(4)关于三角形与四边形的证明与计算

【考点分析】

一、证明两线段相等

1.两全等三角形中对应边相等。2.同一三角形中等角对等边。3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。12.两圆的内（外）公切线的长相等。

二、证明两角相等

1.两全等三角形的对应角相等。2.同一三角形中等边对等角。3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。8.相似三角形的对应角相等。9.圆的内接四边形的外角等于内对角。10.等于同一角的两个角相等

三、证明两直线平行

1.垂直于同一直线的各直线平行。2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。3.平行四边形的对边平行。4.三角形的中位线平行于第三边。5.梯形的中位线平行于两底。6.平行于同一直线的两直线平行。7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。

四、证明两直线互相垂直

1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。4.邻补角的平分线互相垂直。5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。6.两条直线相交成直角则两直线垂直。

初中三角形、四边形的有关计算证明（经典例题）

01

考点、热点分析

(1)掌握平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，四边形是平行四边形的条件（一组对边平行且相等，或两组对边分别相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形）．了解中心对称图形及其基本性质；

(2)掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和四边形是矩形、菱形、正方形的条件；

(3)了解等腰梯形同一底上的两底角相等，两条对角线相等的性质，以及同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形的结论。

(4)进一步认识三角形的有关概念，了解三边之间的关系以及三角形的内角和，了解三角形的稳定性。

(5)了解图形的全等，能利用全等图形进行简单的图案设计。

(6)经历探索三角形全等条件的过程，掌握两个三角形全等的条件，能应用三角形的全等解决一些实际问题。

(7)在分别给出两角夹边、两边夹角和三边的条件下，能够利用尺规作出三角形（会写已知、求作和作法，不要求证明）。

02 知识点归纳

03

经典例题

三角形内角和定理的证明

例1．如图所示，把图（1）中的∠1撕下来，拼成如图（2）所示的图形，从中你能得到什么结论？请你证明你所得到的结论．点证：此题是让学生动手拼接，把∠1移至∠2，已知a∥b，根据两直线平行，同旁内角互补，得到“三角形三内角的和等于180°”的结论，由于此题剪拼的方法很多，证明的方法也很多，注意对学生的引导．

探索三角形全等的条件

例2．如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论是_________．【解析】由∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF，可判定△AEB≌△AFC，从而得∠EAB=∠FAC．∴∠1=∠2，又可证出△AEM≌△AFN．依此类推得①、②、③点评：注意已知条件与隐含条件相结合．

全等三角形的应用

例3．如图所示，A、D、F、B在同一直线上，AD=BF，AE=BC，且AE∥BC．求证：（1）△AEF≌△BCD；（2）EF∥CD．【解析】（1）因为AE∥BC，所以∠A=∠B．又因AD=BF，所以AF=AD+DF=BF+FD=BD，又因AE=BC，所以△AEF≌△BCD．（2）因为△AEF≌△BCD，所以∠EFA=∠CDB，所以EF∥CD．【点评】根据平行寻求全等的条件，由三角形全等的性质证两直线平行．

特殊四边形的证明与计算

1．如图，△ABC是等边三角形，点E在线段AC上，连接BE，以BE为边作等边三角形BEF，将线段CE绕点C顺时针旋转60°，得到线段CD，连接AF、AD、ED.

(1)求证：△BCE≌△ACD；

(2)求证：四边形ADEF是平行四边形．

第1题图

证明：(1)∵△ABC是等边三角形，

∴BC＝AC，∠BCE＝60°，

由题意得CE＝CD，∠ECD＝60°.

在△BCE和△ACD中，

BC＝AC∠BCE＝∠ACD＝60°CE＝CD，

∴△BCE≌△ACD(SAS)；

(2)∵△BCE≌△ACD，

∴AD＝BE，∠DAE＝∠CBE，

∵△BEF是等边三角形， ∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°，

∴AD＝EF，

∵△ABC与△BEF均是等边三角形，

∴∠BCE＝∠BEF＝60°，

∵∠BCE＋∠CBE＝∠BEF＋∠AEF，

∴∠CBE＝∠AEF，

∴∠DAE＝∠AEF，∴AD∥EF，

∴四边形ADEF是平行四边形．

2．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC.

(1)求证：四边形BDEF是平行四边形；

(2)线段BF、AB、AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论．

第2题图

(1)证明：如解图，延长CE交AB于点G，

第2题解图 ∵AE⊥CE，

∴∠AEG＝∠AEC＝90°，

∵AE平分∠BAC，

∴∠GAE＝∠CAE，

在△AGE和△ACE中，

∠GAE＝∠CAEAE＝AE∠AEG＝∠AEC，

∴△AGE≌△ACE(ASA)，

∴GE＝EC.

∵点D是边BC的中点，

∴BD＝CD，DE为△CGB的中位线，

∴DE∥BF.

又∵EF∥BC，

∴四边形BDEF是平行四边形；

(2)解：BF＝12(AB－AC)．

理由如下：

由(1)可知，△AGE≌△ACE，四边形BDEF是平行四边形，

中考专练之四边形的计算与证明——四边形与相似

1. 已知：如图，在□ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AE，DF分别与线段BC相交于点E，F，AE与DF相交于点G．

（1）求证：AE⊥DF；

（2）若AD=10，AB=6，AE=4，求DF的长．

GAEBCDF

2. 已知如图：在菱形ABCD中，O是对角线BD上的一点．连结AO并延长，与DC交于点R，与BC的延长线交于点S．若460,10ADDCBBS，∠.

（1）求AS的长度；

（2）求OR的长度．

3. 已知：如图，在△ABC中，点D是BC中点，点E是AC中点，且AD⊥BC，BE⊥AC， BE,AD相交于点G，过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F， DF=6.

(1) 求AE的长；

(2) 求AEGFBGSS 的值.

4. 如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，过点E作EF⊥EC 交边AB于点F，交CB的延长线于点G， 且EF=EC．

（1）求证：CD=AE；

（2）若DE=4cm，矩形ABCD的周长为 32cm，求CG的长．

5. 如图，在矩形ABCD中，E是边CB延长线上的点，且EB=AB，DE与AB相交于点F， AD=2，CD=1，求AE及DF的长．