高中数学必修2《圆与方程》知识点讲义

第三章 概率

一．随机事件的概率

1、基本概念：

不可能事件确定事件事件必然事件随机事件

（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；

（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；

（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；

（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；

（5）事件：确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C……表示。

2、概率与频数、频率：

在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数；称事件A出现的比例fn(A)= Ann 为事件A出现的概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A) 稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。

频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值Ann，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率。

二．概率的基本性质

1、各种事件的关系：

（1）并（和）事件

（2）交（积）事件

（3）互斥事件

（4）对立事件

2、概率的基本性质：

（1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；

（2）P(E)=1(E为必然事件）；

（3）P(F)=0(F为必然事件）；

（4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；

（5）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；

《圆的标准方程》教学设计

一、教材分析

1、教学内容

人教B版教科书《数学》必修2第二章平面解析几何初步中2﹒3节圆的方程。本节主要研究圆的标准方程、一般方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，以及他们在生活中的简单运用。

2、 教材的地位与作用

圆是最简单的曲线之一，这节教材安排在学习了直线之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论为后继学习作好准备。同时有关圆的问题，特别是直线与圆的位置问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法。应此教学中应加强练习，使学生确实掌握这单元的知识和方法。

本课是单元的第一课，和直线方程一样，教学中先设计一个问题情景，让学生讨论，并引导学生观察圆上点在运动时，不变的是什么，抓住圆的本质，突破难点。

3、 三维目标

（1）知识与技能：掌握圆的标准方程的形式；能够根据题目给定条件求圆的标准方程；能够根据圆的标准方程找到圆心和半径。

（2）过程与方法：加深对数形结合思想和待定系数法的理解；增强应用数学的意识。

（3）情感、态度、价值观：培养主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学习兴趣，从而培养勤于思考、勤于动手的良好品质。

4．教学重点

圆的标准方程的推导以及根据条件求圆的标准方程

5. 教学难点

根据条件求圆的标准方程。

二．教法分析

高一学生，在老师的引导下，已经具备一定探究与研究问题的能力。所以在设计问题时应考虑周全和灵活性，采用启发式探索式教学，师生共同探讨，共同研究，让学生积极思考，主动学习。

在教学过程中采用讨论法，向学生提供具备启发式和思考性的问题。因此，要求学生在课上讨论，提高学生的探索，推理，想象，分析和总结归纳等方面的能力。

三、学法分析

从高考发展的趋势看，高考越来越重视学生的分析问题、解决问题的能力。因此，要求学生在学习中遇到问题时，不要急于求成，而要根据问题提供的信息回忆所学知识，涉及到转化思想，数形结合的思想，应用平面解析几何的相关知识。

数学必修二圆的方程知识点总结

总结是指对某一阶段的工作、学习或思想中的经验或情况加以总结和概括的书面材料，它可以给我们下一阶段的学习和工作生活做指导，快快来写一份总结吧。但是却发现不知道该写些什么，以下是小编收集整理的数学必修二圆的方程知识点总结，希望能够帮助到大家。

圆的方程

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

2、圆的方程

（1）标准方程，圆心，半径为r；

（2）一般方程

当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为

当时，表示一个点；当时，方程不表示任何图形。

（3）求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，

需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：

（1）设直线，圆，圆心到l的距离为，则有；；

（2）过圆外一点的'切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程

（3）过圆上一点的切线方程：圆（x—a）2+（y—b）2=r2，圆上一点为（x0，y0），则过此点的切线方程为（x0—a）（x—a）+（y0—b）（y—b）=r2

4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。 设圆，

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。

当时两圆外离，此时有公切线四条；

当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；

当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；

当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；

当时，两圆内含；当时，为同心圆。

注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线

圆的方程

知识梳理：

1.圆的方程

(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 其中圆心为C(a，b)，，半径为r(r>0).

(2)圆的一般方程:x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（其中 D2＋E2－4F>0）.圆心为(－D2，－E2)，半径为12D2＋E2－4F.

2.点与圆的位置关系

判断点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系有几何法和代数法两种：

(1)几何法：利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系：

①d>r，点在圆外； ②d＝r，点在圆上； ③d

(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，具体判断如下：

①当(x0－a)2＋(y0－b)2

②当(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2时，点在圆上；

③当(x0－a)2＋(y0－b)2>r2时，点在圆外．

3.求圆的标准方程时，一般有两种方法：

(1)待定系数法：

①根据题意，设出所求圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2；

②根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；

③解方程组，求出a，b，r的值，从而得到圆的方程。

这种方法体现了方程的思想，思路直接，是通用方法，如本题法一、法二．

(2)几何法：由圆的几何性质直接求出圆心坐标和半径，然后代入标准式写出方程．这种方法要充分利用圆的几何性质，但计算相对较容易．

4.直线与圆的位置关系的判定方法

(1)代数法：直线与圆的方程联立消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，此方程的判别式为Δ，则

①直线与圆相交⇔Δ>0； ②直线与圆相切⇔Δ＝0； ③直线与圆相离⇔Δ<0. (2)几何法：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则

①直线与圆相交⇔dr.

5.圆与圆位置关系的判断

设两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：

位置关系

外离

外切

相交

内切 内含

图示

d与r1、r2

的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|