当前位置：文档之家 › 高中数学必修2--圆与方程知识点归纳总结

高中数学必修2--圆与方程知识点归纳总结

  • 格式：pdf
  • 大小：361.41 KB
  • 文档页数：5

圆与方程知识点

1.圆的标准方程：以点

),(baC为圆心，

r为半径的圆的标准方程是

222

)()(rbyax.

特例：圆心在坐标原点，半径为

r的圆的方程是：

222

ryx.

2.点与圆的位置关系：

(1).设点到圆心的距离为d，圆半径为r：a.点在圆内d＜r；b.点在圆上d=r；c.点在圆外d＞r

(2).给定点

),(

00yxM及圆

222

)()(:rbyaxC.

①

M在圆

C内

22

02

0)()(rbyax

②

M在圆

C上

22

02

0)()rbyax（

③

M在圆

C外

22

02

0)()(rbyax

（3）涉及最值：

1圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值

minPBBNBCr

maxPBBMBCr

2圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值

minPAANrAC

2maxPAAMrAC

思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC）

3.圆的一般方程：

0

22

FEyDxyx.

(1)当

0422

FED时，方程表示一个圆，其中圆心







2,

2ED

C，半径

2422

FED

r

.

(2)当

0422

FED时，方程表示一个点







2,

2ED

.

(3)当

0422

FED时，方程不表示任何图形.

注：方程

022

FEyDxCyBxyAx表示圆的充要条件是：

0B且

0CA且

0422

AFED.

4.直线与圆的位置关系：

直线

0CByAx与圆

222

)()(rbyax

圆心到直线的距离

22BACBbAa

d



1）

无交点直线与圆相离rd；

2）

只有一个交点直线与圆相切rd；

3）

有两个交点直线与圆相交rd；弦长|AB|=

222dr

d

r

d=r

r

d还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组





00

22FEyDxyxCByAx

求解，

通过解的个数来判断：

（1）当0时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交；

（2）当0时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；

（3）当0时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；

5.两圆的位置关系

（1）设两圆2

12

12

11)()(:rbyaxC与圆2

22

22

22)()(:rbyaxC，

圆心距2

212

21)()(bbaad

1条公切线外离4

21rrd；

2

条公切线外切3

21rrd；3

条公切线相交2

2121rrdrr；4

条公切线内切1

21rrd；5

无公切线内含

210rrd；

外离外切相交内切

（2）两圆公共弦所在直线方程

圆

1C：22

1110xyDxEyF，

圆

2C：22

2220xyDxEyF，

则

1212120DDxEEyFF为两相交圆公共弦方程.

补充说明：

1若

1C与

2C相切，则表示其中一条公切线方程；

2若

1C与

2C相离，则表示连心线的中垂线方程.

（3）圆系问题

过两圆

1C：22

1110xyDxEyF和

2C：22

2220xyDxEyF交点的圆

系方程为

2222

1112220xyDxEyFxyDxEyF

（1

）

补充：

1上述圆系不包括

2C；

22）当1

时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）

3过直线0AxByC与圆220xyDxEyF交点的圆系方程为

22

0xyDxEyFAxByC



6.过一点作圆的切线的方程：

(1)过圆外一点的切线：

①k不存在，验证是否成立

②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即









1)()(

2110101

Rxakyb

Rxxkyy

求解k，得到切线方程【一定两解】

例1.经过点P(1，—2)点作圆(x+

1)2+

(y—

2)2=

4的切线，则切线方程为

。(2)过圆上一点的切线方程：圆(x—a

)2+

(y—b

)2=r2

，圆上一点为(x

0，y

0)，

则过此点的切线方程为(x

0—a

)(x—a

)+

(y

0—b

)(y—b

)=r2

特别地，过圆

222

ryx上一点

),(

00yxP的切线方程为

2

00ryyxx.

例2.经过点P(—4，—8)点作圆(x+

7)2+

(y+

8)2=

9的切线，则切线方程为。

7．切点弦

(1)过⊙C

：222

)()(rbyax外一点),(

00yxP作⊙C

的两条切线，切点分别为

BA、，则切点弦AB所在直线方程为：2

00))(())((rbybyaxax

8.切线长：

若圆的方程为(x

a

)2

(y

b

)2

=r2

，则过圆外一点P

(x

0,y

0)的切线长为

d

=

22

02

0b)(+)(ryax．

9.圆心的三个重要几何性质：

1圆心在过切点且与切线垂直的直线上；

2圆心在某一条弦的中垂线上；

3两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。

10.两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法

例.已知圆C

1：x2

+y2

—2x

=0和圆C

2：x2

+y2

+4y

=0，试判断圆和位置关系，

若相交，则设其交点为A、B，试求出它们的公共弦AB

的方程及公共弦长。

合集下载

高中数学必修2知识点总结：第四章 圆与方程

高中数学必修2知识点总结：第四章 圆与方程

高中数学必修2知识点总结：第四章圆与方程

归海木心QQ:634102564

高中数学必修2知识点总结

第四章圆与方程

411圆的标准方程

1、圆的标准方程：a2b2r2

圆心为Aa,b,半径为r的圆的方程

2、点M0,0与圆a（1）0（3）02b2r2的关系的判断方法：

a) 20b2>r2，点在圆外（2）0a20b2=r2，点在圆上a20b2归海木心QQ:634102564

（4）当|r1r2|时，圆C1与圆C2内切；（5）当|r1r2|时，圆C1与圆C2内含；

423直线与圆的方程的应用

1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；2、过程与方法

用坐标法解决几何问题的步骤： 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．

RM431空间直角坐标系

1、点M对应着唯一确定的有序实数组,,，、上的坐标

2、有序实数组,,，对应着空间直角坐标系中的一点

、分别是"3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组,,来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M,,，叫做点M的横坐标，坐标。叫做点M的纵坐标，叫做点M的竖

432空间两点间的距离公式1、空间中任意一点1MM2HN2N

归海木心QQ:6341025

扩展阅读：高中数学必修2知识点总结：第四章圆与方程

中国权威高考信息资源门户

高中数学必修2知识点总结

第四章圆与方程 411圆的标准方程

1、圆的标准方程：abr

圆心为Aa,b,半径为r的圆的方程

2、点M0,0与圆abr的关系的判断方法：

（1）0a0b>r，点在圆外（2）0a0b=r，点在圆上（3）0a0b中国权威高考信息资源门户

（4）当|r1r2|时，圆C1与圆C2内切；（5）当|r1r2|时，圆C1与圆C2内含；

423直线与圆的方程的应用

1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；2、过程与方法

高中数学必修二圆与方程

高中数学必修二圆与方程

高中数学必修二圆与方程

高中数学必修二：圆与方程

圆和方程作为高中数学必修二中的重要知识点，是数学学习中的基础内容。圆是平面上到给定点距离等于定值的点的集合，是几何中的重要图形之一；而方程则是描述数学关系的一种数学语言。本文将详细讲解圆和方程的相关知识，帮助读者更好地理解和掌握这些内容。

1. 圆的基本概念

在几何中，圆是一个封闭曲线，由一个平面上所有到指定点距离相等的点组成。圆的基本要素包括圆心、半径、直径、弦、弧等。圆心是圆的中心点，通常用字母O表示；半径是从圆心到圆周上任意点的距离，通常用字母r表示；直径是通过圆心的两个端点的线段，通常用字母d表示。弦是连接圆上两点的线段，弧是圆上的一段曲线。圆的周长公式为C=2πr，面积公式为S=πr²。

2. 圆的相关定理

在学习圆的过程中，我们需要掌握一些重要的定理，如圆的相交、切线、相切等相关定理。其中，切线与圆的切点垂直、相切圆的切线垂径于切点等定理是解题中经常用到的重点内容。此外，根据圆的位置关系，我们还可以推导出诸如同位角、同弦、相等弧等相关定理，这些定理在解题中能够帮助我们更快更准确地完成题目。

3. 圆的参数方程 在高中数学中，我们还需要学习圆的参数方程。当圆的中心不在坐标原点时，我们可以通过参数方程的方式来描述圆的位置。圆的参数方程一般为x=rcosθ，y=rsinθ，其中θ为参数，r为半径。通过参数方程，我们可以方便地描述圆的位置和形状，是解决复杂问题时的重要工具。

4. 一元二次方程

另一个重要的数学概念是一元二次方程。一元二次方程是指形式为ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c为常数且a≠0。解一元二次方程的方法有因式分解、配方法、求根公式等。掌握一元二次方程的解题方法对于高中数学的学习至关重要，同时也是解决实际问题的基础。

5. 二次函数

一元二次方程的图像是抛物线，对应的函数为二次函数。二次函数的一般形式为y=ax²+bx+c，其中a≠0。二次函数的图像在平面直角坐标系中为一条抛物线，开口方向由二次系数a的正负确定。学习二次函数的性质和图像，有助于我们更好地理解和掌握一元二次方程的相关知识。

必修2圆与方程知识点归纳总结

必修2圆与方程知识点归纳总结

圆与方程

1. 圆的标准方程：以点),(baC为圆心，r为半径的圆的标准方程是222)()(rbyax.

特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：222ryx.

2. 点与圆的位置关系：

(1). 设点到圆心的距离为d，圆半径为r：

a.点在圆内 d＜r； b.点在圆上 d=r； c.点在圆外 d＞r

(2). 给定点),(00yxM及圆222)()(:rbyaxC.

①M在圆C内22020)()(rbyax

②M在圆C上22020)()rbyax（

③M在圆C外22020)()(rbyax

（3）涉及最值：

① 圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值

minPBBNBCr

maxPBBMBCr

② 圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值

minPAANrAC

maxPAAMrAC

思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC）

3. 圆的一般方程：022FEyDxyx .

(1) 当0422FED时，方程表示一个圆，其中圆心2,2EDC，半径2422FEDr. (2) 当0422FED时，方程表示一个点2,2ED.

(3) 当0422FED时，方程不表示任何图形.

注：方程022FEyDxCyBxyAx表示圆的充要条件是：0B且0CA且0422AFED.

4. 直线与圆的位置关系：

直线0CByAx与圆222)()(rbyax

圆心到直线的距离22BACBbAad

1）无交点直线与圆相离rd；

高中数学 必修2：4.1 圆的方程

高中数学 必修2：4.1 圆的方程

4.1 圆的方程

一、圆的标准方程

1．圆的标准方程

基本

要素 当圆心的位置与半径的大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是圆心和半径

标准

方程 圆心为(,)Cab，半径为r的圆的标准方程是222()()=xaybr

图示

说明 若点,()Mxy在圆C上，则点M的坐标适合方程222()()xaybr；反之，若点,()Mxy的坐标适合方程222()()xaybr，则点M在圆C上

2．圆的标准方程的推导

如图，设圆的圆心坐标为(,)Cab，半径长为r(其中a,b,r都是常数，r>0).设()，Mxy为该圆上任意一点，那么圆心为C的圆就是集合|PMMCr.由两点间的距离公式，得圆上任意一点M的坐标(x,y)满足的关系式为22()()xaybr ①，①式两边平方，得222()()=xaybr.

3．点与圆的位置关系

圆C：222()(0())xaybrr，其圆心为,()Cab，半径为r，点00(,)Pxy，设2200||()()xadPCyb.

位置关系 d与r的大小 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 ____dr

22200()()xaybr

点在圆上 ____dr

22200()()xaybr

点在圆内 ____dr

22200()()xaybr

二、圆的一般方程

1．圆的一般方程的定义

当2240DEF时，方程220xyDxEyF表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程，其中圆心为，半径r.

2．圆的一般方程的推导

把以(,)ab为圆心，r为半径的圆的标准方程222()()xaybr展开，并整理得22222220xyaxbyabr.取2222,2,DaEbFabr，得：

220xyDxEyF ①.

把①的左边配方，并把常数项移到右边，得22224()()224DEDEFxy.