2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：平面向量的概念及线性运算

第1讲 平面向量的概念及线性运算

一、知识梳理

1．向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．

(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．

(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．

[注意] (1)向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向．

(2)任意向量a的模都是非负实数，即|a|≥0.

2．向量的线性运算

向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算

交换律：a＋b＝b＋a；

结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

减法 求a与b的相反向量－b的和的运算

a－b＝a＋(－b)

数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；

当λ<0时，λa与 a的方向相反；

当λ＝0时，

λ a＝0 λ(μ a)＝(λμ)a；

(λ＋μ)a＝λa＋μ_a；

λ(a＋b)＝λa＋λb

3.向量共线定理

向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．

常用结论

1．两特殊向量

(1)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模是确定的，但方向不确定．

(2)非零向量a的同向单位向量为a|a|.

2．几个重要结论

(1)若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP→＝12(OA→＋OB→)． (2)OA→＝λOB→＋μOC→(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.

(3)若G为△ABC的重心，则有

①GA→＋GB→＋GC→＝0；②AG→＝13(AB→＋AC→)．

二、教材衍化

1．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA→＝a，OB→＝b，则DC→＝________，BC→＝________．(用a，b表示)

第 1 讲 平面向量的概念及线性运算

一、知识梳理

1 .向量的有关概念

⑴向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模.—

(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.

⑶单位向量：长度等于1个单位的向量.

⑷平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定: 0与任一向量共线.

(5) 相等向量：长度相等且方向相同的向量.

(6) 相反向量：长度相等且方向相反的向量.

［注意］(1)向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向.

⑵任意向量a的模都是非负实数，即|a|>0.

2.向量的线性运算

向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运

算

交换律：a + b = b+ a;

结合律：(a+ b) + c= a

+ (b + c) 减法 求a与b的相反向

量一b的和的运算

a — b = a + (— b)

数乘 求实数入与向量a

的积的运算 | Xa|= |川a|,当？＞0时，入a与a

的方向相同；

当肚0时，入a与a的方向相反；

当入=0时，

入a = 0 入(@=(入加；

(入+ i)a= ?a+ ua;

入(a + b) = 2a+ ?b

3•向量共线定理

向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数 入使得b=沦.

常用结论

1.两特殊向量

（1）零向量和单位向量是两个特殊的向量.它们的模是确定的 ，但方向不确定.

a

⑵非零向量a的同向单位向量为祈

2.几个重要结论

—》 1 —》 —》

（1）若P为线段AB的中点，0为平面内任一点，则0P= 2（°A + OB）.

⑵0A= XDB +

⑶若G为△ ABC的重心，则有

-— -— -— -— 1 -— -—

① GA+ GB + GC = 0;②AG = ?(AB + AC).

二、习题改编 QC（人口为实数），若点A, B,

解析：如图，DC= AB = OB-0A = b — a , BC= OC — 0B=- 0A-OB = — a — b.1.（必修4P86例4改编）已知？ABCD的对角线

第01讲 平面向量的概念及其线性运算知识点必背

1、向量的有关概念

(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量;向量的大小叫做向量的长度(或模)

向量表示方法:向量AB或a;模||AB或||a.

(2)零向量:长度等于0的向量,方向是任意的,记作0.

(3)单位向量:长度等于1个单位的向量,常用e表示.

特别的:非零向量a的单位向量是||aa.

(4)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量,a与b共线可记为ab;

特别的:0与任一向量平行或共线.

(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量,记作ab.

(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量,记作ab.

2、向量的线性运算

2.1向量的加法

①定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量a,我们规定00aaa.

②向量加法的三角形法则(首尾相接,首尾连)

已知非零向量a,b,在平面内任取一点A,作ABa,BCb,则向量AC叫做a与b的和,记作ab,即abABBCAC.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.

③向量加法的平行四边形法则(作平移,共起点,四边形,对角线)

已知两个不共线向量a,b,作OAa,OBb,以OA,OB为邻边作OACB,则以O为起点的向量OC(OC是OACB的对角线)就是向量a与b的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.

2.2向量的减法

①定义:向量a加上b的相反向量,叫做a与b的差,即()abab.

②向量减法的三角形法则(共起点,连终点,指向被减向量)

已知向量a,b,在平面内任取一点O,作OAa,OBb,则向量abBA.如图所示

如果把两个向量a,b的起点放在一起,则ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.

2.3向量的数乘

向量数乘的定义:

一般地,我们规定实数与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作a.它的长度与方向规定如下:

1

第1讲 平面对量的概念及其线性运算

1．向量的有关概念

名称 定义 备注

向量 既有□01大小又有□02方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面对量是自由向量

零向量 长度为□030的向量 记作0，其方向是随意的

单位

向量 长度等于□041个单位的向量 与非零向量a平行的单位向量为±a|a|

平行

向量 方向相同或□05相反的非零向量(又叫做共线向量) 0与任一向量平行或共线

相等

向量 长度相等且方向□06相同的向量 两向量只有相等或不相等，不能比较大小

相反

向量 长度相等且方向□07相反的向量 0的相反向量为0

2．向量的线性运算

2

3．共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.

1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最终一个向量终点的向量，即A1A2→＋A2A3→＋A3A4→＋…＋An－1An＝A1An→.特殊地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．

2．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP→＝12(OA→＋OB→)．

3.OA→＝λOB→＋μOC→(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线(O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1.

1．给出下列命题：

①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；

②若|a|＝|b|，则a＝b；

③若AB→＝DC→，则四边形ABCD为平行四边形；

④在▱ABCD中，肯定有AB→＝DC→； 3

⑤若m＝n，n＝p，则m＝p.

其中不正确的个数是( )

A．2 B．3 C．4 D．5

答案 B

解析 两个向量的起点相同，终点相同，则这两个向量相等，但两个相等向量不肯定有相同的起点和终点，故①不正确；|a|＝|b|，由于a与b方向不确定，所以a，b不肯定相等，故②不正确；AB→＝DC→，可能有A，B，C，D在一条直线上的状况，所以③不正确，正确的是④⑤.故选B.