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高考数学选修4-5 不等式选讲

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选修4-5 不等式选讲

1．已知f(x)＝|1－x|－|x－5|，

(1)解不等式f(x)<2；

(2)若f(x)＋2m－1<0存在实数解，求实数m的取值范围．

解：(1)f(x)＝|1－x|－|x－5|＝ 4，x>5，2x－6，1≤x≤5，－4，x<1，

∵f(x)<2，∴x<1或 2x－6<2，1≤x≤5，∴x<1或1≤x<4，∴不等式的解集为(－∞，4)．

(2)由(1)知f(x)min＝－4，

∵f(x)＋2m－1<0存在实数解，

∴f(x)min＋2m－1<0，

即－4＋2m－1<0，∴m<52，

∴m的取值范围为－∞，52.

2．已知定义在R上的函数f(x)＝|x－m|＋|x|，m∈N*，存在实数x使f(x)<2成立．

(1)求实数m的值；

(2)若α≥1，β≥1，f(α)＋f(β)＝4，求证：4α＋1β≥3.

解：(1)因为|x－m|＋|x|≥|(x－m)－x|＝|m|，

所以要使不等式|x－m|＋|x|<2有解，则|m|<2，

解得－2

(2)证明：因为α≥1，β≥1，

所以f(α)＋f(β)＝2α－1＋2β－1＝4，

即α＋β＝3，

所以4α＋1β＝134α＋1β(α＋β)

＝135＋4βα＋αβ ≥135＋2 4βα·αβ＝3.

当且仅当4βα＝αβ，即α＝2，β＝1时等号成立，

故4α＋1β≥3.

3．设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.

(1)画出y＝f(x)的图象；

(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．

解：(1)f(x)＝ －3x，x<－12，x＋2，－12≤x<1，3x，x≥1.

y＝f(x)的图象如图所示．

(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)成立，因此a＋b的最小值为5.

4．已知函数f(x)＝|x－4|＋|x－1|－kx－1.

(1)若k＝2，求不等式f(x)>0的解集；

(2)若方程f(x)＝0有实数根，求k的取值范围．

解：(1)因为k＝2，所以f(x)＝ －4x＋4，x≤1，－2x＋2，10，有

 x≤1，－4x＋4>0，得x<1，或 10，

得x∈∅，

故不等式f(x)>0的解集为(－∞，1)．

(2)由f(x)＝0，得|x－4|＋|x－1|－1＝kx，

令g(x)＝|x－4|＋|x－1|－1，则g(x)＝ 4－2x，x≤1，2，1

作出g(x)的图象如图所示．

直线y＝kx过原点，当此直线经过点B(4,2)时，k＝12；

当此直线与直线AC平行时，k＝－2.

由图可知，当k<－2或k≥12时，g(x)的图象与直线y＝kx有公共点．从而f(x)＝0有实数根，

所以k的取值范围为(－∞，－2)∪12，＋∞.

5．已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|.

(1)解不等式f(x)≤3；

(2)记函数g(x)＝f(x)＋|x＋1|的值域为M，若t∈M，证明：t2＋1≥3t＋3t.

解：(1)依题意，得f(x)＝ －3x，x≤－1，2－x，－1

解得－1≤x≤1.

故不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤1}．

(2)证明：g(x)＝f(x)＋|x＋1|＝|2x－1|＋|2x＋2|≥|2x－1－2x－2|＝3，

当且仅当(2x－1)(2x＋2)≤0时取等号，

∴M＝[3，＋∞)．

t2＋1≥3t＋3t等价于t2－3t＋1－3t≥0，

t2－3t＋1－3t＝t3－3t2＋t－3t＝t－3t2＋1t.

∵t∈M，∴t－3≥0，t2＋1>0，

∴t－3t2＋1t≥0，

∴t2＋1≥3t＋3t.

6．已知正实数x, y满足x＋y＝1.

(1)解关于x的不等式|x＋2y|＋|x－y|≤52；

(2)证明：1x2－11y2－1≥9.

解：(1)∵x＋y＝1，且x>0，y>0，

∴|x＋2y|＋|x－y|≤52⇔ 0

⇔ 0

解得16≤x<1，

∴不等式的解集为16，1.

(2)证明：∵x＋y＝1，且x>0，y>0， ∴1x2－11y2－1＝x＋y2－x2x2·x＋y2－y2y2

＝2xy＋y2x2·2xy＋x2y2＝2yx＋y2x22xy＋x2y2＝2xy＋2yx＋5≥22xy·2yx＋5＝9，

当且仅当x＝y＝12时，等号成立．

7．已知函数f(x)＝x2－2x＋3.

(1)若a＋b＝2，求f(a)＋f(b)的最小值；

(2)若|x－a|<2，求证：|f(x)－f(a)|<4(|a|＋2)．

解：(1)f(a)＋f(b)＝a2＋b2－2(a＋b)＋6＝(a＋b)2－2ab＋2＝6－2ab，

因为a＋b＝2，故f(a)＋f(b)＝6－2a(2－a)＝2a2－4a＋6，

当a＝1时，f(a)＋f(b)有最小值4.

(2)证明：因为|x－a|<2，

所以|f(x)－f(a)|＝|(x－a)·(x＋a－2)|<2|(x－a)＋2a－2|≤2|x－a|＋4|a|＋4<4|a|＋8，

所以|f(x)－f(a)|<4(|a|＋2)．

8．已知a，b，c为非负实数，函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋b|＋c.

(1)若a＝2，b＝6，c＝1，求不等式f(x)>11的解集；

(2)若函数f(x)的最小值为2，证明：1a＋b＋4b＋c＋9a＋c≥9.

解：(1)当a＝2，b＝6，c＝1时，不等式f(x)＝|2x－2|＋|2x＋6|＋1>11，

化简得|x－1|＋|x＋3|>5.

采用零点讨论法，设g(x)＝|x－1|＋|x＋3|,

当x≥1时，由g(x)＝2x＋2>5；得x>32；

当－35，得x∈∅；

当x≤－3时，由g(x)＝－2x－2>5，得x<－72，

所以不等式f(x)>11的解集为xx<－72或x>32.

(2)证明：因为f(x)＝|2x－a|＋|2x＋b|＋c≥|a＋b|＋c＝a＋b＋c，函数f(x)的最小值为2，

所以a＋b＋c＝2. 1a＋b＋4b＋c＋9a＋c＝141a＋b＋4b＋c＋9a＋c[(a＋b)＋(b＋c)＋(a＋c)]

＝1414＋b＋ca＋b＋4a＋bb＋c＋a＋ca＋b＋9a＋ba＋c＋4a＋cb＋c＋9b＋ca＋c

≥14(14＋4＋6＋12)＝9，

当且仅当a＝23，b＝0，c＝43等式成立．

综上，1a＋b＋4b＋c＋9a＋c≥9.

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高考数学真题：不等式选讲含答案

高考数学真题：不等式选讲含答案

1 专题十六 不等式选讲

第四十二讲 不等式选讲

2019年

1.（2019全国I理23）[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：

（1）222111abcabc；

（2）333()()()24abbcca．

2. （2019全国II理23）[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知()|||2|().fxxaxxxa

（1）当1a时，求不等式()0fx的解集；

（2）若(,1)x时，()0fx，求a的取值范围.

3.（2019全国III理23）[选修4-5：不等式选讲]（10分）

设,,xyzR，且1xyz.

（1）求222(1)(1)(1)xyz的最小值；

（2）若2221(2)(1)()3xyza成立，证明：3a或1a.

2010-2018年

解答题

1．(2018全国卷Ⅰ)[选修4–5：不等式选讲]（10分）

已知()|1||1|fxxax．

(1)当1a时，求不等式()1fx的解集；

(2)若(0,1)x时不等式()fxx成立，求a的取值范围．

2．(2018全国卷Ⅱ) [选修4－5：不等式选讲]（10分）

设函数()5|||2|fxxax．

(1)当1a时，求不等式()0≥fx的解集；

2 (2)若()1≤fx，求a的取值范围．

3．(2018全国卷Ⅲ) [选修4—5：不等式选讲]（10分）

设函数()|21||1|fxxx．

(1)画出()yfx的图像；

(2)当[0,)x时，()fxaxb≤，求ab的最小值．

4．(2018江苏)D．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)

若x，y，z为实数，且226xyz，求222xyz的最小值．

5．（2017新课标Ⅰ）已知函数2()4fxxax，()|1||1|gxxx．

高考数学各地模拟汇编--数学选修4-5不等式选讲(有答案)

高考数学各地模拟汇编--数学选修4-5不等式选讲(有答案)

高中数学选修4-5不等式选讲

一．解答题（共30小题）

1．（2014•江苏）已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy．

2．（2014•安徽）设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*．

（Ⅰ）证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）p＞1+px；

（Ⅱ）数列{an}满足a1＞，an+1=an+an1﹣p．证明：an＞an+1＞．

3．（2014•阜阳一模）已知α，β是方程4x2﹣4tx﹣1=0（t∈R）的两个不等实根，函数的定义域为[α，β]．

（Ⅰ）求g（t）=maxf（x）﹣minf（x）；

（Ⅱ）证明：对于，若sinu1+sinu2+sinu3=1，则++＜．

4．（2014•苏州一模）已知x，y，z均为正数．求证：．

5．（2014•长春一模）（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．

（1）求M；

（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．

6．（2014•长安区三模）设函数f（x）=x﹣a（x+1）ln（x+1），（x＞﹣1，a≥0）

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）当a=1时，若方程f（x）=t在上有两个实数解，求实数t的取值范围；

（Ⅲ）证明：当m＞n＞0时，（1+m）n＜（1+n）m．

7．（2014•赤峰模拟）已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+1）≥0的解集为[0，1]．

（1）求m的值；

（2）若a，b，c，x，y，z∈R，且x2+y2+z2=a2+b2+c2=m，求证：ax+by+cz≤1．

8．（2014•濮阳二模）已知函数f（x）=|x﹣1|．

（Ⅰ）解不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6；

（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：．

9．（2014•宁城县模拟）已知a，b，c均为正实数，且ab+bc+ca=1．

求证：（Ⅰ）a+b+c≥；

（Ⅱ）++≥（++）．

高中课标课程选修4-5《不等式选讲》教学参考二 柯西不等式

高中课标课程选修4-5《不等式选讲》教学参考二 柯西不等式

23c=，则半短轴b=2.又椭圆的焦点在x轴上，

所以椭圆的标准方程为221164xy+=.

而椭圆方程221164xy+=在伸缩变换','2xxyy==作

用下，变为圆的方程2216xy+=，此时点(2,1)A变为点(2,2)A′.要求△ABC面积的最大值问题转化为先求过原点做直径BC′′，使△ABC′′′面积最大.又根据圆的性质，当OABC′′′⊥时，点A′到直径BC′′的距离取到最大值，此时△ABC′′′的面积为1128228222ROA′=××=最大.

再由定理，知182422ABCABCbSSa′′′==×=.

故填42.

4.利用伸缩变换解高考题

例5(2006年高考山东文科卷)已知椭圆的中心在

坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点

所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4.

(I)求椭圆的方程；

(II)直线l过点P(0，2)且与椭圆相交于A、B两

点，当△AOB面积取得最大值时，求直线l的方程.

解析：(I)易求椭圆方程为22121xy+=.

(II)椭圆22121xy+=在伸缩变换',

'2xx

yy=

=作用

下，变为圆的方程222xy+=，此时点P(0，2)在伸缩变换10

02作用下变为(0,22)P′.

由题意知直线l的斜率K存在且0K≠时，设直线l的方程为2yKx=+，则直线l′的方程为

22ykx=+1()2bKkka==，

原点到该直线l′的距离222

1dk=+，

弦长22222826222211kABRdkk′′===++，

故ΔAOB面积为

22211262222211AOBkSABdkk′′′′′==++

2222622(1)(1)kkk=++

令226(0),mkm=>则2262mk+=，

从而21224218612AOBmSmmm′′′==≤+++，

当且仅当8mm=，

即22m=时，

max1S=，

此时7k=±.所以原直线l的斜率

114(7)22bKka==×±=±，

故所求直线方程为14240xy±+=.

高中数学人教A版选修4-5不等式选讲第一讲《1.绝对值三角不等式》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案

高中数学人教A版选修4-5不等式选讲第一讲《1.绝对值三角不等式》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案

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1教学目标

知识与技能:

①学生能借助实数 a 的绝对值( | a| ) 的几何意义,在数轴上标出| a| ,| b| ,| a + b| 并探究出

| a + b| ≤| a| + | b| .

②学生能运用数与形结合的方法理解并证明绝对值三角不等式( 定理 1) ,能利用定理 1

解决简单的相关问题.

过程方法与能力:

培养学生的抽象能力和逻辑思维能力;提高分析问题、解决问题的能力.

情感态度与价值观:

通过本节课探究活动的学习,让学生通过对具体事例的观察、归纳中找出规律,得出结论,培养学生解决应用问题的能力和严谨的学习态度,能提升对数学问题的探究意识,并能自己找到探究问题的思路与方法.

2学情分析

绝对值是与实数有关的一个基本而重要的概念.绝对值三角不等式|a+b|≤|a|+|b|既是一个基本的结论,又是知识承上启下的一个生长点.承上:学生在初中就已经接触和学习了实数的绝对值的定义及其几何意义;启下:绝对值三角不等式是证明有关绝对值不等式的基础和基本方法.

3重点难点

教学重点:

( 1) 教学重点: 定理 1( | a + b | ≤ | a | + | b | ) 的生成与绝对值不等式的几何意义.

( 2) 教学难点: 定理 1 和定理 2 的发现与证明.

教学难点:应用绝对值的三角不等式.

4教学过程