二次函数的应用第课时-

何值时，y的最大值是多少?
H
D
B
（2）.y＝xb＝x
﹣1225
x＋24

P┐ G A
N
＝﹣12
40cm
x 2＋24 x ＝﹣12（x－25）2＋300.
25
25
想一想
何时面积最大
如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中
点A和点D分别在两直角边上，BC在斜边上.
（2）.设矩形的面积为ym2，当x取 M C
（1）.如果设矩形的一边AD ＝
M
30cm xcm
xcm，那么AB边的长度如何表示？ D
C
解：（1）设 AB＝bcm
易得 b＝﹣4 x＋40 3
┐ bcm
A
B
N
40cm
想一想
何时面积最大
如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中 AB和AD分别在两直角边上.
（2）.设矩形的面积为ym2，当x取
所以，顶点坐标为：（﹣1，﹣7）， 对称轴为x ＝﹣1
想一想
何时面积最大
例1：如图，在一个直角三角形的内部作一个 矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
M
30cm
D
C
┐
A
B
N
40cm （1）.设矩形的一边AB ＝ xcm，那么AD边的长度如
何表示？
（2）.设矩形的面积为ym2 ，当x取何值时，y的最大值
M
或用公式：
当 x＝﹣ b ＝15 时，
2a
y最大值＝
4ac－b2 4a
＝300.
xcm
D
C
bcm
┐
A
B
N

1.4 二次函数的应用第1课时 几何图形的面积问题数学（浙教版）九年级 上册第1章二次函数学习目标1．学会分析实际问题中的二次函数关系；2．学会用二次函数表示几何图形中的关系，并用来求实际问题中的最大值与最小值；导入新课问题1：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h （单位：m ）与小球的运动时间 t （单位：s ）之间的关系式是 h= 30t - 5t 2（0≤t ≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？t/sh/mO1234562040h= 30t - 5t2解决思路：通过图象可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点.也就是说，当t 取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.思考：如何求二次函数的顶点坐标呢？知识点一 二次函数的实际应用——几何图形面积问题由于抛物线 y = ax 2+ bx + c 的顶点是最低（高）点，当 时，二次函数 y = ax 2+ bx + c有最小（大）值思考：如何求出二次函数 y = ax 2+ bx + c 的最小（大）值？二次函数的顶点式可以很直观地看出最大值或最小值当 时小球运动的时间是 3s 时，小球最高.小球运动中的最大高度是 45 m．t/sh/m O 1234562040h= 30t - 5t2我们来求一下问题1：例用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？1.矩形面积公式是什么？2.如何用l表示另一边？3.面积S的函数关系式是什么？l30-lS=l(30-l),即S=-l2+30l (0<l<30).S=l(30-l),即S=-l2+30l (0<l<30).因此，当时，S有最大值，也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.归纳总结二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值；3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.典例精析【例1】某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为28m，则当能建成的饲养室总占地面积最大时，中间隔开的墙长是（ ）米．A．4B．5C．6D．8【详解】解：设中间隔开的墙长为x m，能建成的饲养室总占地的面积为Sm2，根据题意得，S=x×(28+2-3x)=-3(x-5)2+75，-3＜0，有最大值，∴当x=5时，S取得最大值，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．练一练1．如图，某跑道的周长为400m 且两端为半圆形，要使矩形内部操场的面积最大，直线跑道AB 段的长应为．【详解】解：设矩形直线跑道AB=xcm ，矩形面积为ycm 2，由题意得： y=400−2ᵆᵰ·ᵆ=−2ᵰ(ᵆ−100)2+20000ᵰ∵−2ᵰ＜0，∴当x=100时，y 最大，即直线跑道长应为100m ．故答案为：100m2．如图，一块矩形区域ABCD 由篱笆围着，并且由一条与CD 边平行的篱笆EF 分开．已知篱笆的总长为18米（篱笆的厚度忽略不计），求当矩形ABCD 的面积最大时AB 的长．【详解】解：设AB=x 米，矩形的面积设为y （平方米），则AB+EF+CD=3x ，∴AD=BC=18−3ᵆ2．∴y=x·18−3ᵆ2=−32ᵆ2+9ᵆ．由于二次项系数小于0，所以y 有最大值，∴当AB=x=-ᵄ2ᵄ=3时，函数y 取得最大值．∴当AB=3米时，矩形ABCD 的面积最大．1．如图，要围一个矩形菜园ABCD，共中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB,BC,CD用篱笆，且这三边的和为40m．有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD的面积为192m2；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．其中，正确结论的个数是（ ）A．0B．1C．2D．3【详解】设AB的长为xm，矩形ABCD的面积为ym2，则BC的长为(40-2x)m，由题意得y=x(40-2x)=-2x2+40x=-2(x-10)2+200，其中0＜40-2x≤26，即7≤x＜20，①AB的长不可以为6m，原说法错误；③菜园ABCD面积的最大值为200m2，原说法正确；②当y=-2(x-10)2+200=192时，解得x=8或x=12，∴AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2，说法正确；综上，正确结论的个数是2个，故选：C．2．把一根长4a的铁丝分成两段，每一段弯曲成一个正方形，面积和最小是（ ）A．ᵄ2B．ᵄ2�C．ᵄ22D．ᵄ243．如图，某学校拟建一块矩形花圃，打算一边利用学校现有的墙（墙足够长），其余三边除门外用栅栏围成，栅栏总长度为38m ，门宽为2m ．这个矩形花圃的最大面积是．【详解】解：设花圃的长为x,面积为y,则y 关于x 的函数表达式为：y=12(38+2−��ᵆ)ᵆ=−12ᵆ2+20ᵆ=−12(x-20)2+200又∵38+2-x＞0，x≥22≤x＜404．如图，小明想用长16米的栅栏（虚线部分），借助围墙围成一个矩形花园ABCD，则矩形ABCD的最大面积是平方米．【详解】解：设AB=x米，矩形ABCD的面积为S，则BC=（16-2x)米，∴S=x(16-2x)=2x2+16x=-2(x-4)2+32即矩形ABCD的最大面积为32平方米故答案为：32．5．用一段长为24m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，若墙长10m ，则这个养鸡场最大面积为 m 2．【详解】设养鸡场长为x 米，则宽为12(24−��ᵆ)米，面积为S 平方米，根据题意得：S=x×12(24−ᵆ)=−12ᵆ2+12ᵆ，(0＜x≤10)，∵二次函数图象对称轴为：直线x=12，开口向下，∴ 当0＜x≤10时，S 随x 的增大而增大，∴当x=10时，S 取得最大值为70．故答案是：70．6．如图所示，矩形花圃ABCD的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆围成．设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米．(1)求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；(2)当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．【详解】（1）∵AB边长为xm，四边形为矩形，且剩余三边长总和为32m，∴BC边长为(32-2x)m，∴S=AB·BC=x(32-2x)=-2x2+32x；（2）函数化为顶点式，即得S=-2(x-8)2+128，可知x=8时，S有最大值128m2．【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，根据简单等量关系解决问题，二次函数化为顶点式即可得到函数最值，正确理解题意列得函数解析式是解题的关键．7．如图，嘉嘉欲借助院子里的一面长15m的墙，想用长为40m的网绳围成一个矩形ABCD给奶奶养鸡，怎样使矩形ABCD的面积最大呢？同学淇淇帮她解决了这个问题．淇淇的思路是：设BC的边长为xcm，矩形ABCD的面积为Sm2，不考虑其他因素，请帮他们回答下列问题：(1)求S与x的函数关系式，直接写出x的取值范围；(2)x为何值时，矩形ABCD的面积最大？【详解】（1）解：S=x(40−��ᵆ2)=-12ᵆ2+20ᵆ,ᵆ的取值范围为0＜ ᵆ�≤15；（2）解：∵S=-12ᵆ2+20ᵆ ，-12＜0，∴当x=-20−1=20时，S 有最大值，当x ＜20时，S 随x 的增大而增大，而0＜x≤15，∴x=15时，S 有最大值，即矩形ABCD 的面积最大．课堂小结二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.谢谢~。

二次函数的应用【第一课时】【教学目标】1．经历数学建模的基本过程。

2．会运用二次函数求实际生活中的最值问题。

3．体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。

【教学重点】二次函数在最优化问题中的应用。

【教学难点】从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解。

【教学过程】一、创设问题情境，引入新课。

由课文中的问题1引入。

例1：在问题1中，要使围成的水面面积最大，那么它的长应是多少？它的最大面积是多少？问题分析：这是一个求最值的问题。

要想解决这个问题，就要首先将实际问题转化成数学问题。

二、讲授新课。

在前面的学习中我们已经知道S=-x2+20x，这个问题中的水面长x与面积S之间的满足函数关系式。

通过配方，得到S=-（x-10）2+100。

由此可以看出，这个函数的图像是一条开口向下的抛物线，其定点坐标是（10，100）。

所以，当x=10m时，函数取得最大值，为S最大值=100（m²）。

所以，当围成的矩形水面长为10m，宽为10m时，它的面积最大，最大面积是100m²。

总结得出解这类题的一般步骤：（一）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（二）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。

三、例题讲解。

例3：上抛物体在不计空气阻力的情况下，有如下关系式：，其中h 是物体上升的高度，v 0是物体被上抛时的初始速度，g 表示重力加速度，通常取g ＝10m/s ²，t 是舞台抛出后经过的时间。

在一次排球比赛中，球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初始速度为10m/s 。

（一）问排球上升的最大高度是多少？（二）已知某运动员在2.5m 高度是扣球效果最佳，如果她要打快攻，问该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最佳？（精确到0.1s ）。

分析：学生容易把这个问题中排球的运动路线想象成抛物线，这一点需要首先说明，球是竖直上抛，在球上升或下降的过程中运动员完成击球。

课堂小结
答：当矩形的宽为10m时，矩形面积最大为100m2.
[归纳总结] 求极值（或最值），是许多实际问题中需研究 和解决的课题，二次函数是一种解决此类问题的模型．
探究问题二 已知二次函数的表达式应用最值解决实际问题 例 2 [教材变式题] 我市某镇的一种特产由于运输原
因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产销售每年的投 入资金 x 万元与所获利润 P 万元之间的函数表达式为 P＝－ 1100(x－60)2＋41.当地政府拟在“十二五”规划中加快开发 该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最 多可投入 100 万元的销售投资，在实施规划 5 年的前两年中， 每年都从 100 万元中拨出 50 万元用于修建一条公路，两年 修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的 3 年中， 该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的每年的 投资金额 x 万元与所获利润 Q 万元之间的函数表达式为 Q＝ －19090(100－x)2＋2594(100－x)＋160.
因此，当 40≤x≤70 时，y＝－3x＋240.
(2)当每箱售价为 x 元时，每箱利润为(x－40)元，平均每 天的利润 W＝(240－3x)(x－40)＝－3x2＋360x－9600.
(3)W＝－3x2＋360x－9600 ＝－3(x2－120x＋3600－3600)－9600 ＝－3(x－60)2＋1200，
[分析] 首先根据题意建立数学模型，即写出题目中水面的面 积与其一边长所反映的函数关系式，然后配方，写出顶点坐 标，从而确定矩形水面的边长和面积．
解:设矩形的宽为xm,面积为Sm2,得 S=x(20-x)=-x2+20x=-(x2-20x+100-100) =-(x-10)2+100 ∵a=-1<0 ∴当x=10时，S最大=100.