2019-2020学年山西晋中高一下数学期中试卷

试卷第1页，总17页 2019-2020学年山西晋中高一下数学期中试卷

一、选择题

1. sin(−5𝜋3)的值为（ ）

A.√32 B.−√32 C.−12 D.12

【答案】

A

【考点】

三角函数的化简求值

运用诱导公式化简求值

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：sin(−5𝜋3)=−sin 5𝜋3=−sin(2𝜋−𝜋3)

=−sin(−𝜋3)=sin 𝜋3=√32．

故选𝐴．

2. sin46∘cos16∘−cos46∘sin16∘的值为（ ）

A.√32 B.−√32 C.−12 D.12

【答案】

D

【考点】

两角和与差的正弦公式

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：已知sin46∘cos16∘−cos46∘sin16∘

=sin(46∘−16∘)=sin30∘=12 .

故选𝐷.

3. 已知𝑎→=(1,2)，𝑏→=(3,−6)，则𝑎→−2𝑏→=（ ）

A.(−2,8) B.(−5,14) C.(−2,−8) D.(−5,−14)

【答案】

B

【考点】

平面向量的坐标运算

试卷第2页，总17页 【解析】

本题主要考查向量的坐标运算．

【解答】

解：∵ 𝑎→=(1,2)，𝑏→=(3,−6)，

∴ 𝑎→−2𝑏→=(1,2)−(6,−12)=(−5,14)．

故选𝐵．

4. 已知sin𝛼−cos𝛼=−54，则sin2𝛼=( )

A.√74 B.932 C.−916 D.−932

【答案】

C

【考点】

二倍角的正弦公式

【解析】

已知条件两边平方化简即可．

【解答】

解：因为sin𝛼−cos𝛼=−54，

所以两边平方可得：sin2𝛼−2sin𝛼cos𝛼+cos2𝛼=2516，

所以sin2𝛼=−916．

故选𝐶．

5. 已知平面向量𝑎→=(𝑥−1,2)，𝑏→=(2,1)，则𝑎→//𝑏→时， |𝑎→|=（ ）

A.√5 B.2√5 C.5 D.20

【答案】

B

【考点】

平行向量的性质

向量的模

【解析】

(1)根据题目所给信息进行求解即可.

【解答】

解：已知平面向量𝑎→=(𝑥−1,2)，𝑏→=(2,1)，

若𝑎→//𝑏→，则(𝑥−1)×1=2×2，

解得𝑥=5，

试卷第3页，总17页 故𝑎→=(4,2)，

可得|𝑎→|=√42+22=2√5.

故选𝐵.

6. 在△𝐴𝐵𝐶中，下列结论错误的是( )

A.sin(𝐴+𝐵)=sin𝐶 B.sin𝐵+𝐶2=cos𝐴2

C.tan(𝐴+𝐵)=−tan𝐶(𝐶≠𝜋2) D.cos(𝐴+𝐵)=cos𝐶

【答案】

D

【考点】

运用诱导公式化简求值

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：选项𝐴，sin(𝐴+𝐵)=sin(𝜋−𝐶)=sin𝐶，故正确，

选项𝐵，sin𝐴+𝐵2=sin𝜋−𝐶2=sin(𝜋2−𝐶2)=cos𝐶2，故正确，

选项𝐶，tan(𝐴+𝐵)=tan(𝜋−𝐶)=−tan𝐶(𝐶≠𝜋2)，故正确，

选项𝐷，cos(𝐴+𝐵)=cos(𝜋−𝐶)=−cos𝐶，故错误，

故选𝐷.

7. 在△𝐴𝐵𝐶中，若点𝐷满足𝐶𝐷→=3𝐷𝐵→，点𝑀为线段𝐴𝐶中点，则𝑀𝐷→=( )

A.34𝐴𝐵→−14𝐴𝐶→ B.13𝐴𝐵→−16𝐴𝐶→

C.23𝐴𝐵→−13𝐴𝐶→ D.34𝐴𝐵→+14𝐴𝐶→

【答案】

A

【考点】

向量的三角形法则

【解析】

（1）利用向量的三角形法则进行解题即可.

【解答】

解：已知𝐶𝐷→=3𝐷𝐵→，点𝑀为线段𝐴𝐶中点，

试卷第4页，总17页 则𝑀𝐷→=𝑀𝐶→+𝐶𝐷→=12𝐴𝐶→+34𝐶𝐵→

=12𝐴𝐶→+34(𝐴𝐵→−𝐴𝐶→)=34𝐴𝐵→−14𝐴𝐶→.

故选𝐴.

8. √1+2sin(𝜋−3)cos(𝜋+3)化简结果是（ ）

A.sin3−cos3 B.cos3−sin3 C.±(sin3−cos3) D.以上都不对

【答案】

A

【考点】

运用诱导公式化简求值

【解析】

（1）利用诱导公式进行求解即可.

【解答】

解：√1+2sin(𝜋−3)cos(𝜋+3)=√1+2sin3⋅(−cos3)

=|sin3−cos3|，

∵ 3𝜋4<3<𝜋，

∴ sin3>0，cos3<0，

∴ sin3−cos3>0.

∴ 原式=sin3−cos3.

故选𝐴.

9. 已知△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶=4，𝐵𝐶=4√3，点𝑃为𝐵𝐶边所在直线上的一个动点，则𝐴𝑃→⋅(𝐴𝐵→+𝐴𝐶→)满足（ ）

A.最大值为16 B.最小值为4

C.为定值8 D.与𝑃的位置有关

【答案】

C

【考点】

平面向量数量积的运算

向量的三角形法则

【解析】

取𝐵𝐶的中点𝐷，则𝐴𝐷=√42−(2√3)2=2，由平行四边形法则，𝐴𝐵→+𝐴𝐶→=2𝐴𝐷→，故𝐴𝑃→⋅(𝐴𝐵→+𝐴𝐶→)=2𝐴𝑃→⋅𝐴𝐷→，由此能求出结果．

【解答】

解：取𝐵𝐶的中点𝐷，则𝐴𝐷=√42−(2√3)2=2，

由平行四边形法则，𝐴𝐵→+𝐴𝐶→=2𝐴𝐷→，

试卷第5页，总17页 ∴ 𝐴𝑃→⋅(𝐴𝐵→+𝐴𝐶→)

=2𝐴𝑃→⋅𝐴𝐷→

=2×|𝐴𝑃→|×|𝐴𝐷→|cos∠𝑃𝐴𝐷

=2|𝐴𝐷→|2

=2×4

=8．

故选𝐶.

10. 在△𝐴𝐵𝐶中，cos2𝐵2=𝑎+𝑐2𝑐，（𝑎，𝑏，𝑐分别为角𝐴，𝐵，𝐶的对边），则△𝐴𝐵𝐶的形状为( )

A.等边三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形

【答案】

B

【考点】

二倍角的余弦公式

解三角形

余弦定理的应用

【解析】

利用二倍角公式代入cos2𝐵2=𝑎+𝑐2𝑐求得cos𝐵=𝑎𝑐，进而利用余弦定理化简整理求得𝑎2+𝑏2=𝑐2，根据勾股定理判断出三角形为直角三角形．

【解答】

解：∵ cos2𝐵2=𝑎+𝑐2𝑐，

∴ cos𝐵+12=𝑎+𝑐2𝑐，

∴ cos𝐵=𝑎𝑐，

∴ 𝑎2+𝑐2−𝑏22𝑎𝑐=𝑎𝑐，

∴ 𝑎2+𝑐2−𝑏2=2𝑎2，即𝑎2+𝑏2=𝑐2，

∴ △𝐴𝐵𝐶为直角三角形．

故选𝐵.

11. 函数𝑓(𝑥)=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)图像如图所示，其中𝐴>0，𝜔>0， |𝜑|<𝜋2，则𝜔= ________，𝜑=________．（ ）

试卷第6页，总17页

A.−2，−𝜋4 B.2，𝜋4 C.√2 ，−𝜋4 D.2，−𝜋4

【答案】

D

【考点】

由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

【解析】

（1）根据题目所给信息进行求解即可.

【解答】

解：已知函数最大值为2，即𝐴=2，

已知𝑓(0)=2sin𝜑=−√2，又|𝜑|<𝜋2，

解得𝜑=−𝜋4，

而𝑓(3𝜋8)=2sin(3𝜋8𝜔−𝜋4)=2，

解得𝜔=2.

故选𝐷.

12. 已知𝛼∈(0, 𝜋)，sin(𝛼+𝜋3)=35，则cos(2𝛼+𝜋6)=( )

A.±2425 B.−2425 C.725 D.−725

【答案】

B

【考点】

二倍角的正弦公式

诱导公式

同角三角函数间的基本关系

【解析】

利用换元法，结合三角函数的诱导公式进行转化．

【解答】

解：设𝜃=𝛼+𝜋3，则sin𝜃=35，𝛼=𝜃−𝜋3.

∵ 𝛼∈(0, 𝜋)，

∴ 𝛼+𝜋3∈(𝜋3, 4𝜋3)，即𝜃∈(𝜋3, 4𝜋3).

试卷第7页，总17页 ∵ sin𝜃=35∈(12, √22)，

∴ 𝜃∈(𝜋6, 𝜋4)（舍）或𝜃∈(3𝜋4, 5𝜋6)，

则cos𝜃=−45.

则cos(2𝛼+𝜋6)=cos(2𝜃−2𝜋3+𝜋6)

=cos(2𝜃−𝜋2)=sin2𝜃

=2sin𝜃cos𝜃

=2×(−45)×35=−2425.

故选𝐵.

二、填空题

1−tan15∘1+tan15∘=________．

【答案】

√33

【考点】

两角和与差的正切公式

【解析】

利用两角差的正切公式把要求的式子化为tan(45∘−15∘)=tan30∘，从而求得结果．

【解答】

解：1−tan15∘1+tan15∘=tan45∘−tan15∘1+tan45∘tan15∘

=tan(45∘−15∘)=tan30∘

=√33.

故答案为：√33．

若2𝑟𝑎𝑑的圆心角所对的弦长为2，则这圆心角所对的弧长为________.

【答案】

2sin1

【考点】

弧长公式

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：连结圆心与弦的中点，

则由弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，

半弦长为1，其所对的圆心角也为1,