最新近世代数期末考试题库教案资料

近世代数模拟试题一、单项选择题1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。

A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ）A 、12σB 、1σ2σC 、22σD 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。

A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。

2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。

3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。

4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。

5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。

6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为-----------------。

7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得10=+++n n a a a αα 。

8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---------。

9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、---------。

近世代数复习题及答案1. 群的定义是什么？请给出一个例子。

答案：群是一个集合G，配合一个运算*，满足以下四个条件：封闭性、结合律、单位元的存在性、逆元的存在性。

例如，整数集合Z在加法运算下构成一个群。

2. 什么是子群？如何判断一个子集是否为子群？答案：子群是群G的一个非空子集H，使得H中的元素在G的运算下满足群的四个条件。

判断一个子集是否为子群，需要验证它是否在群运算下封闭，是否包含单位元，以及每个元素是否有逆元。

3. 什么是正规子群？请给出一个例子。

答案：正规子群是群G的一个子群N，对于G中任意元素g和N中任意元素n，都有gng^-1属于N。

例如，整数集合Z在加法运算下的子群2Z（所有偶数的集合）是一个正规子群。

4. 什么是群的同态？请给出一个例子。

答案：群的同态是两个群G和H之间的函数φ，使得对于G中任意两个元素a和b，都有φ(a*b) = φ(a) * φ(b)。

例如，函数φ: Z → Z_2定义为φ(n) = n mod 2，是整数群Z到模2整数群Z_2的一个同态。

5. 什么是群的同构？请给出一个例子。

答案：群的同构是两个群G和H之间的双射同态。

这意味着G和H不仅满足相同的群运算规则，而且它们之间存在一一对应关系。

例如，群Z_3（模3整数群）和群{1, -1}在乘法下构成的群是同构的。

6. 什么是环？请给出一个例子。

答案：环是一个集合R，配合两个运算+和*，满足以下条件：(R, +)是一个交换群，(R, *)满足结合律，且乘法对加法满足分配律。

例如，整数集合Z在通常的加法和乘法运算下构成一个环。

7. 什么是理想？如何判断一个子集是否为理想？答案：理想是环R的一个子集I，满足以下条件：I在加法下封闭，对于R中任意元素r和I中任意元素i，都有ri和ir属于I。

判断一个子集是否为理想，需要验证它是否在加法下封闭，以及是否满足吸收性质。

8. 什么是环的同态？请给出一个例子。

答案：环的同态是两个环R和S之间的函数φ，使得对于R中任意两个元素a和b，都有φ(a+b) = φ(a) + φ(b)和φ(a*b) = φ(a) * φ(b)。

多所高校近世代数题库一、（2011年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。

（ ）2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。

（ ）3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。

（ ）4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。

（ ）5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。

（ ）6、近世代数中，群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,。

（ ）7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。

（ ）8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。

（ ）9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。

（ ）10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。

（ ）二、（2011年近世代数）单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。

答案选错或未作选择者，该题无分。

每小题1分，共10分）1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ⨯⨯⨯ 21到D 的一个映射，那么（ ）①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换；③n A A A ⨯⨯⨯ 21中不同的元对应的象必不相同；④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。

2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，abb a b a +=； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。

《近世代数》教案1《近世代数》教案1教案一：近世代数概述一、教学目标1.了解近世代数的起源和发展历程；2.理解近世代数的基本概念和基本运算；3.掌握近世代数的基本定理和性质；4.培养学生的逻辑推理和证明能力。

二、教学内容1.近世代数的起源和发展历程；2.近世代数的基本概念和基本运算；3.近世代数的基本定理和性质。

三、教学重点和难点1.理解近世代数的基本概念；2.掌握近世代数的基本运算；3.理解和运用近世代数的基本定理和性质。

四、教学方法1.前置知识导入：利用历史故事或问题引入近世代数的起源；2.概念解释与讨论：通过引导学生，共同探讨近世代数的基本概念；3.理解和运用：通过实际问题，让学生理解和运用近世代数的基本定理和性质；4.案例分析和练习：通过案例分析和练习，巩固学生对近世代数的理解和应用能力；5.归纳总结：通过归纳总结，整理和进一步理解所学的知识。

五、教学过程1.前置知识导入（10分钟）-引入：《近世代数》是一门重要的数学学科，它是现代数学的基石之一、那么，你们以为近世代数是从什么时候开始出现的呢？我们来听听关于近世代数起源的故事吧。

-故事：公元16世纪，意大利的一位数学家卡尔达诺被人请到一个庄园解决一个心理障碍的问题，他最终发现了它的根源与代数方程式求解有关。

这个故事揭示了近世代数起源的一部分，下面我们一起来探索更多关于近世代数的知识。

2.概念解释与讨论（20分钟）-定义：近世代数是一门研究代数结构及其性质的学科，它主要研究了代数系统的运算规则和代数方程式的求解方法。

-基本概念：群、环、域是近世代数中的基本概念。

群是指一个非空集合和一个在这个集合上的运算，满足封闭性、结合律、单位元和逆元的性质；环是指一个非空集合和两个在这个集合上的运算，满足加法封闭性、结合律、单位元和可逆性，以及乘法封闭性和结合律；域是指一个非空集合和两个在这个集合上的运算，满足加法封闭性、结合律、单位元和可逆性，以及乘法封闭性、结合律、单位元和可逆性。

世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2，∀x ∈R ，则ϕ是从A 到B 的（ c ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ d ）个元素。

A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（b ）乘法来说A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（c ）A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。

5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（d ）A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B 。

2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的单位元。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R 的乘法交换，则称R 是一个交换环。

4、偶数环是整数环的子环。

5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个变换全。

6、每一个有限群都有与一个置换群同构。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是 1 ，元a 的逆元是1-a 。

8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆，如果I 是R 的最大理想，那么---------。

9、一个除环的中心是一个-域-----。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换σ和τ分别为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6417352812345678σ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。

7.由1))((11111111121112121==----------a a a a a a a a a a a a a a m m m m m m m ,故11121121)(----=a a a a a a m m .对第2个问题,上面一段正是证明了它的充分性,再证必要性.设121=⋅u a a a m ,则任意i ,1)(111=--u a a a a a m i i i ,故每个i a 有逆元素.注：直接根据逆元的定义和广义结合律证明.8.11)1(11)1)(1()1(=+-=-+-=-+-=+-=-ba ba ca ab b ba babca bca ba bca ba d babcababca ba ba bca ba d -+-=-+=-1)1)(1()1(.11)1(1=+-=-+-=ba ba a ab bc ba即1-ba 在R 内也可逆又由c abc cab c ab ab c =+=+=-=-11,1)1()1(得.故cab)ab(11abcab ab 1bca)b a(11adb 1++=++=++=+c abc =+=15.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a b a A 0，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c d c B 0,其中a,b,c,d 都是复数,a ≠0且c ≠0,则 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ac bc ad ac AB 0也和A,B 具有相同的形式. 显然,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001I 是单位元且⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a b ab a C 1012是A 的逆矩阵.又矩阵乘法满足结合律,故结论得证.注：根据群的定义直接验证,需要说明AB 也和A,B 具有相同的形式.7.对,G a ∈a 有右逆b.b 又有右逆a '，这时a 为b 的左逆.由ab e a b =='，得到()()a a ab a b a a '='='=，可知a a '=.这样e ab ba ==，即b 是a 的逆.12.设{}s g g G ,,1 =.由性质（2），G ag ag G a s ⊆∈∀},{,1 ,且是s 个不同的元，故G ag ag s =}{1 .同样由性质（3）可得，G a g a g s =},{1 。

近世代数期末练习题一、判断题（在括号里打上 √ 或 ⨯ ）1、一个阶是11的群只有两个子群。

( )2、循环群的子群是循环子群。

( )3、在一个环中，若右消去律成立，则左消去律成立。

( )4、消去律在无零因子环中一定成立。

( )5、在环中，逆元一定不是零因子。

( )6、在一个域中一定不存在零因子。

( )7、模99的剩余类环99Z 是一个域。

( )8、模19的剩余类环19Z 是一个整环。

( )9、整除关系是整数集Z 的元素间的一个等价关系。

( )10、同余关系是整数集Z 的元素间的一个等价关系。

( )11、群G 的两个子群的交还是子群。

( )12、环R 的一个子环和一个理想的交一定是R 的子环。

( )13、群G 的不变子群也是G 的子群，环R 的理想也是R 的子环。

( )14、设群G 与群G'同态，则G 的不变子群的同态像是G'的不变子群。

( )15、一个域一定是一个整环。

( )二、填空题1、在3次对称群3S 中，元素（123）的阶为 ，（123）的逆元为 ，（123）所生成的子群在3S 中的指数为 ，该子群是否3S 的不变子群？ 。

2、环Z 6的全部零因子是 ，全部可逆元是 。

3、在环Z 10中，[6]+[7]= ，[6][7]= ，[6]-[7]= ，[6]3= ，[7]-1= 。

三、证明：（1）若群G 的元a 的阶为2, 则a – 1 = a . （2）若群G 的元 a 的阶大于2, 则a – 1 ≠ a . （3）在群G 中, 元 a 与逆元a –1有相同的阶.四、证明：设群G 中元a 的阶为n . 证明a s = a t ⇔ n | ( s – t ) .五、设R 是一个环，证明R 是交换环当且仅当(a+b) 2=a 2+2ab+b 2。

六、设G 是一个群，证明G 是交换群当且仅当(ab) -1=a -1b -1。

近世代数期末考试卷与答案近世代数试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号。

错选、多选或未选均无分。

1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（）是子群。

A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。

A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。

2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。

3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。

4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。

5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。

6、若映射?既是单射又是满射，则称?为-----------------。

7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10Λ使得010=+++n n a a a ααΛ。

8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x =ο，则称a 为---------。

近世代数期末考试试卷及答案1、设 G 有 6 个元素的循环群， a 是生成元，则G的子集（）是子群.A、 aB、a, eC、e, a3D、e, a,a 32、下面的代数系统（ G，* ）中，（）不是群A、G为整数集合， * 为加法 B 、G为偶数集合， * 为加法C、G为有理数集合， * 为加法 D 、G为有理数集合， * 为乘法3、在自然数集 N 上，下列哪种运算是可结合的？（）A、a*b=a-bB、 a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b|4、设 1 、 2 、3 是三个置换，其中 1 =（12）（23）（13）， 2 =（24）（14），3 =（ 1324），则3 =（）A、 2 B 、1 2C 、 2 D 、 2 11 25、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（）.A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交换群二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案. 错填、不填均无分 .1、凯莱定理说：任一个子群都同一个 ---------- 同构 .2、一个有单位元的无零因子 ----- 称为整环 .3、已知群G中的元素a的阶等于 50，则a4 的阶等于 ------.4、a 的阶若是一个有限整数n，那么 G与------- 同构 .5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么 A∩B=-----.6、若映射既是单射又是满射，则称为----------------- .7、叫做域F的一个代数元，如果存在 F 的a0 , a1 ,, a n使得aa1 a nn0 .8、a是代数系统( A,0)的元素，对任何x A 均成立x ax，则称a为 --------- .9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、 ---------.10、一个环 R 对于加法来作成一个循环群，则P 是----------.三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、设集合 A={1,2,3}G 是 A 上的置换群， H 是 G的子群， H={I,(1 2)}，写出H的所有陪集.2、设 E 是所有偶数做成的集合，“?”是数的乘法，则“?”是 E 中的运算，（ E，?）是一个代数系统，问（ E，?）是不是群，为什么？3、a=493, b=391,求(a,b), [a,b]和p, q.四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、若 <G，*> 是群，则对于任意的a、 b∈ G，必有惟一的 x∈ G使得 a*x ＝ b.2、设 m是一个正整数，利用m定义整数集 Z 上的二元关系： a? b 当且仅当 m︱ a– b.近世代数模拟试题三一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内. 错选、多选或未选均无分.1、6 阶有限群的任何子群一定不是（）.A、2阶B、3 阶C、4阶D、6阶2、设 G是群， G有（）个元素，则不能肯定G是交换群 .A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）.A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）A、（N,）B、（Z,）C、（ {2,3,4,6,12},|（整除关系））D、 (P(A),)5、设 S3＝ {(1) ， (12) ， (13) ， (23) ，(123) ，(132)} ，那么，在 S3 中可以与 (123) 交换的所有元素有（）A、(1) ， (123) ，(132) B 、 12) ，(13) ，(23)C、(1) ， (123) D 、 S3 中的所有元素二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案. 错填、不填均无分 .1、群的单位元是 -------- 的，每个元素的逆元素是 -------- 的 .2、如果f是 A 与A间的一一映射，a是 A 的一个元，则f1f a---------- .3、区间 [1 ， 2] 上的运算ab{min a,b}的单位元是 -------.4、可换群 G中|a|=6,|x|=8, 则|ax|= —————————— .5、环 Z8的零因子有 ----------------------- .6、一个子群 H 的右、左陪集的个数 ---------- .7、从同构的观点，每个群只能同构于他/ 它自己的 --------- .8、无零因子环 R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R的----------- .9、设群G中元素a的阶为m，如果ane，那么m与n存在整除关系为 -------- .三、解答题（本大题共 3 小题，每小题10 分，共 30 分）1、用 2 种颜色的珠子做成有 5 颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S1， S2是 A的子环，则 S1∩ S2也是子环 .S 1 +S2也是子环吗？3、设有置换(1345)(1245) ，(234)(456) S6.1．求和1；2．确定置换1的奇偶性 . 和四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、一个除环 R 只有两个理想就是零理想和单位理想.2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a 和 ab2a=e.近世代数模拟试题一参考答案一、单项选择题 .1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分).1、1, 1 , 1,0 , 1,1 2, 1 , 2,0 , 2,1；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构 ;7 、零、 -a ；8、S=I 或 S=R ；9、域；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：(1653)(247)(8)(123)(48)(57)(6)可知为奇置换，为偶置换.和可以写成如下对换的乘积：(13)(15)(16)(24)(27)(13)(12)(48)(57)B 1(A A) C1(A A)，则 B 是对称矩阵，而 C 是反对2、解：设 A 是任意方阵，令 2 ， 2称矩阵，且AB C.若令有AB1C1 ，这里B1 和C1 分别为对称矩阵和反对称矩阵，则B B1C1C，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：B B1 ，C C1，所以，表示法唯一.3、答：（Mm，m）不是群，因为Mm中有两个不同的单位元素0 和 m.四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、对于 G中任意元 x，y，由于(xy)2 e ，所以 xy ( xy) 1 y 1 x1yx（对每个 x，从x2 e 可得 x x 1 ）.2、证明在 F 里ab 1 b 1 a a (a, b R, b 0)bQ所有a(a,b R, b0)有意义，作 F 的子集 bQ显然是 R 的一个商域证毕.近世代数模拟试题二参考答案一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分).二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分).1、变换群；2、交换环；3、25；4、模 n 乘余类加群；5、{2} ；6、一一映射；7、不都等于零的元； 8、右单位元； 9、消去律成立； 10、交换环；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题10 分，共 30 分）1、解： H的 3 个右陪集为： {I,(1 2)} ，{(123) ，(1 3)} ，{(1 32) ，(23)}H的 3 个左陪集为： {I,(1 2)} ，{(1 2 3) ，(2 3)} ，{(1 3 2 ) ，(1 3 )}2、答：（ E，?）不是群，因为（ E，?）中无单位元 .3、解方法一、辗转相除法 . 列以下算式：a=b+102b=3× 102+85102=1×85+17由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339.然后回代： 17=102-85=102-(b-3 ×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.所以 p=4, q=-5.四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、证明设e是群<G，*>的幺元.令x＝a－1*b，则a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b. 所以， x＝a－1*b 是 a*x ＝ b 的解 .若 x ∈G也是 a*x ＝ b 的解，则 x ＝e*x ＝(a － 1*a)*x ＝a－1*(a*x ) ＝a－1*b ＝ x. 所以， x＝a－1*b 是 a*x ＝ b 的惟一解 .2、容易证明这样的关系是 Z 上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为 Zm，每个整数 a 所在的等价类记为 [a]= ｛x∈ Z； m︱ x– a｝或者也可记为a，称之为模 m剩余类 . 若 m ︱a– b 也记为 a≡b(m).当 m=2时， Z2 仅含 2 个元： [0] 与[1].近世代数模拟试题三参考答案一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内. 错选、多选或未选均无分.二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案 . 错填、不填均无分 .1、唯一、唯一；2、a； 3、 2； 4、 24；5、； 6、相等； 7、商群； 8、特征； 9、m n；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、解在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法. 用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只 1 种，四白一黑 1 种，三白二黑 2 种，等等，可得总共8 种 .2、证由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b ∈ S1∩S2 有 a-b, ab ∈ S1∩S2：因为 S1，S2 是 A 的子环，故 a-b, ab ∈S1 和 a-b, ab ∈S2 ，因而 a-b, ab ∈S1∩S2 ，所以 S1∩ S2 是子环 .S1+S2不一定是子环 . 在矩阵环中很容易找到反例：3、解： 1 ．(1243)(56) ，1(16524 ) ；2．两个都是偶置换 .四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、证明：假定是 R 的一个理想而不是零理想，那么 a 0，由理想的定义a 1a 1，因而R的任意元b b ?1这就是说=R，证毕 .2、证必要性：将 b 代入即可得 . 充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e ，ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e ，所以 b=a-1.。

多所高校近世代数题库一、〔2021年近世代数〕判断题〔以下命题你认为正确的在题后括号内打“√〞，错的打“×〞；每题1分，共10分〕1、设A与B都是非空集合，那么A B xx A且x B。

〔〕2、设A、B、D都是非空集合，那么AB到D的每个映射都叫作二元运算。

〔〕3、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射G f1。

〔〕4G a中生成元a的阶是无限的，那么与整数加群同构。

〔〕、如果循环群5、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。

〔〕6、近世代数中，群G的子群H是不变子群的充要条件为gG,h H;g1Hg H。

〔〕7、如果环R的阶2，那么R的单位元10。

〔〕8、假设环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。

〔〕9、F(x)中满足条件p()0的多项式叫做元在域F上的极小多项式。

〔〕10、假设域E的特征是无限大，那么E含有一个与Z同构的子域，这里Z是整数环，p是由素数p生成的主理想。

p〔〕二、〔2021年近世代数〕单项选择题〔从以下各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。

答案选错或未作选择者，该题无分。

每题f是1分，共10分〕、设12n和D 都是非空集合，而12An到D的一个映射，那么〔〕1A,A,,A AA①集合A1,A2,,A n,D中两两都不相同；②A1,A2,,A n的次序不能调换；③A1A2A n中不同的元对应的象必不相同；④一个元a1,a2, ,a n的象可以不唯一。

2、指出以下那些运算是二元运算〔〕①在整数集Z上，a b a b②在有理数集Q上，a b ab；；ab③在正实数集R上，ab alnb；④在集合n Zn0上，a ba b。

3、设是整数集Z上的二元运算，其中a b maxa,b 〔即取a与b中的最大者〕，那么在Z中〔〕①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。

4、设G,为群，其中G是实数集，而乘法:a b a b k，这里k为G中固定的常数。

晚世代数摹拟试题一之袁州冬雪创作一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2，∀x ∈R ，则ϕ是从A 到B 的（ ）A 、满射而非单射B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那末，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素.A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来讲A 、不是唯一B 、唯一的C 、纷歧定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ）A 、不相等B 、0C 、相等D 、纷歧定相等.5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ）A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B ---------.2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------.3、环的乘法一般不交换.如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------.4、偶数环是---------的子环.5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------.6、每个有限群都有与一个置换群--------.7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来讲作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------.8、设I 和S 是环R 的抱负且R S I ⊆⊆，如果I 是R 的最大抱负，那末---------.9、一个除环的中心是一个-------.三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换σ和τ分别为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6417352812345678σ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2318765412345678τ，断定σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积.2、证明：任何方阵都可唯一地暗示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和.3、设集合)1}(,1,,2,1,0{ m m m M m -⋯⋯=，定义m M 中运算“m +”为a m +b=(a+b)(modm),则（m M ，m +）是不是群，为什么？四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、设G 是群.证明：如果对任意的G x ∈，有e x =2，则G 是交换群.2、假定R 是一个有两个以上的元的环，F 是一个包含R 的域，那末F 包含R 的一个商域.晚世代数摹拟试题二一、单项选择题二、1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群.A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪类运算是可连系的？（ ）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ）A 、12σB 、1σ2σC 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）.A 、不成能是群B 、纷歧定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构.2、一个有单位元的无零因子-----称为整环.3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------.4、a 的阶若是一个有限整数n ，那末G 与-------同构.5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那末A ∩B=-----.6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为-----------------.7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα .8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---------.9、有限群的另外一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果知足G 对于乘法封闭；连系律成立、---------.10、一个环R 对于加法来作成一个循环群，则P 是----------.三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设集合A={1,2,3}G 是A 上的置换群，H 是G 的子群，H={I,(1 2)}，写出H 的所有陪集.2、设E 是所有偶数做成的集合，“•”是数的乘法，则“•”是E 中的运算，（E ，•）是一个代数系统，问（E ，•）是不是群，为什么？3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和p, q.四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、若<G ，*>是群，则对于任意的a 、b ∈G ，必有惟一的x ∈G 使得a*x ＝b.2、设m 是一个正整数，操纵m 定义整数集Z 上的二元关系：a 〜b 当且仅当m ︱a –b.晚世代数摹拟试题三一、单项选择题1、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）.A 、2阶B 、3 阶C 、4 阶D 、 6 阶2、设G 是群，G 有（ ）个元素，则不克不及必定G 是交换群.A 、4个B 、5个C 、6个D 、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）.A 、偶数B 、奇数C 、4的倍数D 、2的正整数次幂4、下列哪一个偏序集构成有界格（ ）A 、（N,≤）B 、（Z,≥）C 、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））D 、 (P(A),⊆)5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那末，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ ）A 、(1)，(123)，(132)B 、12)，(13)，(23)C 、(1)，(123)D 、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的.2、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1----------.3、区间[1，2]上的运算},{min b a b a = 的单位元是-------.4、可换群G 中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————.5、环Z 8的零因子有-----------------------.6、一个子群H 的右、左陪集的个数----------.7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------.8、无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的-----------.9、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那末m 与n 存在整除关系为--------.三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种分歧的项链？2、S 1，S 2是A 的子环，则S 1∩S 2也是子环.S 1+S 2也是子环吗？3、设有置换)1245)(1345(=σ，6)456)(234(S ∈=τ.1．求στ和στ-1；τ-1的奇偶性.2．确定置换στ和σ四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、一个除环R只有两个抱负就是零抱负和单位抱负.2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分需要条件是aba=a和ab2a=e.晚世代数摹拟试题四一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那末，A与B的积集合A×B中含有（）个元素.A.2B.52.设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射ϕ：x→x＋2，∀x∈R，则ϕ是从A到B的（）3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那末，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（）A.(1)，(123)，(132)B.(12)，(13)，(23)3中的所有元素15是以15为模的剩余类加群，那末，Z15的子群共有（）个.5.下列集合关于所给的运算不作成环的是（）A.整系数多项式全体Z［x］关于多项式的加法与乘法n(Q)关于矩阵的加法与乘法“ ”：∀m， n∈Z， m n＝0“ ”：∀m， n∈Z， m n＝1二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.“～”是集合A的一个关系，如果“～”知足___________，则称“～”是A 的一个等价关系.7.设(G，·)是一个群，那末，对于∀a，b∈G，则ab∈G也是G中的可逆元，而且(ab)－1＝___________.σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S5，那末στ＝___________(暗示成若干个没有公共数字的循环置换之积).9.如果G是一个含有15个元素的群，那末，根据Lagrange定理知，对于∀a ∈G，则元素a的阶只能够是___________.3中，设H ＝{(1)，(123)，(132)}是S 3的一个不变子群，则商群G/H 中的元素(12)H ＝___________.6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}是以6为模的剩余类环，则Z 6中的所有零因子是___________.12.设R 是一个无零因子的环，其特征n 是一个有限数，那末，n 是___________.13.设Z ［x ］是整系数多项式环，(x)是由多项式x 生成的主抱负，则(x)＝________________________.14.设高斯整数环Z ［i ］＝{a ＋bi|a ，b ∈Z}，其中i 2＝－1，则Z ［i ］中的所有单位是______________________. 2+3在Q 上的极小多项式是___________.三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）16.设Z 为整数加群，Z m 为以m 为模的剩余类加群，ϕ是Z 到Z m 的一个映射，其中ϕ：k →［k ］，∀k ∈Z ，验证：ϕ是Z 到Z m 的一个同态满射，并求ϕ的同态核Ker ϕ.6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}的所有子环，并说明这些子环都是Z 6的抱负.18.试说明唯一分解环、主抱负环、欧氏环三者之间的关系，并举例说明唯一分解环未必是主抱负环.四、证明题（本大题共3小题，第19、20小题各10分，第21小题5分，共25分）19.设G ＝{a ，b ，c}，G 的代数运算“ ”由右边的运算表给出，证明：(G ， )作成一个群.已知R 关于矩阵的加法和乘法作成一个环.证明：I 是R 的一个子环，但不是抱负. 21.设(R ，＋，·)是一个环，如果(R ，＋)是一个循环群，证明：R 是一个交换环. 晚世代数摹拟试题一 参考答案一、单项选择题.1、C ；2、D ；3、B ；4、C ；5、D ；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分).1、()()()()()(){}1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1--；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构;7、零、-a ；8、S=I 或S=R ；9、域；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） a b c a a b c b b c a c c a b1、解：把σ和τ写成不相杂轮换的乘积：可知σ为奇置换，τ为偶置换. σ和τ可以写成如下对换的乘积：2、解：设A 是任意方阵，令)(21A A B '+=，)(21A A C '-=，则B 是对称矩阵，而C 是反对称矩阵，且C B A +=.若令有11C B A +=，这里1B 和1C 分别为对称矩阵和反对称矩阵，则C C B B -=-11，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是双方必须都等于0，即：1B B =，1C C =，所以，暗示法唯一.3、答：（m M ，m +）不是群，因为m M 中有两个分歧的单位元素0和m.四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、对于G 中任意元x ，y ，由于e xy =2)(，所以yx x y xy xy ===---111)(（对每个x ，从e x =2可得1-=x x ）.2、证明在F 里有意义，作F的子集)0,,(≠∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-b R b a b a Q 所有 -Q 显然是R 的一个商域 证毕.晚世代数摹拟试题二 参考答案一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分).1、C ；2、D ；3、B ；4、B ；5、A ；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分).1、变换群；2、交换环；3、25；4、模n 乘余类加群；5、{2}；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解：H 的3个右陪集为：{I,(1 2)}，{(1 2 3 )，(1 3)}，{(1 3 2 )，(2 3 )}H 的3个左陪集为：{I,(1 2)} ，{(1 2 3 )，(2 3)}，{(1 3 2 )，(1 3 )}2、答：（E ，•）不是群，因为（E ，•）中无单位元.3、解方法一、辗转相除法.列以下算式：a=b+102b=3×102+85102=1×85+17由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a ×b/17=11339.然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b. 所以 p=4, q=-5.四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、证明 设e 是群<G ，*>的幺元.令x ＝a －1*b ，则a*x ＝a*(a －1*b)＝(a*a －1)*b ＝e*b ＝b.所以，x ＝a －1*b 是a*x ＝b 的解.若x ∈G 也是a*x ＝b 的解，则x ＝e*x ＝(a －1*a)*x ＝a －1*(a*x )＝a －1*b ＝x.所以，x ＝a －1*b 是a*x ＝b 的惟一解.2、容易证明这样的关系是Z 上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z 记为Zm ，每个整数a 所在的等价类记为[a]=｛x ∈Z ；m ︱x –a ｝或者也可记为a ，称之为模m 剩余类.若m ︱a –b 也记为a ≡b(m).当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1].晚世代数摹拟试题三 参考答案一、单项选择题1、C ；2、C ；3、D ；4、D ；5、A ；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.1、唯一、唯一；2、a ；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、n m ；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用列举法.用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类停止计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种.2、证由上题子环的充分需要条件，要证对任意a,b ∈S1∩S2 有a-b, ab ∈S1∩S2：因为S1，S2是A 的子环，故a-b, ab ∈S1和a-b, ab ∈S2 ，因而a-b, ab ∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子环.S1+S2纷歧定是子环.在矩阵环中很容易找到反例：3、解： 1．)56)(1243(=στ，)16524(1=στ-； 2．两个都是偶置换.四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、证明：假定μ是R 的一个抱负而μ不是零抱负，那末a 0≠∈μ，由抱负的定义μ∈=-11a a ，因而R 的任意元μ∈•=1b b这就是说μ=R ，证毕.2、证需要性：将b 代入即可得.充分性：操纵连系律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e ，ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e ，所以b=a-1.近 世 代 数 试 卷一、断定题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）1、设A 与B 都是非空集合，那末{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且. （ ）2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算.（）3、只要f 是A 到A 的一一映射，那末必有唯一的逆映射1-f . （ ）4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构. （ ）5、如果群G 的子群H 是循环群，那末G 也是循环群. （ ）6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,. （ ）7、如果环R 的阶2≥，那末R 的单位元01≠. （ ）8、若环R 知足左消去律，那末R 必定没有右零因子. （ ）9、)(x F 中知足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式. （ ）10、若域E 的特征是无限大，那末E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主抱负. （ ）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内.答案选错或未作选择者，该题无分.每小题1分，共10分）1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ⨯⨯⨯ 21到D 的一个映射，那末（ ）①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不克不及调换；③n A A A ⨯⨯⨯ 21中分歧的元对应的象必不相同；④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一.2、指出下列那些运算是二元运算（ ）①在整数集Z 上，abb a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= .3、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），那末 在Z 中（ ）①不适合交换律；②不适合连系律；③存在单位元；④每个元都有逆元.4、设() ,G 为群，其中G 是实数集，而乘法k b a b a ++= :，这里k 为G 中固定的常数.那末群() ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ ）①0和x -； ②1和0； ③k 和k x 2-； ④k -和)2(k x +-.5、设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那末=x （ ） ①11--a bc ； ②11--a c ； ③11--bc a ； ④ca b 1-.6、设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,.如果6，那末G 的阶=G （ ）①6； ②24； ③10； ④12.7、设21:G G f →是一个群同态映射，那末下列错误的命题是（ ）①f 的同态核是1G 的不变子群； ②2G 的不变子群的逆象是1G 的不变子群；③1G 的子群的象是2G 的子群； ④1G 的不变子群的象是2G 的不变子群.8、设21:R R f →是环同态满射，b a f =)(，那末下列错误的结论为（ ） ①若a 是零元，则b 是零元； ②若a 是单位元，则b 是单位元； ③若a 不是零因子，则b 不是零因子；④若2R 是不交换的，则1R 不交换.9、下列正确的命题是（ ）①欧氏环一定是唯一分解环； ②主抱负环必是欧氏环；③唯一分解环必是主抱负环； ④唯一分解环必是欧氏环.10、若I 是域F 的有限扩域，E 是I 的有限扩域，那末（ ）①()()()F I I E I E :::=； ②()()()I E F I E F :::=；③()()()I F F E F I :::=； ④()()()F I I E F E :::=.三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分.每空1分，共10分）1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B .2、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1.3、设集合A 有一个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j i A A ≠，那末=j i A A .4、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那末m 与n 存在整除关系为.5、凯莱定理说：任一个子群都同一个同构.6、给出一个5-循环置换)31425(=π，那末=-1π. 7、若I 是有单位元的环R 的由a 生成的主抱负，那末I 中的元素可以表达为.8、若R 是一个有单位元的交换环，I 是R 的一个抱负，那末I R 是一个域当且仅当I 是.9、整环I 的一个元p 叫做一个素元，如果.10、若域F 的一个扩域E 叫做F 的一个代数扩域，如果.四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面.指出错误1分，更正错误2分.每小题3分，共15分）1、如果一个集合A 的代数运算 同时适合消去律和分配律，那末在n a a a 21里，元的次序可以掉换.2、有限群的另外一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果知足G 对于乘法封闭；连系律成立、交换律成立.3、设I 和S 是环R 的抱负且R S I ⊆⊆，如果I 是R 的最大抱负，那末0≠S .4、唯一分解环I 的两个元a 和b 纷歧定会有最大公因子，若d 和'd 都是a 和b 的最大公因子，那末必有'd d =.5、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的都不等于零的元n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα .五、计算题（共15分，每小题分标在小题后）1、给出下列四个四元置换组成的群G ，试写出G 的乘法表，而且求出G 的单位元及14131211,,,----ππππ和G 的所有子群.2、设[][][][][][]{}5,4,3,2,1,06=Z 是模6的剩余类环，且[]x Z x g x f 6)(),(∈.如果[][][]253)(3++=x x x f 、[][][]354)(2++=x x x g ，计算)()(x g x f +、)()(x g x f -和)()(x g x f 以及它们的次数.六、证明题（每小题10分，共40分）1、设a 和b 是一个群G 的两个元且ba ab =，又设a 的阶m a =，b 的阶n b =，而且1),(=n m ，证明：ab 的阶mn ab =.2、设R 为实数集，0,,≠∈∀a R b a ，令R x b ax x R R f b a ∈∀+→,,:),( ，将R 的所有这样的变换构成一个集合{}0,,),(≠∈∀=a R b a f G b a ，试证明：对于变换普通的乘法，G 作成一个群.3、设1I 和2I 为环R 的两个抱负，试证21I I 和{}2121,I b I a b a I I ∈∈+=+都是R 的抱负.4、设R 是有限可交换的环且含有单位元1，证明：R 中的非零元不是可逆元就是零因子.晚世代数试卷参考解答一、断定题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10××√√×√√√××二、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ②④③④①②④③①④三、填空题1、()()()()()(){}1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1--.2、a .3、φ.4、n m .5、变换群.6、()13524. 7、R y x ay x i i i i ∈∑,,. 8、一个最大抱负. 9、p 既不是零元，也不是单位，且q 只有平凡因子.10、E 的每个元都是F 上的一个代数元.四、改错题1、如果一个集合A 的代数运算 同时适合消去律和分配律，那末在n a a a 21里，元的次序可以掉换.连系律与交换律2、有限群的另外一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果知足G 对于乘法封闭；连系律成立、交换律成立.消去律成立3、设I 和S 是环R 的抱负且R S I ⊆⊆，如果I 是R 的最大抱负，那末0≠S .S=I 或S=R4、唯一分解环I 的两个元a 和b 纷歧定会有最大公因子，若d 和'd 都是a 和b 的最大公因子，那末必有d=d ′.一定有最大公因子；d 和d ′只能差一个单位因子5、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的都不等于零的元n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα .不都等于零的元检验题三、填空题（42分）1、设集合M 与M 分别有代数运算 与 ，且M M ~，则当 时， 也知足连系律；当 时， 也知足交换律.2、对群中任意元素1)(,,-ab b a 有=；3、设群G 中元素a 的阶是n ，n|m 则m a =；4、设a 是任意一个循环群，若∞=||a ，则a 与同构；若n a =||， 则a 与同构；5、设G=a 为6阶循环群，则G 的生成元有；子群有；6、n 次对称群n S 的阶是；置换)24)(1378(=τ的阶是；7、设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2314432114324321βα，，则=αβ； 8、设)25)(136()235)(14(==τσ，，则=-1στσ；9、设H 是有限群G 的一个子群，则|G|=；10、任意一个群都同一个同构.二、证明题（24）1、 设G 为n 阶有限群，证明：G 中每个元素都知足方程e x n =.2、 叙述群G 的一个非空子集H 作成子群的充要条件，并证明群G 的任意两个子群H 与K 的交K H 仍然是G 的一个子群.3、 证明:如果群G 中每个元素都知足方程e x =2，则G 必为交换群.三、解答题（34）1、 叙述群的定义并按群的定义验证整数集Z 对运算4++=b a b a 作成群.2、写出三次对称群3S 的所有子群并写出3S 关于子群H=｛（1），（23）｝的所有左陪集和所有右陪集.基础测试参考答案：一、 填空题1、知足连系律； 知足交换律；2、11--a b ；3、e ；4、整数加群；n 次单位根群；5、5,a a ；{}{}{}{}5432423,,,,,,,,,,,a a a a a e a a e a e e ；6、n!;47、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23144321 8、(456)(32)9、|H|:(G:H)10、（双射）变换群；二、证明题1、已知||n G =，|a|=k,则k|n令n=kq,则e a a a q k kq n ===)(即G 中每个元素都知足方程e x n =2、充要条件：H a H a H ab H b a ∈⇒∈∈⇒∈-1;,,；证明：已知H 、K 为G 的子群，令Q 为H 与K 的交 设H b a ∈,,则K b a H b a ∈∈,,,H 是G 的子群，有H ab ∈K 是G 的子群，有K ab ∈综上所述，H 也是G 的子群.3、证：G 是交换群.三、解答题1、解：设G 是一个非空集合， 是它的一个代数运算，如果知足以下条件：（1）连系律成立，即对G 中任意元素)()(,,c b a c b a c b a =，有（2）G 中有元素e ，它对G 中每个元素a a e a = ，都有（3）对G 中每个元素e a a a G a =-- 11,，使中有元素在则G 对代数运算 作成一个群.对任意整数a,b ，显然a+b+4由a,b 唯一确定，故 为G 的代数运算. （a b ） c=(a+b+4) c=(a+b+4)+c+4=a+b+c+8a (b c)=a+b+c+8即（a b ） c= a (b c)知足连系律∀a 均有（-4） a=-4+a+4=a故-4为G 的左单位元.（-8-a ） a=-8-a+a+4=-4故-8-a 是a 的左逆元.2、解：6||3=S 其子群的阶数只能是1，2，3，61阶子群｛（1）｝2阶子群｛（1）（12）｝｛（1）（13）｝｛（1）（23）｝ 3阶子群｛（1）（123）（132）｝6阶子群3S左陪集：（1）H=｛（1）（23）｝=（23）H（12）H=｛（12）（123）｝=（123）H（13）H=｛（13）（132）｝=（132）H右陪集：H （1）=｛（1）（23）｝=H （23）H（13）=｛（13）（23）｝=H（123）H（12）=｛（12）（132）｝=H（132）。

近世代数(410)复习资料一、单选题答题要求:下列各题，只有一个符合题意的正确答案，请选择你认为正确的答案，多选、错选、不选均不得分。

1、设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群A.4B.5C.6D.7参考答案:C答案解析:无2、偶数环的单位元个数为（）A.0个B.1个C.2个D.无数个参考答案:A答案解析:无3、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。

A.不可能是群B.不一定是群C.一定是群D.是交换群参考答案:A答案解析:无4、下面的代数系统（G，*）中，（）不是群A.G为整数集合，*为加法B.G为偶数集合，*为加法C.G为有理数集合，*为加法D.G为有理数集合，*为乘法参考答案:D答案解析:无5、若I是有单位元的环R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表达为。

A.∑xiay，xi∈RB.∑xiay，xi，yi∈RC.∑xiay，yi∈R参考答案:B答案解析:无6、设A=B=R（实数集），如果A到B的映射φ：x→x+2，∨x∈R,则φ是从A到B的（）A.满射而非单射B.单射而非满射C.映射D.既非单射也非满射参考答案:C答案解析:无7、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数()。

A.不相等B.0C.相等D.不一定相等参考答案:C答案解析:无8、A={所有整数},令τ：a→a/2,当a是偶数;a→（a+1）/2，当a是奇数，则τ为()。

A.单射变换B.满射变换C.变换D.不是变换参考答案:B答案解析:无9、循环群与交换群关系正确的是（）A.循环群是交换群B.交换群是循环群C.循环群不一定是交换群D.以上都不对参考答案:A答案解析:无10、若S是半群,则()A.任意abc∈S，都有a（bc）=（ab）cB.任意ab∈S，都有ab=baC.必有单位元D.任何元素必存在逆元参考答案:A答案解析:无11、设f：G1→G2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是()。

A.f的同态核是G1的不变子群；B.G2的不变子群的逆象是G1的不变子群；C.G1的子群的象是G2的子群；D.G1的不变子群的象是G2的不变子群。