中考数学复习专题(六)四边形有关的计算与证明
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1 / 40 （浙江宁波第24题）在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：
如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AECG，BFDH，连接EF，FG，GH，HE.
(1) 求证：四边形EFGH为平行四边形；
(2) 若矩形ABCD是边长为1的正方形，且45FEB∠°，tan2AEH∠，求AE的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）2
【解析】
试题分析：（1）易证AH=CF，结合已知条件由勾股定理可得EH=FG，同理可得EF=GH，从而得证.
（2）设AE=x，则BE=x+1，由45FEB∠°可得DH=x+1，AH=x+2,由tan2AEH∠可求出结果.
试题分析：（1）在矩形ABCD中，AD=BC，∠BAD=∠BCD=90°
又∵BF=DH
∴AD+DH=BC+BF
即AH=CF
在RtΔAEH中，EH=22AEAH
在RtΔCFG中，FG=22CGCF
∵AE=CG
∴EH=FG
同理得：EF=HG
∴四边形EFGH为平行四边形．
（2）在正方形ABCD中，AB=AD=1
设AE=x,则BE=x+1
∵在RtΔBEF中，45FEB∠°
∴BE=BF
∵BF=DH
∴DH=BE=x+1
2 / 40 ∴AH=AD+DH=x+2
∵tan2AEH∠
∴AH=2AE
∴2+x=2x
∴x=2
即AE=2
考点：1.矩形的性质；2.平行四边形的判定；3.正方形的性质；4.解直角三角形.
4.（甘肃庆阳第26题）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
【答案】(1)证明见解析.（2）4133．
【解析】
试题分析：（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；
（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长．
（2）当四边形BEDF是菱形时，BE⊥EF，
3 / 40 设BE=x，则 DE=x，AE=6﹣x，
在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，
∴x2=42+（6﹣x）2，
解得：x=133，
∵BD=22213ADAB，
∴OB=12BD=13，
∵BD⊥EF，
∴EO=222133BEOB，
∴EF=2EO=4133．
考点：矩形的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的性质．
5.（广西吴江第26题）已知，在RtABC中，90,4,2,ACBACBCD是AC边上的一个动点，将ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处.
（1）如图1，若点D是AC中点，连接PC . ①写出,BPBD的长；②求证：四边形BCPD是平行四边形.
（2）如图2，若BDAD，过点P作PHBC交BC的延长线于点H，求PH的长.
【答案】（1）①BD=22，BP= 25．②证明见解析；（2）45．
【解析】
试题分析：（1）①分别在Rt△ABC，Rt△BDC中，求出AB、BD即可解决问题；
②想办法证明DP∥BC，DP=BC即可；
（2）如图2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延长BD交PA于M．设BD=AD=x，则CD=4﹣x，在Rt△BDC中，可得x2=（4﹣x）2+22，推出x=52，推出DN=2252BDBN，由△BDN∽△BAM，可得DNBDAMAB，由此求
4 / 40 出AM，由△ADM∽△APE，可得AMADAEAP，由此求出AE=165，可得EC=AC﹣AE=4﹣165=45由此即可解决问题．
试题解析：（1）①在Rt△ABC中，∵BC=2，AC=4，
∴AB=222425，
∵AD=CD=2，
∴BD=222222，
由翻折可知，BP=BA=25．
②如图1中，
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴∠BDC=45°，
∴∠ADB=∠BDP=135°，
∴∠PDC=135°﹣45°=90°，
∴∠BCD=∠PDC=90°，
∴DP∥BC，∵PD=AD=BC=2，
∴四边形BCPD是平行四边形．
（2）如图2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延长BD交PA于M．
设BD=AD=x，则CD=4﹣x，
在Rt△BDC中，∵BD2=CD2+BC2，
∴x2=（4﹣x）2+22，
∴x=52，
5 / 40 ∵DB=DA，DN⊥AB，
∴BN=AN=5，
在Rt△BDN中，DN=2252BDBN，
由△BDN∽△BAM，可得DNBDAMAB，
∴552225AM
∴AM=2，
∴AP=2AM=4，
由△ADM∽△APE，可得AMADAEAP，
∴5224AE，
∴AE=165，
∴EC=AC﹣AE=4﹣165=45，
易证四边形PECH是矩形，
∴PH=EC=45．
考点：四边形综合题．
6.（贵州安顺第21题）如图，DB∥AC，且DB=12AC，E是AC的中点，
（1）求证：BC=DE；
（2）连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则给△ABC添加什么条件，为什么？
【答案】（1）证明见解析；（2）添加AB=BC．
6 / 40 【解析】
试题分析：（1）要证明BC=DE，只要证四边形BCED是平行四边形．通过给出的已知条件便可．
（2）矩形的判定方法有多种，可选择利用“对角线相等的平行四边形为矩形”来解决．
试题解析：（1）证明：∵E是AC中点，
∴EC=12AC．
∵DB=12AC，
∴DB∥EC．
又∵DB∥EC，
∴四边形DBCE是平行四边形．
∴BC=DE．
（2）添加AB=BC．
理由：∵DB∥AE，DB=AE
∴四边形DBEA是平行四边形．
∵BC=DE，AB=BC，
∴AB=DE．
∴▭ADBE是矩形．
考点：矩形的判定；平行四边形的判定与性质．
7.
8.（湖南怀化第19题）如图，四边形ABCD是正方形，EBC△是等边三角形.
(1)求证：ABEDCE△≌△；
(2)求AED∠的度数.
【答案】(1)证明见解析(2) 150°．
【解析】
试题分析：（1）根据正方形、等边三角形的性质，可以得到AB=BE=CE=CD，∠ABE=∠DCE=30°，由此即可证明；
（2）只要证明∠EAD=∠ADE=15°，即可解决问题；
7 / 40 试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，△ABC是等边三角形，
∴BA=BC=CD=BE=CE，∠ABC=∠BCD=90°，∠EBC=∠ECB=60°，
∴∠ABE=∠ECD=30°，
在△ABE和△DCE中，
ABDCABEDCEBECE，
∴△ABE≌△DCE（SAS）．
（2）∵BA=BE，∠ABE=30°，
∴∠BAE=12（180°﹣30°）=75°，
∵∠BAD=90°，
∴∠EAD=90°﹣75°=15°，同理可得∠ADE=15°，
∴∠AED=180°﹣15°﹣15°=150°．
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
9.（江苏无锡第21题）已知，如图，平行四边形ABCD中，E是BC边的中点，连DE并延长交AB的延长线于点F，求证：AB=BF．.
【答案】证明见解析.
【解析】
试题分析：根据线段中点的定义可得CE=BE，根据平行四边形的对边平行且相等可得AB∥CD，AB=CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DCB=∠FBE，然后利用“角边角”证明△CED和△BEF全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=BF，从而得证．
试题解析：∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠DCB=∠FBE，
在△CED和△BEF中，
8 / 40 DCA=FBECE=BECED=BEF，
∴△CED≌△BEF（ASA），
∴CD=BF，
∴AB=BF．
考点：1.平行四边形的性质；2.全等三角形的判定与性质．
10.（江苏盐城第22题）如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）当∠ABE=30°时，四边形BEDF是菱形，理由见解析.
试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC、AD∥BC，
∴∠ABD=∠CDB，
∵BE平分∠ABD、DF平分∠BDC，
∴∠EBD=12∠ABD，∠FDB=12∠BDC，
∴∠EBD=∠FDB，
∴BE∥DF，
又∵AD∥BC，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）当∠ABE=30°时，四边形BEDF是菱形，
∵BE平分∠ABD，
