2021届中考数学一轮复习备考分层集训 第13课时 二次函数的图象及其性质(一)A卷

2021中考数学二次函数的图象及其性质一轮复习一、选择题1. 若二次函数y＝x2＋bx＋5配方后为y＝(x－2)2＋k，则b，k的值分别为()A. 0，5B. 0，1C. －4，5D. －4，12. 对于函数y＝－2(x－m)2，下列说法不正确的是()A．其图象开口向下B．其图象的对称轴是直线x＝mC．最大值为0D．其图象与y轴不相交3. 若抛物线y＝x2－2x＋3不动，将平面直角坐标系．．．．．．．．xOy先沿水平方向向右平移1个单位，再沿铅直方向向上平移3个单位，则原抛物线图象的解析式应变为() A. y＝(x－2)2＋3 B. y＝(x－2)2＋5C. y＝x2－1D. y＝x2＋44. （2020·深圳）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(－1，n)，其部分图象如图所示，以下结论错误．．的是（）A．abc＞0 B．4ac－b2＜0C．3a＋c＞0 D．关于x的方程ax2＋bx＋c＝n＋1无实数根5. 已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是()A. 当a＝1时，函数图象过点(－1，1)B. 当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点C. 若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D. 若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大6. 点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是()A. y3＞y2＞y1B. y3＞y1＝y2C. y1＞y2＞y3D. y1＝y2＞y37. （2020·福建）10.已知()111,P x y ，()222,P x y 是抛物线22=-y ax ax 上的点，下列命题正确的是（ ）A.若12|1||1|->-x x ，则12>y yB.若12|1||1|->-x x ，则12<y yC.若12|1||1|-=-x x ，则12=y yD.若12=y y ，则12=x x二、填空题8. 将抛物线y ＝－(x ＋2)2向________平移________个单位长度，得到抛物线y ＝－(x －1)2.9. 如图，抛物线y=ax 2与直线y=bx+c 的两个交点坐标分别为A (-2，4)，B (1，1)，则方程ax 2=bx+c 的解是 .10. (2019•荆州)二次函数2245y x x =--+的最大值是__________．11. 已知二次函数y=-(x -1)2+2，当t<x<5时，y 随x 的增大而减小，则实数t 的取值范围是 .12. (2019•徐州)已知二次函数的图象经过点(2,2)P ，顶点为(0,0)O 将该图象向右平移，当它再次经过点P 时，所得抛物线的函数表达式为__________．13. 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数)的顶点为P ，且抛物线经过点A(－1，0)，B(m ，0)，C(－2，n)(1＜m ＜3，n ＜0)，有下列结论： ①abc ＞0； ②3a ＋c ＜0； ③a(m －1)＋2b ＞0；④a ＝－1时，存在点P 使△PAB 为直角三角形． 其中正确结论的序号为________．14. 如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴交于点C ，点D (0，1)，点P 在抛物线上，且△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，则点P 的坐标为________．三、解答题15. 已知抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 与x 轴有两个不同的交点．(1)求c 的取值范围；(2)若抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 经过点A(2，m)和点B(3，n)，试比较m 与n 的大小，并说明理由．16. 如图，已知抛物线y ＝x 2－(m ＋3)x ＋9的顶点C 在x 轴正半轴上，一次函数y＝x ＋3与抛物线交于A 、B 两点，与x 、y 轴分别交于D 、E 两点． (1)求m 的值；(2)求A 、B 两点的坐标； (3)点P (a ，b )(－3<a <1)是抛物线上一点，当△P AB 的面积是△ABC 面积的2倍时，求a 、b 的值．17. (2019·山东滨州)如图①，抛物线211482y x x =-++与y 轴交于点A ，与x 轴交于点,B C ，将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D ． (1)求直线AD 的函数解析式；(2)如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点 ①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离；②当点P到直线AD的距离为524时，求sin PAD的值．2021中考数学二次函数的图象及其性质一轮复习-答案一、选择题1. 【答案】D【解析】由y＝(x－2)2＋k知此二次函数的顶点坐标为(2，k)，对称轴为x＝2，由y＝x2＋bx＋5知其对称轴为x＝－b2，得－b2＝2，所以b＝－4；于是可以得到函数的解析式是y＝x2－4x＋5，把(2，k)代入其中即得k＝1.2. 【答案】D3. 【答案】C【解析】由抛物线y＝x2－2x＋3得y＝(x－1)2＋2.保持抛物线不动，将平面直角坐标系先沿水平方向向右平移1个单位，其实质相当于抛物线向左平移1个单位，再将平面直角坐标系向上平移3个单位，则相当于抛物线向下平移3个单位，根据抛物线平移规律：左加右减，上加下减，可得新的抛物线解析式为y＝(x－1＋1)2＋2－3＝x2－1.4. 【答案】C【解析】根据抛物线开口向下，得到a＜0，对称轴为直线x＝－b2a＝－1，知b＝2a＜0，抛物线与y轴交于正半轴，c＞0，∴abc＞0，故选项A正确；根据抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，即4ac－b2＜0，故选项B正确；当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，又∵b＝2a，∴3a＋c＜0，∴选项C错误；∵抛物线开口向下，顶点为（－1，n），∴函数有最大值n，即抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y ＝n＋1无交点，一元二次方程ax2＋bx＋c＝n＋1无实数根，选项D正确；而要选择结论错误．．的，因此本题选C．5. 【答案】D【解析】当a＝1时，函数为y＝x2－2x－1，当x＝－1时，y＝1＋2－1＝2，其图象经过点(－1，2)，不过点(－1，1)，所以A选项错误；当a＝－2时，函数为y＝－2x2＋4x－1，b2－4ac＝16－4×(－2)×(－1)＝8>0，抛物线与x 轴有两个交点，故选项B 错误；当a >0时，抛物线的开口向上，它的对称轴是直线x ＝－－2a2a ＝1，当x ≥1，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，所以C 选项错误；当a <0时，抛物线的开口向下，它的对称轴是直线x ＝－－2a2a ＝1，当x ≤1，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，所以D 选项正确．6. 【答案】D 【解析】此类题利用图象法比较大小更直观简单．容易求出二次函数y ＝－x 2＋2x ＋c 图象的对称轴为直线x ＝1，可画草图如解图：由解图知，P 1(－1，y 1)，P 2(3，y 2)关于直线x ＝1对称，P 3(5，y 3)在图象的右下方部分上，因此，y 1＝y 2>y 3.7. 【答案】C【解析】本题考查了二次函数的图象和性质，∵22=-y ax ax =a （x -1）2-a ，∴抛物线的对称轴为x =1，根据二次函数的对称性知若12|1||1|-=-x x ，则12=y y ，因此本题选C ． 二、填空题8. 【答案】右 39. 【答案】x 1=-2，x 2=1[解析]∵抛物线y=ax 2与直线y=bx +c 的两个交点坐标分别为A (-2，4)，B (1，1)，∴的解为即方程ax 2=bx +c的解是x 1=-2，x 2=1.10. 【答案】7【解析】222452(1)7y x x x =--+=-++， 即二次函数245y x x =--+的最大值是7， 故答案为：7．11. 【答案】1≤t<5[解析]抛物线的对称轴为直线x=1，因为a=-1<0，所以抛物线开口向下，所以当x>1时，y 的值随x 值的增大而减小，因为t<x<5时，y 随x 的增大而减小，所以1≤t<5.12. 【答案】21(4)2yx =- 【解析】设原来的抛物线解析式为：2y ax =(0)a ≠， 把(2,2)P 代入，得24a =， 解得12a =， 故原来的抛物线解析式是：212y x =， 设平移后的抛物线解析式为：21()2y x b =-， 把(2,2)P 代入，得212(2)2b =-，解得0b =(舍去)或4b =，所以平移后抛物线的解析式是：21(4)2y x =-， 故答案为：21(4)2y x =-．13. 【答案】②③ [解析] 由抛物线经过A(－1，0)，B(m ，0)，可知对称轴为x ＝m －12＝－b 2a， ∴－ba ＝m －1.∵1＜m ＜3，∴ab ＜0.画出二次函数y ＝ax 2＋bc ＋c 的大致图象可知a ＜0， ∴b ＞0.把(－1，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，可得a －b ＋c ＝0， ∴c ＝b －a ＞0.∴abc ＜0，故①错误． 当x ＝3时，y ＜0，∴9a ＋3b ＋c ＝9a ＋3(a ＋c)＋c ＝12a ＋4c ＝4(3a ＋c)＜0，∴3a ＋c<0，故②正确． ∴－ba ＝m －1，∴a(m －1)＋2b ＝－b ＋2b ＝b ＞0，故③正确．当a ＝－1时，y ＝－x 2＋bx ＋c ，∴P(b 2，b ＋1＋b 24)．若△PAB 为直角三角形，则△PAB 为等腰直角三角形， ∴b ＋1＋b 24＝b2＋1，∴b ＝－2或b ＝0.∵b ＞0，∴不存在点P 使△PAB 为直角三角形， 故④错误． 故答案为②③.14. 【答案】(1＋2，2)或(1－2，2) 【解析】抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴交于点C ，则点C 坐标是(0，3)，∵点D(0，1)，点P 在抛物线上，且△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，∴易得点P 的纵坐标是2，当y ＝2时，∴－x 2＋2x＋3＝2，则x 2－2x －1＝0，解得方程的两根是x ＝2±222＝1±2，∴点P 的坐标是(1＋2，2)或(1－2，2)．三、解答题15. 【答案】解：(1)∵抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 与x 轴有两个不同的交点， ∴Δ＝b 2－4ac ＝16－8c ＞0，∴c ＜2.(2)m<n.理由：∵抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 的对称轴为直线x ＝1， ∴点A(2，m)和点B(3，n)都在对称轴的右侧． 又∵当x≥1时，y 随x 的增大而增大， ∴m ＜n.16. 【答案】解：(1)∵抛物线y ＝x 2－(m ＋3)x ＋9的顶点在x 轴的正半轴上， ∴方程x 2－(m ＋3)x ＋9＝0有两个相等的实数根， ∴b 2－4ac ＝[－(m ＋3)]2－4×9＝0，解得m ＝3或m ＝－9， 又∵抛物线对称轴大于0，即m ＋3>0， ∴m ＝3.(3分)(2)由(1)可知抛物线解析式为y ＝x 2－6x ＋9，联立一次函数y ＝x ＋3，可得⎩⎨⎧y ＝x 2－6x ＋9y ＝x ＋3，解得⎩⎨⎧x ＝1y ＝4或⎩⎨⎧x ＝6y ＝9，∴A(1，4)，B(6，9)．(6分)(3)如解图，分别过A 、B 、P 三点作x 轴的垂线，垂足分别为R 、S 、T ，解图∵A(1，4)，B(6，9)，C(3，0)，P(a ，b)，∴AR ＝4，BS ＝9，RC ＝3－1＝2，CS ＝6－3＝3，RS ＝6－1＝5，PT ＝b ，RT ＝1－a ，ST ＝6－a ，∴S △ABC ＝S 梯形ABSR －S △ARC －S △BCS ＝12×(4＋9)×5－12×2×4－12×3×9＝15，S △PAB ＝S 梯形PBST －S 梯形ARTP －S 梯形ARSB ＝12(9＋b)(6－a)－12(b ＋4)(1－a)－12×(4＋9)×5＝12(5b －5a －15)．(8分) 又∵S △PAB ＝2S △ABC ， ∴12(5b －5a －15)＝30，即b －a ＝15， ∴b ＝15＋a ，∵P 点在抛物线上， ∴b ＝a 2－6a ＋9，∴15＋a ＝a 2－6a ＋9，解得a ＝7±732， ∵－3<a<1， ∴a ＝7－732，∴b ＝15＋7－732＝37－732.(10分)17. 【答案】(1)当0x =时,4y =，则点A 的坐标为()0,4，当0y =时，2110482x x =-++，解得，124,8x x =-=，则点B 的坐标为()4,0-，点C 的坐标为()8,0，∴4OA OB ==，∴45OBA OAB ∠=∠=︒， ∵将直线AB 绕点A 逆时针旋转90︒得到直线AD ， ∴90BAD ∠=︒，∴45OAD =︒，∴45ODA ∠=︒，∴OA OD =，∴点D 的坐标为()4,0， 设直线AD 的函数解析式为,y kx b =+440b k b =⎧⎨+=⎩，得14k b =-⎧⎨=⎩， 即直线AD 的函数解析式为4y x =-+；(2)作PN x ⊥轴交直线AD 于点N ，如图①所示，设点P 的坐标为211,482t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则点N 的坐标为(),4t t -+，∴2211134(4)8282PN t t t t t ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭，∴PN x ⊥轴， ∴PN y ∥轴，∴45OAD PNH ∠=∠=︒，作PH AD ⊥于点H ，则90PHN ∠=︒， ∴22222132322926)2282164164PH PN t t t ⎫==-+=-+=--+⎪⎝⎭， ∴当6t =时，PH 92P 的坐标为(56,2)，即当点P 到直线AD 的距离最大时，点P 的坐标是(56,2)，最大距离是924；②当点P 到直线AD的距离为524时，如图②所示，则2232521644t t -+=，解得：122,10t t ==， 则1P 的坐标为(92,2)，2P 的坐标为(10,)72-，当1P 的坐标为(92,2)，则221917(20)42P A ⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭，∴125344sin 172P AD ∠==； 当2P 的坐标为(10,)72-，则222725(100)422P A ⎛⎫=-+--= ⎪⎝⎭，∴25224sin 252P AD ∠==；由上可得，sin PAD ∠的值是53434或210． 【名师点睛】本题是一道二次函数的综合性题目，关键在于设P 点的横坐标，最后将其转化成二次函数的最值问题，通过求解二次函数的最值问题来求解最短距离，难度系数较大，是一道特别好的题目，应当熟练的掌握.。

二次函数角度问题 （角相等，45°角，二倍角）【经典例题1——角度相等】通过平行线，等腰等角，相似求解抛物线y ＝ax 2＋c 与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，点P 为抛物线上，且位于x 轴下方．（1）如图1，若P (1，－3)、B (4，0)， ① 求该抛物线的解析式；② 若D 是抛物线上一点，满足∠DPO ＝∠POB ，求点D 的坐标；【解析】(1)①将P(1，−3)，B(4，0)代入y=ax 2+c ，得⎩⎨⎧-=+=+3016c a c a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==51651c a ，∴抛物线的解析式为y=51x 2−516；②如图1，当点D 在OP 左侧时，由∠DPO=∠POB ，得DP ∥OB ， ∴D 与P 关于y 轴对称，且P(1，−3)， ∴D(−1，−3)；当点D 在OP 右侧时，延长PD 交x 轴于点G. 作PH ⊥OB 于点H ，则OH=1，PH=3. ∵∠DPO=∠POB ， ∴PG=OG.设OG=x ，则PG=x ，HG=x −1.在Rt △PGH 中，由x 2=(x −1)2+32，得x =5. ∴点G(5，0).∴直线PG 的解析式为y=43x −415，∴MF=1，BF=2， ∴M （2，1）…（5分） ∵MN 是BC 的垂直平分线， ∴CN=BN ，设ON=x ，则CN=BN=4-x ， 在Rt △OCN 中，CN 2=OC 2+ON 2， ∴（4-x ）2=22+x 2，解得：x =23，∴N （23，0）．设直线DE 的解析式为y=kx +b ，依题意，得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02312b k b k ，解得：⎩⎨⎧-==32b k ．∴直线DE 的解析式为y=2x -3． 解法二：如图2，设BC 的垂直平分线DE 交BC 于M ，交x 轴于N ，连接CN ，过点C 作CF ∥x 轴交DE 于F ． ∵MN 是BC 的垂直平分线， ∴CN=BN ，CM=BM ． 设ON=x ，则CN=BN=4-x ， 在Rt △OCN 中，CN 2=OC 2+ON 2， ∴（4-x ）2=22+x 2，解得：x =23，∴N （23，0）． ∴BN=4-23=25．∵CF ∥x 轴，∴∠CFM=∠BNM ． ∵∠CMF=∠BMN ，∴△CMF ≌△BMN ．∴CF=BN ．∴F （25，2）．设直线DE 的解析式为y=kx +b ，得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02312b k b k ，解得：⎩⎨⎧-==32b k∴直线DE 的解析式为y=2x -3．（3）由（1）得抛物线解析式为y=21x 2-25x +2，【解析】(1)∵y=−x2+(a+1)x−a解得x 1=a ，x 2=1由图象知：a <0 ∴A(a ，0)，B(1，0) ∵S △ABC =6 ∴21(1−a )(−a )=6 解得：a =−3，(a =4舍去)； (2)如图①，∵A(−3，0)，C(0，3)， ∴OA=OC ，∴线段AC 的垂直平分线过原点， ∴线段AC 的垂直平分线解析式为：y=−x ， ∵由A(−3，0)，B(1，0)， ∴线段AB 的垂直平分线为x =−1 将x=−1代入y=−x ， 解得：y=1∴△ABC 外接圆圆心的坐标(−1，1)(3)如图②，作PM ⊥x 轴交x 轴于M ，则S △BAP =21AB ⋅PM=21×4d ∵S △PQB =S △PAB∴A 、Q 到PB 的距离相等， ∴AQ ∥PB设直线PB 解析式为：y=x +b ∵直线经过点B(1，0)所以：直线PB 的解析式为y=x −1 联立y=−x 2−2x +3；y=x −1. 解得：x =−4；y=−5. ∴点P 坐标为(−4，−5) 又∵∠PAQ=∠AQB ，∴∠BPA=∠PBQ ，∴AP=QB ， 在△PBQ 与△BPA 中，AP=QB ，∠BPA=∠PBQ ，PB=BP ， ∴△PBQ ≌△ABP(SAS)， ∴PQ=AB=4设Q(m ，m+3)由PQ=4得：(m+4)2+(m+3+5)2=42解得：m=−4，m=−8(当m=−8时，∠PAQ ≠∠AQB ，故应舍去) ∴Q 坐标为(−4，−1).练习1-1如下图，已知抛物线y＝ax2＋bx+5经过A(-5，0)，B(-4，-3)两点，与x 轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD.（1）求该抛物线的表达式.（2）点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t.该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由练习1-2.如图，抛物线y=ax2＋bx+6与x轴交于点A（﹣2，0）、点B（6，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点D（4，m）在抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；练习1-3.(2019泰安)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴、y轴分别交于点A(3，0)、B(0，－2)，且过点C(2，－2)．(1)求二次函数解析式；(2)若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；(3)在抛物线上(AB下方)是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M 到y轴的距离；若不存在，请说明理由．练习1-4.抛物线322++-=x x y 与x 轴交于点A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求直线BC 的解析式；（2）抛物线的对称轴上存在点P ，使∠APB=∠ABC ，利用图1求点P 的坐标； （3）点Q 在y 轴右侧的抛物线上，利用图2比较∠OCQ 与∠OCA 的大小，并说明理由．练习1-5如图(1)，直线y=−34x +n 交x 轴于点A ，交y 轴于点C(0，4)，抛物线y=32x 2+bx +c 经过点A ，交y 轴于点B(0，−2).点P 为抛物线上一个动点，过点P 作x 轴的垂线PD ，过点B 作BD ⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m. (1)求抛物线的解析式；(2)当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；(3)如图(2)，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD′P′，当旋转角∠PBP′=∠OAC ，且点P 的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标。

13. 二次函数的图象与性质基础训练1. 抛物线y ＝－2x 2＋1的对称轴是( )A. 直线x ＝12B. 直线x ＝－12C. y 轴D. 直线x ＝22. 点A (1，y 1)，B (－2，y 2)在函数y ＝－(x ＋1)2＋2的图象上，则下列结论正确的是( )A. 2＞y 1＞y 2B. 2＞y 2＞y 1C. y 1＞y 2＞2D. y 2＞y 1＞23. (2020成都)关于二次函数y ＝x 2＋2x －8，下列说法正确的是( )A. 图象的对称轴在y 轴的右侧B. 图象与y 轴的交点坐标为(0，8)C. 图象与x 轴的交点坐标为(－2，0)和(4，0)D. y 的最小值为－94.若抛物线y ＝ax 2－4x ＋c 的开口向下，交y 轴于正半轴，则抛物线的顶点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 在二次函数y ＝x 2＋2x －3中，当－3≤x ≤0时，y 的最大值和最小值分别( )A. 0，－4B. 0，－3C. －3，－4D. 0，06. 抛物线y ＝2(x －1)2经过(m ，n )和(m ＋3，n )两点，则n 的值为( )A. 92B. －92C. 1D. －127. (2020温州)已知(－3，y 1)，(－2，y 2)，(1，y 3)是抛物线y ＝－3x 2－12x ＋m 上的点，则( )A. y 3<y 2<y 1B. y 3<y 1<y 2C. y 2<y 3<y 1D. y 1<y 3<y 28. (2020泰安)在同一平面直角坐标系内，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋b (a ≠0)与一次函数y ＝ax ＋b 的图象可能是( )9. (2020枣庄)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1.给出下列结论：①ac<0；②b2－4ac>0；③2a－b＝0；④a－b＋c＝0.其中，正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D. 4个第9题图10.(2020遂宁)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x＝－1，下列结论不正确的是()A. b2＞4acB. abc＞0C. a－c＜0D. am2＋bm≥a－b(m为任意实数)第10题图11. (2020哈尔滨)抛物线y＝3(x－1)2＋8的顶点坐标为________．12.把二次函数y＝x2＋4x－1变形为y＝a(x＋h)2＋k的形式为__________．13. (2020黔东南州)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为(－3，0)，对称轴为x＝－1，则当y<0时，x的取值范围是________.第13题图14.若二次函数y＝x2－4x－m图象与x轴有两个不同的交点，则实数m的取值范围是________．15.(2019泰安)若二次函数y＝x2＋bx－5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2＋bx－5＝2x－13的解为________．16. (2020温州)已知抛物线y＝ax2＋bx＋1经过点(1, －2)，(－2，13)．(1)求a，b的值；(2)若(5，y1)，(m，y2)是抛物线上不同的两点，且y2＝12－y1，求m的值．巩固训练17.(2020眉山)已知二次函数y＝x2－2ax＋a2－2a－4(a为常数)的图象与x轴有交点，且当x>3时，y 随x的增大而增大，则a的取值范围是()A. a≥－2B. a<3C. －2≤a<3D. －2≤a≤318.(2020滨州)对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，且a≠0)如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc<0，②b2>4ac，③4a＋2b＋c>0，④3a＋c>0，⑤a＋b≤m(am＋b)(m为任意实数)，⑥当x<－1时，y随x的增大而增大，其中结论正确的个数为()A. 3B. 4C. 5D. 6第18题图19.(2020遵义)抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2，抛物线与x轴的一个交点在点(－4，0)和点(－3，0)之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有：()①4a－b＝0；②c≤3a；③关于x的方程ax2＋bx＋c＝2有两个不相等实数根；④b2＋2b>4ac.A.1个B.2个C.3个D. 4个第19题图20.(2020宜宾)函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点(2，0)，顶点坐标为(－1，n)，其中n>0.以下结论正确的是()①abc>0；②函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x＝1和x＝－2处的函数值相等；③函数y＝kx＋1的图象与y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数图象总有两个不同交点；④函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在－3≤x≤3内既有最大值又有最小值．A. ①③B. ①②③C. ①④D. ②③④21. (2020南充)如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)．若抛物线y＝ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是()A. 19≤a≤3 B.19≤a≤1 C.13≤a≤3 D.13≤a≤ 1第21题图能力提升22. (2020河北)如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点P(a，b)，针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b＝5，则点P的个数为0；乙：若b＝4，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1.下列判断正确的是()A. 乙错，丙对B. 甲和乙都错C. 乙对，丙错D. 甲错，丙对第22题图23.(2020北京)在平面直角坐标系xOy中，M(x1，y1)，N(x2，y2)为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)上任意两点，其中x1<x2.(1)若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；(2)设抛物线的对称轴为x＝t.若对于x1＋x2>3，都有y1＜y2，求t的取值范围．参考答案1. C 【解析】∵抛物线y ＝－2x 2＋1的顶点坐标为(0，1)，∴对称轴是直线x ＝0，即y 轴．2. B 【解析】该二次函数的最大值为2，对称轴为直线x ＝－1，∵－1＜0，∴在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴右侧，y 随x 的增大而减小，|1－(－1)|＝2，|－2－(－1)|＝1，2＞1，∴y 2＞y 1，∴2＞y 2＞y 1.3. D 【解析】∵y ＝x 2＋2x －8＝(x ＋1)2－9，∴对称轴为x ＝－1，在y 轴的左侧，故选项A 错误；∵当x ＝0时，y ＝－8，∴图象与y 轴的交点坐标为(0，－8)，故选项B 错误；∵当y ＝0时，(x ＋1)2－9＝0，解得x ＝2或－4，∴图象与x 轴的交点坐标为(2，0)和(－4，0)，故选项C 错误；∵y ＝x 2＋2x －8＝(x ＋1)2－9，a ＝1>0，∴图象开口向上，当x ＝－1时，y 有最小值，最小值为－9，故选项D 正确．4. B 【解析】∵二次函数y ＝ax 2－4x ＋c 的图象开口向下，交y 轴于正半轴，∴a ＜0，c ＞0，∵－b 2a＝－－42a ＝2a＜0，∴抛物线的顶点位于第二象限． 5. A 【解析】抛物线开口向上，对称轴是x ＝－1，则当x ＝－1时，y ＝1－2－3＝－4，是最小值；当x ＝－3时，y ＝9－6－3＝0是最大值．6. A 【解析】抛物线y ＝2(x －1)2经过(m ，n )和(m ＋3，n )两点，可知函数的对称轴x ＝m ＋m ＋32＝1，∴m ＝－12.将点(－12，n )代入函数解析式，可得n ＝2(－12－1)2＝92. 7. B 【解析】∵y ＝－3x 2－12x ＋m ＝－3(x ＋2)2＋12＋m ，∴对称轴为x ＝－2，∴点(－2，y 2)为抛物线的顶点，(－3，y 1)关于对称轴的对称点为(－1，y 1)，∵a ＝－3<0，∴抛物线的顶点为最高点，即y 2最大．在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小，∵－1<1，∴y 1>y 3，∴y 3<y 1<y 2.8. C 【解析】A.由一次函数图象可知，a ＞0，b ＞0，由二次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，不符合题意；B.由一次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，由二次函数图象可知，a ＜0，b ＜0，不符合题意；C.由一次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，由二次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，符合题意；D.由一次函数图象可知，a ＜0，b ＝0，由二次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，不符合题意．9. C 【解析】∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线交于y 轴的正半轴，则c ＞0，∴ac ＜0，故①正确；∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2－4ac >0，故②正确；∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，则－b 2a＝1，即2a ＝－b ，∴2a ＋b ＝0，故③错误；∵抛物线经过点(3，0)，且对称轴为直线x ＝1，∴抛物线经过点(－1，0)，则a －b ＋c ＝0，故④正确，∴正确的结论有①②④，共3个．10. C 【解析】∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴有两个交点，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根，∴b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，∴选项A 正确；∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的开口向上，∴a >0，∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的对称轴为直线x ＝－1，∴－b 2a＝－1，∴b >0，∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与y 轴交于正半轴，∴c >0，∴abc >0，∴选项B 正确；∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的开口向上，对称轴为直线x ＝－1，∴二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)当x ＝－1时有最小值a －b ＋c ，∴am 2＋bm ＋c ≥a －b ＋c (m 为任意实数)，∴am 2＋bm ≥a －b (m 为任意实数)，∴选项D 正确．综上所述，选项A ，B ，D 均正确，故选C.11. (1，8)12. y ＝(x ＋2)2－513. －3<x <1 【解析】根据抛物线对称性质可得，抛物线交x 轴另一点坐标为(1，0)，故根据图象判断可知，当y <0时，x 的取值范围为－3<x <1.14. m ＞－4 【解析】b 2－4ac ＝(－4)2＋4×m ＞0，解得m ＞－4.15. x ＝2或4 【解析】∵二次函数y ＝x 2＋bx －5的对称轴是x ＝2，∴－b 2＝2，即b ＝－4.∴关于x 的方程x 2＋bx －5＝2x －13为x 2 －4x －5＝2x －13，解得x 1＝2，x 2＝4.16. 解：(1)把(1，－2)，(－2，13)代入y ＝ax 2＋bx ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧－2＝a ＋b ＋1，13＝4a －2b ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4； (2)由(1)得函数表达式为y ＝x 2－4x ＋1，把x ＝5代入y ＝x 2－4x ＋1，得y 1＝6，∴y 2＝12－y 1＝6，∵y 1＝y 2，对称轴为直线x ＝2，∴m ＋52＝2，解得m ＝－1. 17. D 【解析】令y ＝0，即x 2－2ax ＋a 2－2a －4＝0，∴b 2－4ac ＝(－2a )2－4(a 2－2a －4)＝4a 2－4a 2＋8a ＋16＝8a ＋16≥0.∴a ≥－2，∵对称轴x ＝－－2a 2＝a ，抛物线开口向上，且当x >3时，y 随x 的增大而增大，∴a ≤3，∴a 的取值范围的是－2≤a ≤3.18. A 【解析】19. C 【解析】由对称轴x ＝－b 2a＝－2，得b ＝4a ，∴4a －b ＝0，∴①正确；由函数图象可知，当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c >0，即a －4a ＋c >0，∴c >3a ，∴②错误；由函数图象可知抛物线与直线y ＝2有两个交点，∴ax 2＋bx ＋c ＝2有两个不相等的实数根，∴③正确；由函数图象可知抛物线顶点的纵坐标为3，即4ac －b 24a ＝3，∴4ac －b 2b＝3，∴b 2＋3b ＝4ac .∵a <0，∴b ＝4a <0，∴3b <2b ，∴b 2＋3b <b 2＋2b ，∴b 2＋2b >4ac ，∴④正确．20. C 【解析】∵图象与x 轴交于点(2，0)，顶点坐标为(－1，n )，且n ＞0，∴图象开口向下，抛物线与y 轴的交点在y 轴正半轴上，且对称轴为x ＝－1，∴a <0, －b 2a＝－1，c >0，∴b ＜0，∴①正确；∵抛物线的对称轴是x ＝－1, 1－(－1)＝2，－1－(－2)＝1，∴两个自变量不是关于x ＝－1对称，∴函数值不相等，故②错误；y ＝kx ＋1经过(0，1)点，无法确定与抛物线的交点个数，故③错误；∵抛物线的开口向下，对称轴为x ＝－1，∴在－3≤x ≤3的范围内，当x ＝－1时取得最大值，当x ＝3时取得最小值，故④正确．故正确结论为①④.21. A 【解析】根据题图可得，抛物线y ＝ax 2的图象经过点(1，3)时，a 取得最大值，此时a ＝3；抛物线y ＝ax 2的图象经过点(3，1)时，a 取得最小值，此时9a ＝1，解得a ＝19.∴实数a 的取值范围为19≤a ≤3. 22. C 【解析】∵y ＝x (4－x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，∴抛物线的顶点坐标为(2，4)．∴当b ＝5时，点P 的个数为0；当b ＝4时，点P 是抛物线的顶点，即点P 的个数为1；当b ＝3时，点P 的个数为2.故丙判断错误，甲和乙判断正确．23. 解：(1)若抛物线的对称轴为x ＝1，则b ＝－2a ，故抛物线解析式为y ＝ax 2－2ax ＋c ，令y ＝c ，则ax 2－2x ＋c ＝c ，即x (ax －2)＝0，∵a ＞0，x 1＜x 2，∴x 1＝0，x 2＝2；(2)∵a ＞0且y 1＜y 2，∴x 2到对称轴x ＝t 的距离大于x 1到对称轴x ＝t 的距离．∴|x 2－t |＞|x 1－t |.①当x 1，x 2在对称轴左侧，不成立；②当x 1，x 2在对称轴右侧，则必有y 1＜y 2成立；③当x 1，x 2在对称轴异侧时，x 2－t ＞t －x 1，∴x 1＋x 2＞2t ，∵x 1＋x 2＞3，∴2t ≤3，∴t ≤32.。

2021中考数学 专题训练：二次函数的图象及其性质一、选择题1. 已知抛物线y ＝ax 2(a ＞0)过A (－2，y 1)，B (1，y 2)两点，则下列关系式一定正确的是( ) A ．y 1＞0＞y 2 B ．y 2＞0＞y 1 C ．y 1＞y 2＞0D ．y 2＞y 1＞02. 要将抛物线y ＝x 2＋2x ＋3平移后得到抛物线y ＝x 2，下列平移方法正确的是( )A. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位B. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位C. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位D. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位3. 函数y ＝ax 2＋2ax ＋m (a ＜0)的图象过点(2，0)，则使函数值y ＜0成立的x 的取值范围是( ) A ．x ＜－4或x ＞2 B ．－4＜x ＜2C ．x ＜0或x ＞2D ．0＜x ＜24. 已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴只有一个交点，且图象过A (x 1，m )、B (x 1＋n ，m )两点，则m 、n 的关系为( )A. m ＝12nB. m ＝14nC. m ＝12n 2D. m ＝14n 25. (2019•南通)如图是王阿姨晚饭后步行的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)的函数图象，其中曲线段AB 是以B 为顶点的抛物线一部分，下列说法不正确的是A ．25 min~50 min ，王阿姨步行的路程为800 mB ．线段CD 的函数解析式为324002550s t t =+≤≤（）C ．5 min~20 min ，王阿姨步行速度由慢到快D ．曲线段AB 的函数解析式为23(20)1200(520)s t t =--+≤≤6. (2019•嘉兴)小飞研究二次函数y=–(x –m)2–m+1(m 为常数)性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y=–x+1上；②存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A(x1，y1)与点B(x2，y2)在函数图象上，若x1<x2，x1+x2>2m ，则y1<y2；④当–1<x<2时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围为m≥2其中错误结论的序号是 A ．① B ．② C ．③ D ．④7. 若A (2，y 1)，B (－3，y 2)，C (－1，y 3)三点在抛物线y ＝x 2－4x －m 上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( ) A ．y 1＞y 2＞y 3 B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 2＞y 3＞y 1D ．y 3＞y 1＞y 28. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象如图所示，顶点为D(－1，2)，与x 轴的一个交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，有以下结论：①b 2－4ac ＜0；②a ＋b ＋c ＜0；③c －a ＝0；④一元二次方程ax 2＋bx ＋c －2＝0有两个相等的实数根．其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9. 2019·丹东如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－2，0)，对称轴为直线x ＝1.有以下结论：①abc ＞0；②8a ＋c ＞0；③若A (x 1，m )，B (x 2，m )是抛物线上的两点，当x ＝x 1＋x 2时，y ＝c ；④点M ，N 是抛物线与x 轴的两个交点，若在x 轴下方的抛物线上存在一点P ，使得PM ⊥PN ，则a 的取值范围为a ≥1；⑤若方程a (x ＋2)(4－x )＝－2的两根为x 1，x 2，且x 1＜x 2，则－2≤x 1＜x 2＜4.其中结论正确的有( )A．2个B．3个C．4个D．5个10. 二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是()二、填空题11. 如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2，4)，B(1，1)，则方程ax2=bx+c的解是.12. 已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1，其部分图象如图所示，下列说法中:①b>0;②a-b+c<0;③b+2c>0;④当-1<x<0时，y>0，正确的是(填写序号).13. 如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点C，点D(0，1)，点P在抛物线上，且△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为________．14. (2019•天水)二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若42M a b =+，N a b =-．则M 、N 的大小关系为M __________N ．(填“>”、“=”或“<”)15. 如图，抛物线y=-x 2+x+2与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，点D 在抛物线上，且CD ∥AB.AD 与y 轴相交于点E ，过点E 的直线PQ 平行于x 轴，与拋物线相交于P ，Q 两点，则线段PQ 的长为 .三、解答题16. 如图，足球场上守门员徐杨在O 处抛出一高球，球从离地面1 m 处的点A 飞出，其飞行的最大高度是4 m ，最高处距离飞出点的水平距离是6 m ，且飞行的路线是抛物线的一部分．以点O 为坐标原点，竖直向上的方向为y 轴的正方向，球飞行的水平方向为x 轴的正方向建立坐标系，并把球看成一个点．(参考数据：4 3≈7)(1)求足球的飞行高度y (m)与飞行的水平距离x (m)之间的函数关系式；(不必写出自变量的取值范围)(2)在没有队员干扰的情况下，球飞行的最远水平距离是多少？(精确到1 m) (3)若对方一名1.7 m 的队员在距落地点C 3 m 的点H 处跃起0.3 m 进行拦截，则这名队员能拦到球吗？17. 设函数y＝(x－1)[(k－1)x＋(k－3)](k是常数)．(1)当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；(2)根据图象，写出你发现的一条结论；(3)将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值．18. 如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A坐标为(4，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为N，在x轴上找一点K，使CK＋KN最小，并求出点K的坐标；(3)已知D是OA的中点，点P在第一象限的抛物线上，过点P作x轴的平行线，交直线AC于点F，连接OF，DF.当OF＝DF时，求点P的坐标．2021中考数学专题训练：二次函数的图象及其性质-答案一、选择题1. 【答案】C [解析] ∵y ＝ax 2(a ＞0)，∴抛物线的开口向上，对称轴为y 轴，当x ＝0时，函数取得最小值，最小值是0.∵A(－2，y 1)在对称轴的左侧，B(1，y 2)在对称轴的右侧，点A 到对称轴的距离大于点B 到对称轴的距离，∴y 1>y 2>0.故选C.2. 【答案】D【解析】y ＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2，该抛物线的顶点坐标是(－1，2)，抛物线y ＝x 2的顶点坐标是(0，0)，则平移的方法可以是：将抛物线y ＝x 2＋2x ＋3向右移1个单位，再向下平移2个单位得抛物线y ＝x 2.3. 【答案】A [解析] 抛物线的对称轴是直线x ＝－2a2a＝－1，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标是(－4，0)．∵a ＜0，∴抛物线开口向下，∴使y ＜0成立的x 的取值范围是x ＜－4或x ＞2.故选A.4. 【答案】D【解析】因为二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴只有一个交点，∴b 2－4c ＝0，即c ＝b 24，由题意知，点A ，B 关于抛物线的对称轴对称，∴12AB＝|n|2＝－b 2－x 1，b ＝－|n|－2x 1, ∴c ＝（－|n|－2x 1）24＝|n|2＋4|n|x 1＋4x 214，∵A(x 1，m)在y ＝x 2＋bx ＋c 上，∴m ＝x 21＋bx 1＋c ，∴ m ＝x 21＋(－|n|－2x 1)· x 1＋|n|2＋4|n|x 1＋4x 214，化简整理得m ＝14n 2，故选D .5. 【答案】C【解析】观察图象可知5 min~20 min ，王阿姨步行速度由快到慢，25 min~50 min ，王阿姨步行的路程为2000–1200=800 m ，故A 选项正确，C 选项错误； 设线段CD 的解析式为s=mt+n ，将点(25，1200)、(50，2000)分别代入得120025200050m n m n =+⎧⎨=+⎩，解得：32400m n =⎧⎨=⎩， 所以线段CD 的函数解析式为32400(2550)s t t =+≤≤，故B 选项正确； 由曲线段AB 是以B 为顶点的抛物线一部分，所以设抛物线的解析式为y=a(x –20)2+1200，把(5，525)代入得：525=a(5–20)2+1200， 解得：a=–3，所以曲线段AB 的函数解析式为23(20)1200(520)s t t =--+≤≤，故D选项正确，故选C．6. 【答案】C【解析】把(m，–m+1)代入y=–x+1，–m+1=–m+1，左=右，故①正确；当–(x–m)2–m+1=0时，x1=m x2=m若顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形，则1–m+(1–m)2+1–m+(1–m)2=4(1–m)，即m2–m=0，∴m=0或1时，∴存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；故②正确；当x1<x2，且x1、x2在对称轴右侧时，∵–1<0，∴在对称轴右侧y随x的增大而减小，即y1>y2，故③错误；∵–1<0，∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，∴m≥2，故④正确，故选C．7. 【答案】C[解析] ∵二次函数y＝x2－4x－m中a＝1＞0，∴其图象开口向上，对称轴为直线x＝－b2a＝2.∵点A(2，y1)的横坐标为2，∴y1最小．又∵B(－3，y2)，C(－1，y3)都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，故y2＞y3.∴y2＞y3＞y1.8. 【答案】B9. 【答案】A10. 【答案】D[解析] 由一次函数y＝ax＋a可知，其图象与x轴交于点(－1，0)，排除A，B；当a＞0时，二次函数y＝ax2的图象开口向上，一次函数y＝ax＋a的图象经过第一、二、三象限；当a＜0时，二次函数y＝ax2的图象开口向下，一次函数y＝ax＋a的图象经过第二、三、四象限．排除C.二、填空题11. 【答案】x 1=-2，x 2=1 [解析]∵抛物线y=ax 2与直线y=bx +c 的两个交点坐标分别为A (-2，4)，B (1，1)，∴的解为即方程ax 2=bx +c的解是x 1=-2，x 2=1.12. 【答案】①③④[解析]根据图象可得:a<0，c>0，对称轴:直线x=-=1，∴b=-2a.∵a<0，∴b>0，故①正确;把x=-1代入y=ax 2+bx +c ，得y=a -b +c.由抛物线的对称轴是直线x=1，且过点(3，0)，可得当x=-1时，y=0，∴a -b +c=0，故②错误;当x=1时，y=a +b +c>0.∵b=-2a ，∴-+b +c>0，即b +2c>0，故③正确; 由图象可以直接看出④正确.故答案为:①③④.13. 【答案】(1＋2，2)或(1－2，2) 【解析】抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴交于点C ，则点C 坐标是(0，3)，∵点D(0，1)，点P 在抛物线上，且△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，∴易得点P 的纵坐标是2，当y ＝2时，∴－x 2＋2x＋3＝2，则x 2－2x －1＝0，解得方程的两根是x ＝2±222＝1±2，∴点P 的坐标是(1＋2，2)或(1－2，2)．14. 【答案】<【解析】当1x =-时，0y a b c =-+>， 当2x =时，420y a b c =++<，()42M N a b a b -=+--()420a b c a b c =++--+<， 即M N <， 故答案为：<．15. 【答案】2[解析]当y=0时，-x2+x+2=0，解得x1=-2，x2=4，∴点A的坐标为(-2，0).当x=0时，y=-x2+x+2=2，∴点C的坐标为(0，2).当y=2时，-x2+x+2=2，解得x1=0，x2=2，∴点D的坐标为(2，2).设直线AD的解析式为y=kx+b(k≠0)，将A(-2，0)，D(2，2)代入y=kx+b，得解得∴直线AD的解析式为y=x+1.当x=0时，y=x+1=1，∴点E的坐标为(0，1).当y=1时，-x2+x+2=1，解得x1=1-，x2=1+，∴点P的坐标为(1-，1)，点Q的坐标为(1+，1)，∴PQ=1+-(1-)=2.三、解答题16. 【答案】解：(1)由题意，设y＝a(x－6)2＋4.∵A(0，1)在抛物线上，∴1＝a(0－6)2＋4，解得a＝－1 12，∴y＝－112(x－6)2＋4.(2)令y＝0，则0＝－112(x－6)2＋4，解得x1＝4 3＋6≈13，x2＝－4 3＋6＜0(舍去)，∴在没有队员干扰的情况下，球飞行的最远水平距离约是13 m.(3)当x＝13－3＝10时，y＝83＞1.7＋0.3＝2，∴这名队员不能拦到球．17. 【答案】解：(1)当k ＝0时，y ＝－(x －1)(x ＋3)，所画图象如解图所示．(2分)(2)①k 取0和2时的函数图象关于点(0，2)中心对称，②函数y ＝(x －1)[(k －1)x ＋(k －3)](k 是常数)的图象都经过(1，0)和(－1，4)．(5分)(3)由题意可得y 2＝(x －1)[(2－1)x ＋(2－3)]＝(x －1)2，平移后的函数y 3的表达式为y 3＝(x －1＋4)2－2＝(x ＋3)2－2， 所以当x ＝－3时，函数y 3的最小值是－2.(8分)18. 【答案】(1)∵抛物线y ＝ax 2－2ax ＋c 经过点A (4，0)，C (0，4)，∴,40816⎩⎨⎧==+-c c a a 解得,421⎪⎩⎪⎨⎧=-=c a∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋x ＋4；(2)∵y ＝－12x 2＋x ＋4＝－12(x －1)2＋92∴N (1，92)，如解图①，作点C 关于x 轴的对称点C ′，解图①则C ′(0，－4)，连接C ′N 交x 轴于点K ，则K 点即为使CK ＋KN 最小的K 点位置．设直线C ′N 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将点C ′(0，－4)，N (1，92)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4k ＋b ＝92，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝172b ＝－4， ∴直线C ′N 的解析式为y ＝172x －4，令y ＝0，即172x －4＝0，解得x ＝817，∴点K 的坐标为(817，0)；(3)如解图②，过F 作FM ⊥x 轴于M ，解图② ∵D 是OA 的中点，∴D (2，0)，∵OF ＝DF ，∴OM ＝MD ，∴M (1，0)，∴点F 的横坐标是1.设直线AC 的解析式为y ＝mx ＋n ， 将点A (4，0)，C (0，4)代入，∴直线AC 的解析式为y ＝－x ＋4， ∴点F 的坐标为(1，3)，设P (t ，－12t 2＋t ＋4)，则－12t 2＋t ＋4＝3，解得t ＝1＋3或t ＝1－3(舍去)， ∴点P 的坐标为(1＋3，3)．。

课时训练(十三)二次函数的图象与性质(一)[限时:分钟]夯实基础1.抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标是()A.(-2,5)B.(-2,-5)C.(2,5)D.(2,-5)2.下列二次函数中,图象以直线x=2为对称轴,且经过点(0,1)的是()A.y=(x-2)2+1B.y=(x+2)2+1C.y=(x-2)2-3D.y=(x+2)2-33.[2018·河西区结课考]已知函数y=(x-1)2,下列结论正确的是()A.当x>0时,y随x的增大而减小B.当x<0时,y随x的增大而增大C.当x<1时,y随x的增大而减小D.当x<-1时,y随x的增大而增大4.[2021·绍兴]关于二次函数y=2(x-4)2+6的最大值或最小值,下列说法正确的是()A.有最大值4B.有最小值4C.有最大值6D.有最小值65.[2021·上海]将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移两个单位,以下说法错误的是()A.开口方向不变B.对称轴不变C.y随x的变化情况不变D.与y轴的交点不变6.[2021·泰安]将抛物线y=-x2-2x+3的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过点()A.(-2,2)B.(-1,1)C.(0,6)D.(1,-3)7.[2021·陕西]下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值:x…-2 0 1 3 …y… 6 -4 -6 -4 …下列各选项中,正确的是()A.这个函数的图象开口向下B.这个函数的图象与x轴无交点C.这个函数的最小值小于-6D.当x>1时,y的值随x值的增大而增大8.对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1,0),(3,0)两点,则它的对称轴为.9.已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点,该抛物线的顶点坐标是.10.[2018·河西区一模]请写出一个二次函数的解析式,满足其图象过点(1,0),且与x轴有两个不同的交点:.11.[2021·广东]把抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线的解析式为.12.(1)已知二次函数y=ax2+bx+1的图象经过点(1,3)和(3,-5),求a,b的值.(2)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为1和2.求这个二次函数的表达式.13.[2021·宁波]如图K13-1,二次函数y=(x-1)(x-a )(a 为常数)的图象的对称轴为直线x=2. (1)求a 的值;(2)向下平移该二次函数的图象,使其经过原点,求平移后图象所对应的二次函数的表达式.图K13-1能力提升14.[2019·河西区二模]已知抛物线y=x 2+2mx-3m (m 是常数),且无论m 取何值,该抛物线都经过某定点H ,则点H 的坐标为 ( ) A .-32,1B .-32,-1C .32,94D .-32,9415.[2021·福建]二次函数y=ax 2-2ax+c (a>0)的图象过A (-3,y 1),B (-1,y 2),C (2,y 3),D (4,y 4)四个点,下列说法一定正确的是( ) A .若y 1y 2>0,则y 3y 4>0 B .若y 1y 4>0,则y 2y 3>0 C .若y 2y 4<0,则y 1y 3<0D .若y 3y 4<0,则y 1y 2<016.如图K13-2,抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴相交于点A ,B (m+2,0),与y 轴相交于点C ,点D 在该抛物线上,坐标为(m ,c ),则点A 的坐标是 .图K13-217.[2021·北京]在平面直角坐标系xOy 中,点(1,m )和点(3,n )在抛物线y=ax 2+bx (a>0)上. (1)若m=3,n=15,求该抛物线的对称轴.(2)已知点(-1,y 1),(2,y 2),(4,y 3)在该抛物线上.若mn<0,比较y 1,y 2,y 3的大小,并说明理由.【参考答案】1.C2.C3.C4.D5.D [解析] 将二次函数图象向下平移,不改变开口方向,故A 正确; 将二次函数图象向下平移,不改变对称轴,故B 正确; 将二次函数图象向下平移,不改变函数的增减性,故C 正确;抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0)与y 轴的交点坐标为(0,c ),将二次函数的图象向下平移两个单位,与y 轴的交点坐标为(0,c-2),改变,故D 错误.6.B [解析] y=-x 2-2x+3=-(x 2+2x )+3=-[(x+1)2-1]+3=-(x+1)2+4, ∵将抛物线y=-x 2-2x+3向右平移1个单位,再向下平移2个单位, ∴得到的抛物线的解析式为y=-x 2+2.将选项中的四个坐标代入可知,只有B 选项中的坐标符合题意.7.C [解析] 设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ,由题知{6=a ×(-2)2+b ×(-2)+c ,-4=c ,-6=a +b +c ,解得{a =1,b =-3,c =-4,∴二次函数的解析式为y=x 2-3x-4=(x-4)(x+1)=x-322-254,∴函数图象开口向上,∴A 错误;∵图象与x 轴的交点为(4,0)和(-1,0),∴B 错误;∵当x=32时,函数有最小值为-254,∴C 正确;∵函数图象的对称轴为直线x=32,根据图象可知当x>32时,y 的值随x 值的增大而增大,∴D 错误. 8.直线x=2 9.(1,4)10.y=x 2-3x+2(答案不唯一) [解析] ∵抛物线过点(1,0),∴设抛物线的解析式为y=a (x-1)(x-m ). ∵抛物线与x 轴有两个不同的交点,∴m ≠1,取a=1,m=2,则抛物线的解析式为y=(x-1)(x-2)=x 2-3x+2. 11.y=2x 2+4x12.解:(1)将(1,3)和(3,-5)分别代入y=ax 2+bx+1, 得:{a +b +1=3,9a +3b +1=-5,解得:{a =-2,b =4.∴a 的值为-2,b 的值为4.(2)由题意得,二次函数的图象经过点(1,0)和(2,0), 将(1,0)和(2,0)分别代入y=-x 2+bx+c , 得{-1+b +c =0,-4+2b +c =0,解得{b =3,c =-2, ∴这个二次函数的表达式为y=-x 2+3x-2.13.解:(1)由二次函数y=(x-1)(x-a )(a 为常数)知,该抛物线与x 轴的交点坐标是(1,0)和(a ,0). ∵对称轴为直线x=2,∴1+a 2=2.解得a=3.(2)由(1)知a=3,则该抛物线解析式是:y=x 2-4x+3,由抛物线向下平移3个单位后经过原点,得平移后图象所对应的二次函数的表达式是y=x 2-4x. 14.C [解析] 由y=x 2+2mx-3m=x 2+m (2x-3)可知当x=32时,无论m 取何值y 都等于94,∴点H 的坐标为32,94.15.C [解析] ∵y=ax 2-2ax+c=a (x-1)2-a+c ,∴抛物线的对称轴为直线x=1,∴四点中距离对称轴远近关系从远到近排列为:A ,D ,B ,C ,当y 2y 4<0时,一定是y 2<0,y 4>0,根据对称性判断y 3<0,y 1>0,∴y 1y 3<0,因此本题选C .16.(-2,0) [解析] 由C (0,c ),D (m ,c ),得函数图象的对称轴是直线x=m2,设A 点坐标为(x ,0),由A ,B 关于对称轴x=m2对称可得x+m+22=m 2,解得x=-2,即A 点坐标为(-2,0).17.解:(1)∵m=3,n=15, ∴点(1,3),(3,15)在抛物线上,将(1,3),(3,15)的坐标代入y=ax 2+bx 得: {3=a +b ,15=9a +3b ,解得{a =1,b =2,∴y=x 2+2x=(x+1)2-1, ∴抛物线对称轴为直线x=-1.(2)由题意得:抛物线y=ax 2+bx (a>0)始终过定点(0,0),则由mn<0可得:①当m>0,n<0时,由抛物线y=ax 2+bx (a>0)始终过定点(0,0)可得此时的抛物线开口向下,即a<0,与a>0矛盾; ②当m<0,n>0时,∵抛物线y=ax 2+bx (a>0)始终过定点(0,0), ∴此时抛物线的对称轴的范围为12<-b2a <32, ∵点(-1,y 1),(2,y 2),(4,y 3)在该抛物线上,∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为32<-b2a-(-1)<52,12<2--b2a<32,52<4--b2a<72,∵a>0,开口向上,∴由抛物线的性质可知离对称轴越近y 越小, ∴y 2<y 1<y 3.。