高考数学分项版解析 专题06 数列 理

第六章

数列

一．基础题组

1.【2005天津，理13】在数列{}na中，11a，22a且*211nnnaanN则100S__________。

【答案】2600

【解析】当n为奇数时，20nnaa；当n为偶数时，22nnaa

因此，数列{}na的奇数各项都是1，偶数项成公差为2的等差数列

210010011505021005050260022aaSaa

本题答案填写：2600

2.【2006天津，理7】已知数列}{na、}{nb都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a、1b，且511ba，*11,Nba．设nbnac（*Nn），则数列}{nc的前10项和等于（ ）

A．55 B．70 C．85 D．100

【答案】C

3.【2006天津，理16】设函数11xxf，点0A表示坐标原点，点*,NnnfnAn，若向量01121nnnaAAAAAAuuruuuuruuuuruuuuuurL，n是nauur与ir的夹角，（其中0,1i），设nnStantantan21，则nnSlim= ．

【答案】1

【解析】设函数11xxf，点0A表示坐标原点，点*,NnnfnAn，若向量01121nnnaAAAAAAuuruuuuruuuuruuuuuurL=0nAAuuuuur，n是nauur与ir的夹角，111tan(1)nnnnn（其

中0,1i），设nnStantantan21111111223(1)1nnnL，则nnSlim=1．

4.【2007天津，理8】设等差数列na的公差d不为0,19ad.若ka是1a与2ka的等比中项，则k ( )

A.2 B.4 C.6 D.8

【答案】B

【解析】

ka是1a与2ka的等比中项可得12kkaaa(*)，由na为等差数列可得121(1),(21)kkaakdaakd及19ad代入(*)式可得4k.故选B

5.【2007天津，理13】设等差数列na的公差d是2，前n项的和为,nS则22limnnnanS__________.

【答案】3

【解析】

根据题意知11(1)222naanna21,(1)nSnna代入极限式得22112134(2)(2)lim3(1)nnananna

6.【2008天津，理15】已知数列na中，*31,1111Nnaaannn，则nnalim .

【答案】76

7.【2009天津，理6】设a＞0,b＞0.若3是3a与3b的等比中项,则ba11的最小值为（ ）

A.8 B.4 C.1 D.41

【答案】B

【解析】3是3a与3b的等比中项3a·3b＝33a+b＝3a+b＝1,∵a＞0,b＞0,∴41212abbaab.∴4411111ababbaba.

8.【2010天津，理6】已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列1na的前5项和为( )

A.158或5 B.3116或5 C.3116 D. 158

【答案】C

法二：∵S6＝S3＋a4＋a5＋a6＝S3＋S3·q3，

∴9S3＝S3＋S3·q3得q3＝8，解得q＝2.

∴{1na}是首项为1，公比为12的等比数列．

∴其前5项和为511[1()]31211612

9.【2011天津，理4】已知na为等差数列，其公差为-2，且7a是3a与9a的等比中项，

nS为na的前n项和，*nN，则10S的值为

A．-110 B．-90 C．90 D．110

【答案】D.

【解析】∵2,9327•daaa，∴)16)(4()12(1121aaa，解之得201a，

∴110)2(2910201010s.

10.【2014天津，理11】设{}na是首项为1a，公差为1-的等差数列，nS为其前n项和．若124,,SSS成等比数列，则1a的值为__________．

【答案】12．

【解析】

试题分析：依题意得2214SSS=，∴()()21112146aaa-=-，解得112a=-．

考点：1．等差数列、等比数列的通项公式；2．等比数列的前n项和公式．

二．能力题组

1.【2005天津，理18】已知：1221*,0,0nnnnnnuaabababbnNabL。

（Ⅰ）当a = b时，求数列{na}的前n项和nS；

（Ⅱ）求1limnnnuu。

【答案】（Ⅰ）若1a， 21221221nnnnanaaaSa,若1a，则32nnnS

（Ⅱ）当1q时，，1limnnnuau,当1q时，

1limnnnubu

【解析】解：（I）当ab时，1nnuna，它的前n项和

232341nnSaaanaL ①

①两边同时乘以a，得

23412341nnaSaaanaL ②

①



②，得：

231121nnnaSaaaanaL

若1a，则：11111nnnaaaSnaaa

得：12122211122111nnnnnaaanananaaaSaaa

若1a，则32312nnnSnnL

2.【2006天津，理21】已知数列nnyx,满足2,12121yyxx，并且

1111,nnnnnnnnyyyyxxxx（为非零参数，,4,3,2n）．

（1）若531,,xxx成等比数列，求参数的值；

（2）当0时，证明*11Nnyxyxnnnn；

当1时，证明*11332222111Nnyxyxyxyxyxyxnnnn.

【答案】 （1）1.（2）（I）详见解析，（II）详见解析

【解析】（I）解：由已知121xx，且

..,65344534233431223xxxxxxxxxxxxxxx

若1x、3x、5x成等比数列，则226315,.0,1.xxx即而解得

（III）证明：当1时，由（II）可知).(1*Nnxynn

又由（II）),(*11Nnyxyxnnnn则 ,111nnnnnnxxyxxy

从而).(*1111Nnxxxyxynnnnnnn 因此

.111)1(1)1(1111133222211nnnnnnyxyxyxyxyxyx

3.【2012天津，理18】已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10．

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；

(2)记Tn＝anb1＋an－1b2＋…＋a1bn，n∈N*，证明Tn＋12＝－2an＋10bn(n∈N*)．

【答案】(1) an＝3n－1，bn＝2n， (2) 详见解析

【解析】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d．

由条件，得方程组3323227,86210,dqdq解得3,2.dq

所以an＝3n－1，bn＝2n，n∈N*．

(2)证明：(方法一)

由(1)得

Tn＝2an＋22an－1＋23an－2＋…＋2na1，①

2Tn＝22an＋23an－1＋…＋2na2＋2n＋1a1．②

由②－①，得

Tn＝－2(3n－1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n＋2n＋2

＝112(12)12n＋2n＋2－6n＋2＝10×2n－6n－10．

而－2an＋10bn－12＝－2(3n－1)＋10×2n－12＝10×2n－6n－10，故Tn＋12＝－2an＋10bn，n∈N*．

(方法二：数学归纳法)

①当n＝1时，T1＋12＝a1b1＋12＝16，－2a1＋10b1＝16，故等式成立；

4.【2013天津，理19】已知首项为32的等比数列{an}不是．．递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设Tn＝1nnSS(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．

【答案】（Ⅰ）13(1)2nnna；（Ⅱ）最大项的值为56，最小项的值为712.

【解析】解：(1)设等比数列{an}的公比为q，

因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，

所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，

即4a5＝a3，于是25314aqa.

又{an}不是递减数列且132a，所以12q.

故等比数列{an}的通项公式为11313(1)222nnnna.

(2)由(1)得11,121121,.2nnnnnSn为奇数，为偶数

当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1＜Sn≤S1＝32，

故11113250236nnSSSS.

当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以34＝S2≤Sn＜1，

故221134704312nnSSSS.

综上，对于n∈N*，总有715126nnSS.

所以数列{Tn}最大项的值为56，最小项的值为712.

5.【2014天津，理19】已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合{}0,1,2,1,qM=-L，集合{}112,,1,2,,nniAxxxxqxqxMin-+?==++LL．

（Ⅰ）当2q=，3n=时，用列举法表示集合A；

（Ⅱ）设,stAÎ，112nnsaaqaq-=+++L，112nntbbqbq-=+++L，其中,,1,2,,.iiabMin?L证明：若nnab<，则st<．

【答案】（Ⅰ）{}0,1,2,3,4,5,6,7A=；（Ⅱ）详见试题分析．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）当2,3qn==时，