以平行四边形为背景的计算和证明
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EG交求证：EG=2MN. El
八下数学思维解法技巧培优小专题
专题12 取平行四过形为背乗的计*:和证明
【典例1】（2019-南岸区校级模拟）如图，在平行四边形，毎CZ）中，CE丄BC交AD于点E,连接BE,点
F是BE上一点,连接CF.
(1)如图 1,若Z£CD=30° , BC=BF=4, DC=£ 求 EF 的长;
（2）如图2,若BC=EC,过点E作EM丄CF,交CF延长线于点延长ME、CD相交于点G,连接
【点拨】（1）利用勾股定理求出EG恥即可解决问题.
（2）如图2中，延长GM到使得MH=MG.连接CH BH.想办法证明EG=BH, 即町
解决问题.
图1
•・•四边形.拐3是平行四边形,
:・AD〃BC、
VEC 丄 BC,
•••4D 丄 EC, 图2 【解析】（1〉解：1.\C£=CD
V Z£CD=30° , CD=2,
9：BC=CF=4,
:.EF=BE - BF= V19 _4・
(2)证明：如图2中，延长GM到使得册=MG,连接CH BH.
團2
CM丄
•••ZHCG= 90° , CH=CG、
:.ZHCG= ZBCE.
:.ZBCH= ZECG.
•: CB=CE、
:•、BCHSHECG (SAS).
:・BH=EG.乙CHB= ZCGE=45° ,
•••ZCHG=45° ,
:・ZBHG=9y ,
:• ZBHG= ZCMG=9T ,
:.MN//BH, •: HM=HG、
:.BN=NG.
:・EG=2MN・ 【典例2】(2019*沙坪坝区模拟)如图，在^.IBCD中，ZACB=45Q , AE1BC于点E,过点C作CF丄
AB于点F,交于点M.点N在边EC上，且连结DV.
(1) ^AB=VT69 AC=4.求 BC 的长；
(2)求证:AD+AM=^DN・
【点拨】（1） ilE出ZUC£是等腰直角三角形.得出ZEVC=45° , AE=CE=2>/N 由勾股定理得：BE=
（2）延长至G,使DG=zLW,证岀四边形CGDV是平行四边形，得出CG=ZXV,证明HABE空厶 CME.得出 AB=CM.
ZB=ZCME,再证明MCMQ'GCD、得出ZG=ZM4C=45° ,证出ZUCG 是等腰直角三角形，得出AG= >J2CG,即可得出结论.
【解析】（1）解：v ZJCB=45° , AE丄EC,
•••ZAEC=ZAEB=9L , ZUCE是等腰直角三角形，
Ar 4 — A ZEAC=4SQ , J£=C£=?==7==2V2,
由勾股左理得：BE= \fAB2 - AE2 = y/10-8 = yj2.
:.BC=BE+CE=3y/2；
（2）证明：延长,3至G,使连接CG.如图所示：
•: AM=CN,
:・DG=CN、
•.•四边形肿3是平行四边形，
:・AB=CD. AD〃BC, ZB=ZADC,
:.DG//CN,
.•・四边形CGZW是平行四边形， :.CG=DN. TCF丄曲，
:.ZCFB=9Q° = ZAEB= ZCEA,
••• ZBAE=ZMCE,
£AEB = "EM
在HABE 和△CME 中,z_BAE =厶MCE ，
AE = CE
:・WBE9\ (zUS),
：..1B=CM, ZB=ZCME,
:・CM=CD.乙CME= ZADC.
:.ZAMC= ZGDC、
AM = DG
在和中，z_AMC =厶GDC
CM = CD
•••△/CM也△GCD (SAS),
AZG=ZM4C=45a ,
•: AD〃BC、
:.ZDAC=ZACB=45^ ,
/. AJCG是等腰直角三角形，
:.AG= V2CG,
A G =.1D+DG=CG=DN.
近DN.
1. (2019・肥城市模拟)如图，平行四边形JBCD中，CG丄48于点G, ZABF= 45° , F在CD上，BF交
CD于点E,连接ME, 丄2D
(1) 若BG=1, BC= V10,求 EF的长度： (2) 求证：CE+>/2BE=AB・
【点拨】(1〉根据勾股圧理得到CG= PBG2 + CG2=3,推出BG=EG=1・得到CE=2,根据平行四边 形的性质得到dB〃CD,于是得到结论；
(2)延长.扭交3(7于H、根据平行四边形的性质得到BC//.1D,根据平行线的性质得到ZAHB= ZHAD, 推出乙GAE= ZGCB，根据全等三角形的性质得到AG=CG,于是得到结论.
【解析】解：⑴VCG1JB.
A ZAGC=ZCGB=90° ,
VBG=b BC= \^10,
•••在 RtABGC 中，CG= \fBG2+CG2 =3,
V ZABF=45Q ,
:・BG=EG=\,
:.CE=2,
•・•四边形ABCD是平行四边形，
:・AB〃CD、
:.ZGCD=ZBGC=902 , ZEFG= ZGBE=45° ,
:・CF=CE=2,
:.EF= v/2CE=2x/2：
(2)如图，延长交BC于H,
•・•四边形肋3是平行四边形， :.BC//.1D. :.ZAHB= ZHAD,
•••JE 丄 AD.
:• ZAHB= ZHAD=90° •
••• ZBAH+ZABH= ZECG+ZCEG=90° ,
:•乙GAE=ZGCB、
("GE =厶 CGB = 90°
在/YfiCG 与中，^GAE =厶GCB >
\GE = BG
•••△BCG竺△E」G (£1S),
:.AG=CG,
AB=BG+A G=CE+EG+BG,
•：BG=EG=琴BE.
:.CE+\2BE=AB ・
2. (2019・沙坪坝区校级月考)在平行四边形中，ZABC=45° , ABFC,点E, F分别CD. AC边 上的点，且-密=CE,肿的延长线交于点G.
(1) 若 DE=2並，AD=& 求/£・
(2) 若G是的中点，连接CG,求证—E+CG=BG・
2 【点拨】(1)证明△肋C是等腰直角三角形，得出CD=AB=』C= '斗BC=4屆求出CE=CD - DE=2屆 由勾股泄理即可得岀答案：
(2)证明NIBF竺HCAE 0S),得出BF=AE. ZABF=ZCAE,取的中点H 连接由直角 三角形斜边上的中线性质得出・0=扭尸=阳，CG= ^AE=AG,得出ZABF= ZBAH.证出
CAE,证出ZGAH= ZBAF=90° , WHl .1H=AG=BH =CG,因此△G0是等腰直角三角形，得出GH= 近/6=学匹，即可得出结论.
【解析】(1)解：•••四边形.03是平行四边形，
“1Z)=BC=8,
V ZABC=4S° , AB=AC.
:.ZACB=Z.-LBC=45a ,
:.ACD= ZBAC=9Q° ,
：4BC是等腫直角三角形,
:.CD=AB=AC=琴BC=4近,
•: DE=2 屆
:・CE=CD-DE=2 屆
AF = CE
(2)证明：在^ABF 和△C2E 中，乙BAF = ^ACE^
AB = AC
:.AABF^ACAE (SAS\
:・BF=AE, ZABF=ZCAE.
取貯的中点连接.0,如图所示：
V Z5JF=90° , AH= ^BF=BH.
:.ZABF= ZBAH.
:.ZBAH=ZCAE.
•••ZGM=ZB」F=9(T , ：..IF= 2-22 =4. V ZJCF=90° , G 是的中点,
•*• CG^ *」E=zlG・
:・AH=AG=BH=CG.
:.'GAH是等腰直角三角形，
:.GH=\FLIG=^AE.
3・（2019・南岸区期中）如图.在平行四边形肿CD中（BO.1B）,过作丄BC,垂足为F,过C作CH
丄肋,垂足为H交于G,点E为FC上一点,且GE丄ED
（1）若FC= 2BF=4. AB=2>JS,求平行四边形J5CD的面积：
(2)若 AF=FC, F 为 BE 中点,求证：ED=^ C4D+AG).
【点拨】(1)由勾股龙理求出廿=如-加 =4,由平行四边形而积公式即町得岀答案：
(2)证明AABF^ACGF (J£4),得出，拐=CG, BF=GF,证出 AG=CE.连接dC,证明ZLJGC^A
ECD (SAS),得出AC=ED.由等腰宜角三角形的性质得出ED=AC=^CF,进而得出结论.
【解析】(1)解:9：FC=2BF=4.
:・BF=2、
；・BC=BF+FC=2+4 = 6, •••平行四边形ABCD的而积=BC X 6 X 4=24 ：
(2)证明：VJF 丄 EC, CH LAB.
：• ZJFB= ZCFG= ZAHG=9L , ZB4F+ZABF= ZGCF+ZABF=90° , ••• ZBAF= ZGCF.
£AFB =乙 CFG 在 HABF 和△ CGF 中，AF= CF
LBAF =乙 GCF
:・HABF竺HCGF (ASA),
:・AB=CG. BF=GF.
•・・F为BE中点，
:.BF=EF=GF.
•••JF=CF,
• •AG=CE^
连接FC,如图所示：
•: GE 丄 ED
:・ZGCD=9Y ,
V ZAGC= ZJJ7G+ZBJF=90° +ZB4F, ZECD=ZGCD+ZGCF=90° +ZGCF.
••• ZAGC=ZECD,
•・•四边形ABCD是平行四边形，
:・AJD=BC、A>B=DC,
:・CG=DC、
(AG = CE
在MGC ^IA£CD 中，LAGC =乙ECD、
,CG = DC
:.AAGC^AECD (SAS).
：・AC=ED、
•••JF丄BC, AF=CF,
：4CF是等腰直角三角形，
:・ED=AC=近 CF、
•： ADHG=BC+CE= CF+BF+CE=CF+EF+CE=2CF,
:.CF= | (3TG),
