椭圆及其标准方程2011513

椭圆及其标准方程一、授课时间：2010年11月4日 班级：高二4班 二、教学目标 （1）、知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程，通过对椭圆标准方程的探求，熟悉求曲线方程的一般方法。

（2）、能力目标：让学生通过自我探究、操作、数学思想（待定系数法）的运用等，从而提高学生实际动手、合作学习以及运用知识解决实际问题的能力。

（3）、情感目标：在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会形数美的统一，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索，勇于创新的精神。

三、教学重点、难点教学重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程 教学难点：椭圆标准方程的建立和推导。

四、教学方法：我采用的是引导发现法、探索讨论法等。

1、引导发现法：用课件演示动点的轨迹，启发学生归纳、概括椭圆定义。

2、探索讨论法：由学生通过联想、归纳把原有的求轨迹方法迁移到新情况中，有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点，发挥其创造性。

五、总体教学设想：设置情境认识椭圆—新知探索画椭圆—定义椭圆—探索推导椭圆标准方程—例题精讲—新知应用—总结提升—作业布置 六、教学过程（一）课前准备（预习教材找出疑惑之处）复习1：过两点(0,1),(2,0)的直线方程 ． 复习2：方程22(3)(1)4x y -++= 表示以 为圆心, 为半径的 ． 复习3：圆的定义是什么？圆的标准方程是什么？ （二） 新课导学【设置情境——认识椭圆】1 展示生活中的椭圆实例：椭圆实物图片展示（多媒体）2 星系中的椭圆运动轨迹：以“神舟”五号和“神舟”六号载人飞船为例，提出问题：“神舟”飞船的运行轨迹是什么？（多媒体动画课件展示）（神舟六号飞船进入太空后，先以远地点347公里，近地点200公里的椭圆轨道运行，后经过变轨调整为距地343公里的圆形轨道。

） 【新知探索——画椭圆】(1)、请学生拿出课前准备的硬纸板、细线、铅笔，同桌一起合作画椭圆。

取出细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？(2)、课件动态演示椭圆的形成过程： 接着指出： 思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖_________ 等于常数． 【定义椭圆】： 我们把平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F 1 、F 2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．问题探究：若将常数记为2a ,为什么要满足2a>12F F 呢? （1）当2a=12F F 时，轨迹是什么？（2）当2a<12F F 时，轨迹又是什么？结论：（1）、当2a>|F 1F 2|时，是椭圆； （2）、当2a=|F 1F 2|时，是线段；（3）、当2a<|F 1F 2|轨迹不存在。

【探究推导—椭圆方程】（教师引导）设问1：求曲线方程的一般方法样？（建系、设点、列式、化简）设问2：本题中可以怎样建立直角坐标系？（让学生根据自已的经验来确定）方案1：（如图1）以F 1、F 2所在的直线为x 轴，F 1F 2的中点为原点建立直角坐标系：方案2：（如图2）以F 1、F 2所在的直线为y 轴，F 1F 2的中点为原点建立直角坐标系椭圆上的点满足：(,)M x y 是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c (0)c >，1MF +2MF 为定值，设为2a ， 则2a >2c 。

让学生自己去推导椭圆的标准方程，给学生较多的思考问题的时间和空间，变“被动”为“主动”，变“灌输”为“发现”。

教师结合猜想加以引导。

问题1：在探索中得到了椭圆方程：a y c x y c x 2)()(2222=+-+++但不会化简。

问题2：化简后得到的方程没有猜想的简洁、漂亮，与课本上的标准方程也有一点距离。

设问：①教师问：化简含有根号的式子时，我们通常有什么方法？学生回答：可以两边平方。

②教师问：对于本式是直接平方好呢，还是恰当整理后再平方？学生通过实践，发现对于这个方程，直接平方不利于化简，而整理后再平方，最后能得到圆满的结果。

图1 图2椭圆方程： )0(12222>>=+b a by a x )0(12222>>=+b a b x a y请学生观察归纳二个方程的特征，从而区别焦点在不同坐标轴上的椭圆标方程；令222c a b -=要渗透数学对称美教学。

说明：①0>>b a ；②222c b a +=（要区别与习惯思维下的勾股定理222b ac +=）；椭圆方程的特点：（1）方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1； （2）在椭圆两种标准方程中，总有a >b >0； （3）焦点在大分母变量所对应的那个轴上； （4）a 、b 、c 都有特定的意义a —椭圆上任意一点M 到F 1、F 2距离和的一半；c — 一半焦距。

有关系式222abc =+成立。

【例题精讲】例1：判断下列各椭圆的焦点位置，并说出焦点坐标、焦距。

（学生回答）（1）14322=+y x （2）12422=+y x （3）14322=+y x （4）1422=+y x 例2：求适合下列条件的椭圆标准方程（1）两个焦点的坐标分别为)0,4(),0,4(-，椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10 （2）两个焦点的坐标分别为)2,0(),2,0(-，并且椭圆经过点35(,)22-解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，由题意可知4c =，5a =，则3b =，所求椭圆的标准方程为221259x y += （2）解法1：因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为22221y x a b+= (0)a b >>，由椭圆的定义知2a ==a = 。

又因为2c =，所以222b ac =-1046=-= .因此，所求椭圆的标准方程为221106y x +=. （学生讨论，发表意见）解法2：解：设所求的椭圆标准方程为)0(12222>>=+b a bx a y依题意得22222253()()2214a b a b ⎧-⎪⎪+=⎨⎪-=⎪⎩解得22106a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以所求椭圆的标准方程为221106y x +=通过例题，使学生进一步掌握椭圆方程中a ,b ,c 三者之间的关系；掌握运用椭圆定义法、待定系数法求椭圆的标准方程，运用定义法时要强化根式化简计算；运用待定系数法时强调“二定”即定位定量；小试身手：求适合下列条件的椭圆的标准方程。

1、焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1).【2214x y +=】 2、焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0,10)-，P 到它较近的一个焦点的距离等于 2.【22110036y x +=】 师生总结求椭圆标准方程的解题步骤： 1、确定焦点的位置——定位； 2、设出椭圆的标准方程；3、用待定系数法确定a ，b 的值——定值；4、最后写出椭圆的标准方程 。

【新知应用—当堂检测】：1、已知F 1、F 2是椭圆192522=+y x 的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于M 、N 两点，则2MNF ∆的周长为 。

2、已知椭圆方程为2212332x y +=，则这个椭圆的焦距为___________________. 3、已知椭圆2212516x y +=上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离为______________.4、椭圆2214x y m +=的焦距是2，则实数m 的值是_______________. 5、已知椭圆35(,)22-与，求椭圆的标准方程。

6、平面内两定点距离之和等于8，一个动点到这两个定点的距离之和等于10，建立适当坐标系写出动点的轨迹方程。

七、总结提升（多媒体展示）椭圆标准方程的求法：一定焦点位置；二设椭圆方程；三求，的值 八、布置作业1、教材P 42 练习1，2题。

2、思考题：方程221Ax By +=什么时候表示椭圆？什么时候表示焦点在x 轴上的椭圆？什么时候表示焦点在y 上的椭圆？ )0(12222>>=+b a by a x (12222>=+a b x a y 椭圆标准方程的推导过程书写（关键步）教学案设计说明一、教学准备1、教材的地位及作用人教版（选修2—1）第二章《圆锥曲线与方程》是高考重点考查章节。

“椭圆及其标准方程”是《圆锥曲线》2.2第一节的内容,是继学习圆以后运用“曲线和方程”理论解决具体的二次曲线的又一实例。

从知识上说，它是运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础；所以说，无论从教材内容，还是从教学方法上都是起着承上启下的作用，它是学好本章内容的关键。

因此搞好这一节的教学，具有非常重要的意义。

2、学情分析：在学习本课《椭圆及其标准方程》前，学生已学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的概念有了一些了解与运用的经验，用坐标法研究几何问题也有了初步的认识。

但由于学生学习解析几何时间还不长、学习程度也较浅，学生对坐标法解决几何问题掌握还不够。

另外，学生对含有两个根式之和（差）等式化简的运算生疏，去根式的策略选择不当等是导致“标准方程的推导”成为学习难点的直接原因。

据以上对教材及学情的分析，确定椭圆的定义及其标准方程为本课的教学重点；椭圆标准方程的推导为本课的难点。

二、设计理由：这节课围绕“认识椭圆→画椭圆→定义椭圆→推导椭圆方程→椭圆方程知识讲解→椭圆方程知识运用”这一主线展开。

认识椭圆这一环节我从学生所关心的实际问题引入，使学生了解数学来源于实际，并利用多媒体展示了图片和航天飞船的运行轨道，创设情境激发学生的求知欲望和浓厚的兴趣。

画椭圆这一环节不仅让学生动手实践，还利用动画演示，更直观形象。

定义椭圆由学生讨论教师点拨来完成。

椭圆方程的推导是难点，我利用提问的形式环环相扣，步步为营，这样符合学生的认知规律。

通过精心设问突破了椭圆方程推导的难点，深化了学生的探索活动。

允许和鼓励学生提问，让学生从“不问”到“敢问、善问”是培养学习能力的重要一环。

椭圆方程知识的应用例题由易到难，整体难度不大，但很精典。

例2（2）题的两种解法正是求椭圆方程的基本方法。

通过师生总结椭圆标准方程的求法，再加上当堂检测进行的巩固练习，使学生很好的掌握了本节课的重点，突破了难点。

收到了较好的教学效果。

三、教法学法选择原因“授人以鱼，不如授人以渔.”课堂教学中创设问题的情境，激发学生主动的发现问题解决问题，充分调动学生学习的主动性、积极性；有效地渗透数学思想方法，发展学生个性思维品质，这是本节课的教学原则。