第13讲二次函数(2~3课时)

第13讲二次函数(二)(参考用时:60分钟)A层(基础)1.(2019岳阳)对于一个函数,当自变量x取a时,函数值y也等于a,我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1,x2,且x1<1<x2,则c的取值范围是( B )(A)c<-3 (B)c<-2(C)c< (D)c<1解析:由题意知x1,x2是方程x2+2x+c=x的两个实数根,且x1<1<x2,整理,得x2+x+c=0,则解得c<-2,故选B.2.已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示,若y<0,则x的取值范围是( B )(A)-1<x<4(B)-1<x<3(C)x<-1或x>4(D)x<-1或x>3解析:由图象知,抛物线与x轴交于(-1,0),对称轴为直线x=1,∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(3,0),∵y<0时,函数的图象位于x轴的下方,∴-1<x<3.故选B.3.运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出,足球飞行的路线是一条抛物线,不考虑空气阻力,足球距离地面的高度h(单位:m)与足球被踢出后经过的时间t(单位:s)之间的关系如下表:下列结论:①足球距离地面的最大高度为20 m;②足球飞行路线的对称轴是直线t=;③足球被踢出9.5 s时落地:④足球被踢出7.5 s时,距离地面的高度是11.25 m,其中不正确结论的个数是( B ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:设该抛物线的解析式为h=at2+bt+c,将(0,0),(1,8),(2,14)代入,得解得∴h=-t2+9t=-(t-)2+,∴当t=时,h取得最大值,此时h=,故①错误;该抛物线的对称轴是直线t=,故②正确;当h=0时,得t=0或t=9,故③错误;当t=7.5时,h=-t2+9t=11.25,故④正确.综上可得,不正确的是①③.故选B.4.如图,二次函数y=-x2-2x的图象与x轴交于点A,O,在抛物线上有一点P,满足S△AOP=3,则点P的坐标是( D )(A)(-3,-3)(B)(1,-3)(C)(-3,-3)或(-3,1)(D)(-3,-3)或(1,-3)解析:令y=0,得-x2-2x=0,解得x=0,x=-2.∴A(-2,0),OA=2.∵S△AOP=OA·|y P|=3.∴|y P|=3.当y P=3时,-x2-2x=3,x2+2x+3=0,Δ=4-12<0,方程无解,此种情况不成立;当y P=-3时,-x2-2x=-3,x2+2x-3=0,解得x=1或x=-3,∴点P的坐标为(1,-3)或(-3,-3).故选D.5.(2019天津)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的自变量x 与函数值y的部分对应值如下表:且当x=-时,与其对应的函数值y>0.有下列结论:①abc>0;②-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根;③0<m+n<.其中正确结论的个数是( C )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:当x=0时,c=-2,当x=1时,a+b-2=-2,∴a+b=0,∴y=ax2-ax-2,∴abc=2a2>0,故①正确;由表知直线x=是对称轴,当x=-2时,y=t,∴当x=3时,y=t,∴-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根,故②正确;把x=-1代入,得m=a+a-2=2a-2,把x=2代入,得n=4a-2a-2=2a-2,∴m=n=2a-2,∴m+n=4a-4,∵当x=-时,y=a-b+c=a+a-2=a-2>0,解得a>,∴m+n>4×-4=,故③错误,∴正确结论是①②,共2个,故选C.6.(2019武汉)抛物线y=ax2+bx+c经过A(-3,0),B(4,0)两点,则关于x 的一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx的解是x1=-2,x2=5 .解析:由a(x-1)2+c=b-bx得a(x-1)2+b(x-1)+c=0,把抛物线y=ax2+bx+c沿x轴向右平移1个单位得到y=a(x-1)2+b(x-1)+c,∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-3,0),B(4,0),∴抛物线y=a(x-1)2+b(x-1)+c与x轴的两交点坐标为(-2,0),(5,0), ∴一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)+c=0的解为x1=-2,x2=5.7.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx(a>0)的顶点为C,与x轴的正半轴交于点A,它的对称轴与抛物线y=ax2(a>0)交于点B.若四边形ABOC是正方形,则b的值是-2 .解析:∵四边形ABOC是正方形,∴点B的坐标为(-,-).∵抛物线y=ax2过点B,∴-=a(-)2,解得b1=0(舍去),b2=-2.即b的值为-2.8.如图,在边长为6 cm的正方形ABCD中,点E,F,G,H分别从点A,B,C,D 同时出发,均以1 cm/s的速度向点B,C,D,A匀速运动,当点E到达点B时,四个点同时停止运动,在运动过程中,当运动时间为 3 s时,四边形EFGH的面积最小,其最小值是18 cm2.解:设运动时间为t s(0≤t≤6),则AE=t,AH=6-t,根据题意,得S四边形EFGH=S正方形ABCD-4S△AEH=6×6-4×t(6-t)=2t2-12t+36= 2(t-3)2+18,∴当t=3时,四边形EFGH的面积取最小值,最小值为18 cm2.9.已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x.(1)求证:直线l与该抛物线总有两个交点;(2)设直线l与该抛物线两交点为A,B,点O为原点,当k=-2时,求△OAB的面积.(1)证明:联立化简可得x2-(4+k)x-1=0,∵Δ=(4+k)2+4>0恒成立,∴直线l与该抛物线总有两个交点.(2)解:当k=-2时,y=-2x+1,如图,过点A作AF⊥x轴于点F,过点B作BE⊥x轴于点E,∴联立解得或∴点A的坐标为(1-,2-1),点B的坐标为(1+,-1-2),∴AF=2-1,BE=1+2.∵直线y=-2x+1与x轴的交点C的坐标为(,0),∴OC=,∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=OC·AF+OC·BE=OC·(AF+BE)=××(2-1+1+2)=.10.(2019青岛)某商店购进一批成本为每件30元的商品,经调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,其图象如图所示.(1)求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数解析式;(2)若商店按单价不低于成本价,且不高于50元销售,则销售单价定为多少,才能使销售该商品每天获得的利润w(元)最大?最大利润是多少?(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元,则每天的销售量最少应为多少件?解:(1)设销售量y与销售单价x之间的函数解析式为y=kx+b,将点(30,100),(45,70)分别代入,得解得故该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数解析式为y=-2x+160.(2)由题意,得w=(x-30)(-2x+160)=-2x2+220x-4 800=-2(x-55)2+ 1 250,∵-2<0,故当x<55时,w随x的增大而增大,∵30≤x≤50,∴当x=50时,w有最大值,最大值为w=1 200,故销售单价定为50元时,该商店销售该商品每天的利润最大,最大利润为1 200元.(3)由题意,得-2(x-55)2+1 250≥800,解得40≤x≤70,∵y=-2x+160,∴当x=70时,y取得最小值,最小值是y=-2×70+160=20,∴每天的销售量最少应为20件.B层(能力)11.已知二次函数y=-x2+x+6及一次函数y=-x+m,将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新函数(如图所示),当直线y=-x+m与新图象有4个交点时,m的取值范围是( D )(A)-<m<3 (B)-<m<2(C)-2<m<3 (D)-6<m<-2解析:如图,当y=0时,-x2+x+6=0,解得x1=-2,x2=3,则A(-2,0),B(3,0),将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y=(x+2)(x-3),即y=x2-x-6(-2≤x≤3),当直线y=-x+m经过点A(-2,0)时,2+m=0,解得m=-2;当直线y=-x+m与抛物线y=x2-x-6(-2≤x≤3)有唯一公共点时,方程x2-x-6=-x+m有两个相等的实数解,解得m=-6,∴当直线y=-x+m与新图象有4个交点时,m的取值范围为-6<m<-2.故选D.12.(2019衡阳)在平面直角坐标系中,抛物线y=x2如图所示.已知A点的坐标为(1,1),过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1,过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2,过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3,过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……,依次进行下去,则点A2 019的坐标为(-1 010,1 0102) .解析:∵点A的坐标为(1,1),∴直线OA为y=x,点A1的坐标为(-1,1),∵A1A2∥OA,∴直线A1A2为y=x+2,则解得∴点A2的坐标为(2,4),∴点A3的坐标为(-2,4),∵A3A4∥OA,∴直线A3A4为y=x+6,则解得∴点A4的坐标为(3,9),∴点A5的坐标为(-3,9)…,∴其规律为A2(n-1)(n,n2),A2n-1(-n,n2),∴A2 019的坐标为(-1 010,1 0102),13.图中是抛物线形拱桥,P处有一照明灯,水面OA宽4 m,从O,A两处观测P处,仰角分别为α,β,且tan α=,tan β=,以O为原点,OA 所在直线为x轴建立直角坐标系.(1)求点P的坐标;(2)水面上升1 m,水面宽多少?(取1.41,结果精确到0.1 m)解:(1)过点P作PH⊥OA于点H,如图.设PH=3x,在Rt△OHP中,∵tan α==,∴OH=6x.在Rt△AHP中,∵tan β==,∴AH=2x,∴OA=OH+AH=8x=4,∴x=.∴OH=3,PH=.∴点P的坐标为(3,).(2)若水面上升1 m后到达BC位置,如图,过点O(0,0),A(4,0)的抛物线的解析式可设为y=ax(x-4), ∵P(3,)在抛物线y=ax(x-4)上,∴3a(3-4)=,解得a=-.∴抛物线的解析式为y=-x(x-4).当y=1时,-x(x-4)=1,解得x 1=2+,x2=2-.∴BC=(2+)-(2-)=2≈2×1.41=2.82≈2.8(m).答:水面上升1 m,水面宽约为2.8 m.。