大学物理薛定谔方程(老师课件)

e
i En t
n n
2 nπ n sin x a a
i Ent ( x )e
i Ent e
0 x a , x 0
5. 概率密度
* *
( n 1,2,3,) 0 x a 是以x = 0 和x = a为 节点的一系列驻波解。
U0
Ψ1
Ψ2 Ψ3
隧道效应
E
Ⅰ区
0Ⅱ区a
Ⅲ区
x
★ 如何理解？
经典物理：从能量守恒的角度看是不可能的
p2 量子物理：粒子有波动性遵从不确 经典: E 2m 定原理只要势垒宽度x = a不是无 2 p p 限大粒子能量就有不确定量E 量子: E 2m x = a很小时 P和E很大 E U0 E
量子力学解题的一般思路： 1.由粒子运动的实际情况
正确地写出势函数 U(x)
2.代入定态薛定谔方程
3.解方程
4.解出能量本征值和相应的本征函数
5.求出概率密度分布及其他力学量
§ 2 无限深方势阱中的粒子 一、一维无限深方形势阱 势函数
0 (0 x a ) U ( x) ( x 0 , x a )
第27章
薛定谔方程
薛定谔 Erwin Schrodinger 奥地利人 1887-1961 创立量子力学 获1933年诺贝尔物理学奖
目
§1 薛定谔方程
录
§2 无限深方势阱中的粒子 Δ §3 量子隧穿效应 Δ §4 一维谐振子 • 有了德布洛意提出的物质波， 就应有一 个与之对应波动方程。薛定谔对此提出了一 个波方程，这就是后来在量子力学中著名的 薛定谔方程。
U(x)
n很大
n
2
E2 E1 E0
0
2
2
1 2 0
2
符合不确定关系 概率分布特点:
x
E < U 区有隧道效应
一、自由粒子的薛定谔方程 由自由粒子波函数
i ( Et px) Ψ( x, t ) Ψ e 0
( x , t ) 微分，得 i E ( x, t ) t 2 2 p ( x,t) p Ψ ( x , t ) i x ( x,t) 2 Ψ( x, t ) 2 x x 由非相对论粒子能量动量关系式，如自由粒子
x0
处应
已有A=0，要求 即
B 0，只能 sinka 等于零
(n 1,2,3,) 又
2 2
ka nπ,
k2
π 2 能量为：En n 2 2ma
2mE 2
(n 1,2,3,)
讨论
π 2 能量：En n 2 2ma
能量量子化
2 2
(n 1,2,3,)
通解为
(x ) A cos kx B sin kx
3. 由波函数的标准化条件定特解
单值、有限条件已满足；由连续条件定特解：
(0) 0 A 0 解的形式成为 ( x ) B sin kx (2) x a ( a ) 0 Bsin ka 0
(1)
2 2 2 2 2 推广到三维： x 2 x 2 y 2 z 2
P2 E U (x , t ) 2m
一般的薛定谔方程：
▽
( r , t ) 2 2 i U ( r , t ) ( r , t ) t 2m
“扫描隧道绘画”
CO分子竖 在铂片上 分子人高 5nm
一氧化碳“分子人”
“原子和分子的观察与操纵” -- 白春礼 P.151 图7-8
用STM得到的神经细胞象 硅表面STM扫描图象
§4 谐振子
谐振子不仅是经典物理的重要模型,也是量子物理 的重要模型,如固体中原子的振动即可用此模型。
1 2 1 1. 势函数 U ( x ) kx m 2 x 2 2 2 m 振子质量， 固有频率，x 位移 2. 定态薛定谔方程
p2 E＝ 2m
Ψ Ψ 得 i 2 2 m x t
2 2
这就是一维自由粒子(无势场)的薛定谔方程。
？推广到粒子在势场U(x, t) 中运动
三、定态薛定谔方程 用分离变量法： 当势能与时间无关， 即U U ( r )时， 将波函数写成 ( r , t ) ( r ) f ( t )
2 ψ Uψ E ψ 2m
数学上：E 不论取何值，方程都有解。 物理上：E只有取一些特定值,才能使方程的解 满足波函数的物理条件（单值、有限、连续）。
2
•这些特定的E值称为能量本征值
•各E值对应的 E ( r )
叫能量本征函数 本征波
函数 •故该方程又称为：能量本征值方程 i Et •定态波函数: E (r , t ) E (r ) f (t ) C E (r ) e
薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，它在 量子力学中的作用和牛顿方程在经典力学中的作用是 一样的。 同牛顿方程一样，薛定谔方程也不能由其它的基 本原理推导得到，而只能是一个基本的假设，其正确 性也只能靠实验来检验。
一、自由粒子的薛定谔方程 由自由粒子波函数
i ( Et px) Ψ( x, t ) Ψ e 0
U0
E
U ( x)
0, x 0, x a
U0 , 0 x a
U0
Ψ1 Ψ2
o
E U0
a x
两块金属或半导体接触处势能隆起，形成势垒
粒子从x = - 处以确定能量E入射
2.隧道效应 从势垒左方 射入的粒子， 在各区域内的 波函数：
Ψ3
隧道效应
E
Ⅰ区
0 Ⅱ区 a Ⅲ区
x
粒子的能量虽不足以超 越势垒 ,但在势垒中似乎有 一个隧道,能使少量粒子穿 过而进入 x a 的区域 , 所以形象地称之为势垒穿透 或隧道效应 。
U= U(x)=0 U=
0
a
x
粒子在0 < x < a范围内自由运动，但不能到达x 0或x a范围。
是实际情况的极端化和简化
U( x )
例：金属内部自由电 子的运动。
U( x ) 0
方势阱
2 二、薛定谔方程和波函数 2 U (r ) 2m ( r ) E( r ) 1. 定态薛定谔方程
2
2 得 B a
于是，波函数(空间部分)
2 nπ 阱内 n ( x ) sin x a a
0
B sin
kxdx 1
( n 1,2,3, ) 0 x a
阱外 ( x ) 0空间、时间部分)
考虑到振动因子
( x, y, z, t ) ( x, y, z ) f (t )
代入薛定谔方程可得：
2
i Et f (t ) e
振动因子
2 ψ Uψ E ψ 2m
该方程不含时间，称为定态薛定谔方程。 定态波函数 Ψ ( x, y, z, t ) ψ
i Et ( x, y, z) e
1 ) 粒子能量只能取特定的分立值 (能级)
2 )最低能量不为零
波粒二象性的必然结果 零点能
π2 2 E1 2 2ma
3 )当n趋于无穷时 能量趋于连续
(3)定常数 B
•由波函数的归一化性质
* ( x ) ( x )dx 1 a
nπ k a
a 2 0
(n 1,2,3,)
2 2 d 阱外： ( x ) E ( x ) 2 2 m dx 2 2 阱内： d 2 ( x ) E ( x ) 2m dx
2. 求通解 阱外: 根据波函数有限 ( x ) 0 x a , x 0 2mE 2 阱内: 令 k 2 则： ( x ) k 2 (x ) 0 其通解为 (x ) A cos kx B sin kx
平均每个字的面积仅百万分之一平方厘米 “原子和分子的观察与操纵” -- 白春礼 插页彩图13
1991年 恩格勒等用STM在镍单晶表面遂个移 动氙原子拚成了字母IBM，每个字母长5纳米，
镶嵌了48个Fe原子的Cu表面的STM照片
48个Fe原子形成“量子围栏”，围栏中的电子形成驻波。 Fe原子间距：0.95 nm， 圆圈平均半径：7.13 nm
通过扫描可观 测固体表面的 微观结构. 探 针头还可吸附 并搬动原子， 形成人工微结 构.
1986年获诺贝尔物理学奖
显示器
压电 控制 隧道 电流
加电压 反馈传感 器 参考信号
扫描隧道显微镜示意图
某种型号的扫描隧道显微镜
原子搬迁：操纵原子不是梦
“原子书法”
硅单晶 表面直 接提走 硅原子 形成2 纳米的 线条 1994年中国科学院科学家“写”出的
d 2 ψ 2m 1 2 x 2 )ψ ( x ) 0 ( E m ω 2 d x2 2
3. 能量本征值
1 1 En (n )ω (n )hν 2 2
(n 0,1,2,)
4.能量特点：
(1)量子化 等间 距 E h En (2)有零点能
1 E0 ω 0 2
波函数的物理条件 用来描写实物粒子的波函数应满足的物理条件 1.标准条件：单值、有限、连续 因为，粒子的概率在任何地方只能有一个值； 不可能无限大；不可能在某处发生突变。 2.归一化条件 粒子在空间各点的概率总和应为l
*在量子力学中用 薛定谔方程式加上波函数的物理条件 求解微观粒子在一定的势场中的运动问题 (求波函数，状态能量， 概率密度 等)
( x , t ) 微分，得 i E ( x, t ) t 2 2 p ( x,t) p Ψ ( x , t ) i x ( x,t) 2 Ψ( x, t ) 2 x x 由非相对论粒子能量动量关系式，如自由粒子