【高中数学】高一数学必修二《圆与方程》知识点整理[1]

精品文档 用心整理

资料来源于网络 仅供免费交流使用 人教版高中数学必修二

知识点梳理

重点题型（常考知识点）巩固练习

直线与圆的方程的应用

【学习目标】

1．能利用直线与圆的方程解决有关的几何问题；

2．能利用直线与圆的方程解决有关的实际问题；

3．进一步体会、感悟坐标法在解决有关问题时的作用．

【要点梳理】

要点一、用直线与圆的方程解决实际问题的步骤

1．从实际问题中提炼几何图形；

2．建立直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面问题转化为代数问题；

3．通过代数运算，解决代数问题；

4．将结果“翻译”成几何结论并作答．

要点二、用坐标方法解决几何问题的“三步曲”

用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆；然后对坐标和方程进行代数运算；最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”.

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.

要点诠释：

坐标法的实质就是借助于点的坐标，运用解析工具(即有关公式)将平面图形的若干性质翻译成若干数量关系.在这里，代数是工具、是方法，这是笛卡儿解析几何的精髓所在.

要点三、用坐标法解决几何问题时应注意以下几点

1．建立直角坐标系时不能随便，应在利于解题的原则下建立适当的直角坐标系；

2．在实际问题中，有些量具有一定的条件，转化成代数问题时要注意范围；

3．最后要把代数结果转化成几何结论．

【典型例题】

类型一：直线与圆的方程的实际应用

例1．有一种大型商品，A、B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A地是B地的两倍，若A、B两地相距10公里，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？

1 高中数学必修2知识点总结

第四章 圆与方程

4.1.1 圆的标准方程

1、圆的标准方程：222()()xaybr

圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程

2、点00(,)Mxy与圆222()()xaybr的关系的判断方法：

（1）2200()()xayb>2r，点在圆外 （2）2200()()xayb=2r，点在圆上

（3）2200()()xayb<2r，点在圆内

4.1.2 圆的一般方程

1、圆的一般方程：022FEyDxyx

2、圆的一般方程的特点：

(1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有xy这样的二次项．

(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．

(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

4.2.1 圆与圆的位置关系

1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．

设直线l：0cbyax，圆C：022FEyDxyx，圆的半径为r，圆心)2,2(ED到直线的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当rd时，直线l与圆C相离；（2）当rd时，直线l与圆C相切；

（3）当rd时，直线l与圆C相交；

4.2.2 圆与圆的位置关系

两圆的位置关系．

设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当21rrl时，圆1C与圆2C相离；（2）当21rrl时，圆1C与圆2C外切；

（3）当||21rr21rrl时，圆1C与圆2C相交；

2 （4）当||21rrl时，圆1C与圆2C内切；（5）当||21rrl时，圆1C与圆2C内含；

4.2.3 直线与圆的方程的应用

1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；

一、圆的标准方程

1．圆的标准方程

基本

要素 当圆心的位置与半径的大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是__________和__________

标准

方程 圆心为(,)Cab，半径为r的圆的标准方程是________________

图示

说明 若点,()Mxy在圆C上，则点M的__________适合方程222()()xaybr；反之，若点,()Mxy的坐标适合方程222()()xaybr，则点M在__________上

2．圆的标准方程的推导

如图，设圆的圆心坐标为(,)Cab，半径长为r(其中a,b,r都是常数，r>0).设()，Mxy为该圆上任意一点，那么圆心为C的圆就是集合|PMMCr.由两点间的距离公式，得圆上任意一点M的坐标(x,y)满足的关系式为22()()xaybr ①，①式两边平方，得222()()=xaybr.

3．点与圆的位置关系

圆C：222()(0())xaybrr，其圆心为,()Cab，半径为r，点00(,)Pxy，设2200||()()xadPCyb.

位置关系 d与r的大小 图示 点P的坐标的特点

点在圆外 ____dr

22200()()xaybr

点在圆上 ____dr

22200()()xaybr

点在圆内 ____dr

22200()()xaybr

二、圆的一般方程

1．圆的一般方程的定义

当2240DEF时，方程220xyDxEyF表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程，其中圆心为________________，半径r_________________.

2．圆的一般方程的推导

把以(,)ab为圆心，r为半径的圆的标准方程222()()xaybr展开，并整理得22222220xyaxbyabr.取2222,2,DaEbFabr，得：

让学生学会学习

圆与方程

三维目标：

知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。

2、会用待定系数法求圆的标准方程。

过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。

情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。

教学重点：圆的标准方程

教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

教学过程：

1、情境设置：

在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？

探索研究：

2、探索研究：

确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。（其中a、b、r都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件22()()xaybr ①

化简可得：222()()xaybr ②

642-2-4-55MA

引导学生自己证明222()()xaybr为圆的方程，得出结论。

方程②就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。

3、知识应用与解题研究

例（1）：写出圆心为(2,3)A半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(5,1)MM是否在这个圆上。

分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。

探究：点00(,)Mxy与圆222()()xaybr的关系的判断方法： 让学生学会学习

（1）2200()()xayb>2r，点在圆外