小升初数学之整数的分拆
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小六数学资料（教师用卷）
第十一讲 整数的分拆
知识要点：
整数的拆分，就是把一个自然数表示成若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一种分拆。
1、 要求出所有的不同的分拆方式，必须使分拆的过程按一定的顺序进行。
2、 特殊要求的分拆有特殊的解题方法。比如分成两个自然数的和，然后要使乘积最大，就必须使这两个数的差最小。如果分成若干个自然数的和并使其积最大，就要充分考虑分成3或2，并且2的个数不多于2个。（因为3个2相乘小于2个3相乘）
这也是著名的哥德巴赫猜想。
例题1、两个小朋友用玩具枪打靶。他们每人打了两发子弹，靶子上有1到6环。甲一共打中6环，乙一共打中5环。如果没有哪两发子弹是打在同一个环带内，并且弹无虚发，你知道他们俩打中的分别是哪几环吗？
解析：已知汤姆两发子弹打中6环，要求每次打中的环数，可将6分拆6=1+5=2+4；同理，要求吉米每次打中的环数，可将5分拆5=1+4=2+3。由于题意得，没有哪两发子弹打到同一环带内并且弹无虚发，只可能是：甲打中的是1和5环，乙打中的是2和3环。
例题2、小明用身上的1分、2分、5分的硬币各4枚，想买2角3分的一件商品，他应该如何付款？共有多少种不同的支付方法？
解析：要付2角3分钱，最多只能使用4枚5分。因为全部1分和2分都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分。
当使用3枚5分时，5×3=15，23-15=8，所以使用2分最多4枚，最少2枚，可有 23=15+(2+2+2+2) 23=15+（2+2+2+1+1） 23=15+（2+2+1+1+1+1）
共3种支付方法。
当使用4枚5分时，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分，或者不使用。从而有 23=20+(2+1) 23=20+（1+1+1）
共2种支付方法。所以一共有3+2=5种支付方法。
例题3、试把1999分拆成8个自然数的和，使其乘积最大。
解析： 要使分拆的8个自然数的乘积最大，必须使这8个数中的任意两数相等或差数为1.因为1999=8×249+7，由上述分析，拆法应是1个249，7个250，其乘积249×2507为最大。
例题4、有一把长为13厘米的直尺，在上面刻几条刻度线，使得这把尺子能一次量出1到13厘米的所有厘米的长度。问：至少要刻几条线？要刻在哪些位置上？
解析：至少要刻4条线，例如刻在1，4，5，11厘米处，便可一次量出1到13厘米的所有整厘米的长度。这是因为由1，4，5，11，13这5个数以及它们之间任意2个的差能够得到1到13这13个整数。另外，刻法不是唯一的、例如我们也可以刻在1，2，6，10厘米这4个位置上。
例题5、用一根24厘米长的铁丝围一个长方形，要求这个长方形的长和宽必须都是整厘米数，而且要使围成的长方形面积最大，该怎么围呢？
解析：由于长方形长和宽的和是24÷2=12厘米，而要使长方形的面积最大，就是要长和宽的乘积最大，所以问题就转换成了：把12分拆成两个自然数的和，再求出这两个自然数的积，使这个积最大。
在自然数n的所有两项分拆中，当n是偶数2m时，以分成m+m时乘积最大；当n是奇数2m+1时，以分成m+(m+1)时乘积最大。换句话说，把自然数s（s>1）分拆为两个自然数m与n的和，使其积mn最大的条件是：m=n，或m=n+1。
显然，把12拆成6+6时，积最大为36。因为正方形也是长方形的一种，所以6=6可行。
例题6、把14分拆成若干个自然数的和，再求出这些数的积，要使得到的积最大，应该把14如何拆分？这个最大的乘积是多少？
解析：要使得乘积尽可能的大，首先，分成的数中不能有1，因为1与任何数相乘都得原数，这是显然的。
其次，分成的数中不能有大于4的数，否则可以将这个数再分拆成2与另外一个数的和，这两个数的乘积一定比原数大，例如7=2+5，但7<2×5。
但是在分拆中，如果有2+2+2=6=3+3，显然2×2×2<3×3，所以优先3，也就是最多只能有两个2，其余都是3。根据上面的讨论，我们应该把14分拆成4个3与1个2之和，即14=3+3+3+3+2，这五个数的积有最大值：3×3×3×3×2=162。
练习：
1、 王老师认为“8”是个吉利的数字，他做什么事情都喜欢用“8”来表示。现在有200个苹果要分发给一些同学，请你想一想，王老师用这个吉利的数字有几种分糖方案。（必须每位数字都是8）
解析：88+88+8+8+8=200。 8+8+8+8„„+8=200
2、 将11写成2个不同的自然数之和，但这4个自然数只能从1~9中选取，问共有多少种不同的写法？哪一种两数乘积最大？
解析：4种，2+9、3+8、4+7、5+6。 5×6。
