选修4-5 不等式选讲

一、

a) 恒等关系是义务教育数学学习中的一种基本的关系。在义务教育的学习过程中，有哪些恒等关系是重要的？是需要学生掌握的？决定这些恒等关系的基本数学思想是什么？这些数学思想是怎么发挥作用的？

b) 在义务教育阶段也引入了事物之间的不等关系，同时也引出了一些重要的不等关系，例如，实数中的不等关系。我们还引出了一些不等关系的性质，例如，a>b>0,b>c>0就可以得出，a>c。建议同学们梳理一下在义务教育阶段所学的不等关系，体会不等关系与恒等关系的区别。

c) 在高中的必修5，我们设置了不等式的内容。它大体上由四部分内容组成。我们同学们梳理复习这四部分内容。

第一部分是，一些基本不等式的性质，例如，a>b,c>0得出，ac>bc等。

第二部分是，在学会解一元一次不等式的基础上，引入了一元二次不等式。

第三部分是，介绍了我们一个经常使用的不等式，

这个重要的不等式有许多不同的呈现形式，值得一提的是，它还有很多重要的几何形式。

第四部分是，简单的线性规划问题。解决线性规划问题是按照以下基本步骤实现的：

1）确定目标函数

2）确定目标函数的约束条件，即讨论这个目标函数的可行区域。利用不等式刻画目标函数的约束条件。

3）观察目标函数在可行区域内的变化趋势。

4）确定使得目标函数达到最大或最小值的解。

同学们应该思考的是，在讨论这些不等式的过程中什么思想发挥了作用。 d) 在我们上面分析的这些内容的学习中，我们可以体会到由运算思想所体现的恒等变换的能力。这种能力在研究不等式中发挥了重要的作用。建议同学们在教师的帮助下更好的发挥这种能力。

e) 由运算思想所体现的恒等变换的能力，是一种重要的逻辑推理的能力。在本专题中，提高这种能力是本专题的基本定位。建议教师思考在本专题中，如何体现这样一个基本定位。

周（测试2） 不等式证明专题测试 学号 姓名

1 1、 已知Rcba,,，求证：

)(222222cbaabcaccbba；(综合)

2、已知，n>0, 求证：342nn(综合)

3、已知Rdcba,,,,求证：(放缩法)

（1）2dbaa1caddbdccacbb

（2）求证2131211222n．

4、设x,y为正数且x+y=1,求证：(反证法)

9)11)(11(22yx

5、已知a、b、cR，1abc，求证1119.abc

（柯西不等式）

6、已知10432zyx,求222zyx的最小值

（柯西不等式）

1 第一节 不等式和绝对值不等式

第一课时 不等式基本性质

一、知识要点

1．实数大小的比较

（1）数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的 ．在数轴上，右边的数总比左边的数 ．

（2）如果a－b＞0，则 ；如果a－b＝0，则 ；如果a－b＜0，则 .

（3）比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的 ；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的

2．不等式的基本性质

由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：

（1）如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即 .

（2）如果a＞b，b＞c，那么 .即a＞b，b＞c⇒ .

（3）如果a＞b，那么a＋c> .

（4）如果a＞b，c>0，那么ac bc；如果a>b，c<0，那么ac bc.

（5）如果a＞b，dc，那么dbca

（6）如果0,0dcba，那么bdac

（7）如果a>b>0，那么an bn(n∈N，n≥2)．

（8）如果a>b>0，那么na nb(n∈N，n≥2)．

3．对上述不等式的理解

使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：

（1）等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数c(或代数式)结果有三种：

①c＞0时得 不等式；②c＝0时得 ；③c<0时得 不等式．

（2）a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相加，但不可以 ；而a>b>0，c>d>0⇒ac>bd，即已知的两个不等式同向且两边为 时，可以相乘，但不可以 ．

北师大版高中数学选修4-5《不等式选讲》全套教案

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课 题： 第01课时 不等式的基本性质

目的要求：

重点难点：

教学过程：

一、引入：

不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远

者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中

息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上

方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖

的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，

需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。

本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式

等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。

人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不

等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。还可从

引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。

生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)

克糖，则糖水更甜了，为什么? 分析：起初的糖水浓度为

ab

，加入m克糖 后的糖水浓度为

mamb

，只要证

mamb

>

ab

即可。

怎么证呢?

二、不等式的基本性质：

1、实数的运算性质与大小顺序的关系：

数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：

0baba

0baba

0baba

得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

2、不等式的基本性质：

①、如果a>b，那么bb。(对称性)

②、如果a>b，且b>c，那么a>c，即a>b，b>c