2021年高考数学一模试卷(江苏省) (2)(含答案解析)
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2021年高考数学一模试卷（江苏省） (2)
一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）
1. 已知集合𝐴={−1,0,1,6}，𝐵={𝑥|𝑥>0,𝑥∈𝐑}，则𝐴∩𝐵=____．
2. 已知复数𝑧=2+3𝑖 ，则|𝑧|=
．
3. 从由数字1，2，3所组成的所有两位数中随机抽取一个数，则该数为没有重复数字的两位数的概率为________．
4. 如图，某报刊亭老板根据以往报纸的销售记录，绘制了某100天的报纸日销售量(单位：份)的频率分布直方图(每组包含最小值，不包含最大值)，不慎将频率分布直方图弄污，则这家报刊亭在这100天中，报纸日销售量在[100,150)内的天数为________．
5. 执行如图所示的流程图，则输出的M应为______
6. 已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1的渐近线方程是𝑦=±2𝑥，那么此双曲线的离心率为______ ．
7. 如图，已知正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的棱长为1，点P为棱𝐴𝐴1上任意一点，则四棱锥𝑃−𝐵𝐷𝐷1𝐵1的体积为______
8. 已知𝑝:𝑥≤1，𝑞:𝑥≤𝑎，若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是_________．
9. 在△𝐴𝐵𝐶中，若𝐴𝐶=6，𝑐𝑜𝑠𝐵=45，𝐶=𝜋4,则𝐴𝐵=____．
10. 已知数列的前{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛=2𝑛+1,𝑏𝑛=𝑙𝑜𝑔2(𝑎𝑛2⋅2𝑎𝑛)，数列的{𝑏𝑛}的前n项和为𝑇𝑛，则满足𝑇𝑛>1024的最小n的值为______．
11. 已知集合𝑃={−4,−2,0,2,4},𝑄={𝑥|−1<𝑥<3}，则𝑃∩𝑄=_______.
12. 已知函数𝑓(𝑥)的图象关于原点对称，当𝑥<0时，𝑓(𝑥)=𝑥(1−𝑥)，则当𝑥>0时，函数𝑓(𝑥)=__________．
13. 在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶=4，M为AC的中点，𝐵𝑀=3，则𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．
14. 若点𝐴(𝑎,2)既是曲线𝑦=𝑚𝑥2上的点，又是直线𝑥+𝑦=0上的点，则𝑚=________．
二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）
15. 已知函数𝑓(𝑥)=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)，𝑥∈𝑅，(其中𝐴>0,𝜔>0,0<𝜑<𝜋2)的周期为𝜋，且图像上的一个最低点为𝑀(2𝜋3,−2)．
(1)求𝑓(𝑥)的解析式．
(2)当𝑥∈[0,𝜋12]时，求𝑓(𝑥)的最值．
16. 如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面ABCD是菱形，∠𝐴𝐵𝐶=60°，𝑃𝐴=𝐴𝐶，𝑃𝐵=𝑃𝐷=√2𝐴𝐶，E是PD的中点，求证：
(1)𝑃𝐵//平面ACE；
(2)平面𝑃𝐴𝐶⊥平面ABCD．
17. 如图，在圆心角为变量2𝜃(0<2𝜃<𝜋)的扇形OAB内作一半径为r的内切圆P，再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆P外切的小圆Q，圆P与圆Q相切于C点，圆P和圆Q与半径OA分别切于E，D两点．
(1)当圆Q的半径不低于𝑂𝐴9时，求𝜃的最大值；
(2)设BH为点B到半径OA的距离，当𝐵𝐻𝑃𝐸取得最大值时，扇形被称之为“最理想扇形”.求“最理想扇形”的面积．
18. 已知椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎<𝑏<0)的左右焦点分别为𝐹1,𝐹2，椭圆C过点𝑃(1,√22)，且𝑃𝐹2垂直于x轴．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作出直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设这条直线的斜率分别为𝑘1,𝑘2，且𝑘1+𝑘2=2，证明：直线AB过定点．
19. 已知数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=1，𝑎𝑛𝑎𝑛+1=(12)𝑛，(𝑛∈𝑁∗)
(1)求𝑎1，𝑎2，𝑎3，𝑎4
(2)求证：数列{𝑎2𝑛}与{𝑎2𝑛−1}(𝑛∈𝑁∗)都是等比数列．
20. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑥4−4𝑥3+𝑎𝑥2−1在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2)上单调递减．
(1)求a的值；
(2)在区间[−2,2]上，试求函数𝑓(𝑥)的最大值和最小值．
21. 已知矩阵𝐴=[12−14]，向量𝛼=[74].(1)求A的特征值和对应的特征向量；(2)计算𝐴5𝛼的值．
22. 在极坐标系中，已知直线与圆𝜌=𝑎cos𝜃(𝑎>0)相切，求a的值．
23. 设x，y，𝑧∈𝑅，𝑥2+𝑦2+𝑧2=1，且4𝑥+3𝑦+2𝑧=√29，求𝑥+𝑦+𝑧的值．
24. 若直线𝑥=𝑚与抛物线𝑦2=4√3𝑥交于A、B两点，F是其焦点，若△𝐴𝐵𝐹为等边三角形，求m的值．
25. 记𝑆𝑛为等差数列{𝑎𝑛}的前n项和，已知，𝑎2+𝑎12=24.𝑆11=121
(1)求{𝑎𝑛}的通项公式；
(2)令𝑏𝑛=1𝑎𝑛+1𝑎𝑛+2，𝑇𝑛=𝑏1+𝑏2+⋯+𝑏𝑛，若24𝑇𝑛−𝑚≥0对一切𝑛∈𝑁∗成立，求实数m的最大值．
【答案与解析】
1.答案：{1,6}
解析：
本题考查集合的交集运算，属于基础题目．
由交集的定义直接得出即可．
解：∵𝐴={−1,0，1，6}，𝐵={𝑥|𝑥>0,𝑥∈𝐑}，
∴𝐴∩𝐵={1,6}．
故答案为{1,6}．
2.答案：√13
解析：
本题考查复数模的求法，根据复数的求模公式计算即可．
解：因为𝑧=2+3𝑖 ，所以|𝑧|=√22+32=√13．
故答案为√13．
3.答案：23
解析：
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
基本事件个数𝑛=3×3=9，该数为没有重复数字的两位数包含的基本事件个数𝑚=3×2=6，由此能求出所求概率．
解：从由数字1，2，3所组成的所有两位数中随机抽取一个数，
基本事件个数𝑛=3×3=9，
该数为没有重复数字的两位数包含的基本事件个数𝑚=3×2=6，
∴该数为没有重复数字的两位数的概率为𝑝=69=23． 故答案为：23．
4.答案：30
解析：
本题主要考查频率分布直方图，考查考生分析问题、解决问题的能力，是基础题.利用据矩形面积和为1即可求解．
解：由题图知，没有被弄污的频率的和为50×(0.003+0.005+0.004+0.002)=0.7，
所以被弄污这组的频率为1−0.7=0.3，
所以这家报刊亭在这100天中，报纸日销售量在[100,150)内的天数为100×0.3=30．
5.答案：2
解析：解：由题意，执行程序框图，可得
𝑖=1，满足条件，则𝑀=11−2=−1，
𝑖=2，满足条件，则𝑀=11−(−1)=12，
𝑖=3，满足条件，则𝑀=11−12=2，
𝑖=4不满足条件，退出循环，输出M的值为2．
故答案为：2
模拟执行程序，依次写出每次循环得到的M，i的值，当𝑖=4不满足条件，退出循环，输出M的值为2．
本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的功能是解答此类问题的关键，属于基础题．
6.答案：√5
解析：解：∵焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为𝑦=±2𝑥，
∴设双曲线方程为𝑥2𝜆−𝑦24𝜆=1，𝜆>0，
∴双曲线的标准方程为𝑥2𝜆−𝑦24𝜆=1， ∴𝑎2=𝜆，𝑏2=4𝜆，𝑐2=5𝜆，
∴此双曲线的离心率𝑒=√5𝜆√𝜆=√5．
故答案为：√5
由焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为𝑦=±2𝑥，知双曲线的标准方程可设为𝑥2𝜆−𝑦24𝜆=1，由此能求出此双曲线的离心率．
本题考查双曲线的离心率的求法，是基础题．解题时要认真审题，注意双曲线渐近线方程的合理运用．
7.答案：13
解析：
四棱锥𝑃−𝐴𝐴1𝐶1𝐶的体积等于三棱柱的体积减去两个三棱锥的体积．
本题考查了正方体的结构特征，棱锥的体积计算，属于基本知识的考查．
解：𝑉𝐴𝐵𝐷−𝐴1𝐵1𝐷1=12𝑉正方体=12，
𝑉𝑃−𝐵𝐷𝐷1𝐵1=23𝑉𝐴𝐵𝐷−𝐴1𝐵1𝐷1=13
故答案为：13．
8.答案：(−∞,1)
解析：解：∵𝑝是q的必要不充分条件，所以q要真包含于p，
通过数轴可判断1位于a的右侧，
∴𝑎<1，
即a的取值范围为(−∞,1)．
故答案为：(−∞,1)．
p是q的必要不充分条件，所以q要真包含于p，可判断1与a的大小．
本题主要考查简易逻辑推理，通过数轴解决，属于基础题．
9.答案：5√2
解析：
