第05讲 整数分拆

2011春季班三年级超常班 学而思 侯晓琳

第五讲 整数分拆 

整数分拆这一讲属于奥数七大重点专题——计数的基础；培养同学们有序思

考问题的能力——思考问题时要按照一定的顺序，才能做到不重复不遗漏。 

本讲涉及到三方面的内容： 

1. 与整数分拆相关的计数问题（这是本讲的重点）； 

2. 与整数分拆相关的应用题（如何分析题意把实际问题转化成数学问题）； 

3. 与整数分拆相关的最值（最大与最小）问题（数论中最值问题的基础）； 

一、 与整数分拆相关的计数问题 

数数计数最重要的是按照一定的顺序，才能做到不重复不遗漏。 

超常123班学案一：将15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同

的分法？ 

分析与答：本题相当于把15拆成4个互不相同的非0自然数相加，问

有多少种不同的分拆方法？（注意不能有0，否则就不是4堆了） 

15=1+2+3+9（注意拆分顺序：几个数由小到大排列或有大到小排列保证不重

复） 

=1+2+4+8（注意变化顺序：尽可能多的固定前面的数，变化最后两个数，

并且按顺序依次调整，保证不遗漏） 

=1+2+5+7（1、2开头的已经没有了，即变化后两个数已经调整不出来其他

结果，再按顺序调整倒数第三个数） 

=1+3+4+7 

=1+3+5+6（只变化后三个数已经调整不出来了，最后再调整第一个数） 

=2+3+4+6 

小结：本题不难，希望同学们通过本题理解整数分拆的枚举顺序。有序

枚举，不重不漏。 

例1：从1~12这十二个自然数中选取，把26分拆成四个不同自然数之

和。 

分析与答：体会本题和上题的区别：上题没有给范围，而这道题要求数

的范围在1~12之间。这时孩子们通常会有两种入手角度： 

（1）26=1+2+11+12 

（2）26=12+11+2+1 

那么哪个角度拆分起来既容易且迅速呢？是第二种。方法一里26=1+后

三个数，相当于把25分拆成后三个数的和，而方法而里26=12+后三个数，

相当于把14分拆成后三个数的和，明显14较容易分拆一些。所以，一般地，

如果没有限定数的范围，按照从小到大的分拆顺序相对容易些，而限定数的

范围，按照从大到小相对容易些。 

26=12+11+2+1=12+10+3+1=12+9+4+1=12+9+3+2=12+8+5+1 2011春季班三年级超常班 学而思 侯晓琳

=12+8+4+2=12+7+6+1=12+7+5+2=12+7+4+3=12+6+5+3 ——10种 

=11+10+4+1=11+10+3+2=11+9+5+1=11+9+4+2=11+8+6+1 

=11+8+5+2=11+8+4+3=11+7+6+2=11+7+5+3=11+6+5+4 ——10种 

=10+9+6+1=10+9+5+2=10+9+4+3=10+8+7+1=10+8+6+2 

=10+8+5+3=10+7+6+3=10+7+5+4 ——8种 

=9+8+7+2=9+8+6+3=9+8+5+4=9+7+6+4 ——4种 

=8+7+6+5 ——1种 

共33种拆法 

小结：一般地，如果没有限定数的范围，按照从小到大的分拆顺序相对

容易些，而限定数的范围，按照从大到小相对容易些。 

例2：把70分拆成11个不同的非零自然数之和，这样的分拆方式一共

有多少种？请将这些分拆方式一一写出。 

分析与答：体会本题和以上例题的区别：这道题要求拆成11个不同的

非0自然数，个数较多，而70的大小又有限，可以考虑最小的11个互不相

同的非0自然数之和为：1+2+3+……+11=66，那么现在的任务是将剩下的

70‐66=4分配到适当的加数上，并且还要满足这11个数互不相等。 

4=4=1+3=2+2=1+1+2=1+1+1+1即4可以整体加到某一个数上，也可以分

拆成1和3加到某两个数上，也可以分成1,1和2加到某三个数上……但要

注意不同的构造方式可能会得到相同的结果。 

把4整体加到某一个数上（只能加到后四个数之一，否则会重复）可以

得到四个不同的结果： 

70=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+15 

=1+2+3+4+5+6+7+8+9+14+11 

=1+2+3+4+5+6+7+8+13+10+11 

=1+2+3+4+5+6+7+12+9+10+11 

将4拆成1+3，可以构造出一种不同的拆法 

70=1+2+3+4+5+6+7+8+9+13+12 

其他的方法构造出来的都与以上重复。故符合题意的分拆方式共5种。 

小结：当分拆成的个数较多时，一般考虑最小的情况，然后把多出的补

到适当的数上。 

例3：100最多能写成多少个不同的非零自然数之和？ 

分析与答：整数分拆与最值的结合。希望加数的个数最多，和又有限，

为100，就得让每个加数都尽量小，又要求是互不相同的自然数，易想到从

1开始的连续自然数的连加：最小的14个互不相同的自然数之和1+2+3+……

+14=105＞100，所以100不可能写成14个互不相同的自然数的和；

1+2+3+……+13=91，100‐91=9，可以把多出的9补到某些数上，只要不出现

重复即可，如：1+2+3+……+22=100。所以100最多能写成13个互不相同的

自然数之和。 

小结： 想说明100最多能写成13个互不相同的自然数之和：这属于一

道构造与论证的基础题。应该从两方面说明：一方面：要论证 100不可能写

成14个互不相同的自然数的和；另一方面：要构造一种把100写成13个互

不相同的自然数之和的方案。 2011春季班三年级超常班 学而思 侯晓琳

例3变式：100最多能写成多少个不同的非零自然数的平方之和？ 

分析与答：希望加数的个数最多，和又有限，为100，就得让每个加数

都尽量小，又要求是互不相同的自然数，易想到从1开始的连续自然数的平

方和的连加：22222212345691+++++=，22222221234567140++++++= 

首先，最小的7个连续的平方数和超过100，说明100不可能表示成7

个连续自然数的平方和，那么6个能否办到呢？可以这样考虑：140‐100=40，

如果40是某个数的平方，那么在22222221234567++++++去掉40即可，但

40只能写成2226+，说明100最多只能写成5个互不相同的自然数的平方和。即 

2222213457100++++= 

补充题（类似学案4，把数字改小些）：将63表示为两个或两个以上的

连续自然数的和，共有多少种不同的方法？ 

分析与答：体会本题与以上题目的区别：本题不限定个数，但要求为连

续自然数之和，连续自然数，即公差为一的等差数列。当项数为奇数项是，

有中项定理：和=中间数×项数；当项数为偶数时，可以把中项定理理解成：

和=中间两数之和×对数（如1+2+3+4=（2+3）×2对） 

本题可以采取“以平均数为中心，向两边递推的方法”。 

63=1×63=3×21=7×9 

1×63可以理解成1对63，即63=31+32 

3×21可以理解成中间数是21，一共3个数：20,21,22 

也可以理解成3对21, 即8,9,10,11,12,13 

7×9可以理解成中间数为7，一共9个数：3,4,5,6,7,8,9,10,11 

也可以理解成中间数为9，一共7个数：6,7,8,9,10,11,12 

一共5组。 

注：（1）本题很多孩子凭数感会找到一些，但找不全。 

（2）3×21也可以理解成21对3，但中间数为1和2，前后各推10

个数，会出现负数，7×9也一样。 

例6：求满足下列条件的最小自然数：它既可以表示为9个连续自然数

的和，又可以表示为10个连续自然数的和，还可以表示为11个连续自然数

的和。 

分析与答：9个连续自然数的和=中间数×9，即是9的整数倍； 

10个连续自然数的和=（首项+末项）×10÷2=（首项+末项）×5，即是

5的整数倍；或者可以理解为中间两数之和 

11个连续自然数的和=中间数×11，即是11的整数倍。 

这个自然数既是5，又是9还是11的倍数，那么它应为5×9×11=495

的倍数（本质上是5、11、9的最小公倍数）可以采取“以平均数为中心，

向两边递推的方法”。 

495÷10=49.5即45,46,47,48,49（49.5）50,51,52,53,54 2011春季班三年级超常班 学而思 侯晓琳

495÷9=55，即51,52,53,54,55,56,57,58,59 

495÷11=45，即40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50 

二、 与整数分拆相关的应用题 

一定要透彻分析题意，把实际问题转化成整数分拆问题。 

例4：有3张扑克牌，牌面数字都是10以内的正整数（即非零自然数）。

把这三张牌洗好后，分发给小明，小亮，小光三人。每个人把自己牌的数字

记下后，再重新洗牌，发牌，记数，这样反复几次后，三人依次各记录的数

字和依次为13,15,23.问：这三张牌得数字分别为多少？ 

分析与答：首先，要把实际问题转化成整数分拆问题。 

遇到相对复杂的问题时可以自己举一些小例子来帮助分析理解题意。比

如假设这这3张牌是1、2、3，假设游戏进行了两轮。 

明 亮 光 

第一轮：1 3 2 

第二轮：2 1 3 

两轮后数字和：3 4 5 

我们分析到：所有人的数字和为3+4+5，所有人的数字和还可以表示成（1+2+3）×2，

每一轮三个数字均出现一次，每轮的数字和就是三张牌得数字和，所有人的数字和可

以用三张牌的数字和×轮数来表示。 那么我们再看原题虽然三张牌的数字和未知，轮数未知，但13+15+23=51 

一定是三张牌的数字和×轮数，51=3×17，说明进行了3轮游戏，每一轮的

数字和为17。 

这样这道题就转化成整数分拆问题了：相当于17分拆成10以内（本题

不够严密，按答案包括1+0）的自然数相加，数字可重复（因为扑克牌每个

数字都有4张），找到合适的分拆方法，使分拆成的三个数字每个数字用三

次（游戏进行三轮，每轮每个数字出现一次，所以每个数字共出现三次），

恰好可以凑成13,15,23。 

17=10+6+1=10+5+2=10+4+3=9+7+1=9+6+2=9+5+3=9+4+4=8+8+1=8+7+2 

=8+6+3=8+5+4=7+7+3=7+6+4=7+5+5=6+6+5 

共15组，但只有9+5+3满足要求：3+5+5=13,3+3+9=15,5+9+9=23。 

例5： 

（1）把7个相同的球放到3个相同的盒子里，有多少种方法？ 

（2）把7个相同的球放到3个不同的盒子里，有多少种方法？ 

（3）把7个相同的球放到7个相同的盒子里，有多少种方法？ 

（4）把7个不同的球放到3个不同的盒子里，有多少种方法？ 

超常123班学案3：把7个相同的球放到3个不同的盘子里，每个盘子

至少放一个球，有多少种方法？ 

这几道题放到一块讲，希望同学们先仔细读题，体会它们之间的区别和

联系。 

（1）把7个相同的球放到3个相同的盒子里，有多少种方法？