考点30空间几何体的结构及其三视图和直观图空间几何体的表面积与体积

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高二数学 考点33 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积一、选择题1. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ9）与(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T7)相同一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为 ( )【解析】选A.由题意可知,该四面体为正四面体,其中一个顶点在坐标原点,另外三个顶点分别在三个坐标平面内,所以以zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为选项A 中的图.2. （2013·山东高考文科·Ｔ4）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示，该四棱锥侧面积和体积分别是（ ）A.B.83C.81),3D. 8,8【解题指南】本题考查空间几何体的三视图及表面积和体积公式.【解析】选B.由图知，此棱锥高为2，底面正方形的边长为2，3822231=⨯⨯⨯=V ,侧面积需要计算侧面三角形的高51222=+=h ，5452214=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯=侧S . 3.（2013·广东高考文科·Ｔ6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）A ．16B ．13C ．23D ．1 【解题指南】本题考查空间想象能力，要能由三视图还原出几何体的形状.【解析】选D. 由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2， 则111=112=323V ⨯⨯⨯⨯.4. （2013·广东高考理科·Ｔ5）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ）A ．4B ．143C ．163D ．6 【解题指南】本题考查空间想象能力与台体体积公式，应首先还原出台体形状再计算.【解析】选B. 四棱台的上下底面均为正方形，两底面边长和高分别为1,2,2，1114142333V S S h =+=++=下棱台上（（. 5. （2013·辽宁高考文科·Ｔ10）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ10）相同已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若13,4,,12,AB AC AB AC AA ==⊥=，则球O 的半径为（ ）13....2A B C D【解题指南】对于某些简单组合体的相接问题，通过作出截面，使得有关的元素间的数量关系相对集中在某个平面图形中。

几何体的表面积、体积和三视图与直观图点点突破热门考点01 空间几何体的结构特征一、多面体的结构特征多面体结构特征棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形棱台棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分二、旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形一条直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线三、简单组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．【典例1】（2020·全国高考真题（理））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A ．51- B ．51- C ．51+ D ．51+ 【答案】C 【解析】如图，设,CD a PE b ==，则22224a PO PE OEb =-=-，由题意212PO ab =，即22142a b ab -=，化简得24()210b b a a -⋅-=，解得15b a +=（负值舍去）. 故选：C.【典例2】（多选题）（2020·全国高一课时练习）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）A ．①是棱台B ．②是圆台C ．③是棱锥D ．④是棱柱【答案】CD 【解析】题图①中的几何体不是由棱锥被一个平面所截得到的，且上、下底面不是相似的图形，所以不是棱台；题图②中的几何体上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图③中的几何体是三棱锥；题图④中的几何体前、后两个面平行，其他面都是平行四边形，且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行，所以④是棱柱.故选:CD.【方法技巧】解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧1．关于棱锥、棱台结构特征题目的判断方法：(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法2．圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．3．既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．热门考点02 空间几何体的直观图1.用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出.2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S直观图＝S原图形，S原图形＝S直观图．4【典例3】（多选题）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，对其中的线段说法正确的是（）A．原来相交的直线仍相交B．原来垂直的直线仍垂直C．原来平行的直线仍平行D．原来共点的直线仍共点【答案】ACD【解析】根据斜二测画法知，原来垂直的直线未必垂直，原来相等的线段其直观图未必相等，因此B 错误，ACD 正确， 故选：ACD.【典例4】如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A ．2 B. 12C. 22 D ．1【答案】A【解析】由题意画出斜二测直观图及还原后原图，由直观图中底角均为45°，腰和上底长度均为1，得下底长为11, 1+2的直角梯形．所以面积S ＝12(1+1)×2＝2故选A.【特别提醒】解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系.热门考点03 空间几何体的三视图三视图几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.即“长对正，宽相等，高平齐”.【典例5】（2020·全国高考真题（理））如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）A ．EB ．FC ．GD ．H【答案】A 【解析】根据三视图，画出多面体立体图形，14D D 上的点在正视图中都对应点M ,直线34B C 上的点在俯视图中对应的点为N,∴在正视图中对应M ,在俯视图中对应N 的点是4D ,线段34D D ,上的所有点在侧试图中都对应E ,∴点4D 在侧视图中对应的点为E . 故选：A【典例6】（2018年理新课标I 卷）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（ ）A. B.C. D. 2【答案】B【解析】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为，故选B. 【典例7】（2018年文北京卷）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C共三个，故选C.【总结提升】1.三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示． (2)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形状，然后再找其剩下部分三视图的可能形状．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．2.三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应，识图要注意甄别. 揭示空间几何体的结构特征，包括几何体的形状，平行垂直等结构特征，这些正是数据运算的依据.还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”. 简单几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．3.命题的角度一般有：（1）已知几何体，识别三视图；（2）已知三视图，判断几何体；（3）已知几何体三视图中的某两个视图，确定另外一个视图热门考点04 空间几何体的表面积圆柱的侧面积 rl S π2= 圆柱的表面积 )(2l r r S +=π 圆锥的侧面积 rl S π= 圆锥的表面积 )(l r r S +=π 圆台的侧面积 l r r S )(+'=π圆台的表面积 )(22rl l r r r S +'++'=π 球体的表面积 24R S π=柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.【典例8】（2020·全国高考真题（理））已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ） A ．64π B ．48πC ．36πD ．32π【答案】A 【解析】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意， 得24,2r r ππ=∴=，ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin 6023AB r =︒=，123OO AB ∴==，根据球的截面性质1OO ⊥平面ABC ，222211111,4OO O A R OA OO O A OO r ∴⊥==+=+=， ∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A【典例9】（2018·全国高考真题（理））已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB ∆的面积为__________．【答案】 【解析】因为母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，所以母线SA ，SB SAB 的面积为,l 所以221802l l ⨯==，因为SA 与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为πcos,42l l =因此圆锥的侧面积为2π.rl l == 【总结提升】几类空间几何体表面积的求法(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和． (2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补．(4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系．热门考点05 空间几何体的体积圆柱的体积 h r V 2π=圆锥的体积 h r V 231π= 圆台的体积 )(3122r r r r h V '++'=π球体的体积 334R V π=正方体的体积 3a V = 正方体的体积 abc V =【典例10】（2019年高考全国Ⅲ卷理）学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.【答案】118.8【解析】由题意得，214642312cm 2EFGH S =⨯-⨯⨯⨯=四边形， ∵四棱锥O −EFGH 的高为3cm ， ∴3112312cm 3O EFGH V -=⨯⨯=． 又长方体1111ABCD A B C D -的体积为32466144cm V =⨯⨯=， 所以该模型体积为3214412132cm O EFGH V V V -=-=-=，其质量为0.9132118.8g ⨯=．【典例11】（2018·全国高考真题（文））已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30，若SAB 的面积为8，则该圆锥的体积为__________． 【答案】8π 【解析】分析：作出示意图，根据条件分别求出圆锥的母线SA ，高SO ，底面圆半径AO 的长，代入公式计算即可. 详解：如下图所示，30,90SAO ASB ∠=∠=又211822SAB S SA SB SA ∆=⋅==， 解得4SA =，所以2212,232SO SA AO SA SO ===-=所以该圆锥的体积为2183V OA SO ππ=⋅⋅⋅=.【总结提升】求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值. 热门考点06 三视图与几何体的面积、体积若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.【典例12】（2019·浙江高考真题）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh 柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）A ．158B ．162C ．182D ．32【答案】B【解析】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭. 【典例13】（2020·北京高考真题）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）．A ．63+B ．623+C ．123+D ．1223+【答案】D【解析】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：()1322222sin 6012232S ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯︒=+ ⎪⎝⎭故选：D.【总结提升】求空间几何体体积的常见类型及思路规则几何体：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法不规则几何体：若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.热门考点07 几何体的展开、折叠、切、截、接问题解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．【典例14】（2020·全国高考真题（理））已知△ABC 是面积为93的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）A ．3B ．32C ．1D ．32 【答案】C【解析】设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得：2R =.设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC 93 2133224a ∴⨯=，解得：3a =，22229933434a r a ∴=-=-=， ∴球心O 到平面ABC 的距离22431d R r =-=-=.故选：C.【典例15】（2020·山东海南省高考真题）已知直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D 为球心，5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．【答案】22π. 【解析】如图：取11B C 的中点为E ，1BB 的中点为F ，1CC 的中点为G ，因为BAD ∠=60°，直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，所以△111D B C 为等边三角形，所以1D E 3=111D E B C ⊥，又四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以1BB ⊥平面1111D C B A ，所以111BB B C ⊥，因为1111BB B C B =，所以1D E ⊥侧面11B C CB ，设P 为侧面11B C CB 与球面的交线上的点，则1D E EP ⊥， 513D E =，所以2211||||||532EP D P D E =-=-=所以侧面11B C CB 与球面的交线上的点到E 2， 因为||||2EF EG ==11B C CB 与球面的交线是扇形EFG 的弧FG ，因为114B EF C EG π∠=∠=，所以2FEG π∠=，所以根据弧长公式可得2222FG π==..【典例16】(2019年高考天津卷理)．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．【答案】π42=.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为1，圆柱的底面半径为12，故圆柱的体积为21ππ124⎛⎫⨯⨯=⎪⎝⎭.【总结提升】1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．2．若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．巩固提升1．（2019·浙江拱墅杭州四中高二期中）已知一个正方体棱长为1，则它的体积为（）A．1 B．4 C．6 D．8【答案】A【解析】正方体的棱长为1∴该正方体的体积311V==故选：A2．（2019·浙江拱墅杭州四中高二期中）如果两个球的体积之比为8:27，那么两个球的表面积之比为（）A．8:27B．2:3C．4:9D．2:9【答案】C【解析】设两个球半径分别为r,R,则由条件知：333482 3(),42733r r rR RRππ==∴=，于是两球对应的表面积之比为22244().49r rR Rππ==故选C3．（2019·浙江诸暨中学高二月考）若一个正方体截去一个三棱锥后所得的几何体如图所示.则该几何体的正视图是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】所给图形的正视图是A选项所给的图形，满足题意．故选：A．4．（2019·安徽高二月考）在四面体PABC中，PC PA⊥，PC PB⊥，22AP BP AB PC====，则四面体PABC外接球的表面积是（）A.193πB.1912πC.1712πD.173π【答案】A【解析】∵PC PA⊥，PC PB⊥，,PA PB⊂平面PAB，PA PB P=∴PC⊥平面PAB.如图，设O是外接球球心，H是ABP∆的中心，则OH ⊥平面PAB ， 1122OH PC ==，32232233PH =⨯⨯=， 则22221912R OP OH PH ==+=， 故四面体外接球的表面积是21943S R ππ==. 故选：A.5．（2019·江西省大余县新城中学高二月考）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的棱的长是（ ）A.4B.6C.43D.42【答案】D【解析】 如图，结合题中的三视图可知，几何体的形状如图所示：224442，故选D. 6．（2018·全国高考真题（文））中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形，且俯视图应为对称图形故俯视图为故选A.7.（2020·浙江省高考真题）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．73B．143C．3 D．6【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以几何体的体积为： 11117211212232233⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A8．（2019·上海高二期末）已知某圆柱是将边长为2的正方形（及其内部）绕其一条边所在的直线旋转一周形成的，则该圆柱的体积为_______. 【答案】8π【解析】因为圆柱是将边长为2的正方形（及其内部）绕其一条边所在的直线旋转一周形成的，则圆柱底面圆半径为2，高为2，所以该圆柱的体积是2228ππ⋅⋅=.故答案为：8π 9．（2019·上海市复兴高级中学高二期末）某几何体由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成，其三视图如图所示（单位：厘米），则该几何体的体积（单位：立方厘米）是________.【答案】12π+【解析】由三视图可知，三棱锥的体积：1223132V ⎛=⨯⨯= ⎝⎭；半圆锥体积：()11113232V ππ=⨯⨯⨯⨯⨯=，所以总体积为：12π+. 故答案为：12π+.10．（2019·上海市民办市北高级中学高二期中）在ABC ∆中，3cm AC =，4cm BC =，5cm AB =，现以BC 边所在的直线为轴把ABC ∆（及其内部）旋转一周后，所得几何体的全面积是________2cm .【答案】24π【解析】由题意得,此几何体是以底面半径r AC =，高h BC =,母线l AB =的圆锥,由圆锥的侧面积公式可得,=3515S rl πππ=⨯⨯=侧()2cm ,由圆锥的底面积公式可得, ()222=39S r cm πππ=⨯=底,所以()2==15+9=24S S S cmπππ+全侧底.故答案为:24π11．（2019·上海高二期末）底面是直角三角形的直棱柱的三视图如图，网格中的每个小正方形的边长为1，则该棱柱的表面积是________【答案】642+【解析】根据三视图可知该几何体为三棱柱,画出空间结构体如下:该三棱柱的高为2,上下底面为等腰直角三角形,腰长为2 所以上下底面的面积为()212222⨯⨯= 侧面积为222222442⨯+⨯+⨯=+所以该三棱柱的表面积为2442642++=+故答案为: 642+12．（2018·上海市行知实验中学高二期中）若三棱锥P ABC -中，PA x =，其余各棱长均为2，则三棱锥P ABC -体积的最大值为______．【答案】1【解析】如图所示：取BC 中点D ，连接,AD PD ，则,BC PD BC AD ⊥⊥易知：3PD AD ==13313P ABC ABC V S h -∆=⨯=≤= 当PD ⊥平面ABC 时，等号成立，此时6x =故答案为：113．（2019·上海市向明中学高二月考）一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是:①三角形；②菱形；③矩形；④正方形；⑤正六边形，则其中判断正确的个数是_________.【答案】4【解析】∵正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心．于是过正方体的一条棱和中心可作一截面，截面形状为长方形，如图；过正方体一面上一边的中点和此边外的顶点以及正方体的中心作一截面，其截面形状为菱形，如图；过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正六边形，如图；正方体一面上相对两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正方形，如图；至于截面三角形，过正方体的中心不可能作出截面为三角形的图形，故②③④⑤均可．故答案为：4．14．（2019·上海曹杨二中高二期末）正ABC △的三个顶点都在半径为2的球面上,球心O 到平面ABC 的距离为1,点D 是线段BC 的中点,过D 作球O 的截面,则截面面积的最小值为_________. 【答案】94π 【解析】设正ABC ∆的中心为1O ，连结1O O 、1O C 、1O D 、OD ，1O 是正ABC ∆的中心，A 、B 、C 三点都在球面上，1O O ∴⊥平面ABC ，结合1O C ⊂平面ABC ，可得11O O O C ⊥，球的半径2R =，球心O 到平面ABC 的距离为1，得11O O =，Rt ∴△1O OC 中，13O C =又D 为BC 的中点，Rt ∴△1O DC 中，11132O D O C ==． Rt ∴△1OO D 中，7OD =过D 作球O 的截面，当截面与OD 垂直时，截面圆的半径最小，∴当截面与OD 垂直时，截面圆的面积有最小值． 此时截面圆的半径22732()22r =-=，可得截面面积为294S r ππ==．故答案为：94π． 15．（2018·上海市七宝中学高二期中）如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，AED ∆、EBF ∆、FCD ∆分别沿DE 、EF 、FD 折起，使A 、B 、C 三点重合于点A '，若四面体A EFD '的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为________.【答案】6π【解析】由题意，知A EF '∆是等腰直角三角形，且A D '⊥平面A EF '，三棱锥的底面A EF '扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥和外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，正四棱柱的对角线长就是外接球的直径，所以球的半径222112622R ++==， 所以该球的表面积为22644()6S R πππ==⨯=． 故答案为：6π．16．（广东省深圳市高级中学2019届高三（6月）适应）在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC △是边长为6的等边三角形，PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．【答案】48π【解析】如图，在等边三角形ABC 中，取AB 的中点F ，设等边三角形ABC 的中心为O ，连接PF ，CF ，OP .由6AB =，得223,33AO BO CO CF OF ===== PAB △是以AB 为斜边的等腰角三角形，PF AB ∴⊥,又平面PAB ⊥平面ABC ，PF ∴⊥平面ABC ，PF OF ∴⊥，2223OP OF PF =+=则O 为棱锥P ABC -的外接球球心，外接球半径23R OC ==∴该三棱锥外接球的表面积为(24π348π⨯=，故答案为48π.。

考点31 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积一、选择题1．（2011·安徽高考理科·Ｔ6）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） （A ）48 （B ）32+178 （C ）48+178 （D ）80【思路点拨】将三视图还原成直观图，可以知道这是一个底面为等腰梯形的直棱柱，之后利用面积公式，求出六个面的面积.【精讲精析】选C.这是一个底面为等腰梯形的直棱柱,两底面等腰梯形的面积和为，）（24442212=⨯+⨯⨯四个侧面的面积为，）（178********+=++⨯所以该几何体的表面积为48+178.2.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【思路点拨】由正视图和俯视图可联想到几何体的直观图，然后再推出侧视图. 【精讲精析】选D. 由正视图和俯视图可以推测几何体为半圆锥和三棱锥的组合体（如图所示），且顶点在底面的射影恰是底面半圆的圆心， 可知侧视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，故选D3．（2011·辽宁高考文科·Ｔ10）已知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S-ABC 的体积为（ ） （A）3(B)3(C) 3(D)3【思路点拨】找到直径SC 的垂截面是解决本题的关键．【精讲精析】选C ，设球心为O ，则BO AO ,是两个全等的等腰直角三角形斜边上的高，斜边4,=SC 故2==BO AO ，且有SC AO ⊥，SC BO ⊥．∴)(31OC SO S V V V AOB AOB C AOB S ABC S +=+=∆---=3344243312=⨯⨯⨯．BCA4.（2011·广东高考文科·Ｔ7）正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（ ）（A ）20 （B ）15 （C ）12 （D ）10【思路点拨】本题主要考查空间想象能力及体对角线的概念，由多面体体对角线的概念可得答案. 【精讲精析】选D.上底面内的每个顶点，与下底面内不在同一侧面内的两个顶点的连线，可构成正五棱柱的对角线，所以共10条，故选D.5.（2011·广东高考文科·Ｔ9）如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为（ ）（A ）34 （B ）4 （C ）32 （D ）2【思路点拨】首先由三视图得该几何体为一四棱锥，然后由图中数据求出底面面积及高，再由锥体体积公式求解.【精讲精析】选C.由三视图可得原几何体是一四棱锥，底面是边长为2的菱形，其一条对角线长为2，则另一条对角线长为32，从而底面面积3232221=⨯⨯=底S .该棱锥其中两条侧棱长为32，另外两条侧棱长相等，从而得棱锥的高3)3()32(22=-=h ，所以该几何体的体积3233231=⨯⨯=V ，故选C.6.（2011·广东高考理科·Ｔ7）如图某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为（ ）（A ）36 （B ）39 （C ）312 （D ）318 【思路点拨】先由三视图还原直观图，然后再求体积.【精讲精析】选B.由三视图得，几何体为一平行六面体，底面是边长为3的正方形，高3122=-=h .所以几何体的体积V 33=⨯=故选B.7.（2011·山东高考理科·Ｔ11）如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如图．其中真命题的个数是（ ） （A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）0【思路点拨】本题可寻找特殊的几何体，三棱柱，正四棱柱，圆柱.【精讲精析】选A.只需①底面是等腰直角三角形的直三棱柱，让其直角三角形直角边对应的一个侧面平卧；②正四棱柱平躺；③圆柱平躺即可使三个命题为真.8.（2011·辽宁高考理科·Ｔ12）已知球的直径SC =4，B A ,是该球球面上的两点，AB =3，︒=∠=∠30BSC ASC ，则棱锥ABC S -的体积为（ ）（A ）33 （B ）32 （C ）3 （D ）1 【思路点拨】找到直径SC 的垂截面是解决本题的关键．【精讲精析】选C.由题意可知SAC ∆和SBC ∆是两个全等的直角三角形，过直角顶点B A ,分别作斜边上的高线BH AH ,，由于︒=∠=∠30BSC ASC ，求得3==BH AH ，所以等边ABH ∆的面积为2ABH S ∆==ABC S -的体积等于以ABH ∆为底的两个小三棱锥的体积的和，其高的和即为球的直径SC 的长，故⨯=-31ABC S V 43334=⨯．9.（2011·北京高考理科·T7）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（ ） （A ）8 （B） （C ）10 （D）【思路点拨】先画出直观图，标出尺寸后，再分别求出四个面的面积，逐个比较. 【精讲精析】选C.该四面体的直观图，如图所示，090B ∠=，ABC PA ⊥面，PA=4,AB=4,BC=3.该四面体的四个面都是直角三角形.四个面的面积分别为6,8,10.ABC PAB PBC PAC S S S S ∆∆∆∆==== 故最大面积为10.10.（2011·北京高考文科·T5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（ ） （A ）32 （B）16+（C ）48 （D）16+【思路点拨】作出直观图，先求出斜高，再计算表面积. 【精讲精析】选B.=214(44162⨯⨯⨯+=+11.（2011·湖南高考理科·T3）设如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）（A ）1229+π（B ）1829+π（C ）429+π （D ）1836+π正（主）视图 侧（左）视图 俯视图正（主）视图侧（左）视图俯视图正视图侧视图ABCP【思路点拨】本题考查学生的空间想象能力和计算几何体的体积的 能力.【精讲精析】选B.由三视图可以得到几何体的上面是一个半径为23 的球，下面是一个底面边长为3高为2的正四棱柱.故体积为3439332+()18.322π⨯⨯⨯=+π12.（2011·湖南高考文科T4）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） （A ）942π+ （B ）3618π+（C ）9122π+ （D ）9182π+【思路点拨】本题考查学生的空间想象能力和计算几何体的体积的能力. 【精讲精析】选D. 由三视图可以得到几何体的上面是一个半径为23的球，下面是一个底面边长是3高为2的正四棱柱. 故体积为3439()+33218.322π⨯⨯⨯=π+ 13.（2011·江西高考文科·Ｔ9）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【思路点拨】在左视图中，长方体的体对角线投到了侧面，成了侧面的面 对角线，易得.【精讲精析】选D.根据正投影的性质，结合左视图的要求知，长方体的体对角线投到了侧面，成了侧面的面对角线，结合选项即得答案.14．（2011·陕西高考理科·T5）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ） （A ）283π- （B ）83π-（C ）82π-（D ）23π 【思路点拨】根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算． 【精讲精析】选A ．由几何体的三视图可知该几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是3212212833V ππ=-⨯⨯⨯=-.15.（2011·浙江高考理科·Ｔ3）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）【思路点拨】逐个检验筛查.【精讲精析】选D.由正视图来看符合条件的只有C,D.从俯视图来看只有D 选项中的几何体符合. 16.（2011·浙江高考文科·Ｔ7）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）【思路点拨】逐个检验选项中的几何体的直观图是否与所给三视图相符合. 【精讲精析】选B.二、填空题17.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ15）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,AB BC ==则棱锥O ABCD -的体积为__ .【思路点拨】画出图形，找出球心位置，然后数形结合求出棱锥O-ABCD 的 体积.【精讲精析】 如图所示，OO '垂直于矩形ABCD 所在的平面，垂足为O '， 连接O 'B ，OB ，则在Rt ∆OO B '中，由OB ＝4, O B '=OO '＝2,116233O ABCD V S OO -'∴=⋅=⨯⨯=【答案】18.（2011·天津高考理科·T10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为__________3m【思路点拨】由三视图正确判断出组合体的图形是关键.【精讲精析】组合体的底座是一个长、宽、高分别为3、2、1的长方体，上面是一个底面半径为1，高为3的圆锥，所以所求的体积是：211332163=+=⨯⨯+⨯⨯=+V V V ππ圆锥长方体【答案】6+π19.（2011·新课标全国高考文科·Ｔ16）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的163，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________【思路点拨】画出图形，利用数形结合，然后利用球及圆的性质求解. 【精讲精析】如图设球的半径为R ，圆锥的底面 圆半径为r ，则依题意得223416r R ππ=⨯，即cos 2r O CO R '=∠= 130,2O CO OO R ''∴∠=︒∴=，11,22AO R R BO R R ''∴=-=+, 112.332RAO BO R '∴==' 【答案】1320.（2011·辽宁高考理科·Ｔ15）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是_________.【思路点拨】先求底面边长，再求矩形的面积． 【精讲精析】设棱长为a ，由体积为32可列等式=⋅a a 24332，2=a ， 所求矩形的底边长为323=a ，这个矩形的面积是3223=⨯． 【答案】3221.（2011·天津高考文科·Ｔ10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为__________3m【思路点拨】由三视图正确判断出组合体的图形是关键.【精讲精析】组合体的底座是一个长、宽、高分别为2、1、1的长方体，上面是长、宽、高分别为1、1、2的长方体，所以所求的体积是：12+=211+112=4=⨯⨯⨯⨯V V V【答案】422. （2011·福建卷理科·Ｔ12）三棱锥P-ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA=3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC 的体积等于______. 【思路点拨】利用公式13P ABC ABC V S PA -∆=⋅⋅求体积.【精讲精析】由题意得：2112333P ABC ABC V S PA -∆=⋅⋅=⨯=三、解答题23.（2011·江西高考文科·Ｔ18）如图，在=2,2ABC B AB BC P AB π∆∠==中，，为边上一动点，PD//BC 交AC 于点D,现将,'∆∆PDA PD PDA 沿翻折至.'⊥PDA PBCD 使平面平面（1）当棱锥'A -PBCD 的体积最大时，求PA 的长；（2）若点P 为AB 的中点，E 为''.AC B DE ⊥的中点，求证：A【思路点拨】(1)首先根据面面垂直，证出A P PBCD '⊥平面，再将四棱锥的体积表示出来，借助导数求体积最大时PA 的长.（2）根据平行线的性质，两条平行线中有一条与一条 直线垂直，另一条也与该直线垂直，故易证.【精讲精析】（1）设x PA = (0<x<2), 则A ′P=PD=x, BP=2-x,因为A ′P ⊥PD 且平面A ′PD ⊥平面PBCD ，故 A ′P ⊥平面PBCD则2A -PBCD PDCB11x V PA Sx(2)332'=⋅=-底面. 令231x 2x x f (x)x(2)(x 0),3236=-=->则232)(2x x f -='.由上表易知：当332==x PA 时，有PBCD A V -'取最大值.（2）作B A '的中点F ，连接EF 、FP, 由已知得：FP ED PD BC EF ////21//⇒ 又'A P PB ⊥，∴PF B A ⊥' 所以DE B A ⊥'.24.（2011·福建卷文科·Ｔ20）如图，四棱锥P-ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，AB⊥AD，点E 在线段AD 上，且CE∥AB. (I)求证：CE⊥平面PAD ；（II ）若PA=AB=1，AD=3，P-ABCD 的体积. 【精讲精析】（1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，所以PA CE ⊥. 因为,//,AB AD CE AB ⊥所以CE AD ⊥. 又PAAD A =，所以CE ⊥平面PAD.(2)由（1）可知CE AD ⊥.在Rt ECD ∆中，cos 451DE CD =⋅︒=，sin 451CE CD =⋅︒=.AE=AD-DE=3-1=2， 又因为1,//AB CE AB CE ==，所以四边形ABCE 为矩形. 所以1++2ECD ABCE ABCD S S S AB AE CE DE ∆⋅⋅矩形四边形＝＝ ＝1512+11.22⨯⨯⨯＝ 又PA ⊥平面ABCD ，1PA =，所以-11551.3326P ABCD V S PA =⋅⨯⨯四棱锥四边形ABCD ＝＝。

空间几何体的三视图及直观图、表面积及体积导学目标： 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，并且会用斜二测画法画出它们的直观图.3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.4.会画某些建筑物的三视图与直观图． 探究点一 空间几何体的结构例1 给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；⑤存在每个面都是直角三角形的四面体；⑥棱台的侧棱延长后交于一点． 其中正确命题的序号是________． 变式迁移1 下列结论正确的是( ) A ．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B ．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D ．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 探究点二 空间几何体的三视图例2 (2009·福建)如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )变式迁移2 (2011·课标全国)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )探究点三 直观图及斜二测画法 例3用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()变式迁移3一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于()A.24a2B．22a2C.22a2D23a21.(2012·湖北省黄冈中学高三五月模拟)下列关于斜二测画法下的直观图的说法正确的是( )A．互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线B．梯形的直观图可能是平行四边形C．矩形的直观图可能是梯形D．正方形的直观图可能是平行四边形2.(2012·山东省济宁第三次质检)在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )3.(2013·昌平二模)已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有( )A．0个B．1个C．2个D．3个4.已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为.5.(2012·福建省泉州市3月质量检查)一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥俯视图的面积为.6.(2013·广东佛山市质检)一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中满足条件的序号是②③.7.如图，四边形ABCD 在斜二测画法下的直观图是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为2，则原四边形的面积是 .8.如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积．9.某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，求a ＋b 的最大值．空间几何体的表面积和体积1.已知某球的体积大小等于其表面积大小，则此球的半径是( )A. 3 B ．3 C ．4 D ．5 2.(2013·重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.3603B.5803 C ．200 D ．240 3.(2012·山东省日照市高三12月)一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，已知这个球的表面积是12π，那么这个正方体的体积是( )A. 3 B．4 3 C．8 D．244.如图，一个简单组合体的正(主)视图和侧(左)视图都是由一个正方形与一个正三角形构成的相同的图形，俯视图是一个半径为3的圆(包括圆心)．则该组合体的表面积等于( C ) A．15πB．18πC．21πD．24π5.(2012·南通市教研室全真模拟)某圆锥的侧面展开图是半径为1 m的半圆，则该圆锥的体积是m3.6.若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为.7.(2013·上海市高三下七校联考)已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB ⊥BC，SA＝1，AB＝BC＝2，则球O的表面积为.8.下图是一个几何体的三视图(单位：cm)，试画出它的直观图，并计算这个几何体的体积与表面积．9.正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与四个面都相切，求棱锥的表面积和球的半径．。

点29 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积一、选择题1.(2017·浙江高考·T3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm 3)是 ( )A.2π+1 B. 2π+3 C.32π+1 D.32π+3 【命题意图】本题主要考查空间几何体的三视图,意在考查学生由空间几何体的三视图还原空间几何体的能力及圆锥与棱锥的体积公式的应用.【解析】选A.根据所给几何体的三视图,画出该几何体的直观图,如图所示,可知该几何体是由一个半圆锥和一个三棱锥组合成的,圆锥的底面半径为1,高为3,三棱锥底面是斜边为2的等腰直角三角形,高也为3,所以该几何体的体积为:V=π·12×3×13×12+2×1×12×3×13=2π+1.2.(2017·全国甲卷文·T6)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得,则该几何体的体积为 ( )A.90πB.63πC.42πD.36π【命题意图】本题考查三视图以及几何体的体积计算,意在考查学生空间想象能力与化归思想的运用,通过体积的计算考查运算求解能力.【解析】选B.由三视图知,该几何体为一个底面半径为3,高为4的圆柱和一个底面半径为3,高为6的圆柱的一半,故其体积为V=错误!未找到引用源。

×π×32×6+π×32×4=63π.【误区警示】本题由三视图不能正确的还原成空间几何体,从而造成计算失误.3.(2017·全国甲卷理科·T4)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得,则该几何体的体积为()A.90πB.63πC.42πD.36π【命题意图】本题考查三视图以及几何体的体积计算,意在考查学生空间想象能力与化归思想的运用,通过体积的计算考查运算求解能力.【解析】选B.由三视图知,该几何体为一个底面半径为3,高为4的圆柱和一个底面半径为3,高为6的圆柱的一半,故其体积为V=12×π×32×6+π×32×4=63π.4.(2017·全国丙卷·文科·T9)同(2017·全国丙卷·理科·T8)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A.πB.34πC.2πD.4π【命题意图】本题考查圆柱和球,考查学生的空间想象能力和计算能力.【解析】选B.如图,画出圆柱的轴截面:r=BC=3,那么圆柱的体积V=πr2h=π×232⎛⎫⎪⎝⎭×1=34π.5.(2017·全国丙卷·理科·T8)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A.πB.34πC.2πD.4π【命题意图】本题考查圆柱和球,考查学生的空间想象能力和计算能力.【解析】选B.如果,画出圆柱的轴截面:r=BC=32,那么圆柱的体积V=πr 2h=π×232⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭×1=34π. 6.(2017·北京高考理科·T7)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为 ( )A.32B.23C.22D.2【命题意图】本题主要考查根据几何体三视图求几何体的体积与表面积.意在培养学生的数形结合与运算能力. 【解析】选B.几何体是四棱锥,如图为三视图还原后的几何体,最长的棱长为所在正方体的体对角线,l=222222++=23.【技巧点拨】如何依据三视图确定空间几何体,长方体是确定空间几何体的主要模型,充分把三视图与(投影面)长方体两两垂直的三个平面建立联系.7.(2017·北京高考文科·T6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 ( )A.60B.30C.20D.10【命题意图】本题主要考查根据几何体三视图求几何体的体积.意在培养学生的数形结合与运算能力.【解析】选C.由三棱锥的三视图可知,该三棱锥的直观图为A-BCD,如图所示,其所在长方体的长、宽、高分别为5,3,4,所以V A-BCD=3×4×5-4×1134532⎛⎫⨯⨯⨯⨯⎪⎝⎭错误!未找到引用源。

§8.1空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积1．多面体的结构特点2.3.空间几何体的直观图经常使用斜二测画法来画，其规那么：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中维持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中长度为原先的一半．4．空间几何体的三视图(1)三视图的主视图、俯视图、左视图别离是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形．(2)三视图的特点：三视图知足“长对正、高平齐、宽相等”或说“主左一样高、主俯一样长、俯左一样宽”．5．柱、锥、台和球的侧面积和体积1． (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱． ( × ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( × )(3)用斜二测画法画水平放置的∠A 时，假设∠A 的两边别离平行于x 轴和y 轴，且∠A ＝90°，那么在直观图中，∠A ＝45°.( × ) (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同． ( × ) (5)圆柱的侧面展开图是矩形．( √ ) (6)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算．( √ )2． (2021·四川)一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的直观图能够是 ( )答案 D解析 由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D.3． (2021·课标全国Ⅰ)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，若是不计容器的厚度，那么球的体积为( )A.500π3cm 3B.866π3cm 3C.1 372π3 cm 3D.2 048π3cm 3答案 A解析 作出该球轴截面的图象如下图，依题意BE ＝2，AE ＝CE ＝4，设DE ＝x ，故AD ＝2＋x ，因为AD 2＝AE 2＋DE 2，解得x ＝3，故该球的半径AD ＝5， 因此V ＝43πR 3＝500π3. 4． 一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为________．答案62解析 由斜二测画法，知直观图是边长为1的正三角形，其原图是一个底为1，高为6的三角形，因此原三角形的面积为62.5． 假设一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，那么该圆锥的体积为________．答案33π 解析 侧面展开图扇形的半径为2，圆锥底面半径为1， ∴h ＝22－1＝3，∴V ＝13π×1×3＝33π.题型一 空间几何体的结构特点 例1 (1)以下说法正确的选项是( )A ．有两个平面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B ．四棱锥的四个侧面都能够是直角三角形C ．有两个平面相互平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D ．棱台的各侧棱延长后不必然交于一点 (2)给出以下命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，那么这两点的连线是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面能够不相似，但侧棱长必然相等． 其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3思维启发 从多面体、旋转体的概念入手，能够借助实例或几何模型明白得几何体的结构特点． 答案 (1)B (2)A解析 (1)A 错，如图1；B 正确，如图2，其中底面ABCD 是矩形，可证明∠PAB ，∠PCB 都是直角，如此四个侧面都是直角三角形；C 错，如图3；D 错，由棱台的概念知，其侧棱必相交于同一点．(2)①不必然，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②不必然，因为“其余各面都是三角形”并非等价于“其余各面都是有一个公共极点的三角形”，如图1所示；③不必然，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，可是侧棱长不必然相等． 思维升华 (1)有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的几何体不必然是棱柱． (2)既然棱台是由棱锥概念的，因此在解决棱台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略． (3)旋转体的形成不仅要看由何种图形旋转取得，还要看旋转轴是哪条直线．如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A ，B ，C是展开图上的三点，那么在正方体盒子中，∠ABC 的值为 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 C解析 还原正方体，如下图，连接AB ，BC ，AC ，可得△ABC 是正三角形，那么∠ABC ＝60°. 题型二 空间几何体的三视图和直观图例2 (1)如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12，那么该几何体的俯视图能够是( )(2)正三角形AOB 的边长为a ，成立如下图的直角坐标系xOy ，那么它的直观图的面积是________．思维启发 (1)由主视图和左视图可知该几何体的高是1，由体积是12可求出底面积．由底面积的大小可判定其俯视图是哪个．(2)依照直观图画法规那么确信平面图形和其直观图面积的关系． 答案 (1)C (2)616a 2解析 (1)由该几何体的主视图和左视图可知该几何体是柱体，且其高为1，由其体积是12可知该几何体的底面积是12，由图知A 的面积是1，B 的面积是π4，C 的面积是12，D 的面积是π4，应选C.(2)画出坐标系x ′O ′y ′，作出△OAB 的直观图O ′A ′B ′(如图)．D ′为O ′A ′的中点． 易知D ′B ′＝12DB (D 为OA 的中点)，∴S △O ′A ′B ′＝12×22S △OAB ＝24×34a 2＝616a 2.思维升华 (1)三视图中，主视图和左视图一样高，主视图和俯视图一样长，左视图和俯视图一样宽．即“长对正，宽相等，高平齐”．(2)解决有关“斜二测画法”问题时，一样在已知图形中成立直角坐标系，尽可能运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系．(1)(2021·湖南)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，那么该正方体的主视图的面积不可能等于( )A ．1 B.2 C.2－12D.2＋12(2)如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，那么原图形是 ( ) A ．正方形 B ．矩形C ．菱形D ．一样的平行四边形答案 (1)C (2)C解析 (1)由俯视图知正方体的底面水平放置，其主视图为矩形，以正方体的高为一边长，另一边长最小为1，最大为2，面积范围应为[1，2]，不可能等于2－12.(2)如图，在原图形OABC 中， 应有OD ＝2O ′D ′＝2×22＝42 cm ，CD ＝C ′D ′＝2 cm.∴OC ＝OD 2＋CD 2＝422＋22＝6 cm ，∴OA ＝OC ，故四边形OABC 是菱形． 题型三 空间几何体的表面积与体积例3 (1)一个空间几何体的三视图如下图，那么该几何体的表面积为 ( )A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．80(2)已知某几何体的三视图如下图，其中主视图、左视图均由直角三角形与半圆组成，俯视图由圆与内接三角形组成，依照图中的数据可得几何体的体积为 ( ) A.2π3＋12B.4π3＋16 C.2π6＋16D.2π3＋12思维启发 先由三视图确信几何体的组成及气宇，然后求表面积或体积． 答案 (1)C (2)C解析 (1)由三视图知该几何体的直观图如下图，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为4，长为42＋12＝17.因此S表＝42＋2×4＋12×(2＋4)×4×2＋4×17×2＝48＋817.(2)由三视图确信该几何体是一个半球体与三棱锥组成的组合体，如图，其中AP ，AB ，AC 两两垂直，且AP ＝AB ＝AC ＝1，故AP ⊥平面ABC ，S △ABC ＝12AB ×AC ＝12，因此三棱锥P －ABC 的体积V 1＝13×S △ABC ×AP ＝13×12×1＝16，又Rt△ABC 是半球底面的内接三角形，因此球的直径2R ＝BC ＝2，解得R ＝22，因此半球的体积V 2＝12×4π3×(22)3＝2π6，故所求几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝16＋2π6.思维升华 解决此类问题需先由三视图确信几何体的结构特点，判定是不是为组合体，由哪些简单几何体组成，并准确判定这些几何体之间的关系，将其切割为一些简单的几何体，再求出各个简单几何体的体积，最后求出组合体的体积．(2021·课标全国)已知三棱锥S －ABC 的所有极点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，那么此棱锥的体积为 ( ) A.26 B.36 C.23 D.22答案 A解析 由于三棱锥S －ABC 与三棱锥O －ABC 底面都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S －ABC 的高是三棱锥O －ABC 高的2倍，因此三棱锥S －ABC 的体积也是三棱锥O －ABC 体积的2倍． 在三棱锥O －ABC 中，其棱长都是1，如下图， S △ABC ＝34×AB 2＝34，高OD ＝ 12－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫332＝63， ∴V S －ABC ＝2V O －ABC ＝2×13×34×63＝26.转化思想在立体几何计算中的应用典例：(12分)如图，在直棱柱ABC —A ′B ′C ′中，底面是边长为3的等边三角形，AA ′＝4，M 为AA ′的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿 棱柱侧面通过棱CC ′到M 的最短线路长为29，设这条最短线路与CC ′的交点为N ，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC 与NC 的长；(3)三棱锥C —MNP 的体积．思维启发 (1)侧面展开图从哪里剪开展平；(2)MN ＋NP 最短在展开图上呈现如何的形式；(3)三棱锥以谁做底好． 标准解答解 (1)该三棱柱的侧面展开图为一边长别离为4和9的矩形，故对角线长为42＋92＝97.[2分](2)将该三棱柱的侧面沿棱BB ′展开，如以下图，设PC ＝x ，那么MP 2＝MA 2＋(AC ＋x )2. ∵MP ＝29，MA ＝2，AC ＝3，∴x ＝2，即PC ＝2.又NC ∥AM ，故PC PA ＝NCAM ，即25＝NC 2.∴NC ＝45.[8分](3)S △PCN ＝12×CP ×CN ＝12×2×45＝45.在三棱锥M —PCN 中，M 到面PCN 的距离， 即h ＝32×3＝332.∴V C —MNP ＝V M —PCN ＝13·h ·S △PCN＝13×332×45＝235.[12分] 温馨提示 (1)解决空间几何体表面上的最值问题的全然思路是“展开”，即将空间几何体的“面”展开后铺在一个平面上，将问题转化为平面上的最值问题．(2)若是已知的空间几何体是多面体，那么依照问题的具体情形能够将那个多面体沿多面体中某条棱或两个面的交线展开，把不在一个平面上的问题转化到一个平面上．若是是圆柱、圆锥那么可沿母线展开，把曲面上的问题转化为平面上的问题．(3)此题的易错点是，不明白从哪条侧棱剪开展平，不能正确地画出侧面展开图．缺乏空间图形向平面图形的转化意识.方式与技术1．棱柱、棱锥要把握各部份的结构特点，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决．2．旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状．3．三视图画法：(1)实虚线的画法：分界限和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线；(2)明白得“长对正、宽平齐、高相等”．4．直观图画法：平行性、长度两个要素．5．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规那么的几何体通过度割或补形将其转化为规那么的几何体求解．6．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确信有关元素间的数量关系，并作出适合的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的极点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．失误与防范1．台体能够看成是由锥体截得的，但必然强调截面与底面平行．2．注意空间几何体的不同放置对三视图的阻碍．3．几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系．A组专项基础训练(时刻：40分钟)一、选择题1．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两极点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )A．20 B．15C．12 D．10答案D解析如图，在正五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，从极点A动身的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点动身的对角线均有两条，共2×5＝10(条)．2．(2021·福建)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么那个几何体不能够是( )A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱答案 D解析 考虑选项中几何体的三视图的形状、大小，分析可得． 球、正方体的三视图形状都相同、大小均相等，第一排除选项A 和C. 关于如下图三棱锥O －ABC ，当OA 、OB 、OC 两两垂直且OA ＝OB ＝OC 时， 其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项B. 不论圆柱如何设置，其三视图的形状都可不能完全相同， 故答案选D.3． (2021·重庆)某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为( )A.5603B.5803 C ．200 D ．240答案 C解析 由三视图知该几何体为直四棱柱，其底面为等腰梯形，上底长为2，下底长为8，高为4，故面积为S ＝2＋8×42＝20.又棱柱的高为10，因此体积V ＝Sh ＝20×10＝200.4． 如图是一个物体的三视图，那么此三视图所描述物体的直观图是( ) 答案 D解析 由俯视图可知是B 和D 中的一个，由主视图和左视图可知B 错．5． 某几何体的三视图如下图，其中俯视图是个半圆，那么该几何体的表面积为( )A.32π B ．π＋3C.32π＋ 3D.52π＋3答案 C解析 由三视图可知该几何体为一个半圆锥，底面半径为1，高为3，∴表面积S ＝12×2×3＋12×π×12＋12×π×1×2＝3＋3π2.二、填空题6. 如下图，E 、F 别离为正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，那么四边形BFD 1E 在该正方体的面DCC 1D 1上的正投影是________．(填序号)答案 ②解析 四边形在面DCC 1D 1上的正投影为②：B 在面DCC 1D 1上的正投影为C ，F 、E 在面DCC 1D 1上的投影应在边CC 1与DD 1上，而不在四边形的内部，故①③④错误．7． 已知三棱锥A —BCD 的所有棱长都为2，那么该三棱锥的外接球的表面积为________． 答案 3π 解析 如图，构造正方体ANDM —FBEC .因为三棱锥A —BCD 的所有棱长都为2，因此正方体ANDM —FBEC 的棱长为1.因此该正方体的外接球的半径为32. 易知三棱锥A —BCD 的外接球确实是正方体ANDM —FBEC 的外接球，因此三棱锥A —BCD 的外接球的半径为32.因此三棱锥A —BCD 的外接球的表面积为S 球＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322＝3π. 8． (2021·江苏)如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 别离是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，那么V 1∶V 2＝________.答案 1∶24解析 设三棱锥F －ADE 的高为h ，则V 1V 2＝13h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD ·AE ·sin∠DAE 2h 122AD 2AE sin∠DAE＝124. 三、解答题9．一个几何体的三视图及其相关数据如下图，求那个几何体的表面积．解 那个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半．依照图中数据可知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为3，母线长为2，几何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故那个几何体的表面积为S ＝12π×12＋12π×22＋12π×(1＋2)×2＋12×(2＋4)×3＝11π2＋3 3.10．已知一个正三棱台的两底面边长别离为30 cm 和20 cm ，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高．解 如下图，三棱台ABC —A 1B 1C 1中，O 、O 1别离为两底面中心，D 、D 1别离为BC和B 1C 1的中点，那么DD 1为棱台的斜高．由题意知A 1B 1＝20，AB ＝30，则OD ＝53，O 1D 1＝1033， 由S 侧＝S 上＋S 下，得12×(20＋30)×3DD 1＝34×(202＋302)， 解得DD 1＝1333，在直角梯形O 1ODD 1中，O 1O ＝DD 21－OD －O 1D 12＝43，因此棱台的高为4 3 cm. B 组 专项能力提升(时刻：30分钟)1． 在四棱锥E —ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD,2AB ＝3CD ，M 为AE 的中点，设E —ABCD 的体积为V ，那么三棱锥M —EBC 的体积为( )A.25VB.13VC.23VD.310V 答案 D解析 设点B 到平面EMC 的距离为h 1，点D 到平面EMC 的距离为h 2.连接MD .因为M 是AE 的中点，因此V M —ABCD ＝12V . 因此V E —MBC ＝12V －V E —MDC . 而V E —MBC ＝V B —EMC ，V E —MDC ＝V D —EMC ，因此V E —MBCV E —MDC ＝V B —EMC V D —EMC ＝h 1h 2.因为B ，D 到平面EMC 的距离即为到平面EAC 的距离，而AB ∥CD ，且2AB ＝3CD ，因此h 1h 2＝32. 因此V E —MBC ＝V M －EBC ＝310V .2． 某三棱锥的三视图如下图，该三棱锥的表面积是( ) A ．28＋6 5 B ．30＋65C ．56＋125 D ．60＋125 答案 B 解析 由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如下图，其中AE ⊥平面BCD ，CD ⊥BD ，且CD ＝4，BD ＝5，BE ＝2，ED ＝3，AE ＝4.∵AE ＝4，ED ＝3，∴AD ＝5.又CD ⊥BD ，CD ⊥AE ，则CD ⊥平面ABD ，故CD ⊥AD ，因此AC ＝41且S △ACD ＝10.在Rt△ABE 中，AE ＝4，BE ＝2，故AB ＝25. 在Rt△BCD 中，BD ＝5，CD ＝4，故S △BCD ＝10，且BC ＝41.在△ABD 中，AE ＝4，BD ＝5，故S △ABD ＝10.在△ABC 中，AB ＝25，BC ＝AC ＝41，则AB 边上的高h ＝6，故S △ABC ＝12×25×6＝6 5. 因此，该三棱锥的表面积为S ＝30＋65. 3． 表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，那么该圆锥的底面直径为________．答案 2解析 设圆锥的母线为l ，圆锥底面半径为r .那么12πl 2＋πr 2＝3π，πl ＝2πr ，∴r ＝1，即圆锥的底面直径为2.4. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，图为该四棱锥的主视图和左视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．(1)依照图所给的主视图、左视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA .解 (1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)，边长为6 cm 的正方形，如图，其面积为36 cm 2.(2)由左视图可求得PD ＝PC 2＋CD 2＝62＋62＝6 2.由主视图可知AD ＝6，且AD ⊥PD ，因此在Rt△APD 中，PA ＝PD 2＋AD 2＝622＋62＝6 3 cm.5． 在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝a ，PA ＝PC ＝2a ，假设在那个四棱锥内放一球，求此球的最大半径．解 当球内切于四棱锥，即与四棱锥各面均相切时球半径最大，设球的半径为r ，球心为O ，连接OP 、OA 、OB 、OC 、OD ，那么把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥，这些小棱锥的高都是r ，底面别离为原四棱锥的侧面和底面，则V P －ABCD ＝13r (S △PAB ＋S △PBC ＋S △PCD ＋S △PAD ＋S 正方形ABCD )＝13r (2＋2)a 2.由题意，知PD ⊥底面ABCD ，∴V P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PD ＝13a 3. 由体积相等， 得13r (2＋2)a 2＝13a 3，解得r ＝12(2－2)a .。

空间几何体的结构、三视图和直观图及表面积体积一.《考纲》要求1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构;2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图.3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.4.会画出某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求).5.了解球、柱体、锥体、台体的表面积计算公式，会通过观察空间几何体的三视图求空间几何体的表面积与体积.二.知识解析(一)空间几何的结构特征1.空间几何体如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.2.多面体(1)概念：我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.棱柱：侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形，并且互相平行.棱锥：底面是任意多边形，侧面是有公共点的三角形.棱台：由平行于底面的平面截棱锥得到的底面与截面之间的部分，上下底面是相似多边形.(2)分类:按侧棱与底面的关系可分为斜棱柱、直棱柱;按底面多边形边数可分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等;底面是正多边形的直棱柱又称为正棱柱.基础练习:(1)下列有关棱柱的命题中正确的是(C )(A)有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱(B)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱(C)一个棱柱至少有五个面、六个顶点、九条棱(D)棱柱的侧棱长有的相等，有的不相等(2)下列结论正确的是( D )(A)各个面都是三角形的几何体是三棱锥(B)以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥(C)棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥(D)圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线(3)下列命题中，正确的是( D )(A)有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱(B)侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥(C)侧面都是矩形的四棱柱是长方体(D)底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱3.旋转体概念：一般地，我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体.圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体.圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体.圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分.球：以一个半圆直径所在的直线为旋转轴，旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体.大圆、小圆：球面被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆，被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆.基础练习:(1)以下命题:①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆;④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.其中正确的命题的个数为(B)(A)0(B)1(C)2(D)34.简单组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单集合题拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体.(二)空间几何体的三视图和直观图1.平行投影与中心投影平行投影的投影线是平行的，而中心投影的投影线交于一点.2.空间几何体的三视图(1)三视图的名称几何体的三视图有：正视图、侧视图、俯视图.(2)三视图的画法(Ⅰ)在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线.(Ⅱ)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察结合体画出的轮廓线.一般地，一个几何体侧视图和正视图高度一样，俯视图与正视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样.侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边.基础练习:(1)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( D)(2)如图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:①存在三棱柱，其正视图、俯视图如图:②存在四棱柱，其正视图、俯视图如图;③存在圆柱，其正视图、俯视图如图.其中真命题的个数是( A)(A)3 (B)2 (C)1 (D)0(3)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为(D )(4)已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图的是(D )正视图俯视图(A)(B)(C)(D)正视图正视图侧视图正视图侧视图正视图侧视图正视图侧视图(C)(D)(B)(A)(A ) (B ) (C ) (D )3.空间几何体的直观图利用斜二测画法画直观图的步骤:(1)在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴相较于点O .画直观图时，把它们画成对应的x '轴与y '轴，两轴交于点O '，且使45x O y'''∠=?(或135?)，它们确定的平面表示水平面;(2)已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x '轴或y '轴的线段; (3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半. 基础练习:(1)关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是( D ) (A )直角三角形的直观图仍是直角三角形 (B )梯形的直观图是平行四边形(C )正方形的直观图是菱形(D )平行四边形的直观图仍是平行四边形(2)一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45?、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( D )(A)12+(B)1+(C)1 (D)2(3)等腰梯形ABCD ，上底1CD =，腰AD CB =3AB =，以下底所在直线为x 轴，则由斜二侧画法画出的直观图A B C D ''''的面积为. (三)空间几何体的表面积与体积 1.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和.(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面积展开图分别是矩形、扇形、扇环形.它们的表面积等于侧面积与底面面积之和. 基础练习(1)侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a 时，该三棱锥的全面积是( A )(A2(B )234a(C2(D2(2)已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S ，则圆锥的底面面积是( B )(A )S (B )2S (C )4S (D2.柱、锥、台和球的侧面积和体积基础练习(1)长方体三个面的面积分别为2,6和9，则长方体的体积是( A )(A )(B )(C )11(D )12(2)如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( B )(A ) (B ) (C )(D )三.例题分析考点一：空间几何体的结构特征温馨推荐您可前往百度文库小程序享受更优阅读体验不去了立即体验例1 如图，在透明塑料制成的长方体1111ABCD A B C D -容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，在将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH 的面积不改变；③棱11A D 始终与水面EFGH 平行；④当1E AA ∈时，AE BF +是定值．其中正确说法是（ D ）（A ）①②③（B ）①③（C ）①②③④（D ）①③④考点二：空间几何体的三视图与直观图例2 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是上底面1111A B C D 内一动点，则三棱锥P ABC -的正视图与侧视图的面积的比值为．1例3 一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(101),,，(110),,，(011),,，(000),，画该四面体三视图中的正视图时，以平面zOx 为投影面，则得到正视图可以为 A（A ）（B ）（C ）（D ）例4 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图象是（ A ）例5 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ D ）1'（A ） ABDC D 1C 1B 1A1P考点四：求空间几何体的表面积和体积例6 一个空间几何体的三视图，如图所示，则这个空间几何体的表面积是．4(1)π+例7 一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示，则这个空间几何体的表面积是（ D ）（A ）112π（B ）1162π+ （C ）11π（D）112π+例8 如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积（其中30BAC ∠=）．2R例9 四边形ABCD 中，(00)A ，，(10)B ，，(21)C ，，(03)D ，，绕y 轴旋转一周，则所得旋转体的体积为．83π例10 如图，已知某几何体的三视图如下（单位：㎝）．（Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；（Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积．【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）222S =+，310cm V =．考点三：几何体的展开与折叠例11 右图是一个正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形可能是（ B ）（A ）（B ）（C ）（D ）P A1A 1C 1DA 11Q PA1例6图俯视图侧视图例7图例12 将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD a =，则三棱锥D ABC -的体积为（ D ）（A ）36a（B ）312a（C3 （D3例13 如图，在直棱柱ABC A B C '''-中，底面是边长为3的等边三角形，4AA '=，M 为AA '的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC '到MCC '的交点为N ，求：（Ⅰ）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；（Ⅱ）PC 与NC 的长；（Ⅲ）三棱锥C MNP -的体积．答案：（Ⅱ）425PC NC ==，；考点四：与球体结合的问题例14 一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（ C ）（A ）8π（B ）6π（C ）4π（D ）π例15 已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC △是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ A ）（A（B（C（D例16 矩形ABCD 中，43AB BC ==，，沿AC 将矩形ABCD 折起，使面BAC ⊥面DAC ，则四面体A BCD -的外接球的体积为（ C ）（A ）12512π（B ）1259π（C ）1256π（D ）1253π例17 已知半径为2的球面上有A B C D 、、、四点，若AB CD =2=，则四面体ABCD 的体积的最大值为（ B ）（A （B（C）（D例18 如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是．22R πBCAC'B'A'PMN。