选修4-5 不等式选讲
- 格式：doc
- 大小：1.61 MB
- 文档页数：25
第
1
页
共 25 页
选修4－5 不等式选讲
全国卷5年考情图解 高考命题规律把握
高考对本章考查主要有以下两个方面：
(1)绝对值不等式的求解与函数问题的综合，这是高考命题的热点；
(2)绝对值不等式中的恒成立问题与不等式的证明相结合.
第一节绝对值不等式
一、基础知识批注——理解深一点
1．绝对值三角不等式
定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立． ↓
|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立.
2．绝对值不等式的解法 ―→
(1)|x|a型不等式的解法
不等式 a>0 a＝0 a<0
|x|
2
页 共 25 页
|x|>a {x|x>a或x<－a} {x|x∈R且x≠0} R
(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法及体现数学思想
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.
二、基础小题强化——功底牢一点
一判一判对的打“√”，错的打“×”
(1)若|x|>c的解集为R，则c≤0.( )
(2)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.( )
(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立．( )
(4)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
(二)填一填
1．不等式|5－4x|>9的解集为________．
解析：∵|5－4x|>9，∴5－4x>9或5－4x<－9.
∴4x<－4或4x>14，∴x<－1或x>72.
∴原不等式的解集为x x<－1或x>72.
答案：x x<－1或x>72
2．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.
解析：由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6.
∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.
答案：2
3．函数y＝|x－4|＋|x＋4|的最小值为________．
解析：因为|x－4|＋|x＋4|≥|(x－4)－(x＋4)|＝8， 第 3 页 共 25 页
所以所求函数的最小值为8.
答案：8
4．不等式|x＋1|－|x－2|≥1的解集是________．
解析：令f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝ －3，x≤－1，2x－1，－1
当－1
又当x≥2时，f(x)＝3>1恒成立．
所以不等式的解集为{}x|x≥1.
答案：{}x|x≥1
考点一 绝对值不等式的解法
[典例] (2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.
(1)画出y＝f(x)的图象；
(2)求不等式|f(x)|>1的解集．
[解] (1)由题意得f(x)＝ x－4，x≤－1，3x－2，－132，
故y＝f(x)的图象如图所示． 第 4 页 共 25 页
(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，
当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；
当f(x)＝－1时，可得x＝13或x＝5.
故f(x)>1的解集为{x|1
f(x)<－1的解集为x x<13或x>5.
所以|f(x)|>1的解集为x x<13或15.
[解题技法] 解绝对值不等式的常用方法
基本性质法 对a∈R＋，|x|a⇔x<－a或x>a
平方法 两边平方去掉绝对值符号
零点分区间法 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解
数形结合法 在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解
[题组训练]
1．解不等式|x＋1|＋|x－1|≤2.
解：当x<－1时，
原不等式可化为－x－1＋1－x≤2，
解得x≥－1，又因为x<－1，故无解；
当－1≤x≤1时， 第 5 页 共 25 页
原不等式可化为x＋1＋1－x＝2≤2，恒成立；
当x>1时，
原不等式可化为x＋1＋x－1≤2，
解得x≤1，又因为x>1，故无解；
综上，不等式|x＋1|＋|x－1|≤2的解集为[－1,1]．
2．(2019·沈阳质检)已知函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a∈R.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋|2x＋1|的解集；
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋3x.
法一：由f(x)≥3x＋|2x＋1|，得|x－1|－|2x＋1|≥0，
当x>1时，x－1－(2x＋1)≥0，得x≤－2，无解；
当－12≤x≤1时，1－x－(2x＋1)≥0，得－12≤x≤0；
当x<－12时，1－x－(－2x－1)≥0，得－2≤x<－12.
∴不等式的解集为{x|－2≤x≤0}．
法二：由f(x)≥3x＋|2x＋1|，得|x－1|≥|2x＋1|，
两边平方，化简整理得x2＋2x≤0，
解得－2≤x≤0，
∴不等式的解集为{x|－2≤x≤0}．
(2)由|x－a|＋3x≤0，可得 x≥a，4x－a≤0或 x
即 x≥a，x≤a4或 x
当a>0时，不等式的解集为x x≤－a2.
由－a2＝－1，得a＝2. 第 6 页 共 25 页
当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤0}，不合题意．
当a<0时，不等式的解集为x x≤a4.
由a4＝－1，得a＝－4.
综上，a＝2或a＝－4.
考点二 绝对值不等式性质的应用
[典例] (2019·湖北五校联考)已知函数f(x)＝|2x－1|，x∈R.
(1)解不等式f(x)<|x|＋1；
(2)若对x，y∈R，有|x－y－1|≤13，|2y＋1|≤16，求证：f(x)<1.
[解] (1)∵f(x)<|x|＋1，∴|2x－1|<|x|＋1，
即 x≥12，2x－1
得12≤x<2或0
故不等式f(x)<|x|＋1的解集为{x|0
(2)证明：f(x)＝|2x－1|＝|2(x－y－1)＋(2y＋1)|≤|2(x－y－1)|＋|2y＋1|＝2|x－y－1|＋|2y＋1|≤2×13＋16＝56<1.
故不等式f(x)＜1得证．
[解题技法] 绝对值不等式性质的应用
利用不等式|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)和|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)，通过确定适当的a，b，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值或证明不等式．
[题组训练]
1．求函数f(x)＝|x＋2 019|－|x－2 018|的最大值．
解：因为f(x)＝|x＋2 019|－|x－2 018|≤|x＋2 019－x＋2 018|＝4 037，
所以函数f(x)＝|x＋2 019|－|x－2 018|的最大值为4 037.
2．若x∈[－1,1]，|y|≤16，|z|≤19，求证：|x＋2y－3z|≤53.
证明：因为x∈[－1,1]，|y|≤16，|z|≤19， 第 7 页 共 25 页
所以|x＋2y－3z|≤|x|＋2|y|＋3|z|≤1＋2×16＋3×19＝53，
所以|x＋2y－3z|≤53成立．
考点三 绝对值不等式的综合应用
[典例] (2018·合肥质检)已知函数f(x)＝|2x－1|.
(1)解关于x的不等式f(x)－f(x＋1)≤1；
(2)若关于x的不等式f(x)
[解] (1)f(x)－f(x＋1)≤1⇔|2x－1|－|2x＋1|≤1，
则 x≥12，2x－1－2x－1≤1或 －12
解得x≥12或－14≤x<12，即x≥－14，
所以原不等式的解集为－14，＋∞.
(2)由条件知，不等式|2x－1|＋|2x＋1|
则m>(|2x－1|＋|2x＋1|)min即可．
由于|2x－1|＋|2x＋1|＝|1－2x|＋|2x＋1|≥|1－2x＋(2x＋1)|＝2，当且仅当(1－2x)(2x＋1)≥0，即x∈－12，12时等号成立，故m>2.所以m的取值范围是(2，＋∞)．
[解题技法] 两招解不等式问题中的含参问题
(1)转化
①把存在性问题转化为求最值问题；
②不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题；
③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立⇔a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立⇔a＜f(x)min.
(2)求最值
求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：
①利用绝对值的几何意义；
②利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||；
③利用零点分区间法．
[题组训练]
1．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.
