选修4-5 不等式选讲
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2020一轮 • 数学 系列二
选修4－5 不等式选讲
全国卷5年考情图解
高考命题规律把握
高考对本章考查主要有以下两个方面：
(1)绝对值不等式的求解与函数问题的综合，这是高考命题的热点；
(2)绝对值不等式中的恒成立问题与不等式的证明相结合.
第一节绝对值不等式
1.绝对值三角不等式
定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.❶
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.
2.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值不等式|x|＜a与|x|＞a的解法：
不等式 a＞0 a＝0 a＜0
|x|＜a {}x|－a＜x＜a ∅ ∅
|x|＞a {x|x＞a或x＜－a} {x|x∈R且x≠0}
R
(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；❷
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.
(1)等号成立的条件在解题时经常用到，特别是用定理求函数的最大(小)值时，应特别注意.
(2)定理1还可以变形为|a－b|≤|a|＋|b|，等号成立的充要条件是ab≤0.
分区间讨论时，要注意以下两点：
(1)不要把分成的区间的端点遗漏.
(2)原不等式的解集是若干个不等式解集的并集，而不是交集.
[熟记常用结论]
常用绝对值不等式的性质1|||a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|；2|a＋b＋c|≤|a|＋|b|＋|c|.
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[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.( )
(2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为∅.( )
(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立.( )
(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
二、选填题
1.设a，b为满足ab＜0的实数，那么( )
A.|a＋b|＞|a－b| B.|a＋b|＜|a－b|
C.|a－b|＜||a|－|b|| D.|a－b|＜|a|＋|b|
解析：选B ∵ab＜0，∴|a－b|＝|a|＋|b|＞|a＋b|.
2.不等式3≤|5－2x|＜9的解集为( )
A.[－2,1)∪[4,7) B.(－2,1]∪(4,7]
C.(－2，－1]∪[4,7) D.(－2,1]∪[4,7)
解析：选D 由题意得 |2x－5|＜9，|2x－5|≥3，
即 －9＜2x－5＜9，2x－5≥3或2x－5≤－3，
解得 －2＜x＜7，x≥4或x≤1，不等式的解集为(－2,1]∪[4,7).
3.不等式|2x－a|＜b的解集为{x|－1＜x＜4}，则a＋b的值为( )
A.－2 B.2
C.8 D.－8
解析：选C ∵|2x－a|＜b的解集为{x|－1＜x＜4}，
∴b＞0，
由|2x－a|＜b，得－b＜2x－a＜b，即a－b2＜x＜a＋b2.
∴a＋b2＝4，∴a＋b＝8，故选C.
4.不等式|x＋1|－|x－2|≥1的解集是________.
解析：令f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝ －3，x≤－1，2x－1，－1＜x＜2，3，x≥2.当－1＜x＜2时，由2x－1≥1，解得1≤x＜2.又当x≥2时，f(x)＝3＞1恒成立.所以不等式的解集是{}x|x≥1.
答案：{}x|x≥1
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5.函数y＝|x－4|＋|x＋4|的最小值为________.
解析：因为|x－4|＋|x＋4|≥|(x－4)－(x＋4)|＝8，
所以所求函数的最小值为8.
答案：8
考点一 绝对值不等式的解法 [师生共研过关]
[典例精析]
(2018·洛阳第一次统考)已知函数f(x)＝13|x－a|(a∈R).
(1)当a＝2时，解不等式x－13＋f(x)≥1；
(2)设不等式x－13＋f(x)≤x的解集为M，若13，12⊆M，求实数a的取值范围.
[解] (1)当a＝2时，原不等式可化为|3x－1|＋|x－2|≥3.
①当x≤13时，原不等式可化为－3x＋1＋2－x≥3，
解得x≤0，所以x≤0；
②当13＜x＜2时，原不等式可化为3x－1＋2－x≥3，
解得x≥1，所以1≤x＜2；
③当x≥2时，原不等式可化为3x－1＋x－2≥3，
解得x≥32，所以x≥2.
综上所述，当a＝2时，原不等式的解集为{x|x≤0或x≥1}.
(2)不等式x－13＋f(x)≤x可化为|3x－1|＋|x－a|≤3x，
依题意知不等式|3x－1|＋|x－a|≤3x在13，12上恒成立，所以3x－1＋|x－a|≤3x，即|x－a|≤1，
即a－1≤x≤a＋1，所以 a－1≤13，a＋1≥12，解得－12≤a≤43，
故所求实数a的取值范围是－12，43.
[解题技法]
解绝对值不等式的常用方法
基本性质法 对a∈R＋，|x|＜a⇔－a＜x＜a，|x|＞a⇔x＜－a或x＞a
平方法 两边平方去掉绝对值符号
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零点分区间法 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解
数形结合法 在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解
[过关训练]
已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.
(1)画出y＝f(x)的图象；
(2)求不等式|f(x)|＞1的解集.
解：(1)由题意得f(x)＝ x－4，x≤－1，3x－2，－1＜x≤32，－x＋4，x＞32.
故y＝f(x)的图象如图所示.
(2)由f(x)的表达式及图象可知，
当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；
当f(x)＝－1时，可得x＝13或x＝5，
故f(x)＞1的解集为{x|1＜x＜3}；
f(x)＜－1的解集为x x＜13或x＞5.
所以|f(x)|＞1的解集为x x＜13或1＜x＜3或x＞5.
考点二 绝对值不等式性质的应用[师生共研过关]
[典例精析]
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(2019·银川模拟)设函数f(x)＝x2－x－15，且|x－a|＜1.
(1)解不等式|f(x)|＞5.
(2)求证：|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1).
[解] (1)因为|x2－x－15|＞5，
所以x2－x－15＜－5或x2－x－15＞5，
即x2－x－10＜0或x2－x－20＞0，
解得1－412＜x＜1＋412或x＜－4或x＞5，
所以不等式|f(x)|＞5的解集为
x x＜－4或1－412＜x＜1＋412或x＞5.
(2)证明：因为|x－a|＜1，
所以|f(x)－f(a)|＝|(x2－x－15)－(a2－a－15)|
＝|(x－a)(x＋a－1)|
＝|x－a|·|x＋a－1|＜1·|x＋a－1|
＝|x－a＋2a－1|
≤|x－a|＋|2a－1|＜1＋|2a－1|≤1＋|2a|＋1
＝2(|a|＋1)，
即|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1).
[解题技法]
绝对值不等式性质的应用
利用不等式|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)和|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)，通过确定适当的a，b，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值或证明不等式.
[过关训练]
若对于实数x，y有|1－x|≤2，|y＋1|≤1，求|2x＋3y＋1|的最大值.
解：因为|2x＋3y＋1|＝|2(x－1)＋3(y＋1)|
≤2|x－1|＋3|y＋1|≤7，
所以|2x＋3y＋1|的最大值为7.
考点三 含绝对值不等式的综合问题 [师生共研过关]
[例1] (2018·辽宁五校联合体模拟)已知函数f(x)＝|x－a|＋|2x－a|(a∈R).
(1)若f(1)＜11，求a的取值范围；
(2)若∀a∈R，f(x)≥x2－x－3恒成立，求x的取值范围.
[解] (1)f(1)＝|1－a|＋|2－a|＝ 3－2a，a≤1，1，1＜a＜2，2a－3，a≥2，
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2020一轮 • 数学 系列二
当a≤1时，3－2a＜11，解得a＞－4，∴－4＜a≤1；
当1＜a＜2时，1＜11恒成立；
当a≥2时，2a－3＜11，解得a＜7，∴2≤a＜7.
综上，a的取值范围是(－4,7).
(2)∵∀a∈R，f(x)≥x2－x－3恒成立，
又f(x)＝|x－a|＋|2x－a|≥|x－a－(2x－a)|＝|x|，
∴|x|≥x2－x－3，
∴ x≥x2－x－3，x≥0或 －x≥x2－x－3，x＜0，
解得0≤x≤3或－3≤x＜0，
∴x的取值范围是[－3，3].
[例2] (2019·南昌模拟)设函数f(x)＝|2x＋3|＋|x－1|.
(1)解不等式f(x)＞4；
(2)若存在x∈－32，1使不等式a＋1＞f(x)成立，求实数a的取值范围.
[解] (1)由已知，得f(x)＝ －3x－2，x＜－32，x＋4，－32≤x≤1，3x＋2，x＞1，
∴f(x)＞4⇔ x＜－32，－3x－2＞4或 －32≤x≤1，x＋4＞4
或 x＞1，3x＋2＞4⇔x＜－2或0＜x≤1或x＞1.
综上，不等式f(x)＞4的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞).
(2)存在x∈－32，1 使不等式a＋1＞f(x)成立⇔a＋1＞f(x)min，x∈－32，1.
由(1)得，x∈－32，1时，f(x)＝x＋4，f(x)min＝52，
∴a＋1＞52，∴a＞32，
∴实数a的取值范围为32，＋∞.
[解题技法]
1.含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法
(1)分离参数法：运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立问题中的参数范围问题.
求最值的3种方法：
①利用基本不等式和不等式的相关性质解决；
