人教版必修一 牛顿定律应用专题 11 相似三角形分析动态平衡问题 (习题+解析)

动态三角形的构造及变化规律的把握1. 动态平衡：是指平衡问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，所以叫动态平衡，这是力平衡问题中的一类难题。

2. 基本思路：化“动”为“静”，“静”中求“动”。

3. 基本方法：动态三角形法①根据已知量的变化情况，画出平行四边形边、角的变化。

②确定未知量大小、方向的变化。

③在三角形中判断未知量的变化规律。

这种方法简洁、明了、直观，有助于提高解题效率，简化解题步骤，锻炼思维能力。

例题1 如图所示，一光滑小球静止放置在光滑半球面的底端，用竖直放置的光滑挡板水平向右缓慢地推动小球，则在小球运动的过程中（该过程小球未脱离球面），木板对小球的推力F1、半球面对小球的支持力F2的变化情况正确的是（）A. F1增大，F2减小B. F1增大，F2增大C. F1减小，F2减小D. F1减小，F2增大思路分析：作出球在某位置时的受力分析图，如图所示，在小球运动的过程中，F1的方向不变，F2与竖直方向的夹角逐渐变大，画力的动态平行四边形，由图可知F1、F2均增大，选项B正确。

答案：B例题2 （天津高考）如图所示，小球用细绳系住，绳的另一端固定于O点，现用水平力F缓慢推动斜面体，小球在斜面上无摩擦地滑动，细绳始终处于直线状态，当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平，此过程中斜面对小球的支持力F N以及绳对小球的拉力F T 的变化情况是（）A. F N保持不变，F T不断增大B. F N不断增大，F T不断减小C. F N保持不变，F T先增大后减小D. F N不断增大，F T先减小后增大思路分析：推动斜面体时，小球始终处于平衡状态，根据共点力的平衡条件解决问题选小球为研究对象，其受力情况如图所示，用平行四边形定则作出相应的“力三角形OAB”，其中OA的大小、方向均不变，AB的方向不变，推动斜面时，F T逐渐趋于水平，B点向下转动，根据动态平衡，F T先减小后增大，F N不断增大，选项D正确。

静力学解题方法2——相似三角形法（非常好的方法，仔细分析例题，静力学受力分析三大方法之一）（1）相似三角形：正确作出力的三角形后，如能判定力的三角形与图形中已知长度的三角形（几何三角形）相似，则可用相似三角形对应边成比例求出三角形中力的比例关系，从而达到求未知量的目的。

（2）往往涉及三个力，其中一个力为恒力，另两个力的大小和方向均发生变化，则此时用相似三角形分析。

相似三角形法是解平衡问题时常遇到的一种方法，解题的关键是正确的受力分析，寻找力三角形和结构三角形相似。

例1、半径为R 的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面B 的距离为h ，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A 点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图1-1所示，现缓慢地拉绳，在使小球由A 到B 的过程中，半球对小球的支持力N 和绳对小球的拉力T 的大小变化的情况是（ ）A 、N 变大，T 变小B 、N 变小，T 变大C 、N 变小，T 先变小后变大D 、N 不变，T 变小解析：如图1-2所示，对小球：受力平衡，由于缓慢地拉绳，所以小球运动缓慢视为始终处于平衡状态，其中重力mg 不变，支持力N ，绳子的拉力T 一直在改变，但是总形成封闭的动态三角形（图1-2中小阴影三角形）。

由于在这个三角形中有四个变量：支持力N 的大小和方向、绳子的拉力T 的大小和方向，所以还要利用其它条件。

实物（小球、绳、球面的球心）形成的三角形也是一个动态的封闭三角形（图1-2中大阴影三角形），并且始终与三力形成的封闭三角形相似，则有如下比例式：RNR h mg L T =+= 可得：mg Rh LT +=运动过程中L 变小，T 变小。

mg Rh RN +=运动中各量均为定值，支持力N 不变。

正确答案D 。

例2、如图2-1所示，竖直绝缘墙壁上的Q 处由一固定的质点A ，在Q 的正上方的P 点用细线悬挂一质点B ，A 、B 两点因为带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成θ角，由于漏电使A 、B 两质点的电量逐渐减小，在电荷漏空之前悬线对悬点P 的拉力T 大小（ ）A 、T 变小B 、T 变大C 、T 不变D 、T 无法确定解析：有漏电现象，AB F 减小，则漏电瞬间质点B 的静止状态被打破，必定向下运动。

高一力学动态平衡—相似三角形、动态三角形在高一力学的学习中，动态平衡问题是一个重要且具有一定难度的知识点。

其中，相似三角形和动态三角形的方法在解决这类问题时常常能发挥关键作用。

我们先来理解一下什么是动态平衡。

简单来说，动态平衡就是指物体在运动过程中，其合力始终为零，保持平衡状态，但某些力的大小、方向在不断变化。

想象一个用绳子悬挂的物体，绳子的长度不变，但悬挂点在移动，这就是一种动态平衡的情况。

相似三角形法在处理动态平衡问题时，基于的原理是在力的矢量三角形与几何三角形相似的情况下，对应边成比例。

这意味着我们可以通过几何关系来确定力的变化情况。

比如说，有一个物体放在斜面上，用一个力 F 沿着斜面向上推，同时受到斜面的支持力 N 和重力 G 的作用。

我们可以分别画出力的矢量三角形和由物体、斜面构成的几何三角形。

如果这两个三角形相似，那么力之间的比例关系就与三角形边的比例关系相同。

举个具体的例子吧。

一个光滑的圆球放在一个斜面上，被一根细绳斜拉着处于静止状态。

我们画出圆球受到的重力 G、绳子的拉力 T 和斜面的支持力 N 所构成的矢量三角形。

同时，观察圆球、绳子与斜面接触点以及斜面顶点构成的几何三角形。

如果这两个三角形相似，那么我们就可以根据边的比例关系来判断力的大小变化。

再来看动态三角形法。

这种方法主要用于一个力的大小和方向不变，另一个力的方向不变，第三个力大小和方向都在变化的情况。

比如，还是一个物体放在斜面上，重力大小和方向不变，斜面的支持力方向不变，而施加在物体上的一个外力的大小和方向都在改变。

我们可以通过平移力的矢量，构建一个动态的三角形来分析力的变化。

具体来讲，我们先画出重力，然后根据支持力的方向画出支持力，再把外力的起始点与重力的末端连接起来，这样就构成了一个三角形。

随着外力的变化，这个三角形的形状也在改变，但我们可以通过其中一些不变的条件来分析力的变化规律。

比如说，当外力与支持力垂直时，外力取得最小值。

相似三角形法分析动态平衡问题（1）相似三角形：正确作出力的三角形后，如能判定力的三角形与图形中已知长度的三角形（几何三角形）相似，则可用相似三角形对应边成比例求出三角形中力的比例关系，从而达到求未知量的目的。

（2）往往涉及三个力，其中一个力为恒力，另两个力的大小和方向均发生变化，则此时用相似三角形分析。

相似三角形法是解平衡问题时常遇到的一种方法，解题的关键是正确的受力分析，寻找力三角形和结构三角形相似。

例1、半径为R 的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面B 的距离为h ，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A 点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图1-1所示，现缓慢地拉绳，在使小球由A 到B 的过程中，半球对小球的支持力N 和绳对小球的拉力T 的大小变化的情况是（ ）A 、N 变大，T 变小B 、N 变小，T 变大C 、N 变小，T 先变小后变大D 、N 不变，T 变小解析：如图1-2所示，对小球：受力平衡，由于缓慢地拉绳，所以小球运动缓慢视为始终处于平衡状态，其中重力mg 不变，支持力N ，绳子的拉力T 一直在改变，但是总形成封闭的动态三角形（图1-2中小阴影三角形）。

由于在这个三角形中有四个变量：支持力N 的大小和方向、绳子的拉力T 的大小和方向，所以还要利用其它条件。

实物（小球、绳、球面的球心）形成的三角形也是一个动态的封闭三角形（图1-2中大阴影三角形），并且始终与三力形成的封闭三角形相似，则有如下比例式：RNR h mg L T =+= 可得：mg Rh LT +=运动过程中L 变小，T 变小。

mg Rh RN +=运动中各量均为定值，支持力N 不变。

正确答案D 。

例2、如图2-1所示，竖直绝缘墙壁上的Q 处由一固定的质点A ，在Q 的正上方的P 点用细线悬挂一质点B ，A 、B 两点因为带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成θ角，由于漏电使A 、B 两质点的电量逐渐减小，在电荷漏空之前悬线对悬点P 的拉力T 大小（ ） A 、T 变小B 、T 变大C 、T 不变D 、T 无法确定解析：有漏电现象，AB F 减小，则漏电瞬间质点B 的静止状态被打破，必定向下运动。

相似三角形法分析动态平衡问题1、半径为R 的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面B 的距离为h ，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A 点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图1-1所示，现缓慢地拉绳，在使小球由A 到B 的过程中，半球对小球的支持力N 和绳对小球的拉力T 的大小变化的情况是（ ）A 、N 变大，T 变小B 、N 变小，T 变大C 、N 变小，T 先变小后变大D 、N 不变，T 变小2、真空中两个相同的小球带有同种电荷，分别用绝缘细线悬挂于天花板上一点，平衡时0B 球偏离竖直方向，A 球竖直悬挂且与绝缘墙壁接触。

现B球缓慢漏电，则（BC ）Ａ.细线对Ｂ球的拉力将减小 Ｂ.细线对Ｂ球的拉力不变 Ｃ.两球间的库仑力减小 Ｄ.两球间的库仑力不变3、如图所示，两球A 、B 用劲度系数为k 1的轻弹簧相连，球B 用长为L 的细绳悬于O 点，球A 固定在O 点正下方，且点O 、A 之间的距离恰为L ，系统平衡时绳子所受的拉力为F 1.现把A 、B 间的弹簧换成劲度系数为k 2的轻弹簧，仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为F 2，则F 1与F 2的大小之间的关系为( B )A ．F 1>F 2B ．F 1＝F 2C ．F 1<F 2D ．无法确定4、如图甲所示，AC 是上端带定滑轮的固定竖直杆，质量不计的轻杆BC 一端通过铰链固定在C 点，另一端B 悬挂一重为G 的重物，且B 端系有一根轻绳并绕过定滑轮A.现用力F 拉绳，开始时∠BCA ＞90°，使∠BCA 缓慢减小，直到杆BC 接近竖直杆AC.此过程中，杆BC 所受的力( A )A ．大小不变B ．逐渐增大C ．逐渐减小D ．先增大后减小O A B。

动态平衡问题专题——相似三角形法选定研究对象后，倘若物体受三个力作用而平衡，先正确分析物体的受力，画出受力分析图，再寻找与力的三角形相似的几何三角形，利用相似三角形的性质，建立比例关系，把力的大小变化转化为三角形边长的大小变化问题进行讨论。

例题1 如图所示，杆BC的B端铰接在竖直墙上，另一端C 为一滑轮，重力为G的重物上系一绳经过滑轮固定于墙上A点处，杆恰好平衡，若将绳的A端沿墙向下移，再使之平衡（BC杆、滑轮、绳的质量及摩擦均不计），则（）A. 绳的拉力增大，BC杆受压力增大B. 绳的拉力不变，BC杆受压力增大C. 绳的拉力不变，BC杆受压力减小D. 绳的拉力不变，BC杆受压力不变思路分析：（1）本题比较的是轻绳的A端移动前后的两个平衡状态，两个状态下，滑轮上所受三力均平衡；（2）B端是铰链，BC杆可以自由转动，所以BC杆受力必定沿杆；（3）绳绕过滑轮，两段绳力相等，要保证合力沿杆（否则杆必转动），则杆必处于两绳所构成角的平分线上。

方法一：选取滑轮为研究对象，对其受力分析，如图所示。

绳中的弹力大小相等，即T1＝T2＝G，T1、T2、F三力平衡，将三个力的示意图平移可以组成封闭三角形，如图中虚线所示，设AC段绳子与竖直墙壁间的夹角为θ，则根据几何知识可得，杆对绳子的支持力F＝2G sinθ2，当绳的A端沿墙向下移时，θ增大，F也增大，根据牛顿第三定律，BC杆受压力增大。

方法二：图中，矢量三角形与几何三角形ABC相似，因此FmgBCAB，解得F＝ABBC·mg，当绳的A端沿墙向下移，再次平衡时，AB长度变短，而BC长度不变，F变大，根据牛顿第三定律，BC杆受压力增大。

第1页方法三：将绳的A端沿墙向下移，T2大小和方向不变，T1大小不变，但与T2所夹锐角逐渐增大，再使之平衡时，画出两段绳子拉力与轻杆的弹力所构成的封闭三角形如图所示，显然F′大于F，即轻杆的弹力变大，根据牛顿第三定律，BC杆受压力增大。

1. 如下图，用一根细线系住重力为G 、半径为R 的球，其与倾角为α的光滑斜面劈接触，处于静止状态，球与斜面的接触面非常小，细线悬点O 固定不动，在斜面劈从图示位置缓慢程度向左挪动直至绳子与斜面平行的过程中，以下说法正确的选项是 〔 〕A. 细绳对球的拉力先减小后增大B. 细绳对球的拉力先增大后减小C. 细绳对球的拉力一直减小D. 细绳对球的拉力最小值等于G sin α2. 如下图，倾角为θ＝30°的斜面体放在程度地面上，一个重为G 的球在程度力F 的作用下，静止于光滑斜面上，此时程度力的大小为F ；假设将力F 从程度方向逆时针转过某一角度α后〔2πα<〕，仍保持F 的大小不变，且小球和斜面仍然保持静止，此时程度地面对斜面体的摩擦力为F f ，那么F 和F f 的大小分别是 〔 〕A. F ＝63G ，F f ＝33GB. F ＝23G ，F f ＝43G C. F ＝43G ，F f ＝23G D. F ＝33G ，F f ＝63G 3. 在固定于地面的斜面上垂直安放了一个挡板，截面为41圆的柱状物体甲放在斜面上，半径与甲相等的光滑圆球乙被夹在甲与挡板之间，乙没有与斜面接触而处于静止状态，如下图。

如今从球心处对甲施加一平行于斜面向下的力F ，使甲沿斜面方向缓慢地挪动，直至甲与挡板接触为止，设乙对挡板的压力为F 1，甲对斜面的压力为F 2，在此过程中 〔 〕A. F 1缓慢增大，F 2缓慢增大B. F 1缓慢增大，F 2缓慢减小C. F 1缓慢减小，F 2缓慢增大D. F 1缓慢减小，F 2保持不变4. 〔全国高考〕如下图，一小球放置在木板与竖直墙面之间。

设墙面对球的压力大小为N 1，球对木板的压力大小为N 2。

以木板与墙连接点所形成的程度直线为轴，将木板从图示位置开场缓慢地转到程度位置。

不计摩擦，在此过程中〔 〕A. N 1始终减小，N 2始终增大B. N 1始终减小，N 2始终减小C. N 1先增大后减小，N 2始终减小D. N 1先增大后减小，N 2先减小后增大5. 如下图，质量为M 的直角三棱柱A 放在程度地面上，三棱柱的斜面是光滑的，且斜面倾角为θ，质量为m 的光滑球B 放在三棱柱和光滑竖直墙之间，A 、B 处于静止状态，现对B 加一个竖直向下的力F ，F 的作用线过球心。

相似三角形法分析动态平衡问题的方法和技巧（1）相似三角形：正确作出力的三角形后，如能判定力的三角形与图形中已知长度的三角形（几何三角形）相似，则可用相似三角形对应边成比例求出三角形中力的比例关系，从而达到求未知量的目的。

（2）往往涉及三个力，其中一个力为恒力，另两个力的大小和方向均发生变化，则此时用相似三角形分析。

相似三角形法是解平衡问题时常遇到的一种方法，解题的关键是正确的受力分析，寻找力三角形和结构三角形相似。

例1、半径为R 的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面B 的距离为h ，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A 点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图1-1所示，现缓慢地拉绳，在使小球由A 到B 的过程中，半球对小球的支持力N 和绳对小球的拉力T 的大小变化的情况是（ ）A 、N 变大，T 变小B 、N 变小，T 变大C 、N 变小，T 先变小后变大D 、N 不变，T 变小例2、如图2-1所示，竖直绝缘墙壁上的Q 处由一固定的质点A ，在Q 的正上方的P 点用细线悬挂一质点B ，A 、B 两点因为带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成θ角，由于漏电使A 、B 两质点的电量逐渐减小，在电荷漏空之前悬线对悬点P 的拉力T 大小（ ） A 、T 变小B 、T 变大C 、T 不变D 、T 无法确定例3 如图1所示，一个重力G 的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为α，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态。

今使板与斜面的夹角β缓慢增大，问：在此过程中，挡板和斜面对球的压力大小如何变化？例4所示，小球被轻质细绳系着，斜吊着放在光滑斜面上，小球质量为m ，斜面倾角为θ，向右缓慢推动斜面，直到细线与斜面平行，在这个过程中，绳上张力、斜面对小球的支持力的变化情况？β α 图1-1 图1-2β αGF 1 F 2 θ图1-4F例5．一轻杆BO ，其O 端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO 上，B 端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A 处的光滑小滑轮，用力F 拉住，如图2-1所示。

静力学解题方法2——相似三角形法（非常好的方法，仔细分析例题，静力学受力分析三大方法之一）（1）相似三角形：正确作出力的三角形后，如能判定力的三角形与图形中已知长度的三角形（几何三角形）相似，则可用相似三角形对应边成比例求出三角形中力的比例关系，从而达到求未知量的目的。

（2）往往涉及三个力，其中一个力为恒力，另两个力的大小和方向均发生变化，则此时用相似三角形分析。

相似三角形法是解平衡问题时常遇到的一种方法，解题的关键是正确的受力分析，寻找力三角形和结构三角形相似。

例1、半径为R 的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面B 的距离为h ，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A 点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图1-1所示，现缓慢地拉绳，在使小球由A 到B 的过程中，半球对小球的支持力N 和绳对小球的拉力T 的大小变化的情况是（ ）A 、N 变大，T 变小B 、N 变小，T 变大C 、N 变小，T 先变小后变大D 、N 不变，T 变小解析：如图1-2所示，对小球：受力平衡，由于缓慢地拉绳，所以小球运动缓慢视为始终处于平衡状态，其中重力mg 不变，支持力N ，绳子的拉力T 一直在改变，但是总形成封闭的动态三角形（图1-2中小阴影三角形）。

由于在这个三角形中有四个变量：支持力N 的大小和方向、绳子的拉力T 的大小和方向，所以还要利用其它条件。

实物（小球、绳、球面的球心）形成的三角形也是一个动态的封闭三角形（图1-2中大阴影三角形），并且始终与三力形成的封闭三角形相似，则有如下比例式：RNR h mg L T =+= 可得：mg Rh LT +=运动过程中L 变小，T 变小。

mg Rh RN +=运动中各量均为定值，支持力N 不变。

正确答案D 。

例2、如图2-1所示，竖直绝缘墙壁上的Q 处由一固定的质点A ，在Q 的正上方的P 点用细线悬挂一质点B ，A 、B 两点因为带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成θ角，由于漏电使A 、B 两质点的电量逐渐减小，在电荷漏空之前悬线对悬点P 的拉力T 大小（ ）A 、T 变小B 、T 变大C 、T 不变D 、T 无法确定解析：有漏电现象，AB F 减小，则漏电瞬间质点B 的静止状态被打破，必定向下运动。

相似三角形法分析动态平衡问题（1）相似三角形：正确作出力的三角形后，如能判定力的三角形与图形中已知长度的三角形（几何三角形）相似，则可用相似三角形对应边成比例求出三角形中力的比例关系，从而达到求未知量的目的。

（2）往往涉及三个力，其中一个力为恒力，另两个力的大小和方向均发生变化，则此时用相似三角形分析。

相似三角形法是解平衡问题时常遇到的一种方法，解题的关键是正确的受力分析，寻找力三角形和结构三角形相似。

1、半径为R 的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面B 的距离为h ，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A 点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图1-1所示，现缓慢地拉绳，在使小球由A 到B 的过程中，半球对小球的支持力N 和绳对小球的拉力T 的大小变化的情况是（ ）A 、N 变大，T 变小B 、N 变小，T 变大C 、N 变小，T 先变小后变大D 、N 不变，T 变小解析：如图1-2所示，对小球：受力平衡，由于缓慢地拉绳，所以小球运动缓慢视为始终处于平衡状态，其中重力mg 不变，支持力N ，绳子的拉力T 一直在改变，但是总形成封闭的动态三角形（图1-2中小阴影三角形）。

由于在这个三角形中有四个变量：支持力N 的大小和方向、绳子的拉力T 的大小和方向，所以还要利用其它条件。

实物（小球、绳、球面的球心）形成的三角形也是一个动态的封闭三角形（图1-2中大阴影三角形），并且始终与三力形成的封闭三角形相似，则有如下比例式：RN R h mg L T =+= 可得：mg Rh LT +=运动过程中L 变小，T 变小。

mg Rh RN +=运动中各量均为定值，支持力N 不变。

正确答案D 。

2、如图2-1所示，竖直绝缘墙壁上的Q 处由一固定的质点A ，在Q 的正上方的P 点用细线悬挂一质点B ，A 、B 两点因为带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成θ角，由于漏电使A 、B 两质点的电量逐渐减小，在电荷漏空之前悬线对悬点P 的拉力T 大小（ ）A 、T 变小B 、T 变大C 、T 不变D 、T 无法确定解析：有漏电现象，AB F 减小，则漏电瞬间质点B 的静止状态被打破，必定向下运动。