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第三章飞机的稳定性和操纵性飞机的稳定性在飞行中，飞机会经常受到各种各样的扰动，如气流的波动、发动机工作不稳定、飞行员偶然触动驾驶杆等。
这些扰动会使飞机偏离原来的平衡状态，而在偏离以后，飞机能否自动恢复原状，这就是有关飞机的稳定或不稳定的问题。
飞机的稳定性是飞机本身的一种特性，与飞机的操纵性有密切的关系。
例如，飞行员操纵杆、舵，需要用力的大小，飞机对杆、舵操纵的反应等，都与飞机的稳定性有关。
因此，研究飞机的稳定性是研究飞机操纵性的基础。
所谓飞机的稳定性，就是在飞行中，当飞机受微小扰动而偏离原来的平衡状态，并在扰动消失以后，不经驾驶员操纵，飞机能自动恢复原来平衡状态的特性。
纵向稳定性飞机的纵向稳定性是指飞机绕横轴的稳定性。
当飞机处于平衡飞行状态时，如果有一个小的外力干扰，使它的攻角变大或变小，飞机抬头或低头，绕横轴上下摇摆(也称为俯仰运动)。
当外力消除后，驾驶员如果不操纵飞机，而靠飞机本身产生一个力矩，使它恢复到原来的平衡飞行状态，我们就说这架飞机是纵向稳定的。
如果飞机不能靠自身恢复到原来的状态，就称为纵向不稳定的。
如果它既不恢复，也不远离，总是上下摇摆，就称为纵向中立稳定的。
飞机的纵向稳定性也称为俯仰稳定性。
飞机的纵向稳定性由飞机重心在焦点之前来保证。
影响飞机纵向稳定性的主要因素有飞机的水平尾翼和飞机的重心位置。
下面，我们首先来看一下水平尾翼是如何影响飞机的纵向稳定性的。
当飞机以一定的攻角作稳定的飞行时，如果一阵风从下吹向机头，使飞机机翼的攻角增大，飞机抬头。
阵风消失后，由于惯性的作用，飞机仍要沿原来的方向向前冲一段路程。
这时由于水平尾翼的攻角也跟着增大，从而产生了一个低头力矩。
飞机在这个低头力矩作用下，使机头下沉。
经过短时间的上下摇摆，飞机就可恢复到原来的飞行状态。
同样，如果阵风从上吹向机头，使机头下沉，飞机攻角减小，水平尾翼的攻角也跟着减小。
这时水平尾翼上产生一个抬头力矩，使飞机抬头，经过短时间的上下摇摆，也可使飞机恢复到原来的飞行状态。
受到扰动后飞机将怎样运动？有什么规律？[]T x v q αθ=Δ Δ Δ Δ []T u e p δδ=Δ Δ 动稳定性动操纵性操纵舵面/油门后9.1 飞机纵向运动的动稳定性9.1.2 模态特性的分析方法9.1.3 典型的纵向模态9.1.4 纵向短周期模态的简化分析9.1.5 纵向长周期模态的简化分析9.2 飞机的纵向动操纵性9.2.1 时域响应指标9.2.3 纵向动操纵性小结本章作业：9.1; 9.2;9.3; 9.5内容1.动稳定性的定义飞机在受扰作用后，会偏离其平衡状态的基准状态，扰动作用停止后，飞机能否恢复到它基准状态的一种全过程特性。
9飞机的动稳定性只与其本体特性相关，而与外界扰动的大小和方式无关！飞机的纵向线化运动方程组：对于稳定性问题，可以取，也即只需研究A 阵的特征根即可。
x Ax Bu=+i 其中，状态矢量：，操纵矢量：[]T x v q αθ=Δ Δ Δ Δ []T u e p δδ=Δ Δ 0u = 对于一架正常布局的飞机，其纵向运动的四个根有什么特征？内容9.1 飞机纵向运动的动稳定性9.1.2 模态特性的分析方法9.1.3 典型的纵向模态9.1.4 纵向短周期模态的简化分析9.1.5 纵向长周期模态的简化分析9.2 飞机的纵向动操纵性9.2.1 时域响应指标9.2.3 纵向动操纵性小结1.稳定性判定准则飞机的纵向运动用以四个变量组成的运动方程来描述。
其特征方程为一元四次代数方程：当b 4=0，一实根临界；当R =0，一对复根临界。
,,,v q αθ稳定性Routh -Hurwitz 判据:当且仅当下列行列式及其各阶主子式为正时，飞机为动稳定性（特征根具有负实部）。
43212340b b b b λλλλ++++=四次代数方程可分解为两个一元二次代数方程之积:若原四阶微分系统稳定，则对应的每个二阶系统均稳定。
221122()()0D F D F λλλλ++++= 典型二阶系统的稳定特性:二阶系统的标准特征方程：分别称为系统的阻尼比和无阻尼自振频率。
系统的特征根为：22220,0n n n λξωλωω++= >,n ξω21,21n n i i λξωωξηω=−±−=±2. 二阶振动系统---模态特性的简化分析基础 特征根为实根----非周期指数运动；特征根为共轭复根----周期性振荡；特征根实部小于零----模态收敛（周期与非周期）；特征根实部大于零----模态发散（周期与非周期）；特征根实部等于零----临界稳定。
3. 模态运动参数（1）半衰期或倍幅时间 描述模态运动参数变化到初始时的一半（模态收敛）或初始值时的二倍（模态发散）所需的时间。
当模态运动为振荡型时，按其包络线来确定。
收敛模态：单调情况：，则振荡情况：（振幅），则1/2t 2t 1/2012t X Ae X A λ==1/2ln2t λ=−1/202||12||2t X A e X A η==1/2ln2t η=−ωT （1）半衰期或倍幅时间 发散模态：单调情况：；振荡情况：；1/2t 2t 2ln 2t λ=2ln 2t η=若特征根实部越大，即在复平面上离虚轴越远，则收敛（或发散）就越快。
（2）振荡频率或周期对于振荡模态，频率表示每秒钟内振荡的次数；周期表示振荡一周所需的时间。
由其解的表达式:可求得:ωT21n ωωξ=−2221n T ππωωξ==−若（特征根虚部绝对值）越大，根在复平面上离实轴越远，则振荡频率快，周期越短。
ω21,21n n i i λξωωξηω=−±−=±t 振幅衰减一半或倍增的振荡次数表明了振荡模态频率与阻尼之间的关系；其值越大，意味着振荡频率过高或振荡阻尼过小。
221/21/22ln211,0.112t N N T ξξπξξ−−==≈≈与频率正比阻尼21n ωωξ=−9若特征根实部的绝对值越大，即在复平面上离虚轴越远，则收敛越快，越小。
9若特征根虚部的绝对值越大，即在复平面上离实轴点越远，则振荡越快，周期越短。
1/2t特征矢量的定义： 利用有关计算机计算软件，由一个特征根可以求得分别对应其四个状态变量的四个特征矢量。
为什么要研究特征矢量？4. 模态运动的特征矢量（？？）9可以得知在每个模态中，到底哪个运动变量为主，如短周期运动以迎角变化为主；长周期运动以速度和航迹倾角变化为主。
9各变量间的相位差，如长周期的速度矢量比航迹角大约超前90度。
计算飞机大气紊流载荷就需研究法向加速度、角速度和角加速度之间的相位关系。
()0r r I A u λ−= 某一模态中，表征各运动变量运动的强弱和相位之间的关系？稳定飞机的短周期模态安岗图θΔαΔ 短周期运动以迎角和俯仰角变化为主，速度变量很小，在安岗图上反映不出来。
内容9.1 飞机纵向运动的动稳定性9.1.2 模态特性的分析方法9.1.3 典型的纵向模态9.1.4 纵向短周期模态的简化分析9.1.5 纵向长周期模态的简化分析9.2 飞机的纵向动操纵性9.2.1 时域响应指标9.2.3 纵向动操纵性小结2.纵向运动模态的物理景象（1）飞机的纵向运动模态（什么意思?）飞机的纵向线化运动方程组：对于稳定性问题，可以取，也即只需研究A 阵的特征根即可。
x Ax Bu=+i 其中，状态矢量：，操纵矢量：[]T x v q αθ=Δ Δ Δ Δ []T u e p δδ=Δ Δ 0u = 对于一架正常布局的飞机，其纵向运动的四个根有什么特征？2.纵向运动模态的物理景象常规构型飞机，它由二组共轭复根组成。
一对实部绝对值大的复根（实部一定为负），对应的运动称为“短周期模态”另一对实部绝对值较小的复根（实部一般为负），对应的运动称为“长周期模态”。
长、短周期模态是飞机的纵向运动固有的特性，而不是人们为了分析问题的方便而有意假设的！两种典型模态的实例分析模态1：周期短，频率高，阻尼大(衰减快)的振荡运动，V 基本不变。
1,20.7315 2.8944iλ=−±120.95T s = 2.2T s =120.44N =次模态2：周期长，频率低，衰减慢的振荡运动，α、q 基本不变。
3,40.00660.0390iλ=−±12113.6T s=161.1T s =120.71N =次31241234()t t t t x t X e X e X e X e λλλλ=+++表征飞机力矩作用的过程；主要运动变量为迎角和飞机姿态角，飞行速度变化很小；运动周期很短，一般为零点几秒到几秒； 振动频率高，驾驶员难于干预，所以要求飞机具有很好的短周期模态特性，飞行品质规范有严格的要求。
一般飞机均具有较大的静稳定力矩（恢复力矩）会引起飞机较大的角加速度，使飞机的迎角和俯仰角迅速变化。
当迎角的增量由正值变为负值时，又产生反方向的静稳定力矩，使飞机反方向转动，即形成了迎角和俯仰角的短周期振荡运动。
另一方面,飞机的阻尼力矩和也较大，在振荡运动中会产生较大的阻尼作用，使飞机的旋转运动很快地衰减下来，飞机的力矩在前几秒钟内基本恢复原来的平衡状态。
M αq M M αi表征飞机力作用的过程，表示飞机的速度动稳定性，发散或收敛较慢的运动；主要运动变量为速度和航迹倾角，飞行迎角变化很小，飞机的重心上下起伏；运动周期很长，一般为数十秒到几百秒； 运动缓慢，振动频率低，驾驶员易于控制，一般也允许其运动为不稳定运动。
飞机的力矩平衡后，作用于飞机的外力仍不平衡，由于，飞机的航迹仍是弯曲的，未恢复到原水平直线飞行状态。
当速度增大时，升力大于重力使航迹向上弯曲，俯仰角和高度增加，动能转化为势能。
飞行速度减小，升力也相应地减小。
达到轨迹最高点时，升力小于重力，飞机开始下降，俯仰角和高度又减小，速度则增大。
0γΔ≠如此反复进行，就形成了飞行速度和航迹角的振荡运动。
如同在起伏波浪中航行的船只的“沉浮”运动，故也称为“沉浮”运动。
由于飞机的质量较大，起恢复和阻尼作用的气动力相对较小，这一过程进行得非常缓慢。
内容9.1 飞机纵向运动的动稳定性9.1.2 模态特性的分析方法9.1.3 典型的纵向模态9.1.4 纵向短周期模态的简化分析9.1.5 纵向长周期模态的简化分析9.2 飞机的纵向动操纵性9.2.1 时域响应指标9.2.3 纵向动操纵性小结对于短周期模态，可近似认为，略去切向力（速度）方程，得到反映短周期模态特性的近似方程：特征方程为： 根据二阶系统的稳定性准则，若短周期稳定，上述特征方程的系数须大于0。
0V Δ≈1q Z q M M Z M M q ααααααα⎡⎤− ⎡⎤ΔΔ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥Δ− +⎣⎦⎣⎦Δ⎣⎦i i i i 2()()0q q M M Z M M Z ααααλλ−+−−+=i对于一般飞机，，，，故第一条件自然满足。
将第二条件无因次化，注意到，和，则得到临界条件：为飞机的握杆机动点。
()0()0q q M M Z M M Z αααα⎫−+−>⎪⎬−+>⎪⎭i0q M <0M α<i0Z α>.()c g ac m L C x x C αα=−*L D C C α .()0c g m L x x C α−<.1/(2)m a c mq x x C μ=−握杆机动裕度>0握杆机动点表示产生单位法向过载增量所需的舵偏角的大小。
此值反映了飞机在纵向平面内的机动能力；g每的升降舵偏度的值与飞机重心位置到握杆机动点的距离成正比；重心越前，握杆机动点越后，其数值越大。
从静操纵性的角度讲，握杆机动点对应于升降舵固定在原平衡状态下，飞机受到对应的和干扰作用时，飞机升力增量的作用点。
由于，握杆机动点位于全机焦点之后；握杆机动点的位置可作为飞机短周期运动稳定性的判据。
即若质心在握杆机动点之前，则短周期运动稳定；飞机的静操纵性和动稳定性是一致的。
n n ΔαΔq 0mq C <握杆机动点—动稳定性；焦点—静稳定性短周期运动的模态频率和阻尼分别为:相应的短周期特征根为: 利用前面介绍的公式，可以求得短周期运动的模态参数。
,,()2q n sp q sp n sp M M Z M M Z ααααωξω⎫=−+⎪⎪⎬+−=−⎪⎪⎭i 2..1sp sp n sp n sp sp i λξωωξ=−±−内容9.1 飞机纵向运动的动稳定性9.1.2 模态特性的分析方法9.1.3 典型的纵向模态9.1.4 纵向短周期模态的简化分析9.1.5 纵向长周期模态的简化分析9.2 飞机的纵向动操纵性9.2.1 时域响应指标9.2.3 纵向动操纵性小结长周期运动主要表征为与飞行速度相关的运动,如速度和航迹角等,可以假设，略去俯仰力矩方程，得到一个二阶方程。
