2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)数学模拟试卷(二)含答案

2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(二)

数 学

(满分160分，考试时间120分钟)

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程，请把答案直接写在指定位置上．

1. 设函数f(x)＝lg(1－x2)，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}，则A∩B＝________．

2. 若复数z1＝4－3i，z2＝1＋i，则复数(z1－z2)i的模为________．

3. 如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为________．

4. 学校从参加安全知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩(百分制，均为整数，成绩≥80分记为优秀)分成6组后，得到部分频率分布直方图(如图)，则分数在[70，80)内的人数为________．

5. 如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝3，∠DAB＝π3，点E，F分别在BC，DC边上，且BE→＝12EC→，DF→＝FC→，则AE→·EF→＝________．

6. 从1，2，4，8这四个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积小于8的概率是________．

7. 已知函数f(x)＝12x＋1，则f(log23)＋f(log213)＝________．

8. 已知锐角θ满足sin(θ2＋π6)＝45，则cos(π6－θ)的值为________. 9. 若直线l1：mx＋y＋1＝0，l2：(m－3)x＋2y－1＝0，则“m＝1”是“l1⊥l2”的________条件．

10. 已知定义在R上的函数f(x)的周期为4，当x∈[0，2]时，f(x)＝x3，且函数y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称，则f(2 019)＝________．

11. 设点O，P，Q是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y2＝4x的交点，O为坐标原点，若△OPQ的面积为2，则双曲线的离心率为________．

12. 若a≥c>0，且3a－b＋c＝0，则acb的最大值为__________．

13. 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若S2≥4，S4≤16，则S9的最大值是________．

14. 已知函数f(x)＝x3－3x在区间[a－1，a＋1](a≥0)上的最大值与最小值之差为4，则实数a的值为________． 二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (本小题满分14分)

如图，三角形PCD所在的平面与等腰梯形ABCD所在的平面垂直，AB＝AD＝12CD，AB∥CD，CP⊥CD，M为PD的中点．求证：

(1) AM∥平面PBC；

(2) 平面BDP⊥平面PBC.

16. (本小题满分14分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos 2A＝－13，c＝3，sin A＝6sin C.

(1) 求a的值；

(2) 若角A为锐角，求b的值及△ABC的面积． 17. (本小题满分14分)

如图，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，圆O：x2＋y2＝b2，过椭圆C的上顶点A的直线l：y＝kx＋b分别交圆O、椭圆C于不同的两点P，Q.

(1) 若点P(－3，0)，点Q(－4，－1)，求椭圆C的方程；

(2) 若AP→＝3PQ→，求椭圆C的离心率e的取值范围．

18. (本小题满分16分)

某公司一种产品每日的网络销售量y(单位：千件)与销售价格x(单位：元/件)满足关系式y＝mx－2＋4(x－6)2，其中2

(1) 求m的值；

(2) 假设网络销售员工的工资、办公等所有开销折合为每件2元(只考虑销售出的件数)，试确定销售价格x的值，使公司每日销售产品所获得的利润最大．(结果保留一位小数) 19. (本小题满分16分)

已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝13an＋n，n为奇数，an－3n，n为偶数.

(1) 求证：数列a2n－32是等比数列；

(2) 若Sn是数列{an}的前n项和，求满足Sn>0的所有正整数n. 20. (本小题满分16分)

已知函数f(x)＝12x2＋kx＋1，g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，h(x)＝f(x)＋g′(x)．

(1) 若函数g(x)的图象在原点处的切线l与函数f(x)的图象相切，求实数k的值；

(2) 若h(x)在[0，2]上单调递减，求实数k的取值范围；

(3) 若对于∀t∈[0，e－1]，总存在x1，x2∈(－1，4)，且x1≠x2满足f(xi)＝g(t)(i＝1，2)，其中e为自然对数的底数，求实数k的取值范围．已知[ln(x＋1)]′＝1x＋1.

模拟试卷(二)

1. {x|－1

2. 5 解析：∵ (z1－z2)i＝(3－4i)i＝4＋3i，

∴ |(z1－z2)i|＝5.

3. 15

4. 18 解析：分数在[70，80)内的人数为[1－(0.005＋0.010＋0.015×2＋0.025)×10]×60＝18.

5. －3 解析：AE→＝AB→＋BE→＝AB→＋13AD→，EF→＝EC→＋CF→＝－12AB→＋23AD→，又AB＝4，AD＝3，∠DAB＝π3，∴ AE→·EF→＝AB→＋13AD→－12AB→＋23AD→＝－12AB→2＋12AB→·AD→＋29AD→2＝－12×42＋12×4×3×cos π3＋29×32＝－3.

6. 13 解析：从1，2，4，8这四个数中一次随机地取2个数相乘，共有6个结果，其中乘积小于8的有2个，故所求概率为26＝13.

7. 1 解析：∵ f(x)＋f(－x)＝12x＋1＋12－x＋1＝1，∴ f(log23)＋flog213＝f(log23)＋f(－log23)＝1.

8. 2425 解析：∵ 0

9. 充分不必要 解析：l1⊥l2 的充要条件是m(m－3)＋1×2＝0，即m＝1或m＝2，∴ “m＝1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．

10. 1 解析：∵ 函数y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称，∴ 函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称．又函数f(x)的周期为4，∴ f(2 019)＝f(3)＝f(1)＝1.

11. 5 解析：不妨设P(x0，y0)(x0>0，y0>0)，则y20＝4x0，12x0(2y0)＝2，∴ x0＝1，y0＝2.又y0＝bax0，∴ ba＝2，∴ b2a2＝4，∴ c2－a2a2＝4，∴ e＝5.

12. 36 解析：∵ 3a－b＋c＝0，则b＝3a＋c，设t＝ca，则t∈(0，1]，∴ acb＝ac3a＋c＝ca3＋ca＝t3＋t2＝13t＋t.∵ 3t＋t≥23，∴ acb≤123＝36，∴ acb的最大值为36.

13. 81 解析：设等差数列{an}的公差为d，∵ S2≥4，S4≤16，∴ 2a1＋d≥4，4a1＋6d≤16，即2a1＋d≥4且2a1＋3d≤8.又S9＝9a1＋9×82d＝9(a1＋4d)，由线性规划可知，当a1＝1，d＝2时，S9取得最大值81.

14. 1或0 解析：f′(x)＝3(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0，则x＝－1或x＝1，则f(x)在(－∞， －1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减．∵ a≥0，x∈[a－1，a＋1]，∴ a－1≥－1，a＋1≥1.

① 当a－1<1即a<2时，f(x)min＝f(1)＝－2，f(x)max＝max{f(a－1)，f(a＋1)}，又f(x)max－f(x)min＝4，f(x)max＝2，∴

f（a－1）＝2f（a＋1）≤f（a－1）或f（a＋1）＝2，f（a－1）≤f（a＋1），∴ a的值为1或0；

② 当a－1≥1即a≥2时，f(x)min＝f(a－1)，f(x)max＝f(a＋1)，

∴ f(a＋1)－f(a－1)＝4，无解．

综上，a的值为1或0.

15. 证明：(1) 如图，取为PC中点N，连结MN，BN，

∵ M为PD的中点，N为PC中点，

∴ MN∥CD，MN＝12CD.

又AB∥CD，AB＝12CD，∴ MN∥AB，MN＝AB，

∴ 四边形ABNM为平行四边形，

∴ AM∥BN.

又AM⊄平面PBC，BN⊂平面PBC，

∴ AM∥平面PBC.(7分)

(2) 如图，在等腰中梯形ABCD中，取CD 中点T，连结AT，BT.

∵ AB＝12CD，AB∥CD，∴ AB＝DT，AB∥DT，

∴ 四边形ABTD为平行四边形．

又AB＝AD，∴ 四边形ABTD为菱形，

∴ AT⊥BD.

同理，四边形ABCT为菱形，∴ AT∥BC.

∵ AT⊥BD，∴ BC⊥BD.

∵ 平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，CP⊥CD，CP⊂平面PCD，

∴ CP⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，

∴ CP⊥BD.

∵ BC⊥BD，BC∩CP＝C，∴ BD⊥平面PBC.

又BD⊂平面BDP，∴平面BDP⊥平面PBC.(14分)

16. 解：(1) 由题知，c＝3，sin A＝6sin C.

由正弦定理asin A＝csin C，得a＝csin C·sin A＝32.(6分)

(2) ∵ cos 2A＝1－2sin 2A＝－13，且0

由于角A为锐角，得cos A＝33.

由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A，∴ b2－2b－15＝0，

解得b＝5或b＝－3(舍去)，

所以S△ABC＝12bcsin A＝522.(14分)

17. 解：(1) 由P在圆O：x2＋y2＝b2上得b＝3，

又点Q在椭圆C上，得（－4）2a2＋（－1）232＝1，

解得a2＝18，

∴ 椭圆C的方程是x218＋y29＝1.(6分)

(2) 由y＝kx＋b，x2＋y2＝b2，得x＝0或xP＝－2kb1＋k2；

由y＝kx＋b，x2a2＋y2b2＝1，得x＝0或xQ＝－2kba2a2k2＋b2.

∵ AP→＝3PQ→ ，∴ AP→＝34AQ→，

∴ 2kba2k2a2＋b2·34＝2kb1＋k2，即a2a2k2＋b2·34＝11＋k2，∴ k2＝3a2－4b2a2＝4e2－1.

∵ k2>0，∴ 4e2>1，即e>12.

又0

即离心率e的取值范围是(12，1)．(14分)

18. 解：(1) 因为当x＝4时，y＝21，

代入关系式y＝mx－2＋4(x－6)2，得m2＋16＝21，

解得m＝10. (6分)

(2) 由(1)可知，产品每日的销售量为

y＝10x－2＋4(x－6)2，

所以每日销售产品所获得的利润为f(x)＝(x－2)·10x－2＋4（x－6）2＝10＋4(x－6)2(x－2)＝4x3－56x2＋240x－278(2

从而f′(x)＝12x2－112x＋240＝4(3x－10)(x－6)(2

令f′(x)＝0，得x＝103，且在2，103上，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；在103，6上，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，