以特殊四边形为背景的计算与证明

初二数学优质专题学案（附经典解析）

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以特殊四边形为背景的计算与证明

二、方法剖析与提炼

1、以平行四边形为背景的计算与证明

例1.（2020杭州） 如图，在四边形纸片 ABCD 中，AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，∠A=135°．将纸片先沿直 线 AC 对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后 的图形中有一个是面积为 22 的平行四边形，则

CD= ．

【解答】如图 1 所示：

延长 BE 交 CD 于点 N，过点 A 作 AT⊥BE于点T ,当四边形 ABED 为平行四边形，

∵CD=BC，

∴四边形 ABED 是菱形，

易证∠NDE=45°，

设 AT=x，则 AB=BE=ED= x，所以 x×x=2 ，

故 DC=DN+NC=2+2 ；

如图 2，

当四边形 AECF 是平行四边形，

∵AE=AF，

∴平行四边形 AECF 是菱形，

易得∠AEB=45° 图 2

∴设 AB=y，则 BE=y，

∴(y+ y) y-y2 =2

解得：y= ，故

CE=2，BE=， 则

CD=BC=2+，

综上所述：CD 的值为：2+ 或 2+2． BACD初二数学优质专题学案（附经典解析）

2 【解析】折叠裁剪时注意有两种方法：一是折叠后从D点出发剪一刀；二是折叠后从A点出发剪一刀.

【解法】(1)应用分类讨论的方法解决问题； (2)应用方程思想求出未知数的值；

(3)应用平行四边形的知识求解.

【解释】本题其实是把翻折的痕迹和剪开的痕迹化成辅助线即可.

2、以矩形为背景的计算与证明

例2．(优质试题厦门)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，n)，B(m，n)(m＞2)，D(p，q)(q＜n)，点B，D在直线y＝12x＋1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD＝4，BE＝DE，△AEB的面积是2.

求证：四边形ABCD是矩形．

【解答】过点E作EF⊥AB于点F.

易证四边形ABCD是平行四边形．

∴AB＝CD＝4.

∵点A(2，n)，B(m，n)(m>2)，

∴AB∥x轴，∴CD∥x轴．

∴m＝6.

∴n＝12×6＋1＝4.

∴点A(2，4)，B(6，4)．

∵△AEB的面积是2，∴EF＝1，

∵▱ABCD的面积为△ABE的面积的4倍，

∴S▱ABCD＝8，

∴▱ABCD的高为2.

∴DA⊥AB，

∴四边形ABCD是矩形．

【解析】先求出A、B、C、D四个点的坐标，证明四边形ABCD是平行四边形，再初二数学优质专题学案（附经典解析）

3 根据直线解析式y＝12x＋1和△AEB的面积得出DA⊥AB，从而得到矩形ABCD。

【解法】先用两边互相平行的四边形是平行四边形证明,再用一组邻边垂直的平行四边形是矩形去证明.

【解释】本题结合一次函数、矩形和面积的知识，综合性较强.

三、以菱形为背景的计算与证明

例3.(优质试题遵义)如图①，在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB＝CD；∠ACB＝∠DCE＝90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC分别交于点M，H.

(1)求证：CF＝CH.

(2)如图②，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE＝45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．

【解答】

【解析】（1）根据ASA 证明△BCF≌△ECH ，得到CF＝CH ；

（2）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得出四边形ACDM是菱形。

【解法】用数形结合思想，先用两边互相平行的四边形是平行四边形证明,再用一组邻边相等的平行四边形是菱形去证明.

【解释】本题以动态的形式出现,关键是根据菱形的判定方法去证明.

四、以正方形为背景的计算与证明

例4.( 优质试题绥化)在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋3与x轴，y轴分别交于A，B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x轴正半轴的顶点坐标 ． 初二数学优质专题学案（附经典解析）

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【解答】分两种情况；

（1）如解图①，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝3，

∵四边形COED是正方形，

∴OE＝DE＝AE，

∴OE＝12OA＝32，

∴点E(32，0)．

（2）如解图②，由①知△OFC，△EFA是等腰直角三角形，

∴CF＝2OF，AF＝2EF.

∵四边形CDEF是正方形，

∴EF＝CF，

∴AF＝2×2OF＝2OF，

∴点F(1，0)．

∴正方形落在x轴正半轴的顶点坐标为(32，0)或(1，0)．

【解析】（1）当正方形以x轴和y轴为边时得到点E的坐标为(32，0)；

（2）当正方形以原点O为顶点时得到点F的坐标是(1，0)。

【解法】(1)应用分类讨论的方法解决问题； (2)应用数形结合思想找到方法；

(3)应用直角三角形的知识求解.

【解释】本题结合正方形和一次函数的知识,注意分类讨论.

三、能力训练与拓展 初二数学优质专题学案（附经典解析）

5 1.（优质试题宁波）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（ ）

A．4S1 B．4S2

C．4S2+S3 D．3S1+4S3

2.（优质试题南京）如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为 cm．

3.（优质试题上海）如图，矩形ABCD中，BC=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A、C分别落在点A′、C′处．如果点A′、C′、B在同一条直线上，那么tan∠ABA′的值为

．

4.（优质试题宿迁）如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为2，则FM的长为（ ）

A．2 B． C． D．1

5.(优质试题厦门)我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，等积线被 这个平面图形截得的线段叫做该图形的“等积线段”（例如三角形的中线就是三角形的等积线段）．已 知菱形的边长为

4，且有一个内角为 60°，设它的等积线段长为 m，则 m 的取值范围是（ ）

A．m=4 或 m=4 B．4 ≤ m ≤ 4

C．2 D．2 ≤ m ≤ 4

1. A．

解：设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，

则S2=（a+c）（a﹣c）=a2﹣c2， 初二数学优质专题学案（附经典解析）

6 ∴S2=S1﹣S3，

∴S3=2S1﹣2S2，

∴平行四边形面积=2S1+2S2+S3=2S1+2S2+2S1﹣2S2=4S1．

2. 13．

解：因为正方形AECF的面积为50cm2，

所以AC=cm，

因为菱形ABCD的面积为120cm2，

所以BD=cm，

所以菱形的边长=cm．

3. ．

解：设AB=x，则CD=x，A′C=x+2，

∵AD∥BC，

∴=，即=，

解得，x1=﹣1，x2=﹣﹣1（舍去），

∵AB∥CD，

∴∠ABA′=∠BA′C，

tan∠BA′C===，

∴tan∠ABA′=，

4. B．

解：∵四边形ABCD为正方形，AB=2，过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，

∴FB=AB=2，BM=1，

则在Rt△BMF中，

FM=，

5. C． 初二数学优质专题学案（附经典解析）

7 解：由“等积线段”的定义可知：当菱形的“等积线段”和边垂直时最小， 此时直线 l⊥DC，过点 D 作 DN⊥AB 于点 N，则∠DAB=60°，AD=4，

故 DN=AD•sin60°=2， 当“等积线段”为菱形的对角线AC时最大.