特殊平行四边形证明

特殊平行四边形证明

设特殊平行四边形ABCD的两对边分别平行，其中AB与CD平行，BC与AD平行；设AB=CD，BC=AD。我们要证明对角线AC和BD互相平分，并且AC=BD。

首先，我们可以通过观察发现，在特殊平行四边形ABCD中，角BAD和角CDA分别等于角BCD和角ADC，这是因为平行线AB与CD分别与平行线AD与BC交叉，形成了对应角。因此，我们可以得出：

角BAD=角CDA...(1)

角BCD=角ADC...(2)

A________B

D--------C

我们可以注意到四边形ABCD可以分成两个三角形：△AED和△BEC。根据上述所得到的结论，我们知道角BAD等于角CDA，角BCD等于角ADC。

由于BD是BC的延长线，所以角BCD也等于角BCE。根据三角形内角和定理，我们可以得到三角形△BEC中的角BEC等于角BCD+角BCE，即

角BCD+角BCE=角BCD+角BCD=2角BCD

同样地，我们可以得到△AED中的角AED等于角BAD+角AED，即

角BAD+角AED=角BAD+角BAD=2角BAD

根据题设条件，我们知道AB=CD，所以△AEB和△CED是等腰三角形，因此角AEB等于角BEA，角CED等于角CED。通过观察我们可以发现，角AEB等于角BEA等于角BEC，角CED等于角CDE等于角BCE。所以 角AEB=角BEA=角BEC...(3)

角CED=角CDE=角BCE...(4)

现在，我们可以将(3)代入△BEC的等式中，得到：

角BCD+角BEC=2角BCD=2角AEB

同样地，将(4)代入△AED的等式中，得到：

角BAD+角AED=2角BAD=2角CED

由于以E点为顶点的两个角分别等于以B点和C点为顶点的两个角的两倍，所以根据角等于其对边所对的弧长，我们可以得出：

∠BAE=∠BCE...(5)

∠CDE=∠CAE...(6)

由(5)、(6)两式可知，∠BAE=∠BCE，∠CAE=∠CDE，根据等腰三角形的性质，我们可以得到AE=CE。同理，我们可以证明AD=CB。

1 特殊平行四边形相关计算与证明

常见题型

矩形菱形正方形的性质和判定总表

矩形 菱形 正方形

性

质 边 对边平行且相等 对边平行，四边相等 对边平行，四边相等

角 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角

对角线 互相平分且相等 互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角 互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角

判定 ·有三个角是直角;

·是平行四边形且有一个角是直角;

·是平行四边形且两条对角线相等. ·四边相等的四边形；

·是平行四边形且有一组邻边相等；

·是平行四边形且两条对角线互相垂直。 ·是矩形，且有一组邻边相等；

·是菱形，且有一个角是直角。

对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形

专题一：特殊平行四边形的有关证明

一. 矩形

矩形定义: 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形或正方形).矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴；

矩形的性质:(具有平行四边形的一切特征)

性质1: 矩形的四个角都是直角．

性质2: 矩形的对角线相等且互相平分．

如右图，在矩形ABCD中，可以得到

直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

矩形的判定方法：

方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形．

方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．

方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形．

方法4： 对角线相等且互相平分的四边形是矩形．

例1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知0120AOD，AB=2.5，则AC的长为 。

2

例2. 如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3厘米，EF＝4厘米，则边AD的长是___________厘米.

例3. 如图，矩形ABCD中，35ABBC，．过对角线交点O作OEAC交AD于E，则AE的长是（ ）

专训一：矩形的性质与判定灵活运用

名师点金：

1.矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，同时还具有一些独特的性质，可归结为三个方面：(1)从边看：矩形的对边平行且相等；(2)从角看：矩形的四个角都是直角；(3)从对角线看：矩形的对角线互相平分且相等．

2．判定一个四边形是矩形可从两个角度进行：一是判定它有三个角为直角；二是先判定它为平行四边形，再判定它有一个角为直角或两条对角线相等．

利用矩形的性质与判定求线段的长(转化思想)

1．如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，点A，点B落在点M处，点C，点D落在点N处，恰好拼成一个无缝隙不重叠的四边形EFGH，若EH＝3 cm，EF＝4 cm，求AD的长．

(第1题)

利用矩形的性质与判定证明线段相等

2．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连结OE.

求证：OE＝BC.

(第2题)

利用矩形的性质与判定判断图形形状

3．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E，P分别在AD，BC上，且DE＝BP＝1，连结AP，EC，分别交BE，PD于H，F.

(1)判断△BEC的形状，并说明理由．

(2)判断四边形EFPH是什么特殊的四边形？并证明你的判断．

(第3题)

利用矩形的性质与判定求面积

4．如图，已知E是▱ABCD中BC边上的中点，连结AE并延长AE交DC的延长线于点F.

(1)连结AC，BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．

(2)在(1)的条件下，若△AFD是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC的面积．

(第4题)

专训二：菱形的性质与判定灵活运用

名师点金：

1.菱形具有一般平行四边形的所有性质，同时又具有一些特性，可以归纳为三个方面：

(1)从边看：对边平行，四边相等；(2)从角看：对角相等，邻角互补；(3)从对角线看：对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．

八年级平行四边形相关知识归纳

和常见题型精讲

性质和判定总表

矩形菱形正方形的

矩形 菱形 正方形

性

质 边 对边平行且相等 对边平行，四边相等 对边平行，四边相等

角 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角

对角线 互相平分且相等 互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角 互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角

判定 ·有三个角是直角;

·是平行四边形且有一个角是直角;

·是平行四边形且两条对角线相等. ·四边相等的四边形；

·是平行四边形且有一组邻边相等；

·是平行四边形且两条对角线互相垂直。 ·是矩形，且有一组邻边相等；

·是菱形，且有一个角是直角。

对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形

一. 矩形

矩形定义: 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形或正方形).

矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴；

矩形的性质:(具有平行四边形的一切特征)

矩形性质1: 矩形的四个角都是直角．

矩形性质2: 矩形的对角线相等且互相平分．

如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2有AO=BO=CO=DO=21AC=21BD．因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

矩形的判定方法．

矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形． 矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．

矩形判定方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形．

矩形判定方法4： (4)对角线相等且互相平分的四边形是矩形．

例1已知：如图 ，矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．

例2 已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC． 求证：CE＝EF．

例3．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．