选修4-5不等式选讲高考真题训练

选修4-5不等式选讲高考真题训练 1 / 9

不等式选讲综合测试

海南 李传牛

一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，

只有一项为哪一项切合题目要求的 ．

1．若 | a c | | b |，则以下不等式中正确的选项是（ ）．

A． a b c B ． a c b C ． | a | | b | |c | D ． | a | |b | | c |

1． D c | b | a c | b | | c | | b | ．

2．设 x 0, y 0, A x y , B x y ，则 A, B 的大小关系是（ ）．

1 x y 1 x 1 y

A．A B B．A B C．AB D．A B

2． B B x y x y x y

A，即 A B．

1 x 1 y 1 x y 1 y x 1 x y

经过放大分母使得分母同样，整个分式值变小

3．设命题甲： | x 1| 2 ，命题乙： x 3 ，则甲是乙的（ ）．

A．充足不用要条件 B ．必需不充足条件 C ．充要条件 D ．既不充足也不用要条件

3． A 命题甲： x 3 ，或 x 1 ，甲可推出乙．

4．已知 a, b, c 为非零实数，则

(a 2 2

c 2

)( 1 1 1

． b a 2 b 2 c 2)最小值为 ( )

A ． 7 B ． 9 C．12 D．18

4． B ( a 2 b 2 c 2 1 1 1 1 b 1 1 2 2 9 ， )( 2

b 2

c 2 ) ( a

a

b c ) (111)

a c

∴所求最小值为 9 ．

5．正数 a, b, c, d 知足 a d b c ， | a d | | b c |，则有（ ）．

A． ad bc B ． ad bc C ． ad bc D ． ad 与 bc 大小不定

5． C 特别值：正数 a 2, b 1,c 4, d 3 ，知足 | a d | |b c |，得 ad bc ．

或由 a d b c 得 a2 2ad d 2 b2 2bc c2 ，

∴ (a2 d 2 ) (b2 c2 ) 2bc 2ad ，（ 1） 选修4-5不等式选讲高考真题训练 2 / 9

由 | a d | | b c |得 a2 2ad d 2 b2 2bc c2 ，（ 2）

将（ 1）代入（ 2）得 2bc 2ad 2bc 2ad ，即 4bc 4ad ，∴ ad bc ．

6．假如对于 x 的不等式 5x2 a 0 的非负整数解是 0,1, 2,3 ，那么实数 a 的取值

范围是（ ）．

A． 45 a 80 B ． 50 a 80 C ． a 80 D ． a 45

6． A 5x2 a 0 ，得 a x a ，而正整数解是 1,2,3 ，则 3 a 4 ．

5 5 5

7．设 a,b, c 1 ，则 log a b 2log b c 4log c a 的最小值为（ ）．

A． 2 B ． 4 C ． 6 D ． 8

7． C log a b,log b c,log c a 0 ，

loga b 2log b c 4log c a 33 log a b 2log b c 4log c a 3 3 8 lg b lg c lg a 6 ．

lg a lg b lg c

8．已知 | 2x 3| 2 的解集与 { x | x2 ax b 0} 的解集同样，则（ ）．

A． a 3, b 5 B ． a 3,b 5 C ． a 3,b 5 D ． a b 17

4 44 4

8．Ｂ 由 | 2x 3| 2解得 1 x 5 ，由于 | 2x 3| 2 的解集与 { x | x2 ax b 0}

2 2

的解集同样，那么 x 1 或 x 5 为方程 x2 ax b 0 的解，则分别代入该方程，

2 2

1 1 a b 0 a 3

得 4 2

b 5 ．

25 5 a b 0 4

4 2

9．已知不等式 ( x y)( 1 a ) 9 对随意正实数 x, y 恒建立，则正实数 a 的最小值为（ ）．

x y

A． 2 B． 4 C ． 6 D ． 8

9．B ∵ (x y)( 1 a ) 1 a y ax ( a 1)2 ，∴ ( a 1)2 9 ，∴ a 4 ．

x y x y

10．设 a,b, c 0, a2 b2 c2 3，则 ab bc ca 的最大值为（ ）． 选修4-5不等式选讲高考真题训练 3 / 9

A ． 0 B ． 1 C ． 3 D 3 3

．

3

10． C 由排序不等式 a2 b2 c2 ab bc ac ，所以 ab bc ca 3．

11．已知 f (x) 32 x ( k 1) 3x 2 ，当 x R 时， f ( x) 恒为正，则 k 的取值范围是 （ ）．

A． ( , 1) B ． ( , 2 2 1) C ． ( 1,2 2 1) D ． ( 221,22 1)

11． B 2 x

( k 1) 3 x ， 2 x x ，即 32 x 2

k 1 ，

3 2 0 3 2 (k 1) 3 3x

得 3x 2 2 2 k 1 ，即 k 2 2 1．

3x

1 1

1

1 13 (n 2, n N ) 的过程 12．用数学概括法证明不等式

2 3

n 1 n n 2n 24

中，由 n k 逆推到 n k 1 时的不等式左侧（ ）．

A． 增添了 1项 1 B ．增添了“ 1 1 ”，又减少了

1)

2k 1 2( k

2(k 1)

“ 1 ”

k 1

C．增添了 2 项 1 1 D ．增添了 1 ，减少了 1

1 2(k

1) 2(k k 1

2k 1)

12． B 注意分母是连续正整数．

二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上 ．

13．不等式 | x 2 | 1的解集为 ．

x

13． { x | x 1} ∵ x 0 ，∴ | x 2 | | x |，即 (x 2) 2 x2 ，∴ x 1 0 ， x 1 ，

∴原不等式的解集为 { x | x 1} ．

14．已知函数 f ( x) x2 ax 1 ，且 | f (1) | 1，那么 a 的取值范围是 ．

14． 1 a 3 f ( x) x2 ax 1， f (1) 2 a ，而 | f (1)| 1，即 |a 2 | 1 ．

15．函数 f ( x) 3x 12 (x 0) 的最小值为 _____________ ．

x2

15． 9 f (x) 3x 12 3x 3x 12 33 3x 3x 12 9．

x2 2 2 x2 2 2 x2 选修4-5不等式选讲高考真题训练 4 / 9

16．若 a,b, c R ，且

a b c ，则 abc 的最大值是 ．

1

16． 3 (1 a 1 b 1 c )2 (12 12 12 )( a b c) 3 ．

三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ．

17．（本小题满分 10 分）

求证： a2 b2 c2 a b c

3 3 ．

17．证明：∵ (12 12 12 )(a2 b2 c2 ) (a b c) 2 ，

a2 b2 c2 (a b c)2

，

∴ 3 9

a2 b2 c2 a b c

即 3 3 ．

18．（本小题满分 10 分）

不论 x, y 取任何非零实数，试证明等式 1 1 1 总不建立．

x y x y

18．证明：设存在非零实数 1 1 1 x1, y1 ，使得等式

y1 x1 y1 建立，

x1

则 y1( x1 y1 ) x1 (x1 y1 ) x1 y1 ，

∴ x12 y12 x1 y1 0 ，即 (x1 y1 )2 3 y12 0 ，

y1 ) 2 3 2 4

可是 y1 0 ，即 ( x1 y12 0 ，进而得出矛盾．

2 4

故原命题建立．

19．（本小题满分 12 分）

已知 a ， b ， c 为 ABC 的三边，求证： a2 b2 c2 2(ab bc ca) ．

19．证明：由余弦定理得 2bc cos A b2 c2 a2 ， 2ac cos B a2 c2 b2 ，

2ab cosC a2 b2 c2 ，

三式相加得 2bc cos A 2ac cos B 2ab cosC a2 b2 c2 ，

而 cos A 1,cos B 1,cos C 1，且三者至多一个可等于 1， 选修4-5不等式选讲高考真题训练 5 / 9

即 2bc cos A 2accosB 2abcosC 2bc 2ac 2ab ，

所以 a2 b2 c2 2(ab bc ca) ．

20．（本小题满分 12 分）

已知 a,b,c 都是正数，求证： 2( a b ab ) 3( a b c 3 abc ) ．