动态专题(董淑芬)
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BH B H 图12 A BCD H M PQ图14 图13例1 (2008年大连）如图12，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＝90°，CD ＝3，AD ＝4，tan B ＝2，过点C 作CH ⊥AB ，垂足为H ．点P 为线段AD 上一动点，直线PM ∥AB ，交BC 、CH 于点M 、Q ．以PM 为斜边向右作等腰Rt △PMN ，直线MN 交直线AB 于点E ，直线PN 交直线AB 于点F ．设PD 的长为x ，EF 的长为y ． ⑴求PM 的长（用x 表示）；⑵求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围（图13为备用图）； ⑶当点E 在线段AH 上时，求x 的取值范围（图14为备用图）．练习2008年试测一26题△ABC 的高AD 为3，BC 为4，直线EF ∥BC ，交线段AB 于E ，交线段AC 于F ，交AD 于G ，以EF 为斜边作等腰直角三角形PEF （点P 与点A 在直线EF 的异侧），设EF 为x,，△PEF 与四边形BCFE 重合部分的面积为y.(1)求线段AG （用x 表示） （2）求y 与x 的函数关系式，并求x 的取值范围例2（2009年大连）．如图14，矩形ABCD 中，AB = 6cm ，AD = 3cm ，点E 在边DC 上，且DE = 4cm ．动点P 从点A 开始沿着A →B →C →E 的路线以2cm/s 的速度移动，动点Q 从点A 开始沿着AE 以1cm/s 的速度移动，当点Q 移动到点E 时，点P 停止移动．若点P 、Q 从点A 同时出发，设点Q 移动时间为t （s ），P 、Q 两点运动路线与线段PQ 围成的图形面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式．练习（2011山东烟台，26,14分）如图，在直角坐标系中，梯形ABCD 的底边AB 在x 轴上，底边CD 的端点D 在y 轴上.直线CB 的表达式为y =－43x +163，点A 、D 的坐标分别为（－4，0），（0，4）.动点P 自A 点出发，在AB 上匀速运行.动点Q 自点B 出发，在折线BCD 上匀速运行，速度均为每秒1个单位.当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动.设点P 运动t （秒）时，△OPQ 的面积为s （不能构成△OPQ 的动点除外）. （1）求出点B 、C 的坐标； （2）求s 随t 变化的函数关系式；（3）当t 为何值时s 有最大值？并求出最大值.（备用图2）（备用图1）P 图14例3（2010年大连）如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，动点P 从点A 出发沿AB 向点B 移动，（点P 与点A 、B 不重合），作PD ∥BC 交AC 于点D ，在DC 上取点E ，以DE 、DP 为邻边作平行四边形PFED ，使点F 到PD 的距离16FH PD =，连接BF ，设AP x =（1）△ABC 的面积等于（2）设△PBF 的面积为y ，求y 与x 的函数关系，并求y 的最大值； （3）当BP=BF 时，求x 的值．练习（2011年大连）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别为(0，2)、(－1，0)、(4，0)．P 是线段OC 上的一动点（点P 与点O 、C 不重合），过点P 的直线x ＝t 与AC 相交于点Q ．设四边形ABPQ 关于直线x ＝t 的对称的图形与△QPC 重叠部分的面积为S ．（1）点B 关于直线x ＝t 的对称点B ′的坐标为________；（2）求S 与t 的函数关系式．AC图12例4.正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），△ABO等边三角形。
点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2)求正方形顶点B 、C的坐标；(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；练习自适应六26题例5如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴交于点A ， 与y 轴交于点B ， 且OA= 3，AB = 5．点P 从点O 出发沿OA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AO 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB －BO －OP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）． （1）求直线AB 的解析式；（2）在点P 从O 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 之间的函数关系式（不必写出t 的取值范围）；（3）在点E 从B 向O 运动的过程中，完成下面问题： ①四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，请求出t 的值； 若不能，请说明理由；②当DE 经过点O 时，请你直接写出t 的值．答案】解：解：（1）在Rt △AOB 中，OA = 3，AB = 5，由勾股定理得4OB .∴A （3，0），B （0，4）． 设直线AB 的解析式为y kx b +=.∴30,4.k b b +=⎧⎨=⎩ 解得 4,34.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线AB 的解析式为443y x +=-．…………2分 （2）如图，过点Q 作QF ⊥AO 于点F. ∵ AQ = OP= t ，∴3AP t =-．（第26题）由△AQF ∽△ABO ，得QF AQBO AB=． ∴45QF t =．∴45QF t =． …………2分 ∴14(3)25S t t =-⋅，∴22655S t t =-+．………………………4分（3）四边形QBED 能成为直角梯形． ①如图，当DE ∥QB 时， ∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠AQP=90°． 由△APQ ∽△ABO ，得AQ APAO AB=. ∴335t t-=． 解得98t =． ……………………………6分 ②如图，当PQ ∥BO 时， ∵DE ⊥PQ ，∴DE ⊥BO ，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABO ，得 .AQ APAB AO= 即353t t -=． 解得158t =． ………………………10分（4）52t =或4514t =． ………………………14分1、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝16，DC ＝12，AD ＝21。
动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动。
设运动的时间为t （秒）．（1）设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式（2）当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？ （3）当线段PQ 与线段AB 相交于点O ，且2AO ＝OB 时，求t 的值．（4）是否存在时刻t ，使得PQ ⊥BD ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．2、如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=DC=5，AD=4，BC=10. 点E 在下底边BC 上，点F在腰AB 上.（1）若EF 平分等腰梯形ABCD 的周长，设BE 长为x ，试用含x 的代数式表示△BEF 的面积；（2）是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由； （3）是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由.3、如图，矩形ABCD 中，3AD =厘米，AB a =厘米（3a >）．动点M N ，同时从B 点出发，分别沿B A →，B C →运动，速度是1厘米／秒．过M 作直线垂直于AB ，分别交AN ，CD 于P Q ，．当点N 到达终点C 时，点M 也随之停止运动．设运动时间为t 秒． （1）若4a =厘米，1t =秒，则PM =______厘米；（2）若5a =厘米，求时间t ，使PNB PAD △∽△，并求出它们的相似比；（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，求a 的取值范围；（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN ，梯形PQDA ，梯形PQCN 的面积都相等？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由．ABQ P DN4、（2011四川重庆，26，12分）如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝23，点O 是AB 的中点，点P 在AB 的延长线上，且BP ＝3．一动点E 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA 匀速动动，到达A 点后，立即以原速度沿AO 返回；另一动点F 从P 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线P A 匀速动动，点E 、F 同时出发，当两点相遇时停止运动．在点E 、F 的运动过程中，以EF 为边作等边△EFG ，使△EFG 和矩形ABCD 在射线P A 的同侧，设动动的时间为t 秒(t ≥0)．(1)当等边△EFG 的边FG 恰好经过点C 时，求运动时间t 的值；(2)在整个运动过程中，设等边△EFG 和矩形ABCD 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式和相应的自变量t 的取值范围；(3)设EG 与矩形ABCD 的对角线AC 的交点为H ，是否存在这样的t ，使△AOH 是等腰三角形？若存在，求出对应的t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)当等边△EFG 的边FG 恰好经过点C 时(如图)，∠CFB ＝60°，BF ＝3－t ，在Rt △CBF 中，BC ＝23，∴tan ∠CFB ＝BC BF ，∴tan 60°=23BF ，∴BF ＝2，∴t ＝3－t ＝2，∴t ＝1．(2)当0≤t ＜1时，S= 2 3 t ＋43；当1≤t ＜3时，S=32 t 2+3 3 t ＋732；当3≤t ＜4时，S= －4 3 t ＋203；当4≤t ＜6时，S= 3 t2－12 3 t ＋363． (3)存在，理由如下：在Rt △ABC 中，tan ∠CAB ＝BC AB =33，∴∠CAB=30°．又∵∠HEO=60°，∴∠HAE=∠AHE=30°． ∴AE=HE=3－t 或t －3．（ⅰ）当AH=AO=3时（如图②），过点E 作EM ⊥AH 于M ，则AM=12AH=32．在Rt △AME 中，cos ∠MAE ＝AMAE ，即cos 30°=32AE ，∴AE=3，即3－t=3或t －3=3，t=3－3或3＋3．（ⅱ）当HA=HO 时（如图③），则∠HOA=∠HAO=30°， 又∵∠HEO=60°，∴∠EHO=90°．∴EO=2HE=2AE ．又∵AE ＋EO=3，∴AE ＋2AE=3． ∴AE=1．即3－t=1或t －3=1，t=2或4．（ⅲ）当OH=OA 时（如图④），则∠OHA=∠OAH=30°， ∴∠HOB=60°=∠HEB ．∴点E 和O 重合，∴AE=3． 即3－t=3或t －3=3，t=6（舍去）或t=0．综上所述，存在5个这样的值，使△AOH 是等腰三角形，即： t=3－3或t=3＋3或t=2或t=4或t=0．5、（2011江苏宿迁,27,12分）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，P 为AB 的中点，Q 为边CD 上一动点，设DQ ＝t （0≤t ≤2），线段PQ 的垂直平分线分别交边AD 、BC 于点M 、N ，过Q 作QE ⊥AB 于点E ，过M 作MF ⊥BC 于点F ． （1）当t ≠1时，求证：△PEQ ≌△NFM ；（2）顺次连接P 、M 、Q 、N ，设四边形PMQN 的面积为S ，求出S 与自变量t 之间的函数关系式，并求S 的最小值．【答案】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形 ∴∠A ＝∠B ＝∠D ＝90°，AD ＝AB ∵QE ⊥AB ，MF ⊥BC ∴∠AEQ ＝∠MFB ＝90°∴四边形ABFM 、AEQD 都是矩形 ∴MF ＝AB ，QE ＝AD ，MF ⊥QE 又∵PQ ⊥MN ∴∠EQP ＝∠FMN 又∵∠QEP ＝∠MFN ＝90° ∴△PEQ ≌△NFM ．（2）∵点P 是边AB 的中点，AB ＝2，DQ ＝AE ＝t ∴P A ＝1，PE ＝1－t ，QE ＝2由勾股定理，得PQ ＝22PE QE +＝4)1(2+-t ∵△PEQ ≌△NFM ∴MN ＝PQ ＝4)1(2+-tQPNMFE DC BA（第27题）图 10-3图 10-2D ABC P图 10-1F C B A D 又∵PQ ⊥MN∴S ＝MN PQ ⋅21＝[]4)1(212+-t ＝21t 2－t ＋25 ∵0≤t ≤2∴当t ＝1时，S 最小值＝2．综上：S ＝21t 2－t ＋25，S 的最小值为2．6如图10－1、10－2，等腰△PEF 的底边EF 与正方形ABCD 的边AB 在同一直线上，且EF = 16㎝，PE = PF = AB = 10㎝。
