高考数学复习课件：平面向量的概念及线性运算

第一节平面向量的概念及其线性运算

1．向量的有关概念

名称定义备注

向量既有大小又有方向的量；向量的大小

叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量

零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0

单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a

|a|

平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做

共线向量)0与任一向量平行或共线

相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小

相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0

2.向量的线性运算

向量运算定义法则(或几何意义) 运算律

加法求两个向量和的

运算三角形法则

平行四边形法则(1)交换律：

a＋b＝b＋a；

(2)结合律：(a＋b)＋c＝a

＋(b＋c)

减法求a与b的相反向

量－b的和的运

算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)

数乘求实数λ与向量a

的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；

(2)当λ＞0时，λa的方向

与a的方向相同；当λ＜0

时，λa的方向与a的方向

相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μ　a)＝(λμ)a；

(λ＋μ)a＝λa＋μa；

λ(a＋b)＝λa＋λb

3.共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.

[小题体验]

1．下列四个命题中，正确的命题是()

A．若a∥b，则a＝b B．若|a|＝|b|，则a＝b

C．若|a|＝|b|，则a∥bD．若a＝b，则|a|＝|b|

答案：D

2．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k()

A．共线B．不共线

C．共线且同向D．不一定共线

答案：D

3．若D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD―→等于()

A．－BC―→＋1

2BA―→

B．－BC―→－1

2 BA―→

C．BC―→

－1

2BA―→

D．BC―→

＋1

2 BA―→

答案：A

4．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.

答案：－1

3

1．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错

我爱学习网 在线学习网 分享学习方法 励志人生

我爱学习网 高中数学学习方法/gaozhong/shuxue/fangfa/ 第1讲 平面向量的概念及线性运算

【2015年高考会这样考】

1．考查平面向量的线性运算．

2．考查平面向量的几何意义及其共线条件．

【复习指导】

本讲的复习，一是要重视基础知识，对平面向量的基本概念，加减运算等要熟练掌握，二是要掌握好向量的线性运算，搞清这些运算法则和实数的运算法则的区别．

基础梳理

1．向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．

(2)零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．

(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．

2．向量的线性运算

向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律

加法 求两个向量和的运算

三角形法则

平行四边形法则 (1) 交换律：

a＋b＝b＋a.

(2)结合律：

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 我爱学习网 在线学习网 分享学习方法 励志人生

我爱学习网 高中数学学习方法/gaozhong/shuxue/fangfa/

减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

三角形法则 a－b＝a＋(－b)

3.向量的数乘运算及其几何意义

(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：

①|λa|＝|λ||a|；

②当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.

(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则

①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③ λ(a＋b)＝λa＋λb.

4．共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.

[文档标题]

1 | 10

一、平面向量的概念与线性运算

1．向量概念及表示

定义：即有大小，又有方向的量叫做向量．

表示：

有向线段 小字母上加箭头 起点到终点，大字母加箭头

向量的长度（模）：ar或ABuuur的模记作||ar或||ABuuur．

几种特殊向量：

特殊向量 定义 备注

零向量 长度为0的向量 记作0r，方向任意

单位向量 长度等于1个单位的向量 ||aarr即为单位向量

平行向量 方向相同或相反的非零向量（也叫共线向量） 记为abrr∥，规定0r与任意向量共线

相等向量 长度相等方向相同的向量 记为abrr，相等一定平行，平行不一定相等

相反向量 长度相等方向相反的向量 abrr，ABBAuuuruuur

例1 判断下列命题是否正确：

（1）向量ABuuur的长度与向量BAuuur的长度相等；

（2）向量ar与br平行，则ar与br的方向相同或相反；

解析：（1）ABuuur和BAuuur互为相反向量，它们长度相等，方向相反，命题正确；

（2）平行向量方向相同或相反，命题正确．

答案：（1）正确 （2）正确

例2 根据下列各题中的条件，分别判断四边形ABCD的形状．

（1）ADBCuuuruuur；

（2）ABDCuuuruuur且||||ABADuuuruuur．

解析：（1）ADBCuuuruuur说明AD和BC两条边相等且平行，所以为平行四边形； [文档标题]

2 | 10

（2）ABDCuuuruuur说明AB和DC相等且平行，为平行四边形，||||ABADuuuruuur说明两临边相等，为菱形．

答案：（1）平行四边形 （2）菱形

2．向量的线性运算

运算

几何表示

意义

加法 abABBCACrruuuruuuruuur

三角形法则

类比“位移之和”

首尾相连，首位连

abABADACrruuuruuuruuur

第 1 页 共 15 页 上海市高考数学一轮复习：23 平面向量的概念及线性运算

姓名:________ 班级:________ 成绩:________

一、

单选题 (共12题；共24分)

1.

（2分）

已知向量

，

若与共线，则x的值为（ ）

A . 4

B . 8

C . 0

D . 2

2. （2分） 如图，在中，点D是BC边上靠近B的三等分点，则（ ）

A .

B .

C .

D .

3. （2分） (2018高三上·荆门月考) 三角形 中， , ,则 （ ）

A .

B .

C . 第 2 页 共 15 页 D .

4.

（2分） (2016高一下·大同期中)

△ABC中，

，

，若

，则m+n=（

）

A .

B .

C .

D . 1

5. （2分） (2019·汕头模拟) 已知向量 ，若 ，则向量

与向量 的夹角为（ ）

A .

B .

C .

D .

6. （2分） (2020高一下·杭州月考) 若向量 ， ，则 等于（ ）

A .

B .

C .

D .

7. （2分） (2020·济宁模拟) 如图，在 中， ， ， 为 上一点， 第 3 页 共 15 页 且满足

，若

，

，则

的值为（

）

A . -3

B .

C .

D .

8. （2分） (2018高二上·湖南月考) 如图，在 中，点 在线段 上，且 ，若

，则 （ ）

A .

B .

C . 2