飞机纵向运动的动稳定性

1.升降舵操纵的反应特性
②短周期运动反应：假设 Δv ≡ 0，即可得出迎角和俯 仰角速率对升降舵输入的时域反应和频域内的传递 函数。 时域响应：升降舵正偏，飞行迎角减小，俯仰角 速度减小。
0
Δq ( 0 / s)
−1
0
−2
t(s)
5
0
t(s)
5
2.对油门操纵的反应 （1）发动机油门控制的输入量 一是增（减）水平方向的力；二是产生一个 力矩。 （2）发动机推力通过重心（增大油门） 初始反应是加速运动。 飞行速度增大，飞机升力增大，升力大于 重力，飞机上升，出现上升角，飞行速度又 回到原始值（飞机具有速度稳定性）。
9.2.1 时域响应指标 9.2.3 纵向动操纵性
小结
有关时域响应指标 延迟时间 t d ：响应曲线第一次达到稳态值的一半 所需的时间。 上升时间 t r ：响应曲线从稳态值的10%上升至 90%（或从5%上升至95%，或从0上升至100%） 所需的时间。 峰值时间 t p ：响应曲线达到超调量的第一个峰 值所需的时间。
⎢Δ V ⎥ = ⎡ X V ⎢ i ⎥ ⎢ ZV Δθ ⎦ ⎣ ⎣ − g ⎤ ⎡ ΔV ⎤ ⎥ ⎢ Δθ ⎥ 0⎦ ⎣ ⎦
λ2 − XV λ + ZV g = 0 特征方程中仅出现与速度相关的气动导数。
ωn , p ξp =
g = 2 V* ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ 1 ⎪ 2(C L / C D )* ⎪ ⎭
2 2
四次代数方程可分解为两个一元二次代数方程之积: 若原四阶微分系统稳定，则对应的每个二阶系统均 稳定。 典型二阶系统的稳定特性: 二阶系统的标准特征方程： λ 2 + 2ξωnλ + ωn2 = 0, ωn2 > 0
ξ , ω n 分别称为系统的阻尼比和无阻尼自振频率。
系统的特征根为：
λ1,2 = −ξωn ± iωn 1− ξ = η ± iω
（3）纵向长周期运动模态 如此反复进行，就形成了 飞行速度和航迹 角的振荡运动 。如同在起伏波浪中航行的船 只的“沉浮”运动，故也称为“沉浮”运动。 由于飞机的质量较大，起恢复和阻尼作用 的气动力相对较小，这一过程进行得非常缓 慢。
内 容 9.1 飞机纵向运动的动稳定性
9.1.2 模态特性的分析方法 9.1.4 纵向短周期模态的简化分析 9.1.5 纵向长周期模态的简化分析
X Ae 单调情况： = X0 A
λ t1 / 2
3. 模态运动参数
ln2 1 = ，则 t1/2 = − 2 λ
X 2 | A | eη t1 / 2 1 = = （振幅），则 t =− ln2 振荡情况： 1/2 X0 2| A| 2 η
（2）振荡频率ω 或周期 T 对于振荡模态，频率表示每秒钟内振荡的 次数；周期表示振荡一周所需的时间。由其 解的表达式: 2 λ1,2 = − ξω n ± iω n 1 − ξ = η ± iω 可求得: 2π 2π T= = 2 ω = ωn 1 − ξ ω ωn 1−ξ 2
i
（3）纵向长周期运动模态
表征飞机 力作用的过程 ，表示 飞机的速度 动稳定性，发散或收敛较慢的运动； 主要运动变量为 速度和航迹倾角 ，飞行迎 角变化很小，飞机的重心上下起伏； 运动周期很长，一般为数十秒到几百秒； 运动缓慢， 振动频率低 ，驾驶员易于控制 ，一般也允许其运动为不稳定运动。
（3）纵向长周期运动模态 飞机的力矩平衡后，作用于飞机的 外力仍 不平衡，由于 Δ γ ≠ 0 ，飞机的航迹仍是弯曲 的，未恢复到原水平直线飞行状态。 当速度增大时，升力大于重力使航迹向上 弯曲，俯仰角和高度增加，动能转化为势能 。飞行速度减小，升力也相应地减小。达到 轨迹最高点时，升力小于重力，飞机开始下 降，俯仰角和高度又减小，速度则增大。
M
p
1 0 .9
0 .5 0 .1
td t p
ts
有关时域响应指标 最大超调量 Mp ：响应曲线的最大值与稳态 值之差，用百分比表示定义为：
Mp =
y(t p ) − y(∞) y(∞)
调节时间 t s ：达到该时间后，响应曲线将 保持在稳态值附近的一个允许误差范围内 （通常取±5%或±2%） 。
i
M Z 对于一般飞机， q < 0 ， M α < 0 ， α > 0 ，故 第一条件自然满足。 Cm 将第二条件无因次化，注意到，α = (xc.g − xac )CLα 和 CLα CD* ，则得到临界条件：
i
( x c . g − x m )C Lα < 0
xm = xa.c − Cmq /(2μ1) 为飞机的握杆机动点。
⎡ ⎤ ⎡−Z 1 ⎤ ⎡Δα⎤ Δα⎥ α ⎢ = ⎥ i i ⎥⎢ i ⎥ ⎢ ⎢ ⎣Mα −MαZα Mq +Mα ⎦ ⎣Δq ⎦ ⎣Δq ⎦
i
特征方程为： λ −(Mq +Mα −Zα)λ−(Mα +MqZα) =0
2
i
根据二阶系统的稳定性准则，若短周期稳 定，上述特征方程的系数须大于0。
−(Mq + Mα − Zα ) > 0⎫ ⎪ ⎬ −(Mα + MqZα ) > 0 ⎪ ⎭
b1 b3 0 0 1 b2 b4 0 0 b1 b3 0 0 1 > 0 b2 b4
1) b1, b2, b3, b4 > 0
2) R = b1b2b3 − b12b4 − b32 > 0
当b4=0，一实根临界； 当=0，一对复根临界。
2. 二阶振动系统---模态特性的简化分析基础
(λ + D1λ + F )(λ + D2λ + F2 ) = 0 1
2.纵向运动模态的物理景象
（1）飞机的纵向运动可分为二个不同的物理模态 飞机的纵向线化运动方程组：
x = Ax + Bu
其中，状态矢量： x =[Δv Δα Δq Δθ]T ， 操纵矢量： u=[Δ e Δ p]T δ δ 对于稳定性问题，可以取 u = 0 ，也即只需研究 A阵的特征根即可。
i
2.纵向运动模态的物理景象
（2）纵向短周期运动模态
一般飞机均具有较大的 静稳定力矩（恢复 力矩） M α 会引起飞机较大的角加速度，使飞 机的 迎角和俯仰角 迅速变化。当迎角的增量 由正值变为负值时，又产生反方向的静稳定 力矩，使飞机反方向转动，即形成了 迎角和 俯仰角的短周期振荡运动。 另一方面,飞机的阻尼力矩 M q 和 M α 也较大 ，在振荡运动中会产生较大的阻尼作用，使 飞机的旋转运动很快地衰减下来，飞机的力 矩在前几秒钟内基本恢复原来的平衡状态。
内 容 9.1 飞机纵向运动的动稳定性
9.1.2 9.1.4 9.1.5 模态特性的分析方法 纵向短周期模态的简化分析 纵向长周期模态的简化分析
9.2 飞机的纵向动操纵性
9.2.1 时域响应指标 9.2.3 纵向动操纵性
小结
1.特征方程的简化分析 长周期运动主要表征为与飞行速度相关的运动,如 速度和航迹角等,可以假设 Δα ≈ 0 ，略去俯仰力矩方 程，得到一个二阶方程。从而计算得到有关模态的 特征参数。 ⎡ i⎤ 特征方程为：
2、动操纵性：指操纵输入后，飞机响应的全 过程。如超调量、达到新稳态所需的时间等。 对响应特性的评价指标可以在时域内、也可 在频域内提出要求。
内 容 9.1 飞机纵向运动的动稳定性
9.1.2 9.1.4 9.1.5 模态特性的分析方法 纵向短周期模态的简化分析 纵向长周期模态的简化分析
9.2 飞机的纵向动操纵性
常规构型飞机，它由二组共轭复根组成。 一对实部绝对值大的复根（ 实部一定为负 ），对应的运动称为“短周期模态” 另一对实部绝对值较小的复根（ 实部一般 为负），对应的运动称为“长周期模态”。
（2）纵向短周期运动模态
表征飞机 力矩作用的过程 ，表示飞机的 操 纵性和机动性； 主要运动变量为 迎角和飞机姿态角 ，飞行 速度变化很小； 运动周期很短，一般为零点几秒到几秒； 振动频率高 ，驾驶员难于干预，所以要求 飞机具有很好的短周期模态特性，飞行品质 规范有严格的要求。
2.纵向短周期运动的模态特性 短周期运动的模态频率和阻尼分别为:
ω n , sp = ξ sp
−(M α + M q Zα ) ⎫ ⎪ ⎪ i M q + M α − Zα ⎬ =− ⎪ 2ω n , sp ⎪ ⎭
2 sp
相应的短周期特征根为:
λsp =−ξspωn.sp ±iωn.sp 1−ξ
利用前面介绍的公式，可以求得短周期运 动的模态参数。
V* T =π 2 g
2. 能量守恒的简化分析
在假设推力恒等于气动阻力的情况下，可 以认为飞机的长周期运动是一种动能与势能 相互转化的能量守恒的运动。
1 2 1 2 mV* = mV + mgΔH =常数 2 2
V =V −2gΔH
2 2 *
1 2 1 1 2 2 L = CL ρV S = CL ρ (V* − 2gΔH )S = CL ρV* S − CL ρ gΔHS 2 2 2 = mg − ρ gΔHSCL*
内 容 9.1 飞机纵向运动的动稳定性
9.1.2 模态特性的分析方法 9.1.4 纵向短周期模态的简化分析 9.1.5 纵向长周期模态的简化分析
9.2 飞机的纵向动操纵性
9.2.1 时域响应指标 9.2.3 纵向动操纵性
小结
1.纵向短周期运动的稳定性判据 对于短周期模态，可近似认为 ΔV ≈ 0 ，略 去切向力（速度）方程，得到反映短周期模 态特性的近似方程：
在长周期运动中，飞机的升力与飞行高度 成线性关系，高度越高，则升力越小。
内 容 9.1 飞机纵向运动的动稳定性
9.1.2 9.1.4 9.1.5 模态特性的分析方法 纵向短周期模态的简化分析 纵向长周期模态的简化分析