2021年高考数学一模试卷 (23)(含答案解析)

2021年高考数学一模试卷 (23)

一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 设集合𝐴={(𝑥,𝑦)|𝑥2+𝑦2=1},𝐵={(𝑥,𝑦)|𝑥+𝑦=1}，则𝐴∩𝐵中元素的个数是( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

2. 复数𝑧=−3+𝑖2+𝑖的共轭复数是(

)

A.

2+𝑖 B. 2 i C. 1+𝑖 D. −1−𝑖

3. 已知sin(𝜋+𝛼)=13，则𝑐𝑜𝑠2𝛼=( )

A. 79 B. 89 C. −79 D. 4√29

4. log29·log34= ( )

A. 14 B. 12 C. 2 D. 4

5. 已知x，y的线性回归直线方程为𝑦̂=0.82𝑥+1.27，且x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的为( )

x 0 1 2 3

y 0.8 m 3.1 4.3

A. 变量x，y之间呈现正相关关系

B. 可以预测当𝑥=5时，𝑦=5.37

C. 𝑚=2.09

D. 由表格数据可知，该回归直线必过点(1.5,2.5)

6. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2009+𝑏𝑠𝑖𝑛𝑥，且𝑓(𝑚)=2，则𝑓(−𝑚)=( )

A. 0 B. 1 C. −1 D. −2

7. 执行如图所示的程序框图，若输入的a的值为−1.2，则输出的a的值为( )

A. −0.2

B. 0.2

C. 0.8

D. 1.8

8. 在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴，∠𝐵，∠𝐶所对的边分别为a，b，c，若𝑎2+𝑐2−𝑏2=√2𝑎𝑐，则∠𝐵为( )

A. 60° B. 45°或135° C. 135° D. 45°

9. 若平面𝛼⊥平面𝛽，直线𝑎//𝛼，则( )

A. 𝑎⊥𝛽 B. 𝑎//𝛽 C. a与𝛽相交 D. 以上都有可能

10. 命题p：函数𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑥在区间(−1,1)内单调递减，命题q：函数𝑓(𝑥)=|𝑠𝑖𝑛2𝑥|的最小正周期为𝜋，则下列命题为真命题的是( )

A. 𝑝∧𝑞 B. (￢𝑝)∨𝑞 C. 𝑝∨𝑞 D. (￢𝑝)∧(￢𝑞)

11. 已知函数𝑓(𝑥)={𝑒−𝑥,𝑥≤0−𝑥2−2𝑥+1,𝑥>0，若𝑓(𝑎−1)≥𝑓(−𝑎2+1)，则实数a的取值范围是( )

A. [−2,1] B. [−1,2]

C. (−∞,−2]∪[1,+∞) D. (−∞,−1]∪[2,+∞)

12. 已知点𝐴(0,2)，抛物线C：𝑦2=4𝑥的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|𝐹𝑀|：|𝑀𝑁|=( )

A. 2：√5 B. 1：2 C. 1：√5 D. 1：3

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若向量𝑎⃗ =(1,𝑥)，𝑏⃗ =(2,1)，且𝑎⃗ ⊥𝑏⃗ ，则|𝑎⃗ +𝑏⃗ |=______．

14. 若x，y，z满足约束条件{𝑥−4𝑦−8≤02𝑥−𝑦+4≥0𝑦≤0，则𝑧=√(𝑥+4)2+𝑦2的最小值为__________．

15. 圆心在x轴的正半轴上，半径为双曲线𝑥216−𝑦29=1的虚半轴长，且与该双曲线的渐近线相切的圆的方程是______．

16. 在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，E，F分别是棱AD，𝐷𝐷1的中点．若𝐴𝐵=4，则过点B，E，F的平面截该正方体所得的截面面积S等于______．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17. 某养殖的水产品在临近收获时，工人随机从水中捕捞100只，其质量分别在[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350)，[350,400](单位：克)，经统计分布直方图如图所示．

(1)求这组数据的众数；

(2)现按分层抽样从质量为[250,300)，[300,350)的水产品种随机抽取6只，再从这6只中随机抽取3只，求这3只水产品恰有1只在[300,350)内的概率；

(3)某经销商来收购水产品时，该养殖场现还有水产品共计约10000只要出售，经销商提出如下两种方案：

方案A：所有水产品以14元/只收购；

方案B：对于质量低于300克的水产品以10元/只收购，不低于300克的以28元/只收购，

通过计算确定养殖场选择哪种方案获利更多？

18. 已知数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，若𝑆𝑛=𝑛2−2𝑛+1．

(1)求数列{𝑎𝑛}；

(2)求𝑎2+𝑎4+𝑎6+⋯+𝑎2𝑛．

19. 如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐷=𝐵𝐷=2，

𝐴𝐵=2√2，𝐶𝐷=4，点M是EC的中点．

(Ⅰ)求证：𝐵𝐷⊥平面ADEF；

(Ⅱ)求三棱锥𝑀−𝐵𝐷𝐸的体积．

20. 已知右焦点为𝐹(1.0)的椭圆M：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)经过点𝐷(1,32).

(1)求椭圆M的方程；

(2)经过F的直线l与桶圆M分别交于A，𝐵(不与D点重合)，直线DA，DB分别与x轴交于M，N，是否存在直线l，使得∠𝐷𝑀𝑁=∠𝐷𝑁𝑀？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

21. 已知函数𝑓(𝑥)=ln𝑥+𝑎𝑥+𝑎(𝑎为正实数)．

(1)当𝑎=1时，求𝑓(𝑥)的最小值；

(2)若曲线𝑓(𝑥)=ln𝑥+𝑎𝑥+𝑎在点(1,𝑓(1))处的切线方程为𝑥+𝑦−𝑏=0，求a，b的值．

22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

(Ⅰ)求曲线C的极坐标方程；

(Ⅱ)已知直线𝑙1：，射线𝑙2:𝜃=𝜋3(𝜌>0)与曲线C的交点为P，𝑙2与直线𝑙1的交点为Q，求线段PQ的长．

23. 已知函数𝑓(𝑥)=|𝑥+1|+|𝑎𝑥−1|．

(Ⅰ)当𝑎=1时，求不等式𝑓(𝑥)⩽4的解集；

(Ⅱ)当𝑥≥1时，不等式𝑓(𝑥)⩽3𝑥+𝑏成立，证明：𝑎+𝑏≥0．

【答案与解析】

1.答案：C

解析：

本题考查了集合交集运算，集合中元素个数判断，属于基础题．

根据题意，联立{𝑥2+𝑦2=1𝑥+𝑦=1，求出方程组解，即可得到𝐴∩𝐵，进而得到答案．

解：由题意，令{𝑥2+𝑦2=1𝑥+𝑦=1，解得{𝑥=0𝑦=1或{𝑥=1𝑦=0,

所以𝐴∩𝐵={(0,1)，(1,0)}，有2个元素．

故选C．

2.答案：D

解析：解：由𝑧=−3+𝑖2+𝑖=(−3+𝑖)(2−𝑖)(2+𝑖)(2−𝑖)=−5+5𝑖5=−1+𝑖，

则复数𝑧=−3+𝑖2+𝑖的共轭复数是：−1−𝑖．

故选：D．

直接由复数代数形式的除法运算化简复数z，则z的共轭复数可求．

本题考查了复数代数形式的除法运算以及共轭复数的概念的运用，属于基础题．

3.答案：A

解析：解：∵sin(𝜋+𝛼)=13，∴可得𝑠𝑖𝑛𝛼=−13，

∴𝑐𝑜𝑠2𝛼=1−2𝑠𝑖𝑛2𝛼=1−2×19=79．

故选：A．

由已知及诱导公式可求𝑠𝑖𝑛𝛼，由二倍角的余弦函数公式即可得解．

本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基础题．

4.答案：D

解析： 本题可通过把真数写成幂的形式，然后运用对数式的性质化简计算．

解：由题意得，．

故选D．

5.答案：C

解析：解：已知线性回归直线方程为𝑦̂=0.82𝑥+1.27，

𝑏̂=0.82>0，所以变量x，y之间呈正相关关系，A正确；

计算𝑥=5时，𝑦̂=0.82×5+1.27=5.37，即预测当𝑥=5时𝑦=5.37，B正确；

𝑥−=14×(0+1+2+3)=1.5，𝑦−=14×(0.8+𝑚+3.1+4.3)=8.2+𝑚4，

代入回归直线方程得8.2+𝑚4=0.82×1.5+1.27，解得𝑚=1.8，∴C错误；

由题意知𝑚=1.8时，𝑥−=1.5，𝑦−=2.5，所以回归直线方程过点(1.5,2.5)，D正确．

故选：C．

A中，根据线性回归直线方程中回归系数𝑏̂=0.82>0，判断x，y之间呈正相关关系；

B中，利用回归方程计算𝑥=5时𝑦̂的值即可预测结果；

C中，计算𝑥−、𝑦−，代入回归直线方程求得m的值；

D中，由题意知𝑚=1.8时求出𝑥−、𝑦−，可得回归直线方程过点(𝑥−,𝑦−).

本题考查了线性回归方程的概念与应用问题，是基础题．

6.答案：D

解析：解：∵函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2009+𝑏𝑠𝑖𝑛𝑥为奇函数，且𝑓(𝑚)=2，则𝑓(−𝑚)=−𝑓(𝑚)=−2，

故选：D．

先判断函数𝑓(𝑥)为奇函数，再利用奇函数的性质求得𝑓(−𝑚)的值．

本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于基础题．

7.答案：C

解析：解：模拟程序的运行，可得

𝑎=−1.2