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高考数学试题解析分项版 专题6 不等式 理

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2011年高考试题解析数学（理科）分项版06 不等式

一、选择题:

1. (2011年高考山东卷理科4)不等式|5||3|10xx的解集为

（A）[-5.7] （B）[-4,6]

（C）(,5][7,) （D）(,4][6,)

4.(2011年高考浙江卷理科5)设实数,xy满足不等式组250270,0xyxyx，y0，若,xy为整数，则34xy的最小值是

（A）14 （B）16 （C）17 （D）19 【答案】 B

【解析】：作出可行域，5032701xyxxyy由得，,xy为整数，所以4,1xy，min344116z故选B.

5.(2011年高考浙江卷理科7)若,ab为实数，则“01ab”是11abba或的

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

【答案】 A

【解析】1111abababbbaa或则21111(1)()()ababababbabaab因为01ab所以2(1)0abab 即11()()0abba于是11()()0abba所以11abba或成立，充分条件；

反之11abba或成立，即111100abababbbaa或则11()()abba2(1)0abab

故0ab，不必要条件。故选A

6.(2011年高考安徽卷理科4)设变量,xy满足1,xy则2xy的最大值和最小值分别为

（Ａ）１，－１ （Ｂ）２，－２ （Ｃ）１，－２ （Ｄ）２，－１

【答案】B

【命题意图】本题考查线性规划问题.属容易题.

【解析】不等式1xy对应的区域如图所示，

当目标函数过点（0，－1），（0,1）时，分别取最小或最大值，所以2xy的最大值和最小值分别为2，－2.故选B.

7. (2011年高考天津卷理科2)设,,xyR则“2x且2y”是“224xy”的

A. 充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件

9. (2011年高考天津卷理科8)对实数a与b，定义新运算“”：,1,,1.aababbab 设函数22()2,.fxxxxxR若函数()yfxc的图像与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（ ） A．3,21,2 B．3,21,4

C．11,,44 D.

11. (2011年高考江西卷理科3)若()log()fxx，则()fx的定义域为

A. (,) B. (,] C. (,) D.(,)

【答案】A

【解析】要使原函数有意义,只须12log(21)0x,即0211x,解得x,故选A.

12. (2011年高考江西卷理科4)若()lnfxxxx，则'()fx的解集为

A. (,) B. -+（，）（，） C. (,) D. (,)- 311,,44【答案】C

【解析】因为'()xxfxxxx,原函数的定义域为(0,),所以由'()fx可得220xx,解得2x,故选C.

13. (2011年高考湖南卷理科7)设,1m在约束条件1yxmxyxy下，目标函数myxz的最大值小于2，则m的取值范围为

A.21,1 B. ,21 C. 3,1 D. ,3

答案：A

解析：画出可行域，或分别解方程组mxyxy，1yxxy，1yxmxy得到三个区域端点0,0，21,21，

1,11mmm，当且仅当直线myxz过点1,11mmm时，z取到最大值2112mmz,解得21,1m。故选A

评析：本小题主要考查线性规划问题中，利用最值求参数的取值范围问题.

14. (2011年高考广东卷理科5)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组0222xyxy给定.若M(x，y)为D上动点，点A的坐标为(2，1)．则zOMOA的最大值为（ ）

A.42 B.32 C.4 D.3

【解析】C.由题得不等式组对应的平面区域D是如图所示的直角梯形OABC,||||cos3||cos3||zOMOAOMOAAOMOMAOMON，所以就是求||ON的最大值，||ON表示方向上的投影，在OAOM数形结合观察得当点M在点B的地方时，||ON才最大。 222236124cos23236AOMAOM2在中，OA=2+1=3,OB=2=6,AB=2-1=1,,所以423263maxz，所以选择C

15．(2011年高考湖北卷理科8)已知向量(,3),(2,)axzbyz，且ab，若,xy满足不等式1xy，则z的取值范围为

A.[—2,2] B. [—2,3] C. [—3,2] D. [—3,3]

答案：D

解析：因为ab，故0ab，即2()3()0xzyz，可得23zxy，又因为||||1xy，其图像为四条直线1,1,1,1xyxyxyxy所围成的正方形面，由线性规划可计算得当0,1xy时，33zxy取到max3z，当0,1xy，取到min3z，所以选D.

16．(2011年高考湖北卷理科9)若实数,ab满足0,0ab，且0ab，则称a与b互补，记22(,),ababab那么(,)0ab是a与b互补的

A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

答案：C

解析：由(,)0ab，即220abab，故22abab，则0ab，化简得222()abab，即ab=0，故0ab且0ab，则0,0ab且0ab，故选C.

17.(2011年高考重庆卷理科2) “1x”是“210x”的

（A）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件

解析：选D. 设22fxmxkx，则方程220mxkx在区间（0,1）内有两个不同的根等价于201001280ffkmkm，因为02f，所以120fmk，故抛物线开口向上，于是0m，02km，令1m，则由280km，得3k，则322km，所以m至少为2，但280km，故k至少为5，又522km，所以m至少为3，又由252mk，所以m至少为4，„„依次类推，发现当6,7mk时，,mk首次满足所有条件，故mk的最小值为13

20. (2011年高考四川卷理科9)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次.拍用的每吨甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元.该公司合理计划党团派用两类卡车的车辆数，可得最大利润( ) （A）4650元 （B）4700元 （C）4900元 （D）5000元

22．(2011年高考北京卷理科6)根据统计，一名工作组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为

AxAcAxxcxf,,,)(（A，C为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么C和A的值分别是

A．75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，16

【答案】D

23．(2011年高考北京卷理科8)设0,0A,4,0B， 4,4Ct,,4DttR.记Nt为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数Nt的值域为

A．9,10,11 B．9,10,12 C．9,11,12 D．10,11,12

【答案】C

24．(2011年高考福建卷理科8)已知O是坐标原点，点A（-1,1）若点M（x,y）为平面区域21y2xyx，上的一个动点，则OA·OM的取值范围是

A．[-1．0] B．[0．1] C．[0．2] D．[-1．2]

【答案】C

25．(2011年高考上海卷理科15)若,abR，且0ab，则下列不等式中，恒成立的是

（ ）

A．222abab B．2abab

C．112abab D．2baab

【答案】D

二、填空题:

1.(2011年高考浙江卷理科16)设,xy为实数，若2241,xyxy则2xy的最大值是 .。

【答案】2105

【解析】224431xyxyxy，222233251(2)2(2)()(2)2228xyxyxyxyxy

21025xy，故2xy的最大值为2105

2. (2011年高考全国新课标卷理科13)若变量,xy满足约束条件329,69,xyxy则2zxy的最小值为 。

答案: -6 6yx y

9yx

92yx

32yx o x

)5,4(A

第13题图 解析：如图可知最优解是（4，-5），所以，6)5(24minz

点评：本题考查线性规划问题，求最优解事先要准确画出线性区域是关键。

3．(2011年高考天津卷理科13)已知集合1|349,|46,(0,)AxRxxBxRxttt，则集合AB=________

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高考数学专题--基本不等式求最值的常用方法(解析版)

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直线ab经过点M可得1+a*log(m)=b，化简得a*log(m)=b-1

将a*log(m)代入第一个式子得到11/b+log(m)的最小值

令t=log(m)，则有11/b+t的最小值，根据部分“1”代换可得

11/b+t=(1+1/b)*b+(t-1)的最小值，当且仅当b=2时取“=”，此时a=log(2)即为最小值。

已知$x>0$，$y>0$，且$x+y=1$，求$\frac{y^4}{x^2y^2}$的最小值。

解析：$\frac{y^4}{x^2y^2}=y^2+\frac{y^4}{x^2}\geq

2\sqrt{y^2\cdot\frac{y^4}{x^2}}=2y^2$，所以最小值为$2$，当且仅当$x=y=\frac{1}{2}$时取等号。

已知正数$x$，$y$，且$x+y=4$，求$\frac{4}{x+2y+1}$的最小值。

解析：令$m=x+2$，$n=y+1$，则$x+2+y+1=m+n=5$，$\frac{4}{x+2y+1}=\frac{4}{m+n-2}\geq\frac{4}{4}=1$，所以最小值为$1$，当且仅当$x=2$，$y=1$时取等号。

已知$x>y>0$，且$x+y\leq 3$，求$\frac{3x+y}{2x+by+1}$的最小值。

解析：令$m=2x+y$，$n=y+1$，则$x=\frac{m-2n}{3}$，$y=n-1$，$x>y$可得$\frac{m-2n}{3}>n-1$，即$m>5n-3$。所以$\frac{3x+y}{2x+by+1}=\frac{3m-6n+n}{2m+bn+1}=\frac{3}{2}\cdot\frac{m}{m+\frac{bn+1}{2}-n}\geq\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{3}=2.5$，所以最小值为$2.5$，当且仅当$m=5n-3$时取等号，即$x=2$，$y=1$。

高考数学 专题06 确定抽象函数单调性解函数不等式黄金

高考数学 专题06 确定抽象函数单调性解函数不等式黄金

专题06 确定抽象函数单调性解函数不等式

【高考地位】

函数的单调性是函数的一个非常重要的性质，也是高中数学考查的重点内容。而抽象函数的单调性解函数不等式问题，其构思新颖，条件隐蔽，技巧性强，解法灵活，往往让学生感觉头痛。因此，我们应该掌握一些简单常见的几类抽象函数单调性及其应用问题的基本方法。

【方法点评】

确定抽象函数单调性解函数不等式

使用情景：几类特殊函数类型

解题模板：第一步 （定性）确定函数)(xf在给定区间上的单调性和奇偶性；

第二步 （转化）将函数不等式转化为)()(NfMf的形式；

第三步 （去f）运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；

第四步 （求解）解不等式或不等式组确定解集；

第五步 （反思）反思回顾，查看关键点，易错点及解题规范.

例1 已知函数fx是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的实数12,xx，且12xx，不等式11221221xfxxfxxfxxfx恒成立，则不等式1120xfx的解集为__________．

【答案】11,2.

例2.已知定义为R的函数fx满足下列条件：①对任意的实数,xy都有：

1fxyfxfy；②当0x时，1fx．

（1）求0f；

（2）求证：fx在R上增函数；

（3）若67,3fa，关于x的不等式223faxfxx对任意1,x恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）01f；（2）证明见解析；（3）5,3．

即2130xax在1,x上恒成立，

令213gxxax，即min0gx成立即可．

①当112a，即3a时，gx在1,x上单调递增，

2015届高三数学—不等式1：基本不等式经典例题+高考真题剖析(解析版)

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基本不等式

应用一：求最值

例：求下列函数的值域

（1）y＝3x 2＋12x 2 （2）y＝x＋1x

解：(1)y＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2 ＝6 ∴值域为[6 ，+∞）

(2)当x＞0时，y＝x＋1x ≥2x·1x ＝2；

当x＜0时， y＝x＋1x = －（－ x－1x ）≤－2x·1x =－2

∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

 解题技巧

技巧一：凑项

例 已知54x，求函数14245yxx的最大值。

解：因450x，所以首先要“调整”符号，又1(42)45xx不是常数，所以对42x要进行拆、凑项，

5,5404xx，11425434554yxxxx231

当且仅当15454xx，即1x时，上式等号成立，故当1x时，max1y。

技巧二：凑系数

例：

当时，求(82)yxx的最大值。

解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8xx为定值，故只需将(82)yxx凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号 当x＝2时，(82)yxx的最大值为8。

变式：设230x，求函数)23(4xxy的最大值。

解：∵230x∴023x∴2922322)23(22)23(42xxxxxxy

当且仅当,232xx即23,043x时等号成立。

技巧三： 分离、换元

例：求2710(1)1xxyxx的值域。

解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当,即时,421)591yxx（（当且仅当x＝1时取“＝”号）。

解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

专题06 不等式恒成立问题(学生版) -2025年高考数学压轴大题必杀技系列导数

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专题6 不等式恒成立问题

函数与导数一直是高考中的热点与难点,利用导数研究不等式恒成立问题一直是高考命题的热点,此类问题

一般会把函数、导数及不等式交汇考查,对能力要求比较高,难度也比较大,常见的题型是由不等式恒成立确定

参数范围问题,常见处理方法有：①构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不

等式,从而求出参数的取值范围．②分离变量,把问题转化为函数的最值问题．

(一) 与不等式恒成立问题有关的结论

①. ∀x∈D,均有f(x)>A恒成立,则f(x)

min>A；

②. ∀x∈D,均有f(x)﹤A恒成立,则 f(x)

max

③. ∀x∈D,均有f(x) >g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) >0,∴ F(x)

min >0；

④. ∀x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) <0,∴ F(x)

max <0；

⑤. ∀x

1∈D, ∀x

2∈E,均有f(x

1) >g(x

2)恒成立,则f(x)

min> g(x)

max；

⑥. ∀x

1∈D, ∀x

2∈E,均有f(x

1)

2)恒成立,则f(x)

max < g(x)

min.

【例1】（2024届天津市河西区高三下学期质量调查三）已知函数2

2lnfxax

x=--,

2

21lngxaxax

x=-+-,其中aÎR．

(1)若

20f¢=,求实数a的值

(2)当0a>时,求函数

gx

的单调区间；

(3)

若存在21

,e

exéù

Î

êú

ëû使得不等式

fxgx£成立,求实数a的取值范围．

【解析】（1）因为2

2lnfxax

x=--,则

222a

fx

xx=-¢+,

由

20f¢=

可得

222

0

22a

-+=,

解得1

2a=.

（2）函数2

21lngxaxax

x=-+-的定义域为

0,¥+

,且2

22221212212axaxaxxa

gxa

xxxx-++--+

=-+=¢=,

当0a>时,令