綈p}＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|綈q}＝{x≤2或x>3}，则0<a≤2，且3a>3，所以实数a的取值范围是1<a≤2.综合检测(一)第1章常用逻辑用语(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)1．命题“∀x∈R，x2＋3≥2x”的否定是________．【解析】全称命题的否定是存在性命题．【答案】∃x∈R，x2＋3<2x2．命题“π≥3.14”使用的逻辑联结词是________．【解析】“≥”含两种情形即“>”或“＝”，故用了逻辑联结词“或”．【答案】或3．下列全称命题为真命题的是________．①所有的素数是奇数；②∀x∈R，x2＋1≥1；③对每一个无理数x，x2也是无理数；④所有的平行向量均相等．【解析】①中，2是素数不是奇数，故①假；③中，取x＝2为无理数，x2＝2是有理数，故③假；④中，a＝(1,2)，b＝(2,4)平行，但不相等．故只有②为真．【答案】②4．命题“若A⊆B，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________．【解析】∵原命题是假命题，∴逆否命题是假命题．又∵逆命题若A＝B，则A⊆B为真命题，∴否命题是真命题．【答案】 25．(2013·天津高考改编)设a，b∈R，则“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的________条件．【解析】由不等式的性质知(a－b)·a2＜0成立，则a＜b成立；而当a＝0，a＜b成立时，(a－b)·a2＜0不成立，所以(a－b)·a2＜0是a＜b的充分而不必要条件．【答案】充分不必要6．(2013·玉溪高二检测)若集合A＝{x|xx－1＜0}，B＝{x|x＜4}，则“m∈A”是“m∈B”的________条件．【解析】∵xx－1＜0，∴x(x－1)＜0，∴0＜x＜1，∴A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|x＜4}，∴A B.【答案】充分不必要7．已知a，b为任意非零向量，有下列命题：①|a|＝|b|；②a2＝b2；③a2＝a·b.其中可以作为a＝b的必要不充分条件的是________．【解析】a＝b⇒|a|＝|b|，但|a|＝|b|D⇒/a＝b，故①为必要不充分条件；a＝b⇒a2＝b2，但a2＝b2D⇒/a＝b，②也为必要不充分条件；a＝b⇒a2＝a·b，a2＝a·b D⇒/a＝b，③也为必要不充分条件．【答案】①②③8．(2013·南京高二检测)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的否命题是________；命题的否定是________．【解析】由命题“若p则q”的否命题“若綈p，则綈q”，命题的否定是“若p，则綈q”，注意区别．【答案】若x与y不都是偶数，则x＋y不是偶数若x，y都是偶数，则x＋y不是偶数9．已知p：|x|>1，q：x<－2，则綈p是綈q的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)【解析】p：x>1或x<－1，綈p：－1≤x≤1，綈q：x≥－2，∴綈p是綈q的充分不必要条件．【答案】充分不必要10．(2013·课标全国卷Ⅰ改编)已知命题p：∀x∈R,2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是________．①p∧q；②綈p∧q；③p∧綈q; ④綈p∧綈q.【解析】 当x ＝0时，有2x ＝3x ，不满足2x ＜3x ，∴p ：∀x ∈R,2x ＜3x 是假命题． 如图，函数y ＝x 3与y ＝1－x 2有交点，即方程x 3＝1－x 2有解，∴q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2是真命题．∴p ∧q 为假命题，排除①.∵綈p 为真命题，∴綈p ∧q 是真命题，填②.【答案】 ②11．设A ，B 为两个集合，下列真命题的序号为________．①A ⃘B ⇔对∀x ∈A ，有x ∉B ；②A ⃘B ⇔A ∩B ＝∅；③A ⃘B ⇔A ⊉B ；④A ⃘B ⇔∃x ∈A ，使x ∉B .【解析】 A ⃘B ，说明A 中有元素，不在B 中．【答案】 ④12．设α，β，γ为平面，m ，n ，l 为直线，则m ⊥β的一个充分条件是________(填序号)． ①α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l ；②α∩γ＝m ，α⊥γ，β⊥γ；③α⊥γ，β⊥γ，m ⊥γ；④n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α.【解析】 ④中，由n ⊥α，m ⊥α知m ∥n ，又n ⊥β，∴m ⊥β.【答案】 ④13．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数f (x )＝3＋log 2x 的图象与g (x )的图象关于________对称，则函数g (x )＝________.(注：填上你认为成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形)【解析】 本题考查两函数的对称性、函数解析式的求法等，答案不唯一．【答案】 ①x 轴 －3－log 2x ；或②y 轴 3＋log 2(－x )；或③原点 －3－log 2(－x )；或④直线y ＝x 2x －314．已知不等式|x －m |<1成立的一个充分而不必要条件是13<x <12，而实数m 的取值范围是________．【解析】 不等式|x －m |<1⇔m －1<x <m ＋1的一个充分而不必要条件是13<x <12，则{x |13<x <12}⊂{x |m －1<x <m ＋1}，则⎩⎨⎧ m ＋1≥12，m －1≤13，∴⎩⎨⎧ m ≥－12，m ≤43.即－12≤m ≤43，显然等号不会同时成立． 【答案】 [－12，43] 二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)指出下列命题中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC 中，p ：∠A ＝∠B ，q ：sin A ＝sin B ；(2)对于实数x 、y ，p ：x ＋y ≠8，q ：x ≠2或y ≠6；(3)在非空集合A 、B 中，p ：x ∈A ∪B ，q ：x ∈B ；(4)已知x 、y ∈R ，p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，q ：(x －1)·(y －2)＝0.【解】 (1)在△ABC 中，∠A ＝∠B ⇒sin A ＝sin B ，反之，若sin A ＝sin B ，因为A 与B 不可能互补(因为三角形三个内角和为180˚)，所以只有∠A ＝∠B .故p 是q 的充要条件．(2)易知：綈p ：x ＋y ＝8，綈q ：x ＝2且y ＝6, 显然綈q ⇒綈p .但綈pD ⇒/綈q ，即綈q 是綈p 的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p 是q 的充分不必要条件．(3)显然x ∈A ∪B 不一定有x ∈B ，但x ∈B 一定有x ∈A ∪B ，所以p 是q 的必要不充分条件．(4)条件p ：x ＝1且y ＝2，条件q ：x ＝1或y ＝2，所以p ⇒q 但qD ⇒/p ，故p 是q 的充分不必要条件．16．(本小题满分14分)写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p ：不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；(2)q ：存在一个实数x ，使得x 2＋x ＋1≤0；(3)r ：等圆的面积相等，周长相等；(4)s ：对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.【解】 (1)綈p ：存在实数m ，方程x 2＋x －m ＝0没有实数根．当Δ＝1＋4m ＜0时，即m ＜－14时，一元二次方程没有实数根，所以綈p 是真命题． (2)这一命题的否定形式是綈q ：对所有实数x ，都有x 2＋x ＋1＞0.利用配方法可以验证綈q 是一个真命题．(3)这一命题的否定形式是綈r ：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等，由平面几何知识知綈r 是一个假命题．(4)这一命题的否定形式是綈s ：存在α∈R ，使sin 2α＋cos 2α≠1.由于命题s 是真命题，所以綈s 是假命题．17．(本小题满分14分)已知p ：函数y ＝2|x －1|的图象关于直线x ＝1对称；q ：函数y ＝x ＋1x的图象在y ＝2|x －1|的图象上方，判断p 且q ，p 或q ，綈p 的真假． 【解】 画图可知p 真q 假，∴p 且q 为假，p 或q 为真，綈p 为假．18．(本小题满分16分)设函数f (x )＝x |x －a |＋b ，求证：f (x )为奇函数的充要条件是a 2＋b 2＝0.【证明】 充分性：∵a 2＋b 2＝0，∴a ＝b ＝0，∴f (x )＝x |x |.∵f (－x )＝－x |－x |＝－x |x |＝－f (x )．∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．必要性：若f (x )为奇函数，则对一切x ∈R ，f (－x )＝－f (x )恒成立．即－x |－x －a |＋b ＝－x |x －a |－b 恒成立．令x ＝0，则b ＝－b ，∴b ＝0.令x ＝a ，则2a |a |＝0，∴a ＝0.即a 2＋b 2＝0.∴f (x )为奇函数的充要条件是a 2＋b 2＝0.19．(本小题满分16分)已知p ：－x 2＋8x ＋20≥0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)．(1)若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围；(2)若“非p ”是“非q ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．【解】 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m .(1)∵p 是q 的充分不必要条件，∴[－2,10]是[1－m,1＋m ]的真子集．∴实数m 的取值范围是m ≥9.(2)∵“非p ”是“非q ”的充分不必要条件，∴q 是p 的充分不必要条件．∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m ≥－2，1＋m ≤10.∴0<m ≤3.∴实数m 的取值范围是0<m ≤3.20．(本小题满分16分)已知命题p ：函数y ＝log 0.5(x 2＋2x ＋a )的值域为R ，命题q ：函数y ＝－(5－2a )x 是R 上的减函数．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．【解】 函数y ＝log 0.5(x 2＋2x ＋a )的值域为R ，即z ＝x 2＋2x ＋a 的函数值要取得一切正实数⇔Δ＝4－4a ≥0⇔a ≤1，即p 真⇔a ≤1；函数y ＝－(5－2a )x 是减函数⇔5－2a ＞1，即q 真⇔a ＜2.由p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，知命题p ，q 中必有一真一假，故1＜a ＜2.。

§1.1.1命题导学案【学习要求】1．了解命题的概念.2．会判断命题的真假，能够把命题化为“若p，则q”的形式.【学法指导】学习中要通过命题的一般形式把握命题，从命题的工具作用认识命题，不要过多地纠缠在判断一个语句是不是命题上，只要求能够从课本的例子中了解命题的概念就可以了.【知识要点】1．命题：一般地，我们把用表达的，可以的陈述句叫做命题.2．命题的真假：判断的命题叫做真命题，判断的命题叫做假命题.3．命题的形式：在数学中，“”是命题的常见形式，其中p叫做命题的，q叫做命题的. 【问题探究】探究点一命题的概念及分类问题1我们在初中已经学过许多数学命题，你能举出一些数学命题的例子吗？当时是怎么定义命题的？问题2观察下列语句的特点：（1）两个全等三角形的周长相等；（2）5能被2整除；（3）对顶角相等；（4）今天天气真好啊！（5）请把门关上！（6）2是质数吗？（7）若x＝2，则x2＝4；（8）3＋2＝6.回答：①以上有几个命题？②命题必须具备什么特征？问题3数学中的定义、公理、定理都是命题吗？问题4怎样判断一个命题是真命题还是假命题？例1判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由.（1）求证3是无理数. （2）若x R，则x2＋4x＋4≥0.（3）你是高一的学生吗？（4）并非所有的人都喜欢苹果.（5）若xy是有理数，则x、y都是有理数. （6）60x＋9>4.跟踪训练1判断下列语句中哪些是命题，是真命题还是假命题？（1）末位是0的整数能被5整除；（2）平行四边形的对角线相等且互相平分；（3）两直线平行，则斜率相等；（4）△ABC中，若∠A＝∠B，则sin A＝sin B；（5）余弦函数是周期函数吗？探究点二命题的结构问题在数学中，命题的常见形式为“若p，则q”，除此以外，还可以写成什么形式？例2把下列命题改写成“若p，则q”的形式：（1）各位数数字之和能被9整除的整数，可以被9整除；（2）斜率相等的两条直线平行；（3）能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；（4）钝角的余弦值是负数.跟踪训练2指出下列命题的条件p与结论q，并判断命题的真假. （1）若整数a是偶数，则a能被2整除；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）相等的两个角正切值相等.【当堂检测】1．下列语句为命题的是()A．对角线相等的四边形B．同位角相等C．x≥2D．x2－2x－3<02．下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则ac2>bc2；④矩形的对角线互相垂直. 其中假命题的个数是_______3．把下列命题写成“若p，则q”的形式.（1）ac>bc⇒a>b；（2）已知x、y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；（3）当m>14时，mx2－x＋1＝0无实数根；（4）当abc＝0时，a＝0或b＝0或c＝0；（5）负数的立方是负数.【课堂小结】1．根据命题的意义，可以判断真假的陈述句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可.2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式.含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式，大前提应保持不变.【课后作业】一、基础过关1．下列语句中是命题的是()A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin 45°＝1C．x2＋2x－1>0 D．梯形是不是平面图形呢？2．下列语句中是命题的为()①空集是任何集合的子集；②若x>1，则x>2；③ 3比1大吗？④若平面上两条直线不相交，则它们平行；⑤－2＝－2；⑥x>15.A．①②⑥B．①②④C．①④⑤D．①②④⑤3．下列说法正确的是()A．命题“正项等差数列的公差大于零”是真命题B．语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题C．“四边形是菱形”是真命题D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题4．已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是() A．若a∥b，则α∥βB．若α⊥β，则a⊥bC．若a、b相交，则α、β相交D．若α、β相交，则a、b相交5．下列命题：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集.其中真命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个6．下列命题：①若xy＝1，则x、y互为倒数；②对角线垂直的平行四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是________.7．已知命题：弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧.若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是______________________，q是________________________.二、能力提升8．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面9．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中为真命题的是()A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c10．给出下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，是真命题的是________.(填序号)11．判断下列语句是否是命题，并说明理由.（1）若x＋y是有理数，则x，y均为有理数.（2）一条直线l与平面α不是平行就是相交.（3）x2＋2x－3<0.12．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断其真假.（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）当x＝2或x＝4时，x2－6x＋8＝0；（3）正方形是矩形又是菱形；（4）方程x2－x＋1＝0有两个实数根.三、探究与拓展13．设有两个命题：p：x2－2x＋2≥m的解集为R；q：函数f(x)＝－(7－3m)x是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围.§1.1.2四种命题~§1.1.3四种命题间的相互关系导学案【学习要求】1．了解四种命题的概念.2．认识四种命题的结论，会写出某命题的逆命题，否命题和逆否命题.3．理解四种命题的关系.4．会利用命题的等价性解决问题.【学法指导】在本节的学习中，不要去死记硬背形式化的定义与模式，而应多通过具体实例，发现四种命题形式间的逻辑关系，并能利用这种关系对命题真假作出判断，从而体会正难则反思想的应用.【知识要点】1．四种命题的概念一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的.也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆命题为.对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的.也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为.对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的.也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆否命题为.2．四种命题的相互关系3．四种命题的真假性之间的关系（1）两个命题互为逆否命题，它们有的真假性.（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性.【问题探究】探究点一四种命题的概念问题1观察下列四个命题：（1）若两个角是对顶角，则它们相等；（2）若两个角相等，则它们是对顶角；（3）若两个角不是对顶角，则它们不相等；（4）若两个角不相等，则它们不是对顶角.命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？问题2若(1)为原命题，则(2)为(1)的________命题，(3)为(1)的________命题，(4)为(1)的________命题.问题3在四种命题中，原命题是固定的吗？例1把下列命题写成“如果p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.（1）正数的平方根不等于0；（2）当x＝2时，x2＋x－6＝0.跟踪训练1分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：（1）实数的平方是非负数；（2）若x、y都是奇数，则x＋y是偶数.探究点二四种命题的关系问题1通过以上学习，你认为如果原命题为真，那么它的逆命题、否命题的真假性是怎样的？问题2原命题为真，它的逆否命题的真假性如何？问题3四种命题中，真命题的个数可能为多少？例2下列命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题.其中的真命题是__________.跟踪训练2有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的否命题；②“若a≥b，则a2≥b2”的逆否命题；③“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；④“对顶角相等”的逆命题.其中真命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3探究点三等价命题的应用问题我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题.你认为等价命题证明问题和反证法是不是一回事？例3证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b R∈，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.跟踪训练3证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.【当堂检测】1．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数2．命题“如果x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()A．如果x2≥1，则x≥1，或x≤－1 B．如果－1<x<1，则x2<1C．如果x>1或x<－1，则x2>1 D．如果x≥1或x≤－1，则x2≥13．命题“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题是_________，它是_____命题(填“真”或“假”). 4．给出以下命题：①“若x2＋y2≠0，则x、y不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题. 其中为真命题的是________.5．若命题p的逆命题是q，命题p的否命题是r，则q是r的（）.A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．以上结论都不正确【课堂小结】1．写四种命题时，可以按下列步骤进行：（1）找出命题的条件p和结论q；（2）写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q；（3）按照四种命题的结构写出所有命题.2．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础.【课后作业】一、基础过关1．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是()A．若α≠π4，则tan α＝1 B．若α＝π4，则tan α≠1C．若tan α≠1，则α≠π4D．若tan α≠1，则α＝π42．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是()A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b3．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．44．以下说法错误的是()A．如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题B．如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定为真命题C．原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数D．一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题5．“如果x、y R∈且x2＋y2＝0，则x、y全为0”的否命题是()A．若x、y R∈且x2＋y2≠0，则x、y全不为0 B．若x、y R∈且x2＋y2≠0，则x、y不全为0C．若x、y R∈且x、y全为0，则x2＋y2＝0 D．若x、y R∈且xy≠0，则x＋y≠06．命题“正数的绝对值等于它本身”的逆命题是___________________，这是________命题.7．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②正方形的四条边相等；③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形.其中互为逆命题的有__________；互为否命题的有__________；互为逆否命题的有________.(填序号) 8．写出命题“已知a，b R∈，若a2>b2，则a>b”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假.二、能力提升9．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()A．3 B．2 C．1 D．010．有下列四个命题，其中真命题有：①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题.其中真命题的序号为()A．①②B．②③C．①③D．③④11．给定下列命题：①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若x＋y≠8，则x≠2或y≠6；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy＝0，则x、y中至少有一个为0”的否命题.其中真命题的序号是________.12．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假.三、探究与拓展13．求证：如果p2＋q2＝2，则p＋q≤2.§1.2.1充分条件与必要条件导学案【学习要求】1．结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义.2．会判断某些条件之间的关系.【学法指导】充分条件、必要条件是常用的逻辑用语，在数学中有广泛的应用，对于理解数学有很大的帮助.在此引入概念，对于这两个概念的准确理解需要一定的时间体会和思考，对于概念的运用和掌握依赖于后续的学习，不要急于求成，而应在后续的学习中经常借助这些概念表达、阐述和分析.【知识要点】【问题探究】探究点一充分条件、必要条件问题1判断下列两个命题的真假，并思考命题(1)中条件和结论之间的关系：（1）若x>a2＋b2，则x>2ab；（2）若ab＝0，则a＝0.问题2结合充分条件、必要条件的定义，说说你对充分条件与必要条件的理解.问题3判断命题“若x＝1，则x2－4x＋3＝0”中条件和结论的关系，并请你从集合的角度来解释.问题4结合以上分析，请你归纳判断充分条件，必要条件有哪些方法？例1指出下列各组命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分条件也是必要条件，既不充分也不必要条件)（1）p：(x－2)(x－3)＝0，q：x＝2；（2）p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；（3）p：x>1，q：x2>1；（4）p：x，y不全为0，q：x＋y≠0.跟踪训练1指出下列命题中，p是q的什么条件？（1）p：x2＝2x＋1，q：x＝2x＋1；（2）p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；（3）p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；（4）p：sin α>sin β，q：α>β.探究点二充分条件、必要条件与集合的关系问题设集合A＝{x|x满足条件p}，集合B＝{x|x满足条件q}，若A⊆B，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？例2是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由. 跟踪训练2已知p：3x＋m<0，q：x2－2x－3>0，若p是q 的一个充分不必要条件，求m的取值范围.【当堂检测】1．a<0，b<0的一个必要条件为()A．a＋b<0 B．a－b>0 C．ab>1 D．ab<－12．如果命题“若A则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的______________条件3．若“x<m”是“(x－1)(x－2)>0”的充分不必要条件，求m的取值范围.4．指出下列各组命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分也不必要条件)（1）p：△ABC中，b2>a2＋c2，q：△ABC为钝角三角形；（2）p：△ABC中有两个角相等，q：△ABC是正三角形；（3）若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0.【课堂小结】1．充分条件、必要条件的判断方法：（1）定义法：直接利用定义进行判断.（2）等价法：“p⇔q”表示p等价于q，要证p⇒q，只需证它的逆否命题綈q⇒綈p即可；同理要证p⇐q，只需证綈q⇐綈p即可.所以p⇔q，只需綈q⇔綈p.（3）利用集合间的包含关系进行判断.2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.【课后作业】一、基础过关1．“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的( )A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．既不是充分条件，也不是必要条件D ．既是充分条件，也是必要条件 2．“ab ≠0”是“直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交”的( )A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．既是充分条件，也是必要条件D ．既不是充分条件，也不是必要条件 3．若綈p 是綈q 的必要条件，则q 是p 的( )A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．既是充分条件，也是必要条件D ．既不是充分条件，也不是必要条件 4．下列命题中，真命题是( )A ．“x 2>0”是“x >0”的充分条件B ．“xy ＝0”是“x ＝0”的必要条件C ．“|a |＝|b |”是“a ＝b ”的充分条件D ．“|x |>1”是“x 2不小于1”的必要条件5．设a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6．设0<x <π2，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．设x ，y 是两个实数，命题：“x ，y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )A ．x ＋y ＝2B ．x ＋y >2C ．x 2＋y 2>2D ．xy >1二、能力提升8．不等式(a ＋x )(1＋x )<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x <－1，则a 的取值范围是________. 9．设p ：x <－1或x >1；q ：x <－2或x >1，则綈p 是綈q 的__________条件. 10．设α、β、γ为平面，m 、n 、l 为直线，则对于下列条件： ① α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l ；② α∩γ＝m ，α⊥β，γ⊥β； ③ α⊥γ，β⊥γ，m ⊥α；④ n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α.其中为m ⊥β的充分条件的是________(将你认为正确的所有序号都填上). 11．下列各题中，p 是q 的什么条件？说明理由. （1）p ：a 2＋b 2＝0；q ：a ＋b ＝0.（2）p ：p ≤－2或p ≥2；q ：方程x 2＋px ＋p ＋3＝0有实根.（3）p ：圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切；q ：c 2＝(a 2＋b 2)r 2.12．已知p ：－2≤x ≤10，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.三、探究与拓展13．设计如下图所示的两个电路图，条件A ：“开关S 1闭合”；条件B ：“灯泡L 亮”，问A 是B 的什么条件？§1.2.2 充要条件导学案【学习要求】1．理解充要条件的意义.2．会判断、证明充要条件.【学法指导】在数学中，形如“p 是q 的充要条件”的命题是相当普遍的.要证明命题的条件是充要条件，就是既要证明原命题，又要证明原命题的逆命题.证明原命题即证明命题条件的充分性，证明原命题的逆命题，即证明命题条件的必要性.在本节的学习中注意体验数学的等价转化思想，增强逻辑思维能力.【知识要点】1．如果既有 ，又有 ，就记作p ⇔q ，p 是q 的充分必要条件，简称 条件. 2．概括地说，如果 ，那么p 与q 互为充要条件.【问题探究】探究点一 充要条件的判断问题1 已知p ：整数a 是6的倍数，q ：整数a 是2和3的倍数，那么p 是q 的什么条件？q 又是p 的什么条件？问题2 结合实例说说你对充要条件的理解. 例1 下列各题中，哪些p 是q 的充要条件？（1）p ：b ＝0，q ：函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数； （2）p ：x >0，y >0，q ：xy >0； （3）p ：a >b ，q ：a ＋c >b ＋c .跟踪训练1 （1）a ，b 中至少有一个不为零的充要条件是( ) A ．ab ＝0 B ．ab >0 C ．a 2＋b 2＝0 D ．a 2＋b 2>0（2）x >2的一个必要不充分条件是__________；x ＋y >0的一个充分不必要条件是_________________. （3）“函数y ＝x 2－2x －a 没有零点”的充要条件是________.探究点二 充要条件的证明例2 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求证数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1. 跟踪训练2 求证：方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0的两个根均大于1的充要条件是k <－2. 跟踪训练3 求关于x 的方程ax 2＋x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件.【当堂检测】1．“lg x >lg y ”是“x >y ”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．设φR ∈，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R)为偶函数”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．“m ＝－1”是“直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0与直线3x ＋my ＋3＝0垂直”的___________条件. 5．已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是a ＝________. 6．已知p 、q 是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么 （1）s 是q 的什么条件？（2）r 是q 的什么条件？（3）p 是q 的什么条件？【课堂小结】1．充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法. 2．充要条件的证明与探求（1）充要条件的证明分充分性和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别： ①p 是q 的充要条件，则由p ⇒q 证的是充分性，由q ⇒p 证的是必要性； ②p 的充要条件是q ，则p ⇒q 证的是必要性，由q ⇒p 证的是充分性.（2）探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.【课后作业】一、基础过关1．“x ，y 均为奇数”是“x ＋y 为偶数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．一次函数y ＝－m n x ＋1n 的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是 ( )A ．m >1，且n <1B ．mn <0C ．m >0，且n <0D ．m <0，且n <04．平面α∥平面β的一个充分条件是 ( )A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a 、b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a 、b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α 5．已知a ，b ，c R ∈，“2b ＝a ＋c ”是“a ，b ，c 成等差数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．在△ABC 中，“△ABC 为钝角三角形”是“AB →·AC →<0”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件；②“a ＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a <5”是“a <3”的必要条件.将所有正确命题的序号填在横线上________. 二、能力提升8．已知命题p ：集合{x |x ＝cosn π3，n Z ∈}只有4个元素，q ：集合{y |y ＝x 2＋1，x R ∈}与集合{x |y ＝x 2＋1}相等，则新命题：①p 或q ；②p 且q ；③非p ；④非q 中真命题的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．39．已知p ：12≤x ≤1，q ：(x －a )(x －a －1)>0，若p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________.10．设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，则D 是A 的__________条件.11．求不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立的充要条件.12．求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.三、探究与拓展13．设x ，y R ∈，求证|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件是xy ≥0.§1.3.1 且(and)~1.3.2 或(or) 导学案【学习要求】1．了解联结词“且”“或”的含义.2．会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假.【学法指导】用集合的“交”、“并”之间的关系理解由“且”、“或”构成的命题，建立命题和集合运算之间的关系，体会逻辑用语在表述中的作用，注意逻辑联结词“或”与自然语言中的“或者”的区别与联系，以便准确地表达相关的数学知识.【知识要点】1．“p且q”就是用联结词“”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题，记作.2．“p或q”就是用联结词“”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题，记作.3．真值表【问题探究】探究点一p∧q命题问题1观察三个命题：①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？问题2分析问题1中三个命题的真假，并归纳p∧q型命题的真假和命题p，q真假的关系.例1将下列命题用“且”联结成新命题，并判断它们的真假：（1）p：平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形的对角线相等；（2）p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分；（3）p：35是15的倍数，q：35是7的倍数.跟踪训练1指出下列命题的构成形式及构成它的命题p，q，并判断它们的真假.（1）(n－1)·n·(n＋1) (n N∈*)既能被2整除，也能被3整除；（2）∅是{∅}的元素，也是{∅}的真子集.探究点二p∨q命题问题1观察三个命题：①3>2；②3＝2；③3≥2，它们之间有什么关系？问题2分析问题1中三个命题的真假，并归纳p∨q型命题的真假与p、q真假的关系.例2分别指出下列命题的形式及命题的真假：（1）相似三角形的面积相等或对应角相等；（2）集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集；（3）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等.跟踪训练2对下列各组命题，用逻辑联结词“或”构造新命题，并判断它们的真假.（1）p：正数的平方大于0，q：负数的平方大于0；（2）p：3>4，q：3<4；（3）p：π是整数，q：π是分数.探究点三p∨q与p∧q的应用问题如果p∧q为真命题，那么p∨q一定是真命题吗？反之，如果p∨q为真命题，那么p∧q一定是真命题吗？例3设有两个命题.命题p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是∅；命题q：函数f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数.如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围.跟踪训练3本例中其它条件不变，把“p∧q为假命题，p∨q为真命题”改为“p∨q为真命题”，求a的取值范围. 【当堂检测】1．“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．给出下列命题：①2>1或1>3；②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；③25是6或5的倍数；④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集.其中真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．43．“p是假命题”是“p或q为假命题”的___________条件.4．p：1x－3<0，q：x2－4x－5<0，若p且q为假命题，则x的取值范围是_______________________.【课堂小结】1．正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”两个中至少选一个.2．一个复合命题，从字面上看不一定是“或”、“且”字样，这样需要我们掌握一些词语、符号或式子与逻辑联结词的关系，如“或者”，“x＝±3”、“≤”的含义为“或”；“并且”，“綊”的含义为“且”.【课后作业】一、基础过关1．“p是真命题”是“p∧q为真命题”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．命题p：“x>0”是“x2>0”的必要不充分条件，命题q：△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件，则() A．p真q假B．p∧q为真C．p∨q为假D．p假q真3．命题“ab≠0”是指()A．a≠0且b≠0B．a≠0或b≠0C．a、b中至少有一个不为0 D．a、b不都为04．下列命题：①5>4或4>5；②9≥3；③若a>b，则a＋c>b＋c；④菱形的两条对角线互相垂直，其中假命题的个数为()A．0 B．1 C．2 D．35．“1不大于2”可用逻辑联结词表示为____________.6．给定下列命题：p：0不是自然数，q：2是无理数，在命题“p∧q”“p∨q”中，真命题是__________.二、能力提升7．对于命题p：对任意的实数x，有－1≤sin x≤1，q：存在一个实数使sin x＋3cos x＝π成立，下列结论正确的是()A．p假q真B．p真q假C．p、q都假D．p、q都真。

第1章常用逻辑用语（苏教版选修2-1）≤其中正确的命题是.10.已知命题使sin x=√52；命题,有x2+x+1>0.给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(﹁q)”是假命题；③命题“(﹁p)∨q”是真命题；④命题“(﹁p)∨(﹁q)”是假命题.其中正确的是.11.命题：“如果√x－2+(y+1)2=0，则x=2且y=－1”的逆否命题为.12.已知命题p:∀x∈R,a x2+2x+3≥0，如果命题ℸp为真命题，则实数a的取值范围是.13.已知命题p:(x−3)(x+1)>0,命题q:x2−2x+1−m2>0(m>0),若命题p是命题q的充分不必要条件，则实数m的范围是____________.14.下列四个结论中，正确的有(填序号).①若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件；②“{a＞0,Δ=b2－4ac≤0”是“一元二次不等式a x2＋bx＋c≥0的解集为R”的充要条件；③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件；④“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件.二、解答题（本大题共6小题，共90分）15.（本小题满分14分）设命题为“若m>0，则关于x的方程x2+x−m=0有实数根”,试写出它的否命题、逆命题和逆否命题，并分别判断它们的真假．16.（本小题满分14分）已知命题p：任意x∈R，ax2+2x+3≥0，如果命题﹁p是真命题，求实数a的取值范围．17.（本小题满分14分）设p：实数x满足x2－4ax+3a2＜0，其中a＞0；q：实数x满足{x2－x－6≤0,x2+2x－8＞0.（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.18.（本小题满分16分）若∀x∈R,函数f(x)=m(x2−1)+x−a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．19.（本小题满分16分）设P,Q,R,S四人分别获得一到四等奖，已知：（1）若P得一等奖，则Q得四等奖；（2）若Q得三等奖，则P得四等奖；（3）P所得奖的等级高于R；（4）若S未得一等奖，则P得二等奖；（5）若Q得二等奖，则R不是四等奖；（6）若Q得一等奖，则R得二等奖.问P,Q,R,S分别获得几等奖？20.（本小题满分16分）设命题p:函数f(x)=(a−32)x是R上的减函数，命题q:函数f(x)=x2−4x+3在[0,a]上的值域为[−1,3]．若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求a的取值范围．第1章常用逻辑用语（苏教版选修2-1）答题纸得分：＿＿＿一、填空题1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.二、解答题15.解：16.解：17.解：18.解：19.解：20.解：第1章常用逻辑用语（苏教版选修2-1）答案一、填空题1.②解析：“若﹁p则﹁q”与“若q则p”是互为逆否的命题，②不正确，故选②.2.[-1,3]解析：已知命题是假命题，则它的否定为真命题，命题的否定为∀x∈R,x2+(a−1)x+1≥0.若为真命题，需方程x2+(a−1)x+1=0的判别式Δ=(a−1)2−4≤0,解得−1≤a≤3.3.必要不充分解析：集合A={x||x−1|≤1,x∈R}={x|0≤x≤2,x∈R},集合B={x|log2x≤1,x∈R}= {x|0<x≤2,x∈R}，故x∈A⇏x∈B，x∈B⇒x∈A，所以“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件.4.[0,12]解析：由已知得若p成立，则12≤x≤1,若q成立，则a≤x≤a+1.又﹁p是﹁q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，所以{a≤12，1＜a+1，或{a＜12，1≤a+1.所以.5.2解析：将函数y=sin2x的图象向右平移π3个单位长度得到函数y=sin2(x−π3)=sin(2x−2π3)的图象，所以命题P是假命题，“非P”是真命题，“P且Q”是假命题.函数y=sin(x+π6)cos(π3−x)=cos(π2−x−π6)cos(π3−x)=cos2(π3−x)=cos(2x−2π3)2+12,最小正周期为π，命题Q为真命题，所以“P或Q”为真命题.故真命题有2个.6.{a|a≤−2或a=1}解析：若p成立，对∀x∈[1,2],有a≤x2.因为1≤x≤2,所以1≤x2≤4,即a≤(x2)min= 1.若q成立，则方程x2+2ax+2−a=0的判别式Δ=4a2−4(2−a)≥0,解得a≤−2或a≥1.因为命题“p∧q”是真命题，所以p真q真，故a的取值范围为{a|a≤−2或a=1}.7.①②解析：“p或q”是假命题，则它的否定是真命题，即“﹁p且﹁q”是真命题，①是真命题；若|x|>|y|，则x2>y2，若x2>y2,则|x|>|y|，所以②是真命题；数形结合可得，若一元二次不等式的解集是∅，则必有a>0且Δ<0，所以③是假命题；当时，必有但当x=1，y=5时，满足但x<2，所以④是假命题.8.①③解析：对于命题①，若f(x+2π)=sin(φx+2πφ+φ)=sin(φx+φ)成立，φ必须是整数，所以命题①是假命题；对于函数f(x)=sin(φx+φ)，当φ=π2时，函数为偶函数，所以命题③是假命题；同理可得，命题②④是真命题.9.①②解析：A∩B=∅，集合A和集合B没有公共元素，①正确；A⊆B，集合A中的元素都是集合B中的元素，②正确；③错误；A=B，则集合A中的元素与集合B中元素完全相同，元素个数相等，但两个集合的元素个数相等，并不意味着它们的元素相同，④错误.10.②③解析：因为√52>1，所以命题p是假命题，﹁p是真命题；由函数y=x2+x+1的图象可得，命题q是真命题，﹁q是假命题.所以命题“p∧q”是假命题,命题“p∧(﹁q)”是假命题，命题“(﹁p)∨q”是真命题，命题“(﹁p)∨(﹁q)”是真命题.所以②③正确.11.如果x≠2或y≠－1，则√x－2+(y+1)2≠0解析：“x=2且y=－1”的否定为“x≠2或y≠－1”，“√x－2+(y+1)2=0”的否定为√x－2+(y+1)2≠0，故原命题的逆否命题为“如果x≠2或y≠－1，则√x－2+(y+1)2≠0”.12.a＜13解析：∵¬p为真命题，∴p为假命题.又当p为真命题时，需a x2+2x+3≥0恒成立，显然a=0时不正确，则需4-120aa⎧⎨⎩＞，≤，∴a≥13，∴当p为假命题时，a＜13.13.(0,2)解析：两个命题可分别表示为或x<−1，或x<1−m，要使命题p是命题q的充分不必要条件，则{1+m≤3，1−m>−1，m>0，或{1+m<3，1−m≥−1，m>0，解得0<m<2.14.①②④解析：∵原命题与其逆否命题等价，∴若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件.x≠1⇏x2≠1，反例：x＝－1⟹x2＝1，∴“x≠1”是“x2≠1”的不充分条件.x≠0⇏x＋|x|＞0，反例：x＝－2⟹x＋|x|＝0.但x＋|x|＞0⟹x＞0⟹x≠0，∴“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件.二、解答题15.解：否命题为“若m≤0，则关于x的方程x2+x−m=0没有实数根”；逆命题为“若关于x的方程x2+x−m=0有实数根，则m>0”；逆否命题为“若关于x的方程x2+x−m=0没有实数根，则m≤0”.由方程x2+x−m=0根的判别式Δ=1+4m>0，得m>−14，此时方程有实数根．因为m>0使1+4m>0，所以方程x2+x−m=0有实数根，所以原命题为真，从而逆否命题为真.但方程x2+x−m=0有实数根，必须m>−14，不能推出m>0，故逆命题为假,从而否命题为假.16.解：因为命题﹁p是真命题，所以p是假命题.又当p是真命题，即ax2+2x+3≥0恒成立时，应有{a>0，Δ=4−12a≤0，解得a≥13，所以当p是假命题时，a<13.所以实数a的取值范围是{a|a<13}.17.解：由x2－4ax+3a2＜0，得(x－3a)(x－a)＜0.又a＞0，所以a＜x＜3a.（1）当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3.由{x2－x－6≤0,x2+2x－8＞0,得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3. 若p∧q为真，则p真q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3.（2）若ℸp是ℸq的充分不必要条件，即¬p⟹¬q，且¬q⇏¬p.设A={x|¬p},B={x|¬q},则A B，又A={x|¬p}={x|x≤a或x≥3a}，B={x|¬q}={x|x≤2或x＞3}，则有0＜a≤2且3a＞3，所以实数a的取值范围是1＜a≤2.18.解：（1）当m=0时，f(x)=x−a的图象与x轴恒相交；（2）当m≠0时，二次函数f(x)=m(x2−1)+x−a=mx2+x−m−a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ=1+4m(m+a)≥0恒成立，即Δ=4m2+4am+1≥0恒成立，又4m2+4am+1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ′=(4a)2−16≤0,解得−1≤a≤1．综上，当m=0时，a∈R；当m≠0时，a∈[−1,1]．19.解：由（3）知，得一等奖的只有P,Q,S之一（即R不可能是一等奖）.若P得一等奖，则S未得一等奖，与（4）矛盾；若Q得一等奖，由（6）知，R得二等奖，P只能得三等奖或四等奖，与（3）矛盾.所以只有S得一等奖.若P是二等奖，由（2）知，Q不得三等奖，只能是四等奖，所以R是三等奖；若P是三等奖，则R是四等奖，Q得二等奖，与（5）矛盾.所以S，P，R，Q分别获得一等奖，二等奖，三等奖，四等奖.20.解：由0<a−32<1得32<a<52.因为f(x)=(x−2)2−1在[0,a]上的值域为[−1,3],所以2≤a≤4.又因为“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，所以p,一真一假．若p真q假，则32<a<2；若p假q真，则52≤a≤4.综上可得，a的取值范围是{a|32<a<2或52≤a≤4}.。

第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.1四种命题双基达标(限时15分钟)1．下列语句：①12>5；②3是12的约数；③0.5是整数；④x是偶数；⑤x<2.其中是命题的有__________．(填序号)解析由命题的定义知①②③是命题．答案①②③2．命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题为__________________________________．解析原命题的逆否命题是把条件和结论都否定后，再交换位置，注意“－1<x<1”的否定是“x≥1或x≤－1”．答案若x≥1或x≤－1，则x2≥13．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；③“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；④“同位角相等”的逆命题．其中真命题的个数是________．解析 ①“若x ＋y ≠0，则x ，y 不是相反数”是真命题．②“若a 2≤b 2，则a ≤b ”，取a ＝0，b ＝－1，a 2≤b 2，但a ＞b ，故是假命题．③“若x >－3，则x 2－x －6≤0”，解不等式x 2－x －6≤0可得－2≤x ≤3，而x ＝4>－3，不是不等式的解，故是假命题．④“相等的角是同位角”是假命题．答案 14．命题“若x ≠2，则x 3－x 2－x －2≠0”的逆否命题是______；是______(填“真”或“假”)命题．解析 ∵x 3－x 2－x －2＝(x －2)(x 2＋x ＋1)＝0，而x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34>0，∴x ＝2，故原命题为真命题．又原命题与逆否命题具有相同真假性，故逆否命题也为真命题．答案 “若x 3－x 2－x －2＝0，则x ＝2” 真5．给出下面3个命题：①函数y ＝tan x 在第一象限是增函数；②奇函数的图象一定过原点；③“若0<log a b <1，则a >b >1”的逆命题．其中真命题的序号是______．解析 ①举反例：x ＝2π＋π6或π4，tan(2π＋π6)＝33，tan π4＝1，由于2π＋π6>π4时，tan(2π＋π6)<tan π4，则原命题为假命题．②例如y ＝1x是奇函数但不过原点．③若0<log a b <1，则a >b >1的逆命题为若a >b >1，则0<log a b <1是真命题，因为a >b >1，所以log a a >log a b >log a 1＝0，即0<log a b <1.答案 ③6．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：(1)若q <1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根；(2)若a >b ，则1a <1b. 解 (1)逆命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根，则q <1，假命题．否命题：若q ≥1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，假命题．逆否命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，则q ≥1，真命题．(2)逆命题：若1a <1b，则a >b ，假命题． 否命题：若a ≤b ，则1a ≥1b，假命题． 逆否命题：若1a ≥1b，则a ≤b ，假命题． 综合提高 (限时30分钟)7．下列语句：①x ＝0；②－5∈Z ；③作线段AB ；④2020年人类将登上火星；⑤lg 100＝2.其中命题的个数是______个．解析①语句中含有变量，不能判断真假，不是命题；③是祈使句，不是命题；②⑤是陈述句且能判断真假，是命题；④目前不能确定真假，但随着时间的推移，总能确定真假，这类猜想也是命题，故②④⑤是命题．答案 38．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是______个．解析原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题；逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”为假命题，则否命题是假命题．故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，只有逆否命题是真命题．答案 19．给定下列命题：①“若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实根”；②“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题；③“矩形的对角线相等”的逆命题．其中真命题的序号是______．解析①Δ＝4＋4k>0，k>－1，∴是真命题．②否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，是真命题．③逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题．答案①②10．设有两个命题：①关于x的不等式mx2＋1>0的解集是R；②函数f(x)＝log m x是减函数，如果这两个命题中有且只有一个真命题，则实数m的取值范围是______．解析①是真命题，则m≥0；②是真命题，则0<m<1，若①真，②假，则m＝0或m≥1；若②真，①假，m不存在．综上，m＝0或m≥1.答案m＝0或m≥111．已知a，b∈R，求证：若a3＋b3＋3ab≠1，则a＋b≠1.证明原命题证明较困难改证它的等价命题(逆否命题)：已知a，b∈R，求证：若a＋b＝1，则a3＋b3＋3ab＝1.因为a＋b＝1，所以a3＋b3＋3ab＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋3ab＝a2－ab＋b2＋3ab＝(a＋b)2＝1.因为逆否命题与原命题等价，所以原命题正确．12．已知集合A＝{x|x2＋(2＋a)x＋1＝0，x∈R}，B＝{x∈R|x>0}，试问是否存在实数a，使得A∩B＝∅？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．解假设存在实数a满足条件A∩B≠∅，若A∩B≠∅，则方程x2＋(2＋a)x＋1＝0的两实数根x1，x2至少有一个为正；因为x1·x2＝1>0，所以两根x1，x2均为正数．则由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2＋a ）2－4≥0，x 1＋x 2＝－（2＋a ）>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0或a ≤－4，a <－2，即a ≤－4. 又∵集合{a |a ≤－4}的补集为{a |a >－4}，∴存在满足条件A ∩B ＝∅的实数a ，其取值范围是(－4，＋∞)．13．(创新拓展)写出命题“已知a 、x 为实数，如果关于x 的不等式x 2＋4x ＋a ＋2≤0的解集非空，则a >3”的逆否命题，并判断其真假．解 其逆否命题为：已知a 、x 为实数，如果a >3，则关于x 的不等式x 2＋4x ＋a ＋2≤0的解集非空．法一 若a >3，则x 2＋4x ＋a ＋2＝0的判别式Δ＝16－4a －8＝8－4a <0，此时不等式x 2＋4x ＋a ＋2≤0的解集为空集，故其逆否命题为假命题．法二 从原命题角度出发，若其解集为非空集合，则有Δ＝8－4a >0，得a <2，故原命题为假命题，所以其逆否命题也为假命题．。